第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球与简单组合体的结构特征
[学习目标] 1．了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义．
2．掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．
3．了解简单组合体的概念及结构特征．
[讨论交流] 预习教材P101－P104的内容，思考以下问题：
问题1．常见的旋转体有哪些？是怎样形成的？
问题2．这些旋转体有哪些结构特征？它们之间有什么关系？
问题3．这些旋转体的侧面展开图和轴截面分别是什么图形？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 旋转体的结构特征
探究问题 观察下列实物图，思考以下三个问题：
① ② ③
(1)上述三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？
(2)上述实物图抽象出的几何体中的曲面能否由某些平面图形旋转而成？
(3)如何形成上述几何体的曲面？
[提示] (1)上述三个实物图抽象出的几何体的表面是曲面，不是由多边形围成的．(2)上述几何体均可由平面图形旋转而成，方法不唯一．(3)①可以看作由圆面绕其任一对称轴旋转而成；②可以看作由等腰梯形绕其对称轴旋转而成；③可以看作由等腰三角形绕其对称轴旋转而成．
[新知生成]
几何体 结构特征 图形 表示
圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 圆柱用表示它的轴的字母表示，如图中的圆柱记作圆柱O′O
圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 圆锥也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆锥记作圆锥SO
圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 圆台也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆台记作圆台O′O
球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 球常用表示球心的字母来表示，如图中的球可记作球O
[典例讲评] 1．(多选)下列选项中，正确的是( )
A．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台
B．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆
C．以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥
D．用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面
CD [A中，以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台；B中，它们的底面为圆面；C，D正确．]
判断简单旋转体结构特征的方法
(1)明确由哪个平面图形旋转而成．
(2)明确旋转轴是哪条直线．
[学以致用] 1．下列说法正确的是( )
A．通过圆台侧面上一点可以作出无数条母线
B．圆柱的上底面与下底面互相平行
C．直角三角形绕其一边所在直线旋转一周得到的几何体一定是圆锥
D．圆旋转一周得到的几何体一定是球
B [对于A，通过圆台侧面上一点只能作出1条母线，故A错误；
对于B，由圆柱的定义得圆柱的上底面、下底面互相平行，故B正确；
对于C，直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥，绕其斜边旋转一周，得到的不是圆锥，故C错误；
对于D，圆绕直径旋转一周得到的几何体是球，故D错误．故选B．]
探究2 简单组合体的结构特征
[新知生成]
现实世界中的物体表示的几何体，除柱体、锥体、台体和球等简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体称作简单组合体，简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．
【链接·教材例题】
例2 如图8.1-15(1)，以直角梯形ABCD的下底AB所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体．说出这个几何体的结构特征．
[解] 几何体如图8.1-15(2)所示，其中DE⊥AB，垂足为E．
这个几何体是由圆柱BE和圆锥AE组合而成的．其中圆柱BE的底面分别是⊙B和⊙E，侧面是由梯形的上底CD绕轴AB旋转形成的；圆锥AE的底面是⊙E，侧面是由梯形的边AD绕轴AB旋转而成的．
[典例讲评] 2．(源自湘教版教材)如图，将直角梯形ABCD绕边AB所在直线旋转一周，形成的几何体是由哪些简单几何体组成的？
[解] 将直角梯形ABCD绕边AB所在直线旋转一周后，得到的几何体如图所示，这个几何体是由圆柱和圆锥这两个简单几何体组成的．
判断组合体构成的方法
(1)判定实物图是由哪些简单几何体组成的问题时，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征；其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体．
(2)组合体是由简单几何体拼接或截去一部分构成的．要仔细观察组合体的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证．
[学以致用] 2．请描述如图所示的几何体是如何形成的．
[解] ①是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；②是由一个长方体截去一个三棱锥后得到的几何体；③是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体．
【教用·备选题】 如图，第一排中的图形绕虚线旋转一周，能形成第二排中的某个几何体，请把第一、第二排中相应的图形用线连起来．
A B C D
[答案] ①—C ②—B ③—D ④—A
探究3 旋转体中的计算问题
[典例讲评] 3．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：
(1)圆台的高；
(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长．
[解] (1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．
由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm．
又由题意知腰长为12 cm，
所以高AM＝
＝3(cm)．
(2)如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，
设截得此圆台的圆锥的母线长为l，
则由△SAO1∽△SBO，可得＝，
解得l＝20(cm)．
即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm．
简单旋转体的轴截面及其应用
(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．
(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．
[学以致用] 3．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径．
[解] 如图，设这两个截面圆的半径分别为r1，r2，球心到截面的距离分别为d1，d2，球的半径为R，
则＝＝8π，
＝＝8，
又∵R2＝＝，
＝8－5＝3，即(d1－d2)(d1＋d2)＝3，
又d1－d2＝1，
∴解得
∴R＝＝＝3，
即球的半径等于3．
1．如图所示的几何体是数学奥林匹克竞赛的奖杯，该几何体由( )
A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成
B．一个球、一个长方体、一个棱台构成
C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成
D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成
B [由题图可知，该几何体是由一个球、一个长方体、一个棱台构成．故选B．]
2．(多选)下列说法正确的是( )
A．圆柱的侧面展开图是一个矩形
B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形
C．圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交
D．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体
AB [C错误，圆台的母线延长相交于一点；
D错误，夹在圆柱两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．故选AB．]
3．用一个平面截半径为R的球，截面到球心的距离为，则截面圆面积为________．
πR2 [如图，
O为球心，O1为截面圆的圆心，AB为截面圆的直径，则OA＝R，
OO1＝，∴AO1＝＝R，
∴截面圆面积S＝π＝πR2．]
4．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为________cm．
13 [如图，
由题意可得O′A＝3 cm，OB＝8 cm，OO′＝12 cm，O′A∥OB，过点A作AC⊥OB，交OB于点C．在Rt△ABC中，AC＝12 cm，BC＝8－3＝5(cm)，
∴AB＝＝13(cm)．]
1．知识链：(1)圆柱、圆锥、圆台的结构特征．
(2)球的结构特征．
(3)简单组合体的结构特征．
2．方法链：分类讨论、转化与化归．
3．警示牌：注意同一平面图形绕不同的轴旋转形成的旋转体一般是不同的．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征各有哪些？
[提示] (1)圆柱：①旋转图形为矩形；②旋转轴为矩形的一边；③由旋转形成的曲面围成的几何体．
(2)圆锥：①旋转图形为直角三角形；②旋转轴为一条直角边；③由旋转形成的曲面围成的几何体．
(3)圆台：①所截几何体为圆锥；②截面与底面平行．圆台也可看作是由直角梯形绕其垂直于底边的腰旋转而成的．
(4)球：①旋转图形为半圆；②旋转轴为直径；③由半圆面旋转一周围成的几何体．
2．处理台体问题常采用什么思想？处理组合体问题常采用什么思想？
[提示] 处理台体问题常采用还台为锥的补体思想，处理组合体问题常采用分割思想．
课时分层作业(二十二) 圆柱、圆锥、圆台、球与简单组合体的结构特征
一、选择题
1．如图所示的图形中有( )
A．圆柱、圆锥、圆台和球
B．圆柱、球和圆锥
C．球、圆柱和圆台
D．棱柱、棱锥、圆锥和球
B [根据题中图形可知，①是球，②是圆柱，③是圆锥，④不是圆台，故选B．]
2．如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的( )
A B C D
A [该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成．故选A．]
3．(2021·新高考Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )
A．2 B．2
C．4 D．4
B [设圆锥的母线长为l，因为该圆锥的底面半径为，所以2π×＝πl，解得l＝2．故选B．]
4．圆木长1丈5尺，圆周为4尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长(注：1丈等于10尺) ( )
A．18尺 B．17尺
C．16尺 D．15尺
C [如图为圆柱的侧面展开图，其中AD＝15，AB＝4，
所以AC＝＝＝，
因为15<<16，故A，B，D错误．
故选C．]
5．(多选)用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是( )
A．2 B．2π
C． D．
CD [如图所示，设底面半径为r，若矩形的长恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr＝8，所以r＝；同理，若矩形的宽恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4，所以r＝．故选CD．
]
二、填空题
6．若一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________cm．
10 [如图是圆锥的轴截面，
则SA＝20 cm，∠ASO＝30°，
∴AO＝10 cm，SO＝10 cm．]
7．一个半径为5 cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm，则截面圆的面积为________ cm2．
9π [设截面圆半径为r cm，则r2＋42＝52，
所以r＝3，所以截面圆面积为9π cm2．]
8．如图所示的组合体的结构特征有以下几种说法：
①由一个长方体割去一个四棱柱构成；
②由一个长方体与两个四棱柱组合而成；
③由一个长方体挖去一个四棱台构成；
④由一个长方体与两个四棱台组合而成．
其中正确说法的序号是________．
①② [该组合体可以看作是由一个长方体割去一个四棱柱构成的，也可以看作是由一个长方体与两个四棱柱组合而成的．]
三、解答题
9．如图所示的平面曲边图形ABCDE中，曲边DE为四分之一圆周，且圆心在AE上，该曲边图形绕AE所在的直线旋转一周，得到的几何体是由哪些简单几何体组成的？
[解] 直线段AB，BC，CD及曲线段DE绕AE所在的直线旋转一周，分别形成圆锥、圆台和圆柱的侧面和半球，如图所示．故得到的几何体由圆锥、圆台、圆柱和半球组成．
10．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括( )
A．一个圆台、两个圆锥
B．两个圆柱、一个圆锥
C．两个圆台、一个圆柱
D．一个圆柱、两个圆锥
D [图①是一个等腰梯形，CD为较长的底边，以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图②，它包括一个圆柱、两个圆锥．
]
11．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面半径的比是1∶4，且该圆台的母线长为9，则截去的小圆锥的母线长为( )
A． B．3
C．12 D．36
B [设截去的小圆锥的母线长为y，根据相似三角形的性质，得＝，解得y＝3．故选B．]
12．(多选)如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是( )
A B C D
AD [一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分．]
13．上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为________．
2 [圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r，R满足关系式l2＝h2＋(R－r)2，求得h＝2，即两底面之间的距离为2．]
14．一块扇形铁皮AOB，∠AOB＝60°，OA＝72 cm，要剪下一扇环ABCD作圆台的侧面，圆台的下底面比上底面大，并且在剩下的扇形COD内剪下一个面积最大的圆形铁皮，使它恰好作为圆台的下底面，问OD应取多长？
[解] 设圆台下底面半径为R cm，如图，
∵扇形OCD内面积最大的圆是其内切圆⊙O′，E，F均为切点，
∴O′E＝O′F＝R cm，的长为2πR cm．
由题意可得2πR＝，∴R＝12．
∵OD＝OF＝OO′＋O′F＝＋12＝36(cm)，
∴OD的长应取36 cm．
15．一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，在圆锥内部有一个高为x cm的内接圆柱．
(1)用x表示圆柱的轴截面面积S；
(2)当x为何值时，S最大？
[解] (1)设圆柱的底面半径为r cm，
则由＝，得r＝，
所以S＝2r·x＝－x2＋4x(0(2)因为S＝－x2＋4x＝－(x－3)2＋6，
所以当x＝3时，S取得最大值，Smax＝6 cm2.
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第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球与简单组合体的结构特征
第八章 立体几何初步
8.1 基本立体图形
整体感知
[学习目标] 1．了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义．
2．掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．
3．了解简单组合体的概念及结构特征．
[讨论交流] 预习教材P101－P104的内容，思考以下问题：
问题1．常见的旋转体有哪些？是怎样形成的？
问题2．这些旋转体有哪些结构特征？它们之间有什么关系？
问题3．这些旋转体的侧面展开图和轴截面分别是什么图形？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1 旋转体的结构特征
探究问题 观察下列实物图，思考以下三个问题：
① ② ③
(1)上述三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？
(2)上述实物图抽象出的几何体中的曲面能否由某些平面图形旋转而成？
(3)如何形成上述几何体的曲面？
[提示] (1)上述三个实物图抽象出的几何体的表面是曲面，不是由多边形围成的．(2)上述几何体均可由平面图形旋转而成，方法不唯一．(3)①可以看作由圆面绕其任一对称轴旋转而成；②可以看作由等腰梯形绕其对称轴旋转而成；③可以看作由等腰三角形绕其对称轴旋转而成．
[新知生成]
几何体 结构特征 图形 表示
圆柱 以__________________为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 圆柱用表示它的轴的字母表示，如图中的圆柱记作__________
圆锥 以______________________所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 圆锥也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆锥记作________
矩形的一边所在直线
圆柱O′O
直角三角形的一条直角边
圆锥SO
几何体 结构特征 图形 表示
圆台 用平行于________的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 圆台也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆台记作
__________
球 半圆以它的____________为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 球常用表示球心的字母来表示，如图中的球可记作____
圆锥底面
圆台O′O
直径所在直线
球O
[典例讲评] 1．(多选)下列选项中，正确的是( )
A．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台
B．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆
C．以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥
D．用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面
CD [A中，以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台；B中，它们的底面为圆面；C，D正确．]
√
√
反思领悟 判断简单旋转体结构特征的方法
(1)明确由哪个平面图形旋转而成．
(2)明确旋转轴是哪条直线．
√
[学以致用] 1．下列说法正确的是( )
A．通过圆台侧面上一点可以作出无数条母线
B．圆柱的上底面与下底面互相平行
C．直角三角形绕其一边所在直线旋转一周得到的几何体一定是圆锥
D．圆旋转一周得到的几何体一定是球
B [对于A，通过圆台侧面上一点只能作出1条母线，故A错误；
对于B，由圆柱的定义得圆柱的上底面、下底面互相平行，故B正确；
对于C，直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥，绕其斜边旋转一周，得到的不是圆锥，故C错误；
对于D，圆绕直径旋转一周得到的几何体是球，故D错误．故选B．]
探究2 简单组合体的结构特征
[新知生成]
现实世界中的物体表示的几何体，除柱体、锥体、台体和球等简单几何体外，还有大量的几何体是由__________组合而成的，这些几何体称作简单组合体，简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体____而成，一种是由简单几何体__________一部分而成．
简单几何体
拼接
截去或挖去
【链接·教材例题】
例2 如图8.1-15(1)，以直角梯形ABCD的下底AB所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体．说出这个几何体的结构特征．
[解] 几何体如图8.1-15(2)所示，其中DE⊥AB，垂足为E．
这个几何体是由圆柱BE和圆锥AE组合而成的．其中圆柱BE的底面分别是⊙B和⊙E，侧面是由梯形的上底CD绕轴AB旋转形成的；圆锥AE的底面是⊙E，侧面是由梯形的边AD绕轴AB旋转而成的．
[典例讲评] 2．(源自湘教版教材)如图，将直角梯形ABCD绕边AB所在直线旋转一周，形成的几何体是由哪些简单几何体组成的？
[解] 将直角梯形ABCD绕边AB所在直线旋转一周后，得到的几何体如图所示，这个几何体是由圆柱和圆锥这两个简单几何体组成的．
反思领悟 判断组合体构成的方法
(1)判定实物图是由哪些简单几何体组成的问题时，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征；其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体．
(2)组合体是由简单几何体拼接或截去一部分构成的．要仔细观察组合体的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证．
[学以致用] 2．请描述如图所示的几何体是如何形成的．
[解] ①是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；②是由一个长方体截去一个三棱锥后得到的几何体；③是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体．
【教用·备选题】 如图，第一排中的图形绕虚线旋转一周，能形成第二排中的某个几何体，请把第一、第二排中相应的图形用线连起来．
A B C D
[答案] ①—C ②—B ③—D ④—A
探究3 旋转体中的计算问题
[典例讲评] 3．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为
4π cm2和25π cm2，求：
(1)圆台的高；
(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长．
反思领悟 简单旋转体的轴截面及其应用
(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．
(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．
[学以致用] 3．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径．
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
1．如图所示的几何体是数学奥林匹克竞赛的奖杯，该几何体由
( )
A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成
B．一个球、一个长方体、一个棱台构成
C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成
D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成
B [由题图可知，该几何体是由一个球、一个长方体、一个棱台构成．故选B．]
2
3
题号
1
4
√
2．(多选)下列说法正确的是( )
A．圆柱的侧面展开图是一个矩形
B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形
C．圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交
D．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体
AB [C错误，圆台的母线延长相交于一点；
D错误，夹在圆柱两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．故选AB．]
√
2
3
题号
4
1
2
4
3
题号
1
4．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为________cm．
13
1．知识链：(1)圆柱、圆锥、圆台的结构特征．
(2)球的结构特征．
(3)简单组合体的结构特征．
2．方法链：分类讨论、转化与化归．
3．警示牌：注意同一平面图形绕不同的轴旋转形成的旋转体一般是不同的．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征各有哪些？
[提示] (1)圆柱：①旋转图形为矩形；②旋转轴为矩形的一边；③由旋转形成的曲面围成的几何体．
(2)圆锥：①旋转图形为直角三角形；②旋转轴为一条直角边；③由旋转形成的曲面围成的几何体．
(3)圆台：①所截几何体为圆锥；②截面与底面平行．圆台也可看作是由直角梯形绕其垂直于底边的腰旋转而成的．
(4)球：①旋转图形为半圆；②旋转轴为直径；③由半圆面旋转一周围成的几何体．
2．处理台体问题常采用什么思想？处理组合体问题常采用什么思想？
[提示] 处理台体问题常采用还台为锥的补体思想，处理组合体问题常采用分割思想．
