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探究课1 用向量法研究三角形的性质
第六章 平面向量及其
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知识提炼
三角形“四心”的向量表示
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C.
(1)三角形的重心：OA+OB+OC=0台O是△ABC的重心
(2)三角形的垂心：OA·0B=0B·OC=0C·OA曰O是△ABC的垂
(3)三角形的内心：aOA+b0B+c0C=0→O是△ABC的内心.
(4)三角形的外心：OA=OB=OC台O是△ABC的外心.
典例探究
0AQB(6片专【0)由是意知0A与需+哥=AE在∠B4C
的邻补角的平分线上)垂直，所以，点O在∠BAC的平分线上·同理，
点O在∠ABC的平分线上，故，点O为△ABC的内心
(2)延长PB至D(图略)，使得PD=2PB(图略)，于是有PA十PD+PC
=0,即点P是△ADC的重心，依据重心的性质，有S△PAD=S△PMC=
S△PDC:由B是PD的中点，得S△PMB:S△PAC:S△PBC=1:2:1
A
D
E
B
C
C
B
D
D
[假设BC的中点是O,则AC2-AB2=(AC+AB)·(AC-AB)=
2AO·BC=2AM·BC,即(AO-AM)·BC=M0·BC=0,所以
MO⊥BC,所以动，点M在线段BC的垂直平分线上，所以动点M形成
的图形必经过△ABC的外心.
4[O为△ABC的重心且AD=3,.∴.OD=1,
.0B+0C=20D,OB-0C=2DB,将两式平方再相减，得
08·0C=0D2-D2=0D2-()=1-(N5}=-4.1 用向量法研究三角形的性质
三角形“四心”的向量表示
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
(1)三角形的重心：＝0 O是△ABC的重心．
(2)三角形的垂心：·＝·＝· O是△ABC的垂心．
(3)三角形的内心：a＋b＋c＝0 O是△ABC的内心．
(4)三角形的外心：||＝||＝|| O是△ABC的外心．
【典例】 (1)若三个不共线的向量满足·＝·＝·＝0，则点O为△ABC的( )
A．内心 B．外心
C．重心 D．垂心
(2)已知△ABC所在平面内的一点P满足＋2 ＝0，则S△PAB∶S△PAC∶S△PBC＝( )
A．1∶2∶3 B．1∶2∶1
C．2∶1∶1 D．1∶1∶2
(3)在△ABC中，AB＝2，BC＝，AC＝3．若O是△ABC外心，且＝p＋q，则p＝ ，q＝ ．
(1)A (2)B (3) [(1)由题意知与＋＝(E在∠BAC的邻补角的平分线上)垂直，所以点O在∠BAC的平分线上．同理，点O在∠ABC的平分线上，故点O为△ABC的内心．
(2)延长PB至D(图略)，使得＝2 (图略)，于是有＝0，即点P是△ADC的重心，依据重心的性质，有S△PAD＝S△PAC＝S△PDC．由B是PD的中点，得S△PAB∶S△PAC∶S△PBC＝1∶2∶1．
(3)如图所示，取AB的中点D，AC的中点E，连接OD，OE，则OD⊥AB，OE⊥AC．
由余弦定理，得cos ∠BAC＝＝·＝||||cos ∠BAC＝．
∵＝p＋q，
∴
∵·＝||·||·cos ∠BAO＝||·||＝2，·＝||·||·cos∠CAO＝||·||＝，
∴解得p＝，q＝．
]
1．在△ABC中，AB＝6，O为△ABC的外心，则·等于( )
A． B．6 C．12 D．18
D [如图，过点O作OD⊥AB于点D，
可知AD＝AB＝3，
则·＝()·＝··＝3×6＋0＝18．]
2．点O是△ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的( )
A．三个内角的角平分线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高所在直线的交点
D [∵·＝·，∴()·＝0，∴·＝0，∴OB⊥AC．
同理OA⊥BC，OC⊥AB，
∴点O为三条高所在直线的交点．]
3．在△ABC中，设－＝2·，那么动点M形成的图形必经过△ABC的( )
A．垂心 B．内心
C．外心 D．重心
C [假设BC的中点是O，则－＝()·()＝2·＝2·，即()·＝·＝0，所以⊥，所以动点M在线段BC的垂直平分线上，所以动点M形成的图形必经过△ABC的外心．]
4．已知AD为△ABC的边BC上的中线，O为△ABC的重心且AD＝3，BC＝2．则·＝ ．
－4 [∵ O为△ABC的重心且AD＝3，∴OD＝1，
∵＝2＝2，将两式平方再相减，得·＝－＝－＝1－()2＝－4．]
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