微专题1 平面向量中的最值与范围问题
平面向量中的最值和范围问题是高中数学的热点问题，由于平面向量具有“数”与“形”的双重特性，故其最值或范围问题可从代数与几何两大视角进行切入，解题方法可分为构造目标函数法、直角坐标系法、基本不等式法、极化恒等式法、几何意义法等．
探究1 目标函数法求最值(或范围)
【例1】 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝，AB＝2，AD＝1，若M，N分别是边AD，CD上的点，且满足＝＝λ，其中λ∈[0，1]，则·的取值范围是( )
A．[－3，－1] B．[－3，1]
C．[－1，1] D．[1，3]
A [根据题意，建立直角坐标系，
如图，则B(2，0)，A(0，0)，D．因为满足＝＝λ，λ∈[0，1]，所以＝＝＋(1－λ)＝＋(1－λ)·＝＋(1－λ)(2，0)＝＝＝－＋(1－λ)＝(－2，0)＋(1－λ)·＝·＝·＝＋×(1－λ)＝λ2＋λ－3＝－．因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为λ＝－，则函数在[0，1]上单调递增，故当λ∈[0，1]时，λ2＋λ－3∈[－3，－1]．故选A．]
探究2 坐标法、几何意义法求最值(或范围)
【例2】 (2020·新高考Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则· 的取值范围是( )
A．(－2，6) B．(－6，2)
C．(－2，4) D．(－4，6)
A [法一(坐标法)：
如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(2，0)，C(3，)，F(－1，)．
设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(2，0)，且－1所以·＝(x，y)·(2，0)＝2x∈(－2，6)．
法二(几何意义法)：
的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到在方向上的投影的取值范围是(－1，3)，结合向量数量积的几何意义，可知·等于的模与在方向上的投影的乘积，所以·的取值范围是(－2，6)．故选A．]
探究3 基本不等式法求最值(或范围)
【例3】 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足＝m＋n(m，n均为正实数)，则＋的最小值为________．
[由题意得＝＝－，所以＝m＋n＝m＋n
＝＋n，由P，B，C三点共线，得
m－n＋n＝m＋n＝1(m，n>0)，
所以＋＝
＝＋＋≥＋2
＝＝
(当且仅当3n2＝4m2，即时取等号)，则＋的最小值为．]
探究4 极化恒等式法求最值(或范围)
【例4】 (1)如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴、y轴的正半轴(含原点)上滑动，则·的最大值是________．
(2)四边形ABCD为菱形，∠BAC＝30°，AB＝6，P是菱形ABCD所在平面的任意一点，则·的最小值为________．
(1)2 (2)－27 [(1)如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON，
则·＝－．因为OM≤ON＋NM＝AD＋AB＝，当且仅当O，N，M三点共线时取等号．所以·的最大值为2．
(2)由题设知AC＝6，取AC的中点O，连接OP，
则＝＝＝，所以·＝()·()＝－＝－27≥－27．]
微专题强化练(一) 平面向量中的最值与范围问题
一、选择题
1．在边长为1的正方形ABCD中，M为边BC的中点，点E在线段AB上运动，则·的取值范围是( )
A．
C． D．[0，1]
C [将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x，0)，0≤x≤1．
则M，C(1，1)．
所以＝＝(1－x，1)，
所以·＝(1－x，1)·＝(1－x)2＋．
因为0≤x≤1，
所以≤(1－x)2＋≤，
即·的取值范围是．]
2．已知A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，且＝m＋2n(m>0，n>0)，则＋的最小值为( )
A．10 B．9
C．8 D．4
C [因为A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，且＝m＋2n(m>0，n>0)，
所以m＋2n＝1，
所以＋＝(m＋2n)
＝4＋＋≥4＋2＝8，
当且仅当＝，
即m＝，n＝时等号成立．]
3．在Rt△ABC中，AB＝AC，点M，N是线段AC的三等分点，点P在线段BC上运动且满足＝k·，当·取得最小值时，实数k的值为( )
A．
C．
C [建立平面直角坐标系，如图所示，设AB＝AC＝3，点P(x，3－x)，M(1，0)，N(2，0)，
则·＝2x2－9x＋11，
其中x∈[0，3]，当x＝时，·取到最小值，此时P，
∴k＝＝．
故选C．]
4．如图，这是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数，…的图形，已知P是平面四边形ABCD内一点，则·的取值范围是( )
A．
C．
D [(数量积的几何意义)如图，延长BC，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．
因为DE⊥BC，DC＝1，∠DCE＝45°，所以CE＝．
由图可知当P在A点处时，在上的投影有最大值1，当P在D点处时，在上的投影有最小值－，
又因为＝1，
所以·的取值范围是．
故选D．]
5．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·()的最小值是( )
A．－2 B．－
C．－ D．－1
B [法一：(极化恒等式)结合题意画出图形，如图①所示，设BC的中点为D，AD的中点为E，连接AD，PE，PD，则有＝2，
则·()＝2·＝2()·()＝2(－)．而＝＝，
当点P与点E重合时，有最小值0，故此时·()取得最小值，最小值为－2＝－2×＝－．
法二：(坐标法)如图②，以等边△ABC的底边BC所在直线为x轴，以边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·()＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2－，当x＝0，y＝时，·()取得最小值，最小值为－．故选B．]
二、填空题
6．如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若＝λ＋μ，则t＝λ－μ的最大值是________．
3 [因为共线，设＝k(0≤k≤1)，又B是CD的中点，则＝2＝2k－k，
又＝λ＋μ，
∴
∴t＝λ－μ＝3k≤3，故t的最大值为3．]
7．已知△ABC，点D满足＝，点E为线段CD上异于C，D的动点，若＝λ＋μ，则λ2＋μ2的取值范围是________．
[由题意设＝m，m∈，
因为＝，所以＝＝，
所以＝＝＋＝－，
又＝λ＋μ，则
所以λ2＋μ2＝－2λμ＝1＋m＋m2
＝＋1，
又因为m∈，由二次函数的性质得
y＝＋1∈，
所以λ2＋μ2的取值范围为．]
8．已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上任意一点，则·()的最大值为________．
9 [根据题意，建立直角坐标系，如图，设＝λ，λ∈[0，1]．
则A(0，3)，B(4，0)，C(0，0)，所以＝(4，－3)，＝＝＋λ＝(0，3)＋(4λ，－3λ)＝(4λ，3－3λ)，λ∈[0，1]，所以·()＝·＝(4λ，3－3λ)·(0，3)＝9－9λ∈[0，9]，
所以·()的最大值为9．]
三、解答题
9．在平面直角坐标系内，已知A(0，5)，B(－1，3)，C(3，t)．
(1)若t＝1，求证：△ABC为直角三角形；
(2)求实数t的值，使||最小．
[解] (1)证明：当t＝1时，C(3，1)，则＝(－1，－2)，＝(4，－2)，
所以·＝(－1)×4＋(－2)×(－2)＝0．
所以⊥，即△ABC为直角三角形．
(2)＝(－1，－2)，＝(3，t－5)，
所以＝(－1，－2)＋(3，t－5)＝(2，t－7)，
所以||＝．
当t＝7时，||有最小值，最小值为2．
10．已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|ka＋b|＝|a－kb|(k>0)．
(1)用k表示数量积a·b；
(2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角．
[解] (1)由|ka＋b|＝|a－kb|，得(ka＋b)2＝3(a－kb)2，
∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2，
∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0．
又a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，
故|a|＝|b|＝1，
∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，
∴a·b＝＝．
(2)由(1)得a·b＝＝≥×2＝，当且仅当k＝，即k＝1时等号成立．
∴a·b的最小值为．
设此时a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝，又θ∈[0，π]，∴θ＝．
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微专题1 平面向量中的最值与范围问题
第六章 平面向量及其
平面向量中的最值和范围问题是高中数学的热点问题，由于平面向量具有“数”与“形”的双重特性，故其最值或范围问题可从代数与几何两大视角进行切入，解题方法可分为构造目标函数法、直角坐标系法、基本不等式法、极化恒等式法、几何意义法等．
√
√
2
－27
2门世2有
3厚
探究1
目标函数法求最值（或范围
【例1】
如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=子AB=2,AD
=1,若M,N分别是边AD,CD上的点，且满足8-治=，其中
入∈[0,1]，则AN·BM的取值范围是(
A.[-3,-1]
B.[-3,1]
C.[-1,
D.[1,3]
D
N
C
M
A
B
A
Y米
N
M
C
(0)
B
探究2
坐标法、几何意义法求最值（或范围
【例2】(2020·新高考I卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF
内的一点，则AP·AB的取值范围是(
A.(-2,
C.(-2
A[法一（坐标法）：
如图，取A为坐标原点，AB所在直线为轴建立平面直角坐标系，
则A0,0),B2,0),C(3,V3),F(-1,V3)
设Px,y),则AP=(x,y),AB=(2,0),且-13
所以AP·AB=(x,y)·(2,0)=2x∈（一2,6）
YA
E
D
F
P
C
A
B
X
法二（几何意义法）：
AB的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到AP在AB方向上的投影的取值范围是（一1,3），结合向量数
量积的几何意义，可知AP·AB等于AB的模与AP在AB方向上的投影
的乘积，所以AP·AB的取值范围是（一2,6）.故选A.]
E
F
C
A
P'
B
探究3基本不等式法求最值（或范围
【例3】如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD,∠DAB=90°，
AD=AB=4,CD=1,动点P在边BC上，且满足AP=mAB十nAD(m
n均为正实数)，则三十的最小值为
D
C
P
A
B
7+4W3
4
C
B
D
0
A
X
C
M
B
D
N
0
A
X
(1)2(2)一27[(1)如图，取BC的中点M,AD的中，点N,连接MW,
ON
则0C·OB=0M2-子：因为0OM≤ON+NM=AD+AB=三，当且仅
当O,N,M三点共线时取等号.所以OC·OB的最大值为2.
B
C
P
0
A
D
