探源1 平面向量的线性运算、数量积
[命题点分析] 高考对平面向量的考查多为中低档题，一般以选择、填空题的形式出现，主要考查平面向量的线性运算、数量积的概念及其运算性质，其中向量共线的充要条件、数量积的几何意义、平面向量的夹角、模、垂直考查频率较高．
【案例1】 (2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝( )
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
B [因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以＝2，即＝2()，所以＝3－2＝3n－2m＝－2m＋3n.
故选B.]
[考题来源] 本考题来源于教材6.3.1节例1，均以爪型三角形为载体，考查向量的线性运算及平面向量基本定理，考题与例题难度相当．
[试题评价] 上述两题都以向量的表示为落脚点，考查了对平面向量基本定理的理解，考查了逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养．
【案例2】 (2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则( )
A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1
C．λμ＝1 D．λμ＝－1
D [因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，因为(a＋λb)⊥(a＋μb)，所以(a＋λb)·(a＋μb)＝0，所以(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.故选D.]
[考题来源] 本考题来源于教材复习参考题6第8题，均以向量坐标运算为载体，考查利用向量垂直求参数的值，难度相当．
[试题评价] 上述两题都以参数值的求解为落脚点，考查了向量的坐标的线性运算和数量积的坐标运算，考查了逻辑推理、数学运算等核心素养．
【案例3】 (2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________．
[由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝3，即2a·b＝a2＋b2－3.由|a＋b|＝|2a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得，3a2－6a·b＝0，所以3a2－3(a2＋b2－3)＝0，所以b2＝3，所以|b|＝.]
[考题来源] 本考题来源于教材习题6.2第11题，两题相近，但难度高于教材习题．
[试题评价] 上述两题都以向量模的求解为落脚点，考查了向量的模与数量积之间的关系，考查了逻辑推理、数学运算等核心素养．
探源2 利用正、余弦定理解三角形
[命题点分析] 从近几年高考来看，正、余弦定理及其综合应用是高考命题的主方向，主要有两种类型：一种是三角形的边、角的求解，一般出现在选择、填空题中，另一种是结合三角函数、三角恒等变换、平面向量等知识进行综合考查，一般在解答题中出现．而对于利用正弦、余弦定理解决实际问题，一般是以实际问题为背景，构建数学模型，结合正弦、余弦定理进行求解，一般为选择、填空题．
【案例4】 (2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B.
(1)求sin A；
(2)设AB＝5，求AB边上的高．
[解] 法一：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝.
因为2sin (A－C)＝sin B，
所以2sin ＝sin ，
展开并整理得(sin A－cos A)＝(cos A＋sin A)，
得sin A＝3cos A，
又sin2A＋cos2A＝1，且sinA＞0，
所以sin A＝.
(2)由正弦定理＝，
得BC＝·sin A＝＝3，
由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C，
得52＝AC2＋(3)2－2AC·3cos ，
整理得AC2－3AC＋20＝0，
解得AC＝或AC＝2.
由(1)得，tan A＝3＞，所以＜A＜，
又A＋B＝，所以B＞，
即C＜B，所以AB＜AC，所以AC＝2.
设AB边上的高为h，则×AB×h＝×AC×BC sin C，
即5h＝2×3，
解得h＝6，
所以AB边上的高为6.
法二：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝.
因为2sin (A－C)＝sin B，
所以2sin (A－C)＝sin [π－(A＋C)]＝sin (A＋C)，
所以2sin A cos C－2cos A sin C＝sin A cos C＋cos A sin C，
所以sin A cos C＝3cos A sin C，
易得cos A cos C≠0，
所以tan A＝3tan C＝3tan ＝3，又sin A＞0，
所以sin A＝.
(2)由(1)知sin A＝，tan A＝3＞0，所以A为锐角，所以cos A＝，
所以sin B＝sin ＝(cos A＋sin A)＝＝，
由正弦定理＝，
得AC＝＝＝2，
故AB边上的高为AC·sin A＝2＝6.
[考题来源] 本考题来源于教材习题6.4第22题，两题均以三角形的边、角关系为载体，考查应用三角形的面积公式解三角形的能力，难度相当．
[试题评价] 两题都以三角形的边、角求解为落脚点，考查了三角恒等变换、同角三角函数的基本关系、正弦定理及面积公式，考查了逻辑推理、数学运算等核心素养．
探源3 复数
[命题点分析] 对于复数的几何意义，在高考中一般结合复数的四则运算进行综合考查，一般以选择题形式出现，难度不大，考查直观想象和数学运算的核心素养．
【案例5】 (2023·新高考Ⅰ卷)已知z＝，则z－＝( )
A．－i B．i
C．0 D．1
A [因为z＝＝＝－i，所以＝－i－i＝－i.故选A.]
[考题来源] 本考题来源于教材复习参考题7第1题(2)，两题的考点完全相同．
[试题评价] 两题都以复数的除法运算为载体，考查了共轭复数的概念、复数的乘、除法运算，考查了数学抽象、数学运算等核心素养．
探源4 空间几何体的表面积、体积
[命题点分析] 空间几何体的表面积、体积是高考历年的必考考点之一，考查多为中低档题，一般以选择题、填空题的形式出现，主要考查多面体、旋转体的体积计算，注意空间几何体的侧面展开图、空间几何体的分割等问题的求解．
【案例6】 (2023·新高考Ⅰ卷)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为________．
[法一：如图所示，设点O1，O分别为正四棱台ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，连接B1D1，BD，则点O1，O分别为B1D1，BD的中点，连接O1O，则O1O即是正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高，过点B1作B1E⊥BD，垂足为E，则B1E＝O1O.因为AB＝2，A1B1＝1，所以OB＝，O1B1＝，所以BE＝OB－OE＝OB－O1B1＝，又AA1＝，所以BB1＝，B1E＝＝＝，所以O1O＝，所以＝×(22＋12＋)×＝.
法二：如图，将正四棱台ABCD-A1B1C1D1补形成正四棱锥P-ABCD，因为AB＝2，A1B1＝1，AB∥A1B1，所以A1，B1，C1，D1分别为PA，PB，PC，PD的中点，又A1A＝，所以PA＝2，即PB＝2.连接BD，取BD的中点为O，连接PO，则PO⊥平面ABCD，易知BO＝，所以PO＝＝，所以正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为，
所以＝×(22＋12＋)×＝.(或者V四棱锥P-ABCD＝×22×＝，＝V四棱锥P-ABCD，所以＝V四棱锥P-ABCD－＝V四棱锥P-ABCD＝＝.]
[考题来源] 本考题来源于教材第154页例6，两题均以棱台为载体，考查空间几何体的体积．
[试题评价] 棱台的体积是新教材新增内容，在问题求解中常常涉及等腰梯形、直角三角形等知识点，可以较好的考查逻辑推理、空间想象、数学运算等核心素养．
探源5 与球有关的切、接问题
[命题点分析] 近几年来与球有关的切、接问题得到了命题老师的青睐，此题型主要考查几何体的轴截面或截面图及切点、接点、球心、半径等元素的关系，对直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的考查提出了较高的要求，属于中档或中档以上的题目．
【案例7】 (多选)(2023·新高考Ⅰ卷)下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有( )
A．直径为0.99 m的球体
B．所有棱长均为1.4 m的四面体
C．底面直径为0.01 m，高为1.8 m的圆柱体
D．底面直径为1.2 m，高为0.01 m的圆柱体
ABD [由于棱长为1 m的正方体的内切球的直径为1 m，所以选项A正确；由于棱长为1 m的正方体中可放入棱长为 m的正四面体，且＞1.4，所以选项B正确；因为正方体的棱长为1 m，体对角线长为 m，＜1.8，所以高为1.8 m的圆柱体不可能整体放入正方体容器中，所以选项C不正确；由于正方体的体对角线长为 m，而底面直径为1.2 m的圆柱体，其高0.01 m可忽略不计，故只需把圆柱的底面与正方体的体对角线平行放置，即可以整体放入正方体容器中，所以选项D正确．综上，故选ABD.]
[考题来源] 本考题来源于教材习题8.3第5题，教材习题单纯考查了正方体的外接球，本题拓展到与正方体有关的组合体问题，难度远远高于教材习题．
[试题评价] 两题都以正方体为载体，考查了逻辑推理、空间想象、数学运算等核心素养，是近几年难得的考题．
探源6 空间点、线、面的位置关系
[命题点分析] 线面间的垂直关系是近几年高考的重点和热点，每年必考．主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直关系的判定与证明，以线面垂直的判定定理和面面垂直的性质定理考查居多，以中档题为主，题型为解答题，考查直观想象、逻辑推理等核心素养．
【案例8】 (2022·新高考Ⅰ卷改编)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为2 .
(1)求A到平面A1BC的距离；
(2)若AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，证明：BC⊥平面ABB1A1.
[解] (1)在直三棱柱ABC - A1B1C1中，设点A到平面A1BC的距离为h，
则 ＝·h＝h＝＝·S△ABC·A1A＝＝，
解得h＝，
所以点A到平面A1BC的距离为.
(2)取A1B的中点E，连接AE，如图，因为AA1＝AB，所以AE⊥A1B，
又平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，
且AE 平面ABB1A1，所以AE⊥平面A1BC，
在直三棱柱ABC - A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，
由BC 平面A1BC，BC 平面ABC，可得AE⊥BC，BB1⊥BC，又AE，BB1 平面ABB1A1且相交，所以BC⊥平面ABB1A1.
[考题来源] 本考题是教材8.6.3节例10及习题8.6第19题的融合体，难度与教材例题、习题相当．
[试题评价] 以棱柱为载体，立足双基，重在考查学生对柱、锥体体积公式的掌握情况，考查了数学运算、直观想象等核心素养，是高考题的典范．
探源7 频率分布直方图与样本数据的数字特征
[命题点分析] 样本的数字特征在高考中一般以客观题的形式出现或作为解答题的一部分，题目难度不大，能够根据实际问题的需要选取样本，计算样本的数字特征(如平均数、标准差)，并形成在数据处理过程中进行初步评价的意识．旨在考查数据分析、数学运算等核心素养．
【案例9】 (2023·新高考Ⅱ卷)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c)．假设数据在组内均匀分布．以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)当漏诊率p(c)＝0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)；
(2)设函数f (c)＝p(c)＋q(c)．当c∈[95，105]时，求f (c)的解析式，并求f (c)在区间[95，105]的最小值．
[解] (1)由题图知(100－95)×0.002＝1%＞0.5%，所以95＜c＜100，
设X为患病者的该指标，
则p(c)＝P(X≤c)＝(c－95)×0.002＝0.5%，
解得c＝97.5.
设Y为未患病者的该指标，
则q(c)＝P(Y＞c)＝(100－97.5)×0.01＋5×0.002＝0.035＝3.5%.
(2)当95≤c≤100时，
p(c)＝(c－95)×0.002＝0.002c－0.19，
q(c)＝(100－c)×0.01＋5×0.002＝－0.01c＋1.01，
所以f (c)＝p(c)＋q(c)＝－0.008c＋0.82；
当100＜c≤105时，
p(c)＝5×0.002＋(c－100)×0.012＝0.012c－1.19，
q(c)＝(105－c)×0.002＝－0.002c＋0.21，
所以f (c)＝p(c)＋q(c)＝0.01c－0.98.
综上所述，f (c)＝
由一次函数的单调性知，函数f (c)在[95，100]上单调递减，在(100，105]上单调递增，作出f (c)在区间[95，105]上的大致图象(略)，可得f (c)在区间[95，105]的最小值f (c)min＝f (100)＝－0.008×100＋0.82＝0.02.
[考题来源] 本考题来源于教材9.2.2例3，难度远远高于教材例题．
[试题评价] 两题都以频率分布直方图为载体，考查了频率分布直方图的性质、用频率分布直方图估计总体的原理，其中该题隐含着百分位数的原理，考查了数据分析、数学建模等核心素养．
探源8 互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率
[命题点分析] 本考点在高考中常见的题型有：(1)求互斥事件的概率；(2)求对立事件的概率；(3)求相互独立事件同时发生的概率．有时把相互独立事件与互斥事件综合考查，比较常见的命题形式就是与统计图表等知识的综合考查．解题关键是熟悉互斥事件、对立事件、相互独立事件的概念，以及相应公式的运用与转化等，难度中等，一般以中档题出现．
【案例10】 (2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
A．甲与丙相互独立
B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立
D．丙与丁相互独立
B [事件甲发生的概率P(甲)＝，事件乙发生的概率P(乙)＝，事件丙发生的概率P(丙)＝＝，事件丁发生的概率P(丁)＝＝.事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为＝，P(甲丁)＝P(甲)P(丁)，故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为＝，P(乙丙)≠P(乙)P(丙)，故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误．故选B.]
[考题来源] 本题来源于教材10.2节例1，教材考查的是不放回的问题，本题考查有放回的事件关系的判断，解题方法都是从概率关系角度求解事件的独立性，高考题难度上稍微比教材例题高一点．
[试题评价] 本题考查相互独立事件的判定，主要利用概率的关系判定事件的关系，难度系数较低，属于容易题．
模块综合测评
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知向量a＝(x＋1，－2)，b＝(－2x，3)，若a∥b，则实数x的值为( )
A．1 B．3 C．－3 D．－
B [因为a＝(x＋1，－2)，b＝(－2x，3)，a∥b，
所以3(x＋1)－(－2x)(－2)＝0，则x＝3.
故选B.]
2．(2023·全国乙卷)设z＝，则＝( )
A．1－2i B．1＋2i
C．2－i D．2＋i
B [由题意可得z＝＝＝＝＝1－2i，则＝1＋2i.故选B.]
3．“治国之道，富民为始．”共同富裕是社会主义的本质要求，是中国式现代化的重要特征，是人民群众的共同期盼．共同富裕是全体人民通过辛勤劳动和相互帮助最终达到丰衣足食的生活水平，是消除两极分化和贫穷基础上的普遍富裕．请运用数学学习中所学的统计知识加以分析，下列关于个人收入的统计量中，最能体现共同富裕要求的是( )
A．平均数小，方差大 B．平均数小，方差小
C．平均数大，方差大 D．平均数大，方差小
D [方差反映的是一组数据的波动情况，方差越大说明数据偏离平均水平的程度越大，平均数是整体的平均水平，是一组数据的集中程度的刻画，所以最能体现共同富裕要求的是平均数大，方差小．故选D.]
4．某校高一年级有女生504人，男生596人．学校想通过抽样的方法估计高一年级全体学生的平均体重，从高一女生和男生中随机抽取50人和60人，经计算这50名女生的平均体重为49 kg，60名男生的平均体重为57 kg，依据以上条件，估计该校高一年级全体学生的平均体重最合理的计算方法为( )
A．
B．×49＋×57
C．×49＋×57
D．×49＋×57
D [高一年级有女生504人，男生596人，总人数为504＋596＝1 100，从高一女生和男生中随机抽取50人和60人，没有按照比例分配的方式进行抽样，不能直接用样本平均数估计总体平均数，需要按照女生和男生在总人数中的比例计算总体的平均体重，即×49＋×57，即D选项最合理．故选D.]
5．已知正四棱锥的侧棱长为，高与斜高的夹角为30°，则该正四棱锥的体积为( )
A． B．
C．4 D．2
A [如图，在正四棱锥P-ABCD中，高为PO，斜高为PE，由题意可得PA＝PB＝PC＝PD＝，∠OPE＝30°，
设正方形ABCD的边长为a，则OE＝BE＝a，
在Rt△POE中，PE＝2OE＝a，
在Rt△PBE中，PE2＋BE2＝PB2，则a2＋a2＝5，
解得a＝2，所以PO＝＝＝，
所以正四棱锥的体积为AB2·PO＝×4×＝，故选A.]
6．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，b＝，c＝2，则( )
A．a＝＋1 B．A＝15°
C．C＝45° D．△ABC为钝角三角形
D [由正弦定理，得＝，则sin C＝，因为C∈，故C＝45°或C＝135°，故三角形有两解，故A，B，C均错误，当C＝45°时，A＝180°－45°－30°＝105°，或当C＝135°时，△ABC均为钝角三角形，故D正确．故选D.]
7．如图所示，在平行四边形ABCD中，AE＝AB，CF＝CD，G为EF的中点，则＝( )
A． B．
C． D．
B [＝
＝)＋
＝(－)＋
＝.
故选B.]
8．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则( )
A．直线AB1与A1C1所成的角为30°
B．直线AC与B1D1所成的角为60°
C．二面角B-AD-B1的大小为45°
D．二面角A-BD-A1的大小为45°
C [对于A，连接AC，CB1，由正方体的性质知：AB1＝B1C＝AC，
所以△AB1C为等边三角形，故∠B1AC＝60°，
由于A1A∥C1C，A1A＝C1C，所以四边形A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥AC，
故∠B1AC＝60°即为直线AB1与A1C1所成的角，故A错误；
对于B，由于B1D1∥BD，而BD⊥AC，所以直线AC与B1D1所成的角为90°，故B错误；
对于C，因为DA⊥平面B1BAA1，AB1 平面B1BAA1，所以AD⊥AB1，又因为AB⊥DA, 故∠BAB1即为二面角B-AD-B1的平面角，
由于∠BAB1＝45°，故C正确；
对于D，连接A1D，A1B，
设正方体的棱长为2，
所以A1D＝BD＝A1B＝2，AO＝，A1O＝，
又A1O⊥BD，AO⊥BD，∴∠A1OA为二面角A-BD-A1的平面角，
所以sin ∠A1OA＝＝＝，故D错误．故选C.]
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列叙述正确的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
C．若m⊥α，m∥n，n β，则α⊥β
D．若m∥α，n∥α，m β，n β，则α∥β
BC [对于A，若m∥α，n∥α，则m与n可以相交、平行或异面，故A错误；
对于B，若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故B正确；
对于C，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，
若n β，则α⊥β，故C正确；
对于D，若m∥n，则α，β可能相交，故D错误．
故选BC.]
10．已知向量a＝(2，－1)，a＋b＝(m，2)，(a＋b)⊥a，则( )
A．b＝(3，1)
B．〈a，b〉＝
C．若c＝(3，t)，c∥b，则＝3
D．a在b上的投影向量的坐标为
BCD [因为a＝(2，－1)，a＋b＝(m，2)，(a＋b)⊥a，
所以(a＋b)·a＝2m－2＝0，得m＝1，
所以a＋b＝(1，2)，b＝(－1，3)，所以A错误；
对于B，因为a＝(2，－1)，b＝(－1，3)，所以cos 〈a，b〉＝＝＝－，
因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝，所以B正确；
对于C，因为c＝(3，t)，c∥b，b＝(－1，3)，所以t＝－9，所以c＝(3，－9)，
所以＝＝3，所以C正确；
对于D，因为a＝(2，－1)，b＝(－1，3)，所以a在b上的投影向量的坐标为·b＝(－1，3)＝，所以D正确．故选BCD.]
11．甲、乙二人在相同条件下各射击10次，每次中靶环数情况如图所示：
下列说法正确的是( )
A．从环数的平均数看，甲、乙二人射击水平相当
B．从环数的方差看，甲的成绩比乙稳定
C．从平均数和命中9环及9环以上的频数看，乙的成绩更好
D．从二人命中环数的走势看，甲更有潜力
ABC [由题意及题干图得，
甲射击 10 次中靶环数分别为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
将它们由小到大排列为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9.
乙射击 10 次中靶环数分别为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10.
将它们由小到大排列为2，4，6，7，7，8，8，9，9，10.
甲平均值：＝×(5＋6×2＋7×4＋8×2＋9)＝7(环)，
乙平均值：＝×(2＋4＋6＋7×2＋8×2＋9×2＋10)＝7(环)，
甲方差：＝×[(5－7)2＋(6－7)2×2＋(7－7)2×4＋(8－7)2×2＋(9－7)2]＝×(4＋2＋0＋2＋4)＝1.2，
乙方差：＝×[(2－7)2＋(4－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2×2＋(8－7)2×2＋(9－7)2×2＋(10－7)2]＝×(25＋9＋1＋0＋2＋8＋9)＝5.4，
A项，甲平均值等于乙平均值，故A正确；
B项，甲的成绩比乙稳定，B正确；
C项，甲、乙平均数均为7，甲命中9环及9环以上的频数为1，乙命中9环及9环以上的频数为3，故乙的成绩更好，C正确；
D项，从二人命中环数的走势看，甲成绩逐渐平稳，乙成绩仍有上升趋势，故乙更有潜力，D错误．
故选ABC.]
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12．在一次校园歌手大赛中，6位评委对某选手的评分分别为92，93，88，99，89，95.则这组数据的75%分位数是________．
95 [依题意，先将6个分数从小到大排列为：88，89，92，93，95，99，6×75%＝4.5，向上取整为第5个数，即95. ]
13．已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则a的最大值是________．
0.79 [∵甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，∴1－(1－0.5)(1－0.4)(1－0.3)≥a，解得a≤0.79.∴a的最大值是0.79.]
14．已知正三棱台的高为1，下底面边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．
[如图，在正三棱台ABC-A1B1C1中，上、下底面中心为D，E,
依题意得DE＝1，因为AB＝2，所以AE＝AB＝×2＝，过A1作A1F⊥AE，垂足为F，则∠A1AF＝60°，又A1F＝DE＝1，
所以AF＝，所以FE＝AE－AF＝＝，所以A1E＝＝＝＝AE，
所以E为正三棱台的外接球的球心，半径R＝，球的表面积为4πR2＝4π·＝.]
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)已知复数z1＝1－2i，z2＝3＋4i，i为虚数单位．
(1)若复数z1＋az2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围；
(2)若z＝，求z的共轭复数．
[解] (1)由题意，复数z1＝1－2i，z2＝3＋4i，
则z1＋az2＝1－2i＋a(3＋4i)＝(1＋3a)＋(4a－2)i.
因为复数z1＋az2在复平面上对应的点在第四象限，
所以解得－
即实数a的取值范围为.
(2)由z＝＝＝＝＝－i，
所以＝－i.
16．(本小题满分15分)如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，E为SD的中点．
(1)证明：SB∥平面ACE；
(2)若SA⊥平面ABCD，证明：SC⊥BD.
[证明] (1)设BD与AC交于点F，连接EF.
因为底面ABCD是正方形，所以F为BD的中点，
又因为E为SD的中点，
所以EF∥SB，
因为SB 平面ACE，EF 平面ACE，
所以SB∥平面ACE.
(2)因为底面ABCD是正方形，
所以AC⊥BD，
又因为SA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，
所以SA⊥BD，
又AC∩SA＝A，AC，SA 平面SAC，
所以BD⊥平面SAC，
因为SC 平面SAC，所以SC⊥BD.
17．(本小题满分15分)甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一次．甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，假设甲、乙的射击相互独立．
(1)求在一轮比赛中，两人均击中目标的概率；
(2)求在两轮比赛中，两人一共击中目标3次的概率；
(3)若一人连续两轮未击中目标，对方这两轮均击中目标，则比赛结束，求比赛进行了四轮就结束，且乙比甲多击中目标1次的概率．
[解] (1)根据相互独立事件的概率公式，可得两人均击中目标的概率为＝.
(2)甲击中2次、乙击中1次的概率为×2×＝，
甲击中1次、乙击中2次的概率为2×＝，
故在两轮比赛中，两人一共击中目标3次的概率为＝.
(3)由题意知，第三轮和第四轮甲均未击中目标，乙均击中目标，
若乙击中3次，甲击中2次，则前两轮乙击中1次，甲击中2次，概率为2×＝，
若乙击中2次，甲击中1次，则前两轮甲击中1次，乙均未击中，概率为
2×＝，
故所求概率为＝.
18．(本小题满分17分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为锐角，b cos A＋a cos B＝c(3cos A－1)．
(1)求cos A；
(2)若a＝2，求的最大值．
[解] (1)因为b cos A＋a cos B＝c(3cos A－1)，由正弦定理可得，sin B cos A＋sin A cos B＝sin C(3cos A－1)，
所以sin (A＋B)＝sin C(3cos A－1)，
所以sin C＝sin C(3cos A－1)，
因为sin C>0，所以3cos A－1＝1，所以cos A＝.
(2)若a＝2，由(1)所得及余弦定理得
a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc＝4，
即b2＋c2＝4＋bc，
又b2＋c2≥2bc，当且仅当b＝c时取等号，
即bc＋4≥2bc，
解得bc≤6，当且仅当b＝c时取等号，所以＝cb cos A＝bc≤4，
当且仅当b＝c时取等号，故的最大值为4.
19．(本小题满分17分)某中学组织120名青年教职工参加健康知识竞赛，现将120名教职工的竞赛成绩整理后画出的频率分布直方图如图所示：
(1)求实数a的值，并求70分是成绩的第多少百分位数？
(2)试利用频率分布直方图的组中值估算这次健康知识竞赛的平均成绩；
(3)从这次健康知识竞赛成绩落在区间[90，100]内的教职工中，随机选取2名教职工到M社区开展“学知识、健体魄”活动．已知这次健康知识竞赛成绩落在区间[90，100]内的教职工中恰有2名男性，求至少有1名男性教职工被选中的概率．
[解] (1)10×(a＋3a＋5a＋6a＋4a＋a)＝1，解得a＝0.005.
根据频率分布直方图可知前三个区间所占频率为10(5×0.005＋3×0.005＋0.005)＝0.45，
所以70分是成绩的第45百分位数．
(2)由频率分布直方图可知：
45×0.05＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.30＋85×0.20＋95×0.05＝71(分)，
所以这次健康知识竞赛的平均成绩是71分．
(3)这次健康知识竞赛成绩落在区间[90，100]内的教职工有120×0.05＝6(名)．
记“至少有1名男性教职工被选中”为事件A，
记这6人为1，2，3，4，5，6号，其中男性教职工为1，2号，则样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)}，共15个样本点．
A＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)}，共9个样本点．
所以P(A)＝＝.
故至少有1名男性教职工被选中的概率为.
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高考命题探源
探源1 平面向量的线性运算、数量积
[命题点分析] 高考对平面向量的考查多为中低档题，一般以选择、填空题的形式出现，主要考查平面向量的线性运算、数量积的概念及其运算性质，其中向量共线的充要条件、数量积的几何意义、平面向量的夹角、模、垂直考查频率较高．
√
[考题来源] 本考题来源于教材6.3.1节例1，均以爪型三角形为载体，考查向量的线性运算及平面向量基本定理，考题与例题难度相当．
[试题评价] 上述两题都以向量的表示为落脚点，考查了对平面向量基本定理的理解，考查了逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养．
【案例2】 (2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则( )
A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1
C．λμ＝1 D．λμ＝－1
√
D [因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，因为(a＋λb)⊥(a＋μb)，所以(a＋λb)·(a＋μb)＝0，所以(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.故选D.]
[考题来源] 本考题来源于教材复习参考题6第8题，均以向量坐标运算为载体，考查利用向量垂直求参数的值，难度相当．
[试题评价] 上述两题都以参数值的求解为落脚点，考查了向量的坐标的线性运算和数量积的坐标运算，考查了逻辑推理、数学运算等核心素养．
[考题来源] 本考题来源于教材习题6.2第11题，两题相近，但难度高于教材习题．
[试题评价] 上述两题都以向量模的求解为落脚点，考查了向量的模与数量积之间的关系，考查了逻辑推理、数学运算等核心素养．
探源2 利用正、余弦定理解三角形
[命题点分析] 从近几年高考来看，正、余弦定理及其综合应用是高考命题的主方向，主要有两种类型：一种是三角形的边、角的求解，一般出现在选择、填空题中，另一种是结合三角函数、三角恒等变换、平面向量等知识进行综合考查，一般在解答题中出现．而对于利用正弦、余弦定理解决实际问题，一般是以实际问题为背景，构建数学模型，结合正弦、余弦定理进行求解，一般为选择、填空题．
【案例4】 (2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B.
(1)求sin A；
(2)设AB＝5，求AB边上的高．
[考题来源] 本考题来源于教材习题6.4第22题，两题均以三角形的边、角关系为载体，考查应用三角形的面积公式解三角形的能力，难度相当．
[试题评价] 两题都以三角形的边、角求解为落脚点，考查了三角恒等变换、同角三角函数的基本关系、正弦定理及面积公式，考查了逻辑推理、数学运算等核心素养．
探源3 复数
[命题点分析] 对于复数的几何意义，在高考中一般结合复数的四则运算进行综合考查，一般以选择题形式出现，难度不大，考查直观想象和数学运算的核心素养．
√
[考题来源] 本考题来源于教材复习参考题7第1题(2)，两题的考点完全相同．
[试题评价] 两题都以复数的除法运算为载体，考查了共轭复数的概念、复数的乘、除法运算，考查了数学抽象、数学运算等核心素养．
探源4 空间几何体的表面积、体积
[命题点分析] 空间几何体的表面积、体积是高考历年的必考考点之一，考查多为中低档题，一般以选择题、填空题的形式出现，主要考查多面体、旋转体的体积计算，注意空间几何体的侧面展开图、空间几何体的分割等问题的求解．
[考题来源] 本考题来源于教材第154页例6，两题均以棱台为载体，考查空间几何体的体积．
[试题评价] 棱台的体积是新教材新增内容，在问题求解中常常涉及等腰梯形、直角三角形等知识点，可以较好的考查逻辑推理、空间想象、数学运算等核心素养．
探源5 与球有关的切、接问题
[命题点分析] 近几年来与球有关的切、接问题得到了命题老师的青睐，此题型主要考查几何体的轴截面或截面图及切点、接点、球心、半径等元素的关系，对直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的考查提出了较高的要求，属于中档或中档以上的题目．
【案例7】 (多选)(2023·新高考Ⅰ卷)下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有
( )
A．直径为0.99 m的球体
B．所有棱长均为1.4 m的四面体
C．底面直径为0.01 m，高为1.8 m的圆柱体
D．底面直径为1.2 m，高为0.01 m的圆柱体
√
√
√
[考题来源] 本考题来源于教材习题8.3第5题，教材习题单纯考查了正方体的外接球，本题拓展到与正方体有关的组合体问题，难度远远高于教材习题．
[试题评价] 两题都以正方体为载体，考查了逻辑推理、空间想象、数学运算等核心素养，是近几年难得的考题．
探源6 空间点、线、面的位置关系
[命题点分析] 线面间的垂直关系是近几年高考的重点和热点，每年必考．主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直关系的判定与证明，以线面垂直的判定定理和面面垂直的性质定理考查居多，以中档题为主，题型为解答题，考查直观想象、逻辑推理等核心素养．
(2)取A1B的中点E，连接AE，如图，因为AA1＝AB，所以AE⊥A1B，
又平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，
且AE 平面ABB1A1，所以AE⊥平面A1BC，
在直三棱柱ABC - A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，
由BC 平面A1BC，BC 平面ABC，可得AE⊥BC，
BB1⊥BC，又AE，BB1 平面ABB1A1且相交，
所以BC⊥平面ABB1A1.
[考题来源] 本考题是教材8.6.3节例10及习题8.6第19题的融合体，难度与教材例题、习题相当．
[试题评价] 以棱柱为载体，立足双基，重在考查学生对柱、锥体体积公式的掌握情况，考查了数学运算、直观想象等核心素养，是高考题的典范．
探源7 频率分布直方图与样本数据的数字特征
[命题点分析] 样本的数字特征在高考中一般以客观题的形式出现或作为解答题的一部分，题目难度不大，能够根据实际问题的需要选取样本，计算样本的数字特征(如平均数、标准差)，并形成在数据处理过程中进行初步评价的意识．旨在考查数据分析、数学运算等核心素养．
【案例9】 (2023·新高考Ⅱ卷)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c)．假设数据在组内均匀分布．以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)当漏诊率p(c)＝0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)；
(2)设函数f (c)＝p(c)＋q(c)．当c∈[95，105]时，求f (c)的解析式，并求f (c)在区间[95，105]的最小值．
[解] (1)由题图知(100－95)×0.002＝1%＞0.5%，所以95＜c＜100，
设X为患病者的该指标，
则p(c)＝P(X≤c)＝(c－95)×0.002＝0.5%，
解得c＝97.5.
设Y为未患病者的该指标，
则q(c)＝P(Y＞c)＝(100－97.5)×0.01＋5×0.002＝0.035＝3.5%.
(2)当95≤c≤100时，
p(c)＝(c－95)×0.002＝0.002c－0.19，
q(c)＝(100－c)×0.01＋5×0.002＝－0.01c＋1.01，
所以f (c)＝p(c)＋q(c)＝－0.008c＋0.82；
当100＜c≤105时，
p(c)＝5×0.002＋(c－100)×0.012＝0.012c－1.19，
q(c)＝(105－c)×0.002＝－0.002c＋0.21，
所以f (c)＝p(c)＋q(c)＝0.01c－0.98.
[考题来源] 本考题来源于教材9.2.2例3，难度远远高于教材例题．
[试题评价] 两题都以频率分布直方图为载体，考查了频率分布直方图的性质、用频率分布直方图估计总体的原理，其中该题隐含着百分位数的原理，考查了数据分析、数学建模等核心素养．
探源8 互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率
[命题点分析] 本考点在高考中常见的题型有：(1)求互斥事件的概率；(2)求对立事件的概率；(3)求相互独立事件同时发生的概率．有时把相互独立事件与互斥事件综合考查，比较常见的命题形式就是与统计图表等知识的综合考查．解题关键是熟悉互斥事件、对立事件、相互独立事件的概念，以及相应公式的运用与转化等，难度中等，一般以中档题出现．
【案例10】 (2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
A．甲与丙相互独立
B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立
D．丙与丁相互独立
√
[考题来源] 本题来源于教材10.2节例1，教材考查的是不放回的问题，本题考查有放回的事件关系的判断，解题方法都是从概率关系角度求解事件的独立性，高考题难度上稍微比教材例题高一点．
[试题评价] 本题考查相互独立事件的判定，主要利用概率的关系判定事件的关系，难度系数较低，属于容易题．