(共12张PPT)
章末重构拓展
第七章 复数
巩固层·知识重构
类型1 复数的概念
1．复数的概念包括虚数、纯虚数、复数相等、复数的模等．理解复数的相关概念是解答相应问题的关键．
2．掌握复数的相关概念，培养数学抽象素养．
提升层·题型探究
√
√
√
类型2 复数的四则运算
1．复数运算包括复数的加法、减法、乘法和除法，它是本章的重要内容，是高考考查的重点和热点．
2．借助复数运算的学习，提升数学运算素养．
2门世2有
3厚
复数与复数的分类
复数的概念
复数相等的充要条件
及几何意义
共轭复数
复数的模
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i (a,b,c,d E R)
复数集上
复数的加法法则
解方程
复数加法的运算律及几何意义
(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i(a,b,c,dER)
复数的减法法则
复数减法的几何意义
复数方程
复数
复数的代数运算
复平面上两，点的距离d=a-2
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i(a,b,c,dER)
复数的乘法法则
复数乘法的运算律
复数集上
方程的有
关问题
复数的除法法则
atbi_actbd bc-ad
c+ǖ
c2+d2c2+d2
i(a,b,c,d∈R,且c+di≠0)
复数的三角形式
法则
复数的三角运算
复数乘法运算的三角表示
几何意义
法厕
复数除法运算的三角表示
几何意义
[解]
类型3
复数的几何意义
1.复数z=a十bi(a,b∈R)与复平面内的点Z(a,b)及向量OZ之间是
一对应关系，另外复数加、减法的几何意义与向量加、减法的几
何意义一致
2.通过复数几何意义的学习，培养直观想象素养.
解]
(2)(mi-z)2=(mi+1+i)2=[1+(m+1)i川2=-m2-2m+2(m+1)i
因为复数(mi一z)2在复平面上对应的，点在第二象限，
解得m>0,
故实数m的取值范围为(0，+co).类型1 复数的概念
1．复数的概念包括虚数、纯虚数、复数相等、复数的模等．理解复数的相关概念是解答相应问题的关键．
2．掌握复数的相关概念，培养数学抽象素养．
【例1】 (多选)已知复数z1＝，z2＝－3＋i，则( )
A．z1的实部为3
B．z1的虚部为－1
C．z1与z2互为共轭复数
D．z1－z2为纯虚数
BCD [因为z1＝＝－3－i，所以z1的实部为－3，z1的虚部为－1，z1与z2互为共轭复数，
z1－z2＝－3－i＋3－i＝－2i为纯虚数．故选BCD．]
类型2 复数的四则运算
1．复数运算包括复数的加法、减法、乘法和除法，它是本章的重要内容，是高考考查的重点和热点．
2．借助复数运算的学习，提升数学运算素养．
【例2】 已知复数z1＝1＋i，z2＝2i－3．
(1)求；
(2)已知z1是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值．
[解] (1)＝＝＝＝－＋i，
＝＝．
(2)因为z1是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，
所以2(1＋i)2＋p＋q＝0，
所以4i＋p＋q＝0，即p＋q＋i＝0，
所以
类型3 复数的几何意义
1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)及向量之间是一一对应关系，另外复数加、减法的几何意义与向量加、减法的几何意义一致．
2．通过复数几何意义的学习，培养直观想象素养．
【例3】 已知复数z满足＝，z2的虚部为2，z所对应的点A在第三象限．
(1)求复数z；
(2)若复数在复平面上对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．
[解] (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，所以＝＝，①
因为z2＝a2－b2＋2abi，又z2的虚部为2，
所以2ab＝2，②
由①②解得 或所以z＝1＋i或z＝－1－i，
又z所对应的点A在第三象限，所以z＝－1－i．
(2)＝＝＝－m2－2m＋2(m＋1)i，
因为复数在复平面上对应的点在第二象限，
所以解得m>0，
故实数m的取值范围为．
章末综合测评(二) 复数
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设复数z＝3－4i，则z的共轭复数的模为( )
A．7 B．1 C．5 D．25
C [复数z＝3－4i的共轭复数为＝3＋4i，
则＝＝5．故选C．]
2．(2022·全国乙卷)设(1＋2i)a＋b＝2i，其中a，b为实数，则( )
A．a＝1，b＝－1 B．a＝1，b＝1
C．a＝－1，b＝1 D．a＝－1，b＝－1
A [因为a，b∈R，＋2ai＝2i，所以a＋b＝0，2a＝2，解得a＝1，b＝－1．故选A．]
3．在复平面内，复数z＝i的共轭复数对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
B [因为z＝i＝－1－2i，则＝－1＋2i，则其对应的点的坐标为，位于第二象限．
故选B．]
4．＋i57＝( )
A．4＋i B．－4＋i
C．4－i D．－4－i
B [＋i57＝＋i1+14×4＝＋i＝－4＋i，故选B．]
5．在复平面内，一个正方形的三个顶点分别对应的复数是1＋2i，－2＋i，0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为( )
A．3＋i B．3－i
C．1－3i D．－1＋3i
D [在复平面内通过已知三个点易知第四个顶点对应的复数为－1＋3i．]
6．(2024·新高考Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
C [因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i．故选C．]
7．设i是虚数单位，若复数a＋(a∈R)是纯虚数，则a＝( )
A．4 B．3
C．2 D．1
C [∵a＋＝a＋
＝a＋＝a－2－4i是纯虚数，
∴a－2＝0，即a＝2．故选C．]
8．已知复数z满足＝1，则的最大值为( )
A．2 B．＋1
C．－1 D．3
B [设z＝a＋bi，其中a，b∈R，
则z－1＋i＝＋i，∵＝1，
∴a2＋b2＝1，即点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
∴＝即为圆上动点到定点的距离，
∴的最大值为＋1＝＋1．
故选B．]
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其共轭复数为，则下列结果为实数的是( )
A．z2 B．
C．(z＋1)(＋1) D．(z－)·i2 023
BCD [对于A，z2＝a2－b2＋2abi，不一定为实数；
对于B，＝a2＋b2∈R；
对于C，(z＋1)(＋1＝a2＋b2＋2a＋1∈R；
对于D，(z－)·i2 023＝2bi2 024＝2b＝2b∈R．
故选BCD．]
10．若复数z＝1－i，为z的共轭复数，则以下正确的是( )
A．z在复平面对应的点位于第二象限
B．＝
C．|z|2＝z2
D．为纯虚数
BD [对于A项，∵z＝1－i，复数z在复平面内对应的点为，∴复数z在复平面内对应的点位于第四象限，故A错误；
对于B项，根据复数模的公式，＝＝，故B正确；
对于C项，z2＝＝－2i，而＝2，故C错误；
对于D项，∵＝1＋i，∴＝＝＝＝i，故D正确．故选BD．]
11．若复数z＝，则( )
A．z的共轭复数＝
B．＝
C．复数z的实部与虚部相等
D．复数z在复平面内对应的点在第四象限
BD [∵z＝，∴z＝＝＝＝－，
则＝，故A错误；
＝＝，故B正确；
复数z的实部为，虚部为－，实部与虚部不相等，故C错误；
复数z在复平面内对应的点为，在第四象限，故D正确，故选BD．]
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12．请写出一个在复平面内对应的点位于第一象限的复数：z＝ ．
1＋i(答案不唯一) [根据复数的几何意义可知，复数a＋bi在复平面内所对应的点的坐标为，
所以第一象限的复数的坐标需满足a>0，b>0，
那么满足条件的其中一个复数z＝1＋i．]
13．已知＋i是纯虚数，则实数m的值为 ．
－2 [因为m∈R，且＋i是纯虚数，则解得m＝－2．]
14．设z的共轭复数是 ，若z＋＝4，z·＝8，则|z|＝ ，＝ ．
2 ±i [设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝8得，
∴|z|＝2，∴＝＝＝±i．]
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)(1)在复数范围内因式分解：x2＋4；
(2)计算：，i是虚数单位．
[解] (1)易知x2＋4＝x2－4i2＝x2－＝(x＋2i)(x－2i)，
即x2＋4可分解为．
(2)由＝＝＝－i，
可得＝，
又i2＝－1，所以＝＝＝－1，即＝－1．
16．(本小题满分15分)四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C，D四点对应的复数分别为1＋3i，2i，2＋i，z．
(1)求复数z；
(2)若z是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值．
[解] (1)由题意，复平面内A，B，C三点的坐标分别为(1，3)，(0，2)，(2，1)，
设D的坐标为(x，y)，由于＝，
∴(x－1，y－3)＝(2，－1)，∴x－1＝2，y－3＝－1，解得x＝3，y＝2，故D(3，2)，
则点D对应的复数z＝3＋2i．
(2)∵3＋2i是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根，
∴3－2i是关于x的方程2x2－px＋q＝0的另一个根，
则3＋2i＋3－2i＝，(3＋2i)·(3－2i)＝，
即p＝12，q＝26．
17．(本小题满分15分)已知复数z1＝，z2＝(2＋i)m－3(1＋2i)，m∈R，i为虚数单位．
(1)若z1＋z2是纯虚数，求实数m的值；
(2)若z1＋z2＞0，求z1·z2的值．
[解] (1)z1＝＝m2＋m2i，z2＝2m－3＋(m－6)i，
所以z1＋z2＝m2＋2m－3＋(m2＋m－6)i，
因为z1＋z2是纯虚数，所以解得m＝1．
(2)由(1)知，z1＋z2＝m2＋2m－3＋(m2＋m－6)i，
因为z1＋z2＞0，所以解得m＝2，
所以z1＝4＋4i，z2＝1－4i，
所以z1·z2＝(4＋4i)(1－4i)＝20－12i．
18．(本小题满分17分)已知z为复数，z＋2i和均为实数，其中i是虚数单位．
(1)求复数z和|z|；
(2)若z1＝＋－i在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．
[解] (1)设z＝a＋bi，则z＋2i＝a＋i，
由z＋2i为实数，得b＋2＝0，则b＝－2，
由＝＝＝＋i为实数，得＝0，则a＝4，
∴z＝4－2i，则＝＝2．
(2)z1＝＋－i＝4＋＋i＝＋i，
由z1在复平面内对应的点在第四象限，得
解得－2故实数m的取值范围为∪．
19．(本小题满分17分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2．
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
[解] (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
由已知条件得a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi，
所以2ab＝2，
所以a＝b＝1或a＝b＝－1，即z＝1＋i或z＝－1－i．
(2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i，
所以点A(1，1)，B(0，2)，C(1，－1)，
所以S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1．
当z＝－1－i时，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i，
所以点A(－1，－1)，B(0，2)，C(－1，－3)，
所以S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1．
综上，△ABC的面积为1．
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