2025年安徽省定远重点中学高三模拟数学练习卷（含答案）

2025年安徽省定远重点中学高三模拟数学练习
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，，，若，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
2.已知，则复数的共轭复数是( )
A. B. C. D.
3.已知，的值为( )
A. B. C. D.
4.已知函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是偶函数，则( )
A. B. C. D.
5.已知某圆合的上、下底面半径分别为，，且，若半径为的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
6.在中，，，是所在平面内一点，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知当时，；当时，，则方程的根的个数为( )
A. B. C. D.
8.意大利数学家列昂纳多斐波那契最为世人所知的，是被誉为是最美数列的斐波那契数列斐波那契数列满足，，图中每一小格子的边长为，组成螺旋线的每段曲线都是其所在正方形的四分之一圆弧，螺旋线推进时其所在正方形的边长依次为斐波那契数列，记前个正方形的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则其中不正确的结论的是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，满足，，则( )
A. B.
C. 在复平面内对应的向量为 D. 的最小值为
10.已知函数，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列选项正确的是( )
A. 函数的图象关于对称
B. 函数的图象与直线的交点间的最小距离为
C. 函数在上的最大值为
D. 函数在上单调递增
11.已知抛物线：的焦点为，准线为，经过的直线与交于，两点在第一象限，，为上的动点，则下列结论正确的是( )
A. 满足为直角三角形的点有且仅有个
B. 过点且与有且仅有一个公共点的直线恰有条
C. 若在直线上的射影为，则
D. 若直线的倾斜角为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列的第项是的展开式中的常数项，则该数列的前项和 ______．
13.已知抛物线：的焦点为，准线为，点为上一点，过作的垂线，垂足为，若的倾斜角为，则 ______．
14.对于函数，有下列个命题：
任取，，都有恒成立；
函数在上有个零点；
，对于一切恒成立；
则其中所有真命题的序号是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知正四棱柱中，二面角的余弦值为．
求证：
在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
16.本小题分
某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：
零件的个数个
加工的时间小时
在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
求出关于的线性回归方程，并在坐标系中画出回归直线；
试预测加工个零件需要多少时间？
可能用到的公式：，，其中、是对回归直线方程中系数、按最小二乘法求得的估计值
17.本小题分
已知数列满足，．
求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
记，求数列的前项和．
18.本小题分
已知函数，其中．
当时，求曲线在处的切线方程；
求的单调区间；
当时，设的两个零点为，，求证：．
19.本小题分
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，是上除左、右顶点以外的动点，直线与交于另一点，当轴时，．
Ⅰ求的方程；
Ⅱ求的内切圆面积的最大值；
Ⅲ在射线，上分别取点，，满足，证明：直线过定点．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15. 证明：为正四棱柱，
平面，且为正方形．分
平面，，分
，平面分
平面，
C.分
解：如图，以为原点建立空间直角坐标系设，
则，，，，，
，，分
设为线段上一点，且，．
，
分
即，，，
分
设平面的法向量
，，
分
令，得分
若平面平面，则．
即，解得．
所以当时，平面平面分
16.解：散点图如下图．
由表中数据得，
，
，
所以，
因此回归直线如图中所示
将代入回归直线方程，得小时，
预测加工个零件需要小时
17.证明：由，得，
则，可得．
又，
数列是以为首项，以为公差的等差数列，
，则；
解：，，
．
18.【解】已知函数，
当时，，
则，即，，
故当时，曲线在处的切线方程为．
由，，
则，
令，则；
令，则，
故的单调递增区间为，单调递减区间为．
当时，，
由知在上单调递增，在上单调递减，
又，是的一个较小的零点，不妨设，
要证，只需证，
因为，且在上单调递减，
从而只需证即可．
，
令，
在上单调递增．
，即证，即证．
19.【解】Ⅰ由的焦点坐标可知，不妨点在第二象限，则，
则，
则，故，
所以的方程为．
Ⅱ由题意可知，、、三点不共线，即直线不与轴重合，
设直线的方程为，设点、联立得，
得，
，
所以，，
所以，
又因为
，
当且仅当，即时等号成立，
所以．
又因为的周长为，
又因为，
所以的内切圆半径，
故的内切圆面积的最大值为．
Ⅲ证明：因为点、分别在射线、上，且，
所以，，
即，，
如图，又因为原点是线段的中点，
所以，
由椭圆的定义可知，所以．
不妨设，则，
所以，，
则，
可得，
故、、三点共线，因此直线必过原点．
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