8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
[学习目标] 1．了解空间中两直线间的位置关系．
2．理解空间中直线与平面的位置关系．
3．掌握空间中平面与平面的位置关系．
[讨论交流] 预习教材P128－P131的内容，思考以下问题：
问题1．空间两直线有哪几种位置关系？
问题2．直线与平面的位置关系有哪几种？
问题3．平面与平面的位置关系有哪几种？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 空间中两直线的位置关系
探究问题1 在平面内，两条直线的位置关系只有平行和相交两种．在空间中，情况就不同了．例如，教室中日光灯管所在直线与黑板左侧所在直线既不相交也不平行．那么，空间两条直线的位置关系有哪些呢？
[提示] 平行、相交、异面．
[新知生成]
1．异面直线
(1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线；
(2)画法：(通常用平面衬托)
2．空间两条直线的三种位置关系
【教用·微提醒】 “不同在任何一个平面内”指这两条直线不具备确定平面的条件，即异面直线既不平行，也不相交．
【链接·教材例题】例2 如图8.4-17，AB∩α＝B，A α，a α，B a．直线AB与a具有怎样的位置关系？为什么？
[解] 直线AB与a是异面直线．理由如下．
若直线AB与直线a不是异面直线，则它们相交或平行．设它们确定的平面为β，则B∈β，a β．由于经过点B与直线a有且仅有一个平面α，因此平面α与β重合，从而AB α，进而A∈α，这与A α矛盾．所以直线AB与a是异面直线．
[典例讲评] 1．已知a，b，c是三条直线，如果a与b是异面直线，b与c是异面直线，那么a与c有怎样的位置关系？并画图说明．
[解] 直线a与直线c的位置关系可以是平行、相交、异面，如图①②③．
判定两条直线是异面直线的方法
(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．
(2)重要结论：与平面相交的直线与该平面内不过该交点的直线是异面直线．
[学以致用] 1．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是______．
(1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面 [(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C．
(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内．
(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1．
(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内．]
探究2 直线与平面的位置关系
探究问题2 一支笔所在的直线与桌面所在的平面有哪些位置关系？它们的公共点有几个？
[提示] (1)直线在平面内——有无数个公共点．
(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点．
(3)直线与平面平行——没有公共点．
[新知生成]
位置 关系 直线a在 平面α内 直线a在平面α外
直线a与平 面α相交 直线a与平 面α平行
公共点 有无数个 公共点 有且只有一个公共点 没有公共点
符号 表示 a α a∩α＝A a∥α
图形 表示
【链接·教材例题】
例1 如图8.4-16，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系．
分析：根据图形，先判断直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来．
[解] 在(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B．
在(2)中，α∩β＝l，a α，b β，a∩l＝P，b∩l＝P，a∩b＝P．
[典例讲评] 2．(1)若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是( )
A．直线上所有的点都在平面外
B．直线上有无数多个点都在平面外
C．直线上有无数多个点都在平面内
D．直线上至少有一个点在平面内
(2)下列说法中，正确的是________．
①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；
②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线相交；
③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行．
(1)B (2)② [(1)直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外．
(2)如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，所以①错误；如果一条直线与一个平面相交，那么在这个平面内作过交点的直线都与这条直线相交，有无数条，所以②正确；对于③显然有无数条，所以错误．]
在判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，便于作出正确判断，避免凭空臆断．
[学以致用] 2．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( )
A．α内的所有直线都与直线a异面
B．α内不存在与a平行的直线
C．α内的直线都与a相交
D．直线a与平面α有公共点
D [直线a不平行于α，包括两种情况：a α或a∩α＝P，当a α时，α内的所有直线都与直线a共面，A错误；当a α时，α内必然有直线与直线a平行，B，C错误；当a α时，直线和平面有无数个公共点，当a∩α＝P时，直线a与平面α有唯一公共点，D正确．]
探究3 平面与平面的位置关系
探究问题3 将两本书作为平面，通过移动或翻转，观察它们之间的位置关系，再观察教室前后墙面、左右墙面、天花板及地面这六个面中两两之间的位置关系．那么，平面与平面有哪几种位置关系？
[提示] 平行和相交．
[新知生成] 平面与平面的位置关系
位置关系 两平面平行 两平面相交
公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上)
符号表示 α∥β α∩β＝l
图形表示
[典例讲评] 3．(多选)以下四个命题中，正确的有( )
A．在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行
B．在平面α内有无数条直线与平面β平行，那么这两个平面平行
C．平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行
D．平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交
CD [对于A，在平面α内有两条相交直线和平面β平行，那么这两个平面平行，故A错误；
对于B，在平面α内所有直线都和平面β平行，那么这两个平面平行，故B错误；
对于C，平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面的β距离相等且不为0(强调同侧)，那么这两个平面平行，故C正确；
对于D，平面α内有无数个(不是任意一个)点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交，故D正确．故选CD．]
利用正方体(或长方体)能有效地判断与两个平面的位置关系有关的命题的真假，另外先假设所给定的结论成立，看是否能推出矛盾，也是一种判断两平面位置关系的有效方法．
[学以致用] 3．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系可能是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．不能确定
C [逆向考虑画两平行平面，看是否能在此两平面内画两条平行线．同样画两相交平面，看是否能在此两平面内画两条平行线，再作出选择(如图所示)．
]
1．如果两条直线m与n没有公共点，那么m与n( )
A．共面
B．平行
C．是异面直线
D．可能平行，也可能是异面直线
D [根据空间中两条直线的位置关系，可得如果两条直线m与n没有公共点，那么m与n可能平行，也可能是异面直线．故选D．]
2．三棱锥A-BCD的6条棱所在直线成异面直线的有( )
A．3对 B．4对
C．5对 D．6对
A [三棱锥A-BCD的六条棱所在直线中，
成异面直线的有AB和CD，AD和BC，BD和AC，
所以三棱锥A-BCD的六条棱所在直线成异面直线的有3对．
故选A．
]
3．(多选)两平面α，β平行，a α，则下列四个命题正确的是( )
A．a与β内的所有直线平行
B．a与β内无数条直线平行
C．a与β至少有一个公共点
D．a与β没有公共点
BD [a不是与β内的所有直线平行，而是与β内的无数条直线平行，有一些是异面，A错误，B正确；根据定义，a与β没有公共点，C错误，D正确．故选BD．]
4．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AA1异面的棱有________条，正方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(平面AA1C1C，平面ABC1D1，平面ADC1B1，平面BB1D1D，平面A1BCD1及平面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面有________个．
4 3 [与AA1异面的棱有CD，BC，C1D1，B1C1，共4条；与AA1平行的面有平面BCC1B1，平面CC1D1D，平面BB1D1D，共3个．]
1．知识链：(1)两直线的位置关系．
(2)直线与平面的位置关系．
(3)平面与平面的位置关系．
2．方法链：举反例、特例．
3．警示牌：注意异面直线的判断．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．空间中两直线的位置关系有哪几种？如何判断它们的位置关系？
[提示] 空间两条直线有相交、平行、异面三种位置关系．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．
2．空间中直线与平面的位置关系有哪几种？
[提示] 在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交，统称直线在平面外，可以用符号a α来表示a∥α，a∩α＝A这两种情形．
3．空间中两平面的位置关系有哪几种？如何判断？
[提示] 两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系相类似，可以从有无公共点来区分．如果两个平面有一个公共点，那么由基本事实3可知：这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面相互平行．
课时分层作业(二十七) 空间点、直线、平面之间的位置关系
一、选择题
1．若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的两条直线( )
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行或异面
D [因为两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的两条直线无交点，因此两直线平行或异面．故选D．]
2．若直线l在平面α外，则l与平面α的公共点个数为( )
A．0 B．0或1
C．1 D．2
B [若直线l在平面α外，则直线l与平面α相交或者平行，当直线l与平面α相交时，公共点的个数是1，当直线l与平面α平行时，公共点的个数是0，故选B．]
3．在以下四个图中，直线a与直线b平行的位置关系只能是( )
A B
C D
D [选项A中，平面α，β内的两直线异面，则a与b异面；
选项B中，平面α，β内的两直线异面，则a与b异面；
选项C中，平面α，β内的两直线异面，则a与b异面；
选项D中，平面α，β内的两直线相交，两相交直线可以确定一个平面，
则a与b相交或平行，由图可知，a与b平行．
故选D．]
4．下列命题正确的个数为( )
①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
②如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；
③若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．
A．0 B．1
C．2 D．3
B [如图所示，
借助长方体模型来判断．棱AA1所在直线有无数个点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以命题①不正确．
A1B1∥AB，A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB 平面ABCD，所以命题②不正确．
直线l与平面α平行，则l与平面α无公共点，l与平面α内所有直线都没有公共点，所以命题③正确．]
5．(多选)如图，点G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形是( )
A B C D
BD [A中HG∥MN，C中GM∥HN且GM≠HN，故HG，NM必相交．故选BD．]
二、填空题
6．如图为正六棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′，与直线AB异面的侧棱共有________条．
4 [根据正六棱柱的性质结合图形可得，
侧棱中，没有与AB平行的直线；
与AB相交的有AA′，BB′，共2条．
又正六棱柱的侧棱共有6条，
所以与直线AB异面的侧棱共有6－2＝4(条)．]
7．若点A∈α，B α，C α，则平面ABC与平面α的位置关系是________．
相交 [∵点A∈α，B α，C α，
∴平面ABC与平面α有公共点，且不重合，
∴平面ABC与平面α的位置关系是相交．]
8．如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是________(填序号)．
①不可能只有两条交线；
②必相交于一点；
③必相交于一条直线；
④必相交于三条平行线．
① [空间的三个平面两两相交，可能只有一条交线，也可能有三条交线，这三条交线可能交于一点．]
三、解答题9．如图是一个正方体的平面展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？
[解] 还原的正方体如图所示：
根据异面直线的判定方法知共有三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH．
10．如图所示的是一个正方体的平面展开图，在原正方体中，线段AB与CD所在直线的位置关系为( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．无法判断
C [由题意，将正方体展开图还原为正方体，如图所示，
在正方体中找到对应的AB，CD两条直线，由图可知，AB与CD异面．故选C．]
11．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )
A．l与l1，l2都相交
B．l与l1，l2都不相交
C．l至少与l1，l2中的一条相交
D．l至多与l1，l2中的一条相交
C [l与l1，l2可以都相交，也可以和其中一条平行，和其中一条相交，如图．所以l至少与l1，l2中的一条相交．故选C．
]
12．如图，已知平面α∩平面β＝l，P∈β且P l，M∈α，N∈α，又MN∩l＝R，M，N，P三点确定的平面记为γ，则β∩γ是( )
A．直线MP B．直线NP
C．直线PR D．直线MR
C [因为MN γ，R∈MN，所以R∈γ，
又α∩β＝l，MN∩l＝R，所以R∈β．
又P∈β，P∈γ，所以P，R均为平面γ与β的公共点，所以β∩γ＝PR，
而M，N β，所以直线MP，NP，MR β．
故选C．]
13．不在同一条直线上的三点A，B，C到平面α的距离相等，且A α，给出以下三个命题：①△ABC中至少有一条边平行于α；②△ABC中至多有两边平行于α；③△ABC中只可能有一条边与α相交．其中真命题是________(填序号)．
① [如图，三点A，B，C可能在α同侧，也可能在α两侧，其中真命题是①．
]
14．如图，已知平面α和β相交于直线l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A l，B l，C l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．
[解] 平面ABC与平面β的交线与l相交．
证明如下：
∵AB与l不平行，且AB α，l α，
∴AB与l是相交直线．
设AB∩l＝P，则点P∈AB，点P∈l，
又∵AB 平面ABC，l β，
即点P是平面ABC与平面β的一个公共点，
而点C也是平面ABC与平面β的一个公共点，
又∵P，C不重合，
∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线，
即平面ABC∩平面β＝直线PC，而直线PC∩l＝P，
∴平面ABC与平面β的交线与l相交．
15．已知棱长为4的正四面体A-BCD(对棱垂直)，用所有与点A，B，C，D距离均相等的平面截该四面体，则所有截面的面积和为( )
A．12＋4 B．16＋4
C．8 D．4
A [与点A，B，C，D距离均相等的截面可分为两类，
一类是截面的一侧有1个点，另外一侧有3个点(如图①)，
此时截面过棱的中点，且与一个面平行，
故截面三角形与平行的面(三角形)相似，相似比为，故其面积为×4×4sin 60°＝，
这样的截面共有4个，故这类截面的面积和为4．
另外一类是截面的两侧各有2个顶点(如图②)，
因为正四面体对棱垂直，易知四边形PQMN是边长为2的正方形，其面积为4，
这样的截面共有3个，故这类截面的面积和为12．
故符合条件的截面的面积和为12＋4．
故选A．
]
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8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
第八章 立体几何初步
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
整体感知
[学习目标] 1．了解空间中两直线间的位置关系．
2．理解空间中直线与平面的位置关系．
3．掌握空间中平面与平面的位置关系．
[讨论交流] 预习教材P128－P131的内容，思考以下问题：
问题1．空间两直线有哪几种位置关系？
问题2．直线与平面的位置关系有哪几种？
问题3．平面与平面的位置关系有哪几种？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1 空间中两直线的位置关系
探究问题1 在平面内，两条直线的位置关系只有平行和相交两种．在空间中，情况就不同了．例如，教室中日光灯管所在直线与黑板左侧所在直线既不相交也不平行．那么，空间两条直线的位置关系有哪些呢？
[提示] 平行、相交、异面．
[新知生成]
1．异面直线
(1)定义：把不同在________平面内的两条直线叫做异面直线；
(2)画法：(通常用平面衬托)
任何一个
2．空间两条直线的三种位置关系
【教用·微提醒】 “不同在任何一个平面内”指这两条直线不具备确定平面的条件，即异面直线既不平行，也不相交．
相交直线
一个公共点
没有公共点
没有公共点
【链接·教材例题】例2 如图8.4-17，AB∩α＝B，A α，a α，B a．直线AB与a具有怎样的位置关系？为什么？
[解] 直线AB与a是异面直线．理由如下．
若直线AB与直线a不是异面直线，则它们相交或平行．设它们确定的平面为β，则B∈β，a β．由于经过点B与直线a有且仅有一个平面α，因此平面α与β重合，从而AB α，进而A∈α，这与A α矛盾．所以直线AB与a是异面直线．
[典例讲评] 1．已知a，b，c是三条直线，如果a与b是异面直线，b与c是异面直线，那么a与c有怎样的位置关系？并画图说明．
[解] 直线a与直线c的位置关系可以是平行、相交、异面，如图①②③．
反思领悟 判定两条直线是异面直线的方法
(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．
(2)重要结论：与平面相交的直线与该平面内不过该交点的直线是异面直线．
[学以致用] 1．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是______．
平行
异面
相交
异面
(1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面 [(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C．
(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内．
(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1．
(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内．]
探究2 直线与平面的位置关系
探究问题2 一支笔所在的直线与桌面所在的平面有哪些位置关系？它们的公共点有几个？
[提示] (1)直线在平面内——有无数个公共点．
(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点．
(3)直线与平面平行——没有公共点．
[新知生成]
位置
关系 直线a在
平面α内 直线a在平面α外
直线a与平
面α相交 直线a与平
面α平行
公共点 有______
公共点 ____________公共点 ____公共点
符号表示 a α a∩α＝A a∥α
图形
表示
无数个
有且只有一个
没有
【链接·教材例题】
例1 如图8.4-16，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系．
分析：根据图形，先判断直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来．
[解] 在(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B．
在(2)中，α∩β＝l，a α，b β，a∩l＝P，b∩l＝P，a∩b＝P．
√
[典例讲评] 2．(1)若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是
( )
A．直线上所有的点都在平面外
B．直线上有无数多个点都在平面外
C．直线上有无数多个点都在平面内
D．直线上至少有一个点在平面内
(2)下列说法中，正确的是________．
①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；
②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线相交；
③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行．
②
(1)B (2)② [(1)直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外．
(2)如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，所以①错误；如果一条直线与一个平面相交，那么在这个平面内作过交点的直线都与这条直线相交，有无数条，所以②正确；对于③显然有无数条，所以错误．]
反思领悟 在判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，便于作出正确判断，避免凭空臆断．
√
[学以致用] 2．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( )
A．α内的所有直线都与直线a异面
B．α内不存在与a平行的直线
C．α内的直线都与a相交
D．直线a与平面α有公共点
D [直线a不平行于α，包括两种情况：a α或a∩α＝P，当a α时，α内的所有直线都与直线a共面，A错误；当a α时，α内必然有直线与直线a平行，B，C错误；当a α时，直线和平面有无数个公共点，当a∩α＝P时，直线a与平面α有唯一公共点，D正确．]
探究3 平面与平面的位置关系
探究问题3 将两本书作为平面，通过移动或翻转，观察它们之间的位置关系，再观察教室前后墙面、左右墙面、天花板及地面这六个面中两两之间的位置关系．那么，平面与平面有哪几种位置关系？
[提示] 平行和相交．
[新知生成] 平面与平面的位置关系
位置关系 两平面平行 两平面相交
公共点 ____公共点 有____个公共点(在一条直线上)
符号表示 ______ __________
图形表示
没有
无数
α∥β
α∩β＝l
[典例讲评] 3．(多选)以下四个命题中，正确的有( )
A．在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行
B．在平面α内有无数条直线与平面β平行，那么这两个平面平行
C．平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行
D．平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交
√
√
CD [对于A，在平面α内有两条相交直线和平面β平行，那么这两个平面平行，故A错误；
对于B，在平面α内所有直线都和平面β平行，那么这两个平面平行，故B错误；
对于C，平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面的β距离相等且不为0(强调同侧)，那么这两个平面平行，故C正确；
对于D，平面α内有无数个(不是任意一个)点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交，故D正确．故选CD．]
反思领悟 利用正方体(或长方体)能有效地判断与两个平面的位置关系有关的命题的真假，另外先假设所给定的结论成立，看是否能推出矛盾，也是一种判断两平面位置关系的有效方法．
[学以致用] 3．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系可能是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．不能确定
C [逆向考虑画两平行平面，看是否能在此两平面内画两条平行线．同样画两相交平面，看是否能在此两平面内画两条平行线，再作出选择(如图所示)．]
√
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
1．如果两条直线m与n没有公共点，那么m与n( )
A．共面
B．平行
C．是异面直线
D．可能平行，也可能是异面直线
D [根据空间中两条直线的位置关系，可得如果两条直线m与n没有公共点，那么m与n可能平行，也可能是异面直线．故选D．]
2
3
题号
1
4
√
2．三棱锥A-BCD的6条棱所在直线成异面直线的有( )
A．3对 B．4对
C．5对 D．6对
A [三棱锥A-BCD的六条棱所在直线中，成异面直线的有AB和CD，AD和BC，BD和AC，所以三棱锥A-BCD的六条棱所在直线成异面直线的有3对．故选A．]
2
3
题号
4
1
√
3．(多选)两平面α，β平行，a α，则下列四个命题正确的是( )
A．a与β内的所有直线平行
B．a与β内无数条直线平行
C．a与β至少有一个公共点
D．a与β没有公共点
BD [a不是与β内的所有直线平行，而是与β内的无数条直线平行，有一些是异面，A错误，B正确；根据定义，a与β没有公共点，C错误，D正确．故选BD．]
√
2
4
3
题号
1
4．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AA1异面的棱有________条，正方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(平面AA1C1C，平面ABC1D1，平面ADC1B1，平面BB1D1D，平面A1BCD1及平面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面有________个．
4 3 [与AA1异面的棱有CD，BC，C1D1，B1C1，共4条；与AA1平行的面有平面BCC1B1，平面CC1D1D，平面BB1D1D，共3个．]
4
3
1．知识链：(1)两直线的位置关系．
(2)直线与平面的位置关系．
(3)平面与平面的位置关系．
2．方法链：举反例、特例．
3．警示牌：注意异面直线的判断．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．空间中两直线的位置关系有哪几种？如何判断它们的位置关系？
[提示] 空间两条直线有相交、平行、异面三种位置关系．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．
2．空间中直线与平面的位置关系有哪几种？
[提示] 在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交，统称直线在平面外，可以用符号a α来表示a∥α，a∩α＝A这两种情形．
3．空间中两平面的位置关系有哪几种？如何判断？
[提示] 两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系相类似，可以从有无公共点来区分．如果两个平面有一个公共点，那么由基本事实3可知：这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面相互平行．
