8.2 立体图形的直观图
[学习目标] 1．掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图．
2．会用斜二测画法画常见的柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的直观图．
[讨论交流] 预习教材P107－P111的内容，思考以下问题：
问题1．画简单几何体的直观图的步骤是什么？
问题2．水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法有哪些规则？
问题3．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤是什么？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 水平放置的平面图形的直观图的画法
探究问题 图①②是从不同角度拍摄同一个魔方的照片，哪个图更能给人立体感？如何画这种立体图形？
[提示] ①更能给人立体感．
为了在平面内表示立体图形，可以利用平行投影画直观图．
[新知生成]
1．直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形．
2．斜二测画法
我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．
3．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
【教用·微提醒】
1．斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点，并在直观图中画出．
2．斜二测画法的位置特征与度量特征简记为：横不变、纵折半，平行位置不改变．
【链接·教材例题】
例1 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图．
[解] 画法：(1)如图8.2-4(1)，在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，AD的垂直平分线MN为y轴，两轴相交于点O．在图8.2-4(2)中，画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°．
(2)在图8.2-4(2)中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝MN．以点N′为中点，画B′C′平行于x′轴，并且等于BC；再以M′为中点，画F′E′平行于x′轴，并且等于FE．
(3)连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，并擦去辅助线x′轴和y′轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′(图8.2-4(3))．
[典例讲评] 1．(源自苏教版教材)画水平放置的正三角形的直观图．
[解] 如图，按如下步骤完成：
第一步 在已知的正三角形ABC中，取AB所在的直线为x轴，取对称轴CO为y轴．画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°．
第二步 在x′轴上取O′A′＝OA，O′B′＝OB，在y′轴上取O′C′＝OC．
第三步 连接A′B′，B′C′，C′A′，所得△A′B′C′就是水平放置的正三角形ABC的直观图．
关于斜二测画法作图
(1)首先在原图中建立直角坐标系，一般采用对称建系或尽可能将图形中的边、顶点落在坐标轴上．
(2)建立斜二测坐标系，先作坐标轴上的点、与坐标轴平行的线段，原则是“横不变，纵减半”．
(3)对于不与坐标轴平行的线段，可通过在原图中作辅助线的方法确定在直观图中的位置．
[学以致用] 1．画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图．
[解] 画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系，使∠x′O′y′＝45°．
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD．
(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．
探究2 空间几何体的直观图的画法
[新知生成] 立体图形直观图的画法步骤
(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴．
(2)画底面：O′x′y′平面表示水平平面，O′y′z′平面和O′x′z′平面表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图．
(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．
(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．
【链接·教材例题】
例2 已知长方体的长、宽、高分别是3 cm，2 cm，1.5 cm，用斜二测画法画出它的直观图．
分析：画棱柱的直观图，通常将其底面水平放置．利用斜二测画法画出底面，再画出侧棱，就可以得到棱柱的直观图．长方体是一种特殊的棱柱，为画图简便，可取经过长方体的一个顶点的三条棱所在直线作为x轴、y轴、z轴．
[解] 画法：(1)画轴．如图8.2-6，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O(A)，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°．
(2)画底面．在x轴正半轴上取线段AB，使AB＝3 cm；在y轴正半轴上取线段AD，使AD＝1 cm．过点B作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，设它们的交点为C，则 ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图．
(3)画侧棱．在z轴正半轴上取线段AA′，使AA′＝1.5 cm，过B，C，D各点分别作z轴的平行线，在这些平行线上分别截取1.5 cm长的线段BB′，CC′，DD′．
(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图了．
【链接·教材例题】
例3 已知圆柱的底面半径为1 cm，侧面母线长3 cm，画出它的直观图．
[解] (1)画轴．如图8.2-7，画x轴、z轴，使∠xOz＝90°．
(2)画下底面．以O为中点，在x轴上取线段AB，使OA＝OB＝1 cm．利用椭圆模板画椭圆，使其经过A，B两点．这个椭圆就是圆柱的下底面．
(3)画上底面．在Oz上截取点O′，使OO′＝3 cm，过点O′作平行于轴Ox的轴O′x′．类似下底面的作法作出圆柱的上底面．
(4)成图．连接AA′，BB′，整理得到圆柱的直观图．
例4 某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合．画出这个组合体的直观图．
分析：画组合体的直观图，先要分析它的结构特征，知道其中有哪些简单几何体以及它们的组合方式，然后再画直观图．本题中没有尺寸要求， 画图时只需选择合适的大小，表达出该几何体的结构特征就可以了．
[解] 画法：如图8.2-10，先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点，最后画出圆柱和圆锥的母线，并标注相关字母，就得到组合体的直观图．
[典例讲评] 2．(源自北师大版教材)用斜二测画法画正五棱锥的直观图．
[解] (1)根据平面图形的直观图画法画底面(如图)；
(2)画z′轴(z′轴与x′轴的夹角为90°)，并画高(与原长相等)(如图①)；
(3)连线成图，擦去辅助线，且将被遮线画成虚线(如图②)，就得到正五棱锥的直观图S′-A′B′C′D′E′(如图③)．
画空间几何体的直观图的策略
(1)画空间几何体时，首先按照斜二测画法规则画出几何体的底面直观图，然后根据平行于z轴的线段在直观图中长度保持不变，画出几何体的各侧面，并成图．
(2)画空间几何体的步骤可简单总结为：
画轴→画底面→画侧棱→成图．
[学以致用] 2．(1)已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )
A．2 cm B．3 cm
C．2.5 cm D．5 cm
(2)(源自北师大版教材)画出上、下底面边长分别为2 cm和4 cm、高为2 cm的正四棱台的直观图．
(1)D [圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z轴平行(或在z轴上)的线段长度不变，仍为5 cm，故选D．]
(2)[解] 第一步，用斜二测画法，画出水平放置的边长为4 cm的正方形ABCD；
第二步，取四边形ABCD对角线中点O，过点O作z轴，且OO′＝2 cm；
第三步，建立平面坐标系O′x′y′，用斜二测画法画出水平放置的边长为2 cm的正方形A′B′C′D′；
第四步，连接AA′，BB′，CC′，DD′，得四棱台ABCD-A′B′C′D′即为所求，如图：
【教用·备选题】 画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．(底面边长尺寸不作要求，侧棱长为2 cm)
[解] 画法：(1)画轴．画x′轴、y′轴、z′轴，
使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°．
(2)画底面．根据x′轴，y′轴，画正六边形的直观图ABCDEF．
(3)画侧棱．过A，B，C，D，E，F各点分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′都等于侧棱长2 cm．
(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，F′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正六棱柱的直观图．
探究3 直观图的还原与计算
[典例讲评] 3．如图，矩形O′A′B′C′是由斜二测画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是________，其面积为________．
菱形 24 cm2 [如图，在原图形OABC中，
应有OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)，
CD＝C′D′＝2 cm，
所以OC＝
＝＝6(cm)，
所以OA＝OC＝BC＝AB，
故四边形OABC是菱形．
S四边形OABC＝OA×OD＝6×4＝24(cm2)．]
1．直观图的还原技巧
由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
2．直观图与原图形面积之间的关系
若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝S或S＝2S′．
[学以致用] 3．(1)如图，A′B′∥O′y′，B′C′∥O′x′，则直观图所示的平面图形是( )
A．任意三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
(2)已知等边三角形ABC的边长为a，那么由斜二测画法得到的△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )
A．a2 B．a2 C．a2 D．a2
(1)C (2)D [(1)因为A′B′∥O′y′，且B′C′∥O′x′，
所以原平面图形中AB⊥BC，所以△ABC为直角三角形．
(2)法一：建立如图①所示的平面直角坐标系Oxy．
如图②所示，建立平面坐标系O′x′y′，使∠x′O′y′＝45°，应有A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a．
过点C′作C′D′垂直O′x′于点D′，
则C′D′＝O′C′＝a．
所以△A′B′C′的面积
S＝·A′B′·C′D′＝·a·a＝a2．
法二：S△ABC＝a2，又S△A′B′C′＝S△ABC，
所以S△A′B′C′＝a2＝a2．]
【教用·备选题】 如图所示，△A′B′C′表示水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图，A′B′在x′轴上，B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝3，求△ABC的边AB上的高．
[解] 如图，过C′作C′D′∥O′y′交x′轴于D′，则2C′D′是△ABC的边AB上的高．
由于△B′C′D′是等腰直角三角形，
则C′D′＝B′C′＝3．
所以△ABC的边AB上的高等于
2×3＝6．
1．若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在O′x′y′平面上，则圆柱的高应画成( )
A．平行于z′轴且大小为10 cm
B．平行于z′轴且大小为5 cm
C．与z′轴成45°且大小为10 cm
D．与z′轴成45°且大小为5 cm
A [平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．]
2．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是( )
A B
C D
A [在直观图中，其一条对角线在y′轴上且长度为，所以在原图形中其中一条对角线必在y轴上，且长度为2．故选A．]
3．如图，Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图，若O′B′＝，则这个平面图形的面积是( )
A．1 B． C．2 D．4
C [由题图知，平面图形△OAB为直角三角形．
∵O′B′＝，∠A′O′B′＝45°，
∴A′B′＝，O′A′＝2．
∴在原△OAB中，OB＝，OA＝4，∠AOB＝90°，
∴S△OAB＝×4＝2．
故选C．]
4．下列结论正确的是________(填序号)．
①相等的角在直观图中仍然相等；
②相等的线段在直观图中仍然相等；
③水平放置的三角形的直观图是三角形；
④水平放置的菱形的直观图是菱形．
③ [对于①，相等的角在直观图中不一定相等，如一个等腰直角三角形，画出直观图后不是等腰直角三角形，故错误；对于②，相等的线段在直观图中不一定相等，如正方形在直观图中是平行四边形，邻边不相等，故错误；对于③，三角形的直观图仍然是三角形，正确；对于④，菱形的直观图不一定是菱形，也可能是矩形，故错误．]
1．知识链：(1)水平放置的平面图形的直观图的画法．
(2)直观图的还原与计算．
(3)空间几何体直观图的画法．
2．方法链：转化思想．
3．警示牌：注意同一图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何用斜二测画法画平面图形的直观图？
[提示] 用斜二测画法画平面图形的直观图时，应牢记下列口诀：
横不变，纵折半；平行关系永不变；九十度画一半．
2．直观图的面积与原图形的面积之间有什么关系？
[提示] 若设原平面图形的面积为S，则其直观图的面积为S′＝S．
课时分层作业(二十三) 立体图形的直观图
一、选择题
1．下列直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的是( )
A B C D
A [由题意知，应看到正方体的上面、前面和右面，由几何体直观图的画法及直观图中虚线的使用，可知选A．]
2．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积是( )
A．6 B．3
C．6 D．12
D [如图，由直观图画法规则，可得△OAB是一个直角三角形，直角边OA＝6，OB＝4，
∴S△OAB＝OA·OB＝×6×4＝12．故选D．]
3．在平面直角坐标系中，水平放置的直角梯形OABC如图所示，已知O为坐标原点，A(2，0)，B(2，2)，C(0，6)，在用斜二测画法画出的它的直观图中，四边形O′A′B′C′的周长为( )
A．8 B．10
C．5＋2 D．6＋2
D [如图，画出直观图，
过点A′作A′D⊥O′C′，垂足为D．
因为O′C′＝OC＝3，∠C′O′A′＝∠B′A′x′＝45°，
所以O′C′∥A′B′，O′D＝A′D＝2，C′D＝1＝A′B′，则A′D＝B′C′＝2，
故四边形O′A′B′C′的周长为O′A′＋A′B′＋B′C′＋O′C′＝6＋2，所以D正确，故选D．]
4．(多选)对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述正确的是( )
A．三角形的直观图仍然是一个三角形
B．90°的角的直观图会变为45°的角
C．与y轴平行的线段长度变为原来的一半
D．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
ACD [对于A，根据斜二测画法特点知，相交直线的直观图仍是相交直线，因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A正确；对于B，90°的角的直观图会变为45°或135°的角，故B错误；对于C，D，由斜二测画法的特点可知，C，D显然正确．故选ACD．]
5．(多选)已知水平放置的正方形的一条边在x轴上，其由斜二测画法得到的直观图是一个平行四边形，其中有一个边长为4，则此正方形的面积可以为( )
A．16 B．64
C．32 D．无法确定
AB [等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64．]
二、填空题
6．在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4，4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________．
(4，2) [在平面坐标系O′x′y′中，过点(4，0)和y′轴平行的直线与过点(0，2)和x′轴平行的直线的交点即是点M′，即(4，2)．]
7．用斜二测画法画水平放置的正方形ABCD的直观图为平行四边形A′B′C′D′，取AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴．若在直观图中A′B′＝2 cm，则BC＝________cm．
2 [如图所示，
斜二测画法画正方形ABCD的直观图，是平行四边形A′B′C′D′，且A′B′＝AB＝2．
由于四边形ABCD为正方形，所以BC＝2 cm．]
8．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面重合，已知长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m，10 m，四棱锥的高为8 m，若利用斜二测画法按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中长方体的长为________ cm，宽为________ cm，建筑物的高为________ cm．
4 0.5 3.6 [由比例可知长方体的长、宽、高分别为4 cm，1 cm，2 cm，四棱锥的高为1.6 cm，
所以长方体的直观图的长、宽、高应分别为4 cm，0.5 cm，2 cm，四棱锥的直观图的高为1.6 cm．
所以直观图中建筑物的高为2＋1.6＝3.6(cm)．]
三、解答题
9．(源自北师大版教材)画底面边长为3 cm、高为3.5 cm的正三棱柱的直观图．
[解] ①取AB的中点O′，画∠x′O′y′＝45°，
用斜二测画法画出水平放置的边长为3 cm的正三角形ABC，其中AB＝3 cm，O′C＝cm；
②画O′z′⊥平面O′x′y′，在O′z′上截取O′D＝3.5 cm．
过点D作A′B′＝AB，A′B′∥AB；
并作A′C′∥AC，B′C′∥BC，且A′C′与B′C′交于点C′，如图所示；
③连接AA′，BB′，CC′，即得正三棱柱ABC-A′B′C′；
④最后将O′x′，O′y′，O′z′轴擦去，即可得到正三棱柱ABC-A′B′C′的直观图．
10．如图，某四边形ABCD的直观图是正方形A′B′C′D′，且A′，C′，则四边形ABCD的周长等于( )
A．2 B．2＋2
C．4 D．4＋4
D [因为A′，C′，所以直观图中正方形的边长为，结合直观图的特征，可得四边形ABCD如图所示，
因为直观图中B′C′＝，且B′C′与y′轴平行，所以原图中BC＝2且BC与y轴平行，
因为AC＝2，所以AB＝＝2．
由直观图的性质可知，原图中四边形ABCD为平行四边形，所以四边形ABCD的周长等于4＋4．故选D．]
11．如图所示的正方形是水平放置的平面图形OABC的直观图，则平面图形OABC以边OA所在直线为轴旋转一周所形成的几何体是( )
A．一个圆柱
B．一个圆柱和一个同底面的圆锥的组合体
C．一个圆锥和一个同底面的圆柱(内部挖去一个同底等高的圆锥)的组合体
D．两个同底的圆锥的组合体
C [由直观图画出原图，如图所示，
所以平面图形OABC以边OA所在直线为轴旋转一周所形成的几何体是一个圆锥和一个同底面的圆柱(内部挖去一个同底等高的圆锥)的组合体．故选C．]
12．(多选)用斜二测画法作水平放置的△ABC的直观图，得△A1B1C1，如图所示，其中A1B1＝B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是( )
A．AB＝BC＝AC
B．AD⊥BC
C．AB⊥BC
D．AC>AD>AB>BC
CD [由直观图知△ABC为直角三角形，AB⊥BC，AB＝2A1B1，BC＝B1C1，
D为BC的中点，如图所示，
又A1B1＝B1C1，
故A，B错误，C，D正确．]
13．已知用斜二测画法画得的正方形的直观图的面积为18，则原正方形的面积为________．
72 [如图所示，作出正方形OABC的直观图O′A′B′C′，作C′D′⊥x′轴于点D′．
S直观图＝O′A′×C′D′．又S正方形＝OC×OA，
所以＝，
又在Rt△O′D′C′中，O′C′＝C′D′，
即C′D′＝O′C′，结合平面图与直观图的关系可知OA＝O′A′，OC＝2O′C′，
所以＝＝＝2．
又S直观图＝18，所以S正方形＝2×18＝72．]
14．如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝BO＝1，△AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积．
[解]法一：在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变，如图所示，在直观图中，
O′D′＝OD＝，梯形的高D′E′＝，
于是梯形A′B′C′D′的面积为×(1＋2)×＝．
法二：梯形ABCD的面积S＝(DC＋AB)×OD
＝×(1＋2)×1＝．
所以梯形ABCD直观图的面积为
S′＝S＝＝．
15．如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图．
(1)画出它的原图形；
(2)若A′C′＝2，△A′B′C′的面积是，求原图形中AC边上的高和原图形的面积．
[解] (1)画出平面直角坐标系Oxy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′，
在图①中，过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在x轴上取OD＝O′D′，
过点D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′，
连接AB，BC，则△ABC即为△A′B′C′水平放置的平面图形，如图②所示．
(2)由(1)知，原图形中，BD⊥AC于点D，则BD为原图形中AC边上的高，且BD＝2B′D′，
在直观图中作B′E′⊥A′C′于点E′，
则S△A′B′C′＝A′C′×B′E′＝B′E′＝，
在直角三角形B′E′D′中，B′D′＝B′E′＝，所以BD＝2B′D′＝，
所以S△ABC＝AC×BD＝．
故原图形中AC边上的高为，原图形的面积为．
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8.2 立体图形的直观图
第八章 立体几何初步
整体感知
[学习目标] 1．掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图．
2．会用斜二测画法画常见的柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的直观图．
[讨论交流] 预习教材P107－P111的内容，思考以下问题：
问题1．画简单几何体的直观图的步骤是什么？
问题2．水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法有哪些规则？
问题3．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤是什么？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1 水平放置的平面图形的直观图的画法
探究问题 图①②是从不同角度拍摄同一个魔方的照片，哪个图更能给人立体感？如何画这种立体图形？
[提示] ①更能给人立体感．
为了在平面内表示立体图形，可以利用平行投影画直观图．
[新知生成]
1．直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形．
2．斜二测画法
我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．斜二测画法是一种特殊的________画法．
平行投影
3．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
45°
135°
水平面
x′轴或y′轴
线段
保持原长度不变
一半
【教用·微提醒】
1．斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点，并在直观图中画出．
2．斜二测画法的位置特征与度量特征简记为：横不变、纵折半，平行位置不改变．
【链接·教材例题】
例1 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图．
[解] 画法：(1)如图8.2-4(1)，在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，AD的垂直平分线MN为y轴，两轴相交于点O．在图8.2-4(2)中，画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°．
[典例讲评] 1．(源自苏教版教材)画水平放置的正三角形的直观图．
反思领悟 关于斜二测画法作图
(1)首先在原图中建立直角坐标系，一般采用对称建系或尽可能将图形中的边、顶点落在坐标轴上．
(2)建立斜二测坐标系，先作坐标轴上的点、与坐标轴平行的线段，原则是“横不变，纵减半”．
(3)对于不与坐标轴平行的线段，可通过在原图中作辅助线的方法确定在直观图中的位置．
[学以致用] 1．画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图．
[解] 画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系，使∠x′O′y′＝45°．
探究2 空间几何体的直观图的画法
[新知生成] 立体图形直观图的画法步骤
(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个__轴，直观图中与之对应的是____轴．
(2)画底面：________________表示水平平面，________________和________________表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图．
(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中______和____都不变．
(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为____．
z
z′
O′x′y′平面
O′y′z′平面
O′x′z′平面
平行性
长度
虚线
【链接·教材例题】
例2 已知长方体的长、宽、高分别是3 cm，2 cm，1.5 cm，用斜二测画法画出它的直观图．
分析：画棱柱的直观图，通常将其底面水平放置．利用斜二测画法画出底面，再画出侧棱，就可以得到棱柱的直观图．长方体是一种特殊的棱柱，为画图简便，可取经过长方体的一个顶点的三条棱所在直线作为x轴、y轴、z轴．
[解] 画法：(1)画轴．如图8.2-6，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O(A)，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°．
(2)画底面．在x轴正半轴上取线段AB，使AB＝3 cm；在y轴正半轴上取线段AD，使AD＝1 cm．过点B作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，设它们的交点为C，则 ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图．
(3)画侧棱．在z轴正半轴上取线段AA′，使AA′＝1.5 cm，过B，C，D各点分别作z轴的平行线，在这些平行线上分别截取1.5 cm长的线段BB′，CC′，DD′．
(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图了．
【链接·教材例题】
例3 已知圆柱的底面半径为1 cm，侧面母线长3 cm，画出它的直观图．
[解] (1)画轴．如图8.2-7，画x轴、z轴，使∠xOz＝90°．
(2)画下底面．以O为中点，在x轴上取线段AB，使OA＝OB＝1 cm．
利用椭圆模板画椭圆，使其经过A，B两点．这个椭圆就是圆柱的下底面．
(3)画上底面．在Oz上截取点O′，使OO′＝3 cm，过点O′作平行于轴Ox的轴O′x′．类似下底面的作法作出圆柱的上底面．
(4)成图．连接AA′，BB′，整理得到圆柱的直观图．
例4 某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合．画出这个组合体的直观图．
分析：画组合体的直观图，先要分析它的结构特征，知道其中有哪些简单几何体以及它们的组合方式，然后再画直观图．本题中没有尺寸要求， 画图时只需选择合适的大小，表达出该几何体的结构特征就可以了．
[解] 画法：如图8.2-10，先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点，最后画出圆柱和圆锥的母线，并标注相关字母，就得到组合体的直观图．
[典例讲评] 2．(源自北师大版教材)用斜二测画法画正五棱锥的直观图．
[解] (1)根据平面图形的直观图画法画底面(如图)；
(2)画z′轴(z′轴与x′轴的夹角为90°)，并画高(与原长相等)(如图①)；
(3)连线成图，擦去辅助线，且将被遮线画成虚线(如图②)，就得到正五棱锥的直观图S′-A′B′C′D′E′(如图③)．
反思领悟 画空间几何体的直观图的策略
(1)画空间几何体时，首先按照斜二测画法规则画出几何体的底面直观图，然后根据平行于z轴的线段在直观图中长度保持不变，画出几何体的各侧面，并成图．
(2)画空间几何体的步骤可简单总结为：
画轴→画底面→画侧棱→成图．
[学以致用] 2．(1)已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )
A．2 cm B．3 cm
C．2.5 cm D．5 cm
(2)(源自北师大版教材)画出上、下底面边长分别为2 cm和4 cm、高为2 cm的正四棱台的直观图．
√
(1)D [圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z轴平行(或在z轴上)的线段长度不变，仍为5 cm，故选D．]
(2)[解] 第一步，用斜二测画法，画出水平放置的边长为4 cm的正方形ABCD；
第二步，取四边形ABCD对角线中点O，过点O作z轴，且OO′＝2 cm；
第三步，建立平面坐标系O′x′y′，用斜二测画法画出水平放置的边长为2 cm的正方形A′B′C′D′；
第四步，连接AA′，BB′，CC′，DD′，
得四棱台ABCD-A′B′C′D′即为所求，如图：
【教用·备选题】 画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．(底面边长尺寸不作要求，侧棱长为2 cm)
[解] 画法：(1)画轴．画x′轴、y′轴、z′轴，
使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°．
(2)画底面．根据x′轴，y′轴，画正六边形的直观图ABCDEF．
(3)画侧棱．过A，B，C，D，E，F各点分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′都等于侧棱长
2 cm．
(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，F′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正六棱柱的直观图．
探究3 直观图的还原与计算
[典例讲评] 3．如图，矩形O′A′B′C′是由斜二测画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是________，其面积为________．
菱形
发现规律 1．直观图的还原技巧
由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度____，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的____，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
2．直观图与原图形面积之间的关系
若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝___S或S＝____S′．
不变
2倍
√
√
【教用·备选题】 如图所示，△A′B′C′表示水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图，A′B′在x′轴上，B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝3，求△ABC的边AB上的高．
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
1．若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在O′x′y′平面上，则圆柱的高应画成( )
A．平行于z′轴且大小为10 cm
B．平行于z′轴且大小为5 cm
C．与z′轴成45°且大小为10 cm
D．与z′轴成45°且大小为5 cm
2
4
3
题号
1
A [平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．]
2
3
题号
1
4
2．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是( )
√
A B
C D
2
3
题号
1
4
2
3
题号
4
1
√
2
3
题号
4
1
2
4
3
题号
1
4．下列结论正确的是________(填序号)．
①相等的角在直观图中仍然相等；
②相等的线段在直观图中仍然相等；
③水平放置的三角形的直观图是三角形；
④水平放置的菱形的直观图是菱形．
③
③ [对于①，相等的角在直观图中不一定相等，如一个等腰直角三角形，画出直观图后不是等腰直角三角形，故错误；对于②，相等的线段在直观图中不一定相等，如正方形在直观图中是平行四边形，邻边不相等，故错误；对于③，三角形的直观图仍然是三角形，正确；对于④，菱形的直观图不一定是菱形，也可能是矩形，故错误．]
2
4
3
题号
1
1．知识链：(1)水平放置的平面图形的直观图的画法．
(2)直观图的还原与计算．
(3)空间几何体直观图的画法．
2．方法链：转化思想．
3．警示牌：注意同一图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何用斜二测画法画平面图形的直观图？
[提示] 用斜二测画法画平面图形的直观图时，应牢记下列口诀：
横不变，纵折半；平行关系永不变；九十度画一半．
2．直观图的面积与原图形的面积之间有什么关系？
