8.5 空间直线、平面的平行
8.5.1 直线与直线平行
[学习目标] 1．会判断空间两直线的位置关系．
2．能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题．
[讨论交流] 预习教材P133－P135的内容，思考以下问题：
问题1．基本事实4的内容是什么？
问题2．等角定理的内容是什么？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 基本事实4
探究问题1 在平面几何中，同一平面内的三条直线a，b，c，如果a∥b，b∥c，那么a∥c．这个性质在空间是否成立呢？如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，DC∥AB，A′B′∥AB，则DC与A′B′什么关系？
[提示] 成立．在正方体ABCD-A′B′ C′D′中，DC∥AB，A′B′∥AB，则DC∥A′B′．
[新知生成]
文字 语言 平行于同一条直线的两条直线平行
图形 语言
符号 语言 直线a，b，c，a∥b，b∥c a∥c
作用 证明两条直线平行
说明 基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性
【链接·教材例题】
例1 如图8.5-3，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
分析：要证明四边形EFGH是平行四边形，只需证明它的一组对边平行且相等．而EH，FG分别是△ABD和△CBD的中位线，从而它们都与BD平行且等于BD的一半．应用基本事实4，即可证明EH綉FG．
[证明] 连接BD．
∵EH是△ABD的中位线，
∴EH∥BD，且EH＝BD．
同理FG∥BD，且FG＝BD．
∴EH綉FG．
∴四边形EFGH为平行四边形．
[典例讲评] 1．(源自苏教版教材)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F分别是AB，BC的中点．求证：EF∥A1C1．
[证明] 连接AC．
在△ABC中，因为E，F分别是AB，BC的中点，
所以EF∥AC．
又因为AA1綉BB1，BB1綉CC1，
所以AA1綉CC1，
从而四边形AA1C1C是平行四边形，
所以AC∥A1C1．
从而EF∥A1C1．
证明空间中两条直线平行的方法
(1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明．
(2)利用基本事实4即找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由基本事实4得到a∥b．
[学以致用] 1．如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的中点，G，H分别是BC，CD边上的点，且＝＝．求证：四边形GHFE是梯形．
[证明] 因为空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的中点，
所以EF∥BD，且EF＝BD．
因为G，H分别是BC，CD边上的点，
且＝＝，
所以HG∥BD，且HG＝BD，
所以EF∥HG，且EF≠HG，
所以四边形GHFE是梯形．
探究2 空间等角定理
探究问题2 在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．观察典例1图中的∠BEF和∠B1A1C1．这两个角的两边有什么关系？这两个角什么关系？
[提示] ∠BEF和∠B1A1C1的两边分别对应平行，且有∠BEF＝∠B1A1C1(因为∠BEF＝∠BAC＝∠B1A1C1)．
探究问题3 观察典例1图中的∠AEF和∠B1A1C1，这两个角的两边有什么关系？这两个角什么关系？
[提示] ∠AEF和∠B1A1C1的两边分别对应平行，且有∠AEF＋∠B1A1C1＝π．
[新知生成] 定理
文字 语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
符号 语言 OA∥O′A′，OB∥O′B′ ∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°
图形 语言
作用 判断或证明两个角相等或互补
【教用·微提醒】 如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等．
[典例讲评] 2．(源自苏教版教材)如图，已知E，E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD，A1D1的中点．求证：∠C1E1B1＝∠CEB．
[证明] 连接EE1．
∵E，E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD，A1D1中点，∴AE∥A1E1，AE＝A1E1，
∴四边形AEE1A1为平行四边形，∴AA1∥EE1，AA1＝EE1．
又∵AA1∥BB1，AA1＝BB1，
∴EE1∥BB1，EE1＝BB1，
∴四边形EE1B1B是平行四边形，
∴B1E1∥BE．同理C1E1∥CE．
又∠C1E1B1和∠CEB的两边方向相同，
∴∠C1E1B1＝∠CEB．
依据空间等角定理证明两角相等的步骤
(1)证明两个角的两边分别对应平行；
(2)判定两个角的两边的方向都相同或者都相反．
[学以致用] 2．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1．
(1)直线AC与直线A1C1平行吗？为什么？
(2)∠A1BC1与∠AD1C是否相等？为什么？
[解] (1)AC∥A1C1．
正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝CC1，AA1∥CC1，∴四边形ACC1A1是平行四边形，
∴AC∥A1C1．
(2)∠A1BC1＝∠AD1C．
因为BA1∥D1C，BC1∥D1A，且∠A1BC1与∠AD1C的两边方向均相反，所以∠A1BC1＝∠AD1C．
【教用·备选题】1．如图，已知三棱锥A-BCD的四个面分别是△ABC，△ABD，△ACD和△BCD，E，F，G分别为线段AB，AC，AD上的点，EF∥BC，FG∥CD．
求证：△EFG∽△BCD．
[证明] ∵在△ABC中，EF∥BC，∴＝．又FG∥CD，∴＝．∴＝，
∴EG∥BD．
∵∠EFG与∠BCD的两条边分别对应平行，且方向相同，
∴∠EFG＝∠BCD．
同理∠FGE＝∠CDB．∴△EFG∽△BCD．
2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，证明：∠BGC＝∠FD1E．
[证明] 因为F为BB1的中点，所以BF＝BB1．
因为G为DD1的中点，所以D1G＝DD1．
又BB1∥DD1，BB1＝DD1，所以BF∥D1G，BF＝D1G，所以四边形D1GBF为平行四边形，
所以D1F∥GB，同理D1E∥GC．
所以∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同，且均为锐角，所以∠BGC＝∠FD1E．
(对应学生用书第108页)
1．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为( )
A．60° B．120°
C．30° D．60°或120°
D [根据等角定理，两个角的两边分别对应平行，则两个角相等或互补，所以β为60°或120°，故选D．]
2．如图所示，在三棱锥S-MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
A [在△MPN中，∵H，G分别为MP，MN的中点，∴GH∥PN，同理EF∥PN，∴GH∥EF．]
3．如图所示，在长方体AC1中，A1C1与B1D1相交于点O，E，F分别是B1O，C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有( )
A．3条 B．4条
C．5条 D．6条
B [由于E，F分别是B1O，C1O的中点，
故EF∥B1C1．
因为和棱B1C1平行的棱有AD，BC，A1D1，
所以符合题意的棱共有4条．故选B．]
4．如图所示，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若BD＝2，AC＝4，则四边形EFGH的周长为________．
6 [ EH＝FG＝BD＝1．
同理EF＝GH＝AC＝2，
所以四边形EFGH的周长为6．]
1．知识链：(1)基本事实4的应用．
(2)等角定理的应用．
2．方法链：转化法．
3．警示牌：用等角定理时，注意角度有可能相等或互补．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．基本事实4的内容是什么？有什么作用？
[提示]
基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行
作用 证明两条直线平行
2．空间等角定理的内容是什么？有什么作用？
[提示]
定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
作用 判断或证明两个角相等或互补
课时分层作业(二十八) 直线与直线平行
一、选择题
1．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR＝( )
A．30° B．30°或150°
C．150° D．30°或120°
B [∠ABC的两边与∠PQR的两边分别平行，
根据等角定理易知∠PQR＝30°或150°．故选B．]
2．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为棱A1C1，B1C1，B1B的中点，则∠EFG与∠ABC1( )
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．不确定
B [因为E，F，G分别为棱A1C1，B1C1，BB1的中点，所以EF∥A1B1，EF∥AB，FG∥BC1，
所以∠EFG与∠ABC1的两组对应边分别平行，一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，故∠EFG与∠ABC1互补．故选B．]
3．下列命题中正确的是( )
A．直线a与直线c相交，直线b与直线c相交，则直线a与直线b相交
B．直线a与直线c平行，直线b与直线c平行，则直线a与直线b平行
C．直线a与直线c异面，直线b与直线c异面，则直线a与直线b异面
D．直线a与直线c相交，直线b与直线c异面，则直线a与直线b异面
B [A错误，直线a与直线b可以平行或异面或相交；
B正确，根据平行线的传递性可知B正确；
C错误，直线a与直线b可以平行或异面或相交；
D错误，直线a与直线b可以平行或异面或相交．故选B．]
4．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是( )
A．异面 B．平行
C．相交 D．平行或相交
B [因为在△ABC中，AE∶EB＝AF∶FC，所以EF∥BC，
又因为BC∥B1C1，所以EF∥B1C1．
故选B．]
5．在空间四边形ABCD中，AC＝BD，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接各边中点E，F，G，H，所得四边形EFGH的形状是( )
A．梯形 B．矩形
C．正方形 D．菱形
D [如图所示，
空间四边形ABCD中，连接AC，BD可得一个三棱锥，
将四个中点连接，得到四边形EFGH，
由中位线的性质及基本事实4知，EH∥FG，EF∥HG；
∴四边形EFGH是平行四边形，又AC＝BD，
∴HG＝AC＝BD＝EH，∴四边形EFGH是菱形．故选D．]
二、填空题
6．已知角α和角β的两边分别对应平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝________．
135° [由等角定理可知β＝135°．]
7．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD和B1D1分别是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线，
(1)∠DBC的两边与________的两边分别对应平行且方向相同；
(2)∠DBC的两边与________的两边分别对应平行且方向相反．
(1)∠D1B1C1 (2)∠B1D1A1 [(1)因为B1D1∥BD，B1C1∥BC且方向相同，所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别对应平行且方向相同．
(2)B1D1∥BD，D1A1∥BC且方向相反，所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别对应平行且方向相反．]
8．棱长为3的正四面体A-BCD中，E，F分别是△ABC和△ACD的重心，则EF＝________，EF与BD的位置关系为________．
1 平行 [连接AE并延长交BC于M，连接AF并延长交CD于H，连接MH(图略)，则MH綉BD，EF綉MH，所以EF綉BD．]
三、解答题
9．如图，已知在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：四边形MNA1C1是梯形．
[证明] 如图，连接AC，在△ACD中，
∵M，N分别是CD，AD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，
∴MN∥AC，且MN＝AC．
∵AA1＝CC1，且AA1∥CC1，
∴四边形AA1C1C是平行四边形，
∴AC∥A1C1，且AC＝A1C1．∴MN∥A1C1，且MN＝A1C1，即MN≠A1C1，
∴四边形MNA1C1是梯形．
10．已知∠BAC＝∠B1A1C1，AB∥A1B1，则AC与A1C1的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．以上均有可能
D [如图所示，∠BAC＝∠B1A1C1，AB∥A1B1，则AC与A1C1的位置关系是平行、相交或异面．
故选D．]
11．(多选)如图，在四面体A-BCD 中，M，N，P，Q，E 分别是 AB，BC，CD，AD，AC 的中点，则下列说法中正确的是( )
A．M，N，P，Q 四点共面
B．∠QME＝∠DBC
C．△BCD∽△MEQ
D．四边形MNPQ为梯形
ABC [由题图可知，在△ABC中，M，N分别是 AB，BC的中点，所以MN∥AC，且MN＝AC，
同理在△ADC中，QP∥AC，且QP＝AC，
所以MN∥QP，MN＝QP，所以四边形MNPQ为平行四边形，所以M，N，P，Q 四点共面，所以A正确；在△ABC中，由中位线性质得ME∥BC，
同理在△ABD中，由中位线性质得MQ∥BD，
所以由等角定理知，∠QME＝∠DBC，所以B正确；
在△ADC中，由中位线性质得QE∥DC，
又ME∥BC，MQ∥BD，所以由等角定理可知，∠QME＝∠DBC，∠QEM＝∠DCB，
所以△BCD∽△MEQ，所以C正确；由上述分析得四边形MNPQ为平行四边形，所以D错误．故选ABC．]
12．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N，G，H分别为棱AB，BC，AD，CD，A1B1，C1D1的中点，P为DH的中点，连接EH，FG．对于空间任意两点I，J，若线段IJ上不存在也在线段EH，FG上的点，则称I，J两点“可视”，则与点B1“可视”的点为( )
A．D B．P C．M D．N
D [如图，连接B1D，B1P，B1E，由正方体的性质及E，H分别为棱AB，C1D1的中点，易得B1E∥HD，所以线段B1D与EH相交，B1P与EH相交，故A、B错误；
连接MF，B1M，有AB∥MF，AB∥B1G，故B1G∥MF，
所以线段B1M与FG相交，C错误；
连接B1N，直线B1N与EH，直线B1N与FG均为异面直线，D正确．故选D．]
13．如图是正方体的平面展开图，E，F，G，H分别是棱的中点，则EF与GH在原正方体中的位置关系为________．
平行 [由题意，将正方体的平面展开图还原成正方体，
如图所示：
分别取AB，AA1的中点Q，P，连接EP，FQ，PQ，A1B，由正方体的结构特征可得EF∥PQ，
又因为点Q，P，H，G分别是AB，AA1，A1B1，BB1的中点，故PQ∥A1B，HG∥A1B，
故PQ∥HG，所以EF∥GH．]
14．如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且＝＝＝．
(1)求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；
(2)求的值．
[解] (1)[证明] 在△ABO与△A′B′O中，
∵∠AOB＝∠A′OB′，＝＝，
∴△ABO∽△A′B′O，
∴＝，∠BAO＝∠B′A′O，
∴A′B′∥AB．
同理A′C′∥AC，B′C′∥BC．
(2)∵A′B′∥AB，A′C′∥AC，
∴易知∠BAC＝∠B′A′C′，
同理∠ABC＝∠A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′．
又＝，∴＝＝．
15．如图①所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，将四边形CDFE沿EF翻折起来，使CD到达C′D′的位置(如图②)，G，H分别为AD′，BC′的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．
[证明] 在题图①中，∵四边形ABCD为梯形，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，∴EF∥AB且EF＝(AB＋CD)．
在题图②中，易知C′D′∥EF∥AB．
∵G，H分别为AD′，BC′的中点，∴GH∥AB且GH＝(AB＋C′D′)＝(AB＋CD)，
∴GH∥EF，GH＝EF，
∴四边形EFGH为平行四边形．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共30张PPT)
8.5.1 直线与直线平行
第八章 立体几何初步
8.5 空间直线、平面的平行
整体感知
[学习目标] 1．会判断空间两直线的位置关系．
2．能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题．
[讨论交流] 预习教材P133－P135的内容，思考以下问题：
问题1．基本事实4的内容是什么？
问题2．等角定理的内容是什么？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1 基本事实4
探究问题1 在平面几何中，同一平面内的三条直线a，b，c，如果a∥b，b∥c，那么a∥c．这个性质在空间是否成立呢？如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，DC∥AB，A′B′∥AB，则DC与A′B′什么关系？
[提示] 成立．在正方体ABCD-A′B′ C′D′中，
DC∥AB，A′B′∥AB，则DC∥A′B′．
[新知生成]
文字
语言 平行于同一条直线的两条直线____
图形
语言
符号
语言 直线a，b，c，a∥b，b∥c ______
作用 证明两条直线平行
说明 基本事实4表述的性质通常叫做平行线的______
平行
a∥c
传递性
【链接·教材例题】
例1 如图8.5-3，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
分析：要证明四边形EFGH是平行四边形，只需证明它的一组对边平行且相等．而EH，FG分别是△ABD和△CBD的中位线，从而它们都与BD平行且等于BD的一半．应用基本事实4，即可证明EH綉FG．
[典例讲评] 1．(源自苏教版教材)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F分别是AB，BC的中点．求证：EF∥A1C1．
[证明] 连接AC．
在△ABC中，因为E，F分别是AB，BC的中点，
所以EF∥AC．
又因为AA1綉BB1，BB1綉CC1，
所以AA1綉CC1，
从而四边形AA1C1C是平行四边形，
所以AC∥A1C1．
从而EF∥A1C1．
反思领悟 证明空间中两条直线平行的方法
(1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明．
(2)利用基本事实4即找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由基本事实4得到a∥b．
探究2 空间等角定理
探究问题2 在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．观察典例1图中的∠BEF和∠B1A1C1．这两个角的两边有什么关系？这两个角什么关系？
[提示] ∠BEF和∠B1A1C1的两边分别对应平行，且有∠BEF＝∠B1A1C1(因为∠BEF＝∠BAC＝∠B1A1C1)．
探究问题3 观察典例1图中的∠AEF和∠B1A1C1，这两个角的两边有什么关系？这两个角什么关系？
[提示] ∠AEF和∠B1A1C1的两边分别对应平行，且有∠AEF＋∠B1A1C1＝π．
[新知生成] 定理
文字
语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角__________
符号
语言 OA∥O′A′，OB∥O′B′ ∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°
图形
语言
作用 判断或证明两个角相等或互补
相等或互补
【教用·微提醒】 如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等．
[典例讲评] 2．(源自苏教版教材)如图，已知E，E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD，A1D1的中点．求证：∠C1E1B1＝∠CEB．
[证明] 连接EE1．
∵E，E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD，
A1D1中点，∴AE∥A1E1，AE＝A1E1，
∴四边形AEE1A1为平行四边形，∴AA1∥EE1，AA1＝EE1．
又∵AA1∥BB1，AA1＝BB1，∴EE1∥BB1，EE1＝BB1，
∴四边形EE1B1B是平行四边形，∴B1E1∥BE．同理C1E1∥CE．
又∠C1E1B1和∠CEB的两边方向相同，∴∠C1E1B1＝∠CEB．
反思领悟 依据空间等角定理证明两角相等的步骤
(1)证明两个角的两边分别对应平行；
(2)判定两个角的两边的方向都相同或者都相反．
[学以致用] 2．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1．
(1)直线AC与直线A1C1平行吗？为什么？
(2)∠A1BC1与∠AD1C是否相等？为什么？
[解] (1)AC∥A1C1．
正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝CC1，AA1∥CC1，∴四边形ACC1A1是平行四边形，
∴AC∥A1C1．
(2)∠A1BC1＝∠AD1C．
因为BA1∥D1C，BC1∥D1A，且∠A1BC1与∠AD1C的两边方向均相反，所以∠A1BC1＝∠AD1C．
【教用·备选题】1．如图，已知三棱锥A-BCD的四个面分别是△ABC，△ABD，△ACD和△BCD，E，F，G分别为线段AB，AC，AD上的点，EF∥BC，FG∥CD．
求证：△EFG∽△BCD．
2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，证明：∠BGC＝∠FD1E．
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
1．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为( )
A．60° B．120°
C．30° D．60°或120°
D [根据等角定理，两个角的两边分别对应平行，则两个角相等或互补，所以β为60°或120°，故选D．]
2
3
题号
1
4
√
2．如图所示，在三棱锥S-MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
A [在△MPN中，∵H，G分别为MP，MN的中点，∴GH∥PN，同理EF∥PN，∴GH∥EF．]
2
3
题号
4
1
√
3．如图所示，在长方体AC1中，A1C1与B1D1相交于点O，E，F分别是B1O，C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有( )
A．3条 B．4条
C．5条 D．6条
B [由于E，F分别是B1O，C1O的中点，
故EF∥B1C1．
因为和棱B1C1平行的棱有AD，BC，A1D1，
所以符合题意的棱共有4条．故选B．]
2
4
3
题号
1
4．如图所示，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若BD＝2，AC＝4，则四边形EFGH的周长为________．
6
1．知识链：(1)基本事实4的应用．
(2)等角定理的应用．
2．方法链：转化法．
3．警示牌：用等角定理时，注意角度有可能相等或互补．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．基本事实4的内容是什么？有什么作用？
[提示]
基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行
作用 证明两条直线平行
2．空间等角定理的内容是什么？有什么作用？
[提示]
定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
作用 判断或证明两个角相等或互补
