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8.5.2 直线与平面平行
第八章 立体几何初步
8.5 空间直线、平面的平行
整体感知
[学习目标] 1．掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题．
2．掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行．
[讨论交流] 预习教材P135－P138的内容，思考以下问题：
问题1．直线与平面平行的判定定理是什么？
问题2．直线与平面平行的性质定理是什么？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1 直线与平面平行的判定定理
探究问题 如图，将一本书放在桌面上，翻动书的页面时，页面的上边缘AB所在直线与桌面所在的平面有没有公共点？直线AB与桌面平行吗？
[提示] 没有公共点，AB所在直线平行于桌面所在平面．
[新知生成] 直线与平面平行的判定定理
文字
语言 如果平面外一条直线与______________________，那么该直线与此平面平行
符号
语言 a α，b α，且a∥b a∥α
图形
语言
此平面内的一条直线平行
【教用·微提醒】 用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件：
(1)直线a在平面α外，即a α．
(2)直线b在平面α内，即b α．
(3)两直线a，b平行，即a∥b．
【链接·教材例题】
例2 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面．
已知：如图8.5-7，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点．
求证：EF∥平面BCD．
[证明] 连接BD．
∵AE＝EB，AF＝FD，
∴EF∥BD．
又EF 平面BCD，BD 平面BCD，
∴EF∥平面BCD．
[典例讲评] 1．已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形，M为PC的中点，求证：PA∥平面BDM．
[证明] 连接AC交BD于O，连接MO，
∵四边形ABCD是菱形，∴O是AC中点，
又∵M是PC的中点，∴MO∥PA．
∵PA 平面BDM，MO 平面BDM，
∴PA∥平面BDM．
发现规律 用判定定理证明直线与平面平行的步骤
平行
平行
[学以致用] 1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G．
[证明] 连接BC1(图略)，在△BCC1中，
∵E，F分别为BC，CC1的中点，∴EF∥BC1．
又∵AB∥A1B1∥D1C1，
且AB＝A1B1＝D1C1，∴四边形ABC1D1是平行四边形，
∴BC1∥AD1，∴EF∥AD1．
又EF 平面AD1G，AD1 平面AD1G，∴EF∥平面AD1G．
【教用·备选题】 如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB，D，E分别是AB，B1C的中点．
求证：DE∥平面ACC1A1．
[证明] 连接BC1，AC1，因为三棱柱ABC-A1B1C1是斜三棱柱，所以四边形BCC1B1为平行四边形，由平行四边形性质得点E也是BC1的中点．
因为点D是AB的中点，所以DE∥AC1 ．
又DE 平面ACC1A1，AC1 平面ACC1A1，
所以DE∥平面ACC1A1．
探究2 直线与平面平行的性质定理
[新知生成] 直线与平面平行的性质定理
文字
语言 一条直线与一个平面____，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与________
符号
语言 a∥α，__________________ a∥b
图形
语言
平行
交线平行
a β，α∩β＝b
[典例讲评] 2．如图所示，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且点M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形．
[证明] ∵AB∥平面MNPQ，
且过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，
∴AB∥MN．又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，
∴AB∥PQ，∴MN∥PQ．同理可证NP∥MQ．
故四边形MNPQ是平行四边形．
反思领悟 利用线面平行的性质定理解题的步骤
[学以致用] 2．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH．
[证明] 如图，连接MO．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点．
又∵M是PC的中点，
∴AP∥OM．
又∵AP 平面BDM，OM 平面BDM，
∴AP∥平面BDM．
又∵AP 平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH．
探究3 直线与平面平行的判定与性质
【链接·教材例题】
例3 如图8.5-10(1)所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′．
(1)要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？
(2)所画的线与平面AC是什么位置关系？
分析：要经过面A′C′内的一点P和棱BC将
木料锯开，实际上是经过BC及BC外一点P
作截面，也就需要找出所作的截面与相关平面的交线．我们可以依据直线与平面平行的性质定理、基本事实4和推论1画出所需要的线段．
[解] (1)如图8.5-10(2)，在平面A′C′内，过点P作直线EF，使EF∥B′C′，并分别交棱A′B′，D′C′于点E，F．连接BE，CF，则EF，BE，CF就是应画的线．
(2)因为棱BC平行于平面A′C′，平面BC′与平面A′C′相交于B′C′，所以BC∥B′C′．由(1)知，EF∥B′C′，所以EF∥BC．而BC在平面AC内，EF在平面AC外，所以EF∥平面AC．
显然，BE，CF都与平面AC相交．
[典例讲评] 3．求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．
[解] 已知直线a，l，平面α，β满足α∩β＝l，a∥α，a∥β．求证：a∥l．
证明：如图所示，过a作平面γ交平面α于直线b，∵a∥α，∴a∥b．
同样过a作平面δ交平面β于直线c，∵a∥β，∴a∥c，则b∥c．
又∵b β，c β，∴b∥β．
又∵b α，α∩β＝l，∴b∥l．
又∵a∥b，∴a∥l．
[学以致用] 3．一正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点．
(1)过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，在木块的表面应该怎样画线？
(2)在平面ABC中所画的线与棱AC是什么位置关系？
[解] (1)取VC的中点D，BC的中点E，AB的中点F．
分别连接PD，PF，EF，DE．
则PD，PF，EF，DE即为在木块表面应画的线．
(2)在平面ABC中画的线EF与棱AC平行，证明如下：
因为PF∥DE，
所以P，D，E，F四点共面，且AC∥平面PDEF．
因为平面ABC∩平面PDEF＝EF，
所以AC∥EF．
【教用·备选题】 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点．
(1)求证：QN∥平面PAD；
(2)记平面CMN与底面ABCD的交线为l，试判断直线l与平面PBD的位置关系，并证明．
[解] (1)证明： 因为N，Q分别为PB，PC的中点，
所以QN∥BC．
因为底面ABCD是菱形，
所以BC∥AD，所以QN∥AD．
因为QN 平面PAD，AD 平面PAD，
所以QN∥平面PAD．
(2)直线l与平面PBD平行，证明如下：
因为N，M分别为PB，PD的中点，
所以MN∥BD．
因为MN 平面ABCD，BD 平面ABCD，
所以MN∥平面ABCD．
因为平面CMN与底面ABCD的交线为l，
MN 平面CMN，由线面平行的性质定理可得MN∥l．
又MN 平面PBD，l 平面PBD，
所以直线l∥平面PBD．
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
1．下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是( )
A．直线m在平面α外
B．直线m与平面α内的两条直线平行
C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行
D．直线m与平面α内的一条直线平行
2
4
3
题号
1
C [根据线面平行的判定定理可知，C选项正确．A选项直线m可能与平面α相交，B和D选项直线m可能在平面α内，所以ABD三个选项不正确．
故选C．]
2
3
题号
1
4
√
2．(多选)两条直线a，b满足a∥b，b 平面α，则a与平面α的位置关系可以是( )
A．a∥α B．a与α相交
C．a与α不相交 D．a α
√
√
2
3
题号
4
1
√
3．如图，在三棱锥S-ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则( )
A．EF与BC相交
B．EF∥BC
C．EF与BC异面
D．以上均有可能
B [∵平面SBC∩平面ABC＝BC，且EF∥平面ABC，∴EF∥BC．]
2
4
3
题号
1
4．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于______．
1．知识链：(1)直线与平面平行的判定定理．
(2)直线与平面平行的性质定理．
2．方法链：转化与化归．
3．警示牌：证明线面平行时注意不要漏写线在平面外(内)．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．应用直线与平面平行的判定定理应注意什么问题？
[提示] 利用判定定理证明线面平行，必须具备三点：(1)平面内一条直线a；(2)平面外一条直线b；(3)a∥b．只有具备了这三点才能说明线面平行．
2．在遇到线面平行时，我们常常如何应用条件？
[提示] 在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．
3．判断或证明线面平行的常用方法有哪些？
[提示] (1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作)．
(2)判定定理法：a α，b α，a∥b a∥α．
(3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内．8.5.2 直线与平面平行
[学习目标] 1．掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题．
2．掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行．
[讨论交流] 预习教材P135－P138的内容，思考以下问题：
问题1．直线与平面平行的判定定理是什么？
问题2．直线与平面平行的性质定理是什么？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 直线与平面平行的判定定理
探究问题 如图，将一本书放在桌面上，翻动书的页面时，页面的上边缘AB所在直线与桌面所在的平面有没有公共点？直线AB与桌面平行吗？
[提示] 没有公共点，AB所在直线平行于桌面所在平面．
[新知生成] 直线与平面平行的判定定理
文字 语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
符号 语言 a α，b α，且a∥b a∥α
图形 语言
【教用·微提醒】 用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件：
(1)直线a在平面α外，即a α．
(2)直线b在平面α内，即b α．
(3)两直线a，b平行，即a∥b．
【链接·教材例题】
例2 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面．
已知：如图8.5-7，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点．
求证：EF∥平面BCD．
[证明] 连接BD．
∵AE＝EB，AF＝FD，
∴EF∥BD．
又EF 平面BCD，BD 平面BCD，
∴EF∥平面BCD．
[典例讲评] 1．已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形，M为PC的中点，求证：PA∥平面BDM．
[证明] 连接AC交BD于O，连接MO，
∵四边形ABCD是菱形，∴O是AC中点，
又∵M是PC的中点，∴MO∥PA．
∵PA 平面BDM，MO 平面BDM，
∴PA∥平面BDM．
用判定定理证明直线与平面平行的步骤
[学以致用] 1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G．
[证明] 连接BC1(图略)，在△BCC1中，
∵E，F分别为BC，CC1的中点，∴EF∥BC1．
又∵AB∥A1B1∥D1C1，
且AB＝A1B1＝D1C1，
∴四边形ABC1D1是平行四边形，
∴BC1∥AD1，∴EF∥AD1．
又EF 平面AD1G，
AD1 平面AD1G，∴EF∥平面AD1G．
【教用·备选题】 如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB，D，E分别是AB，B1C的中点．
求证：DE∥平面ACC1A1．
[证明] 连接BC1，AC1，
因为三棱柱ABC-A1B1C1是斜三棱柱，所以四边形BCC1B1为平行四边形，由平行四边形性质得点E也是BC1的中点．
因为点D是AB的中点，所以DE∥AC1 ．
又DE 平面ACC1A1，AC1 平面ACC1A1，
所以DE∥平面ACC1A1．
探究2 直线与平面平行的性质定理
[新知生成] 直线与平面平行的性质定理
文字 语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
符号 语言 a∥α，a β，α∩β＝b a∥b
图形 语言
[典例讲评] 2．如图所示，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且点M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形．
[证明] ∵AB∥平面MNPQ，且过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，∴AB∥MN．
又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，
∴AB∥PQ，∴MN∥PQ．同理可证NP∥MQ．
故四边形MNPQ是平行四边形．
利用线面平行的性质定理解题的步骤
[学以致用] 2．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH．
[证明] 如图，连接MO．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点．
又∵M是PC的中点，
∴AP∥OM．
又∵AP 平面BDM，OM 平面BDM，
∴AP∥平面BDM．
又∵AP 平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH．
探究3 直线与平面平行的判定与性质
【链接·教材例题】
例3 如图8.5-10(1)所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′．
(1)要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？
(2)所画的线与平面AC是什么位置关系？
分析：要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，实际上是经过BC及BC外一点P作截面，也就需要找出所作的截面与相关平面的交线．我们可以依据直线与平面平行的性质定理、基本事实4和推论1画出所需要的线段．
[解] (1)如图8.5-10(2)，在平面A′C′内，过点P作直线EF，使EF∥B′C′，并分别交棱A′B′，D′C′于点E，F．连接BE，CF，则EF，BE，CF就是应画的线．
(2)因为棱BC平行于平面A′C′，平面BC′与平面A′C′相交于B′C′，所以BC∥B′C′．由(1)知，EF∥B′C′，所以EF∥BC．而BC在平面AC内，EF在平面AC外，所以EF∥平面AC．
显然，BE，CF都与平面AC相交．
[典例讲评] 3．求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．
[解] 已知直线a，l，平面α，β满足α∩β＝l，a∥α，a∥β．求证：a∥l．
证明：如图所示，
过a作平面γ交平面α于直线b，∵a∥α，∴a∥b．
同样过a作平面δ交平面β于直线c，∵a∥β，∴a∥c，则b∥c．
又∵b β，c β，∴b∥β．
又∵b α，α∩β＝l，∴b∥l．
又∵a∥b，∴a∥l．
利用线面平行的判定和性质定理，可以完成线线平行与线面平行的相互转化．转化思想是一种重要数学思想．该转化过程可概括为：
[学以致用] 3．一正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点．
(1)过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，在木块的表面应该怎样画线？
(2)在平面ABC中所画的线与棱AC是什么位置关系？
[解] (1)取VC的中点D，BC的中点E，AB的中点F．
分别连接PD，PF，EF，DE．
则PD，PF，EF，DE即为在木块表面应画的线．
(2)在平面ABC中画的线EF与棱AC平行，证明如下：
因为PF∥DE，
所以P，D，E，F四点共面，且AC∥平面PDEF．
因为平面ABC∩平面PDEF＝EF，
所以AC∥EF．
【教用·备选题】 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点．
(1)求证：QN∥平面PAD；
(2)记平面CMN与底面ABCD的交线为l，试判断直线l与平面PBD的位置关系，并证明．
[解] (1)[证明] 因为N，Q分别为PB，PC的中点，
所以QN∥BC．
因为底面ABCD是菱形，
所以BC∥AD，所以QN∥AD．
因为QN 平面PAD，AD 平面PAD，
所以QN∥平面PAD．
(2)直线l与平面PBD平行，证明如下：
因为N，M分别为PB，PD的中点，
所以MN∥BD．
因为MN 平面ABCD，BD 平面ABCD，
所以MN∥平面ABCD．
因为平面CMN与底面ABCD的交线为l，
MN 平面CMN，
由线面平行的性质定理可得MN∥l．
又MN 平面PBD，l 平面PBD，
所以直线l∥平面PBD．
1．下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是( )
A．直线m在平面α外
B．直线m与平面α内的两条直线平行
C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行
D．直线m与平面α内的一条直线平行
C [根据线面平行的判定定理可知，C选项正确．A选项直线m可能与平面α相交，B和D选项直线m可能在平面α内，所以ABD三个选项不正确．
故选C．]
2．(多选)两条直线a，b满足a∥b，b 平面α，则a与平面α的位置关系可以是( )
A．a∥α B．a与α相交
C．a与α不相交 D．a α
[答案] ACD
3．如图，在三棱锥S -ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则( )
A．EF与BC相交 B．EF∥BC
C．EF与BC异面 D．以上均有可能
B [∵平面SBC∩平面ABC＝BC，且EF∥平面ABC，∴EF∥BC．]
4．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于______．
[因为EF∥平面AB1C，EF 平面ABCD，平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC．又点E为AD的中点，点F在CD上，所以点F是CD的中点，所以EF＝AC＝．]
1．知识链：(1)直线与平面平行的判定定理．
(2)直线与平面平行的性质定理．
2．方法链：转化与化归．
3．警示牌：证明线面平行时注意不要漏写线在平面外(内)．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．应用直线与平面平行的判定定理应注意什么问题？
[提示] 利用判定定理证明线面平行，必须具备三点：(1)平面内一条直线a；(2)平面外一条直线b；(3)a∥b．只有具备了这三点才能说明线面平行．
2．在遇到线面平行时，我们常常如何应用条件？
[提示] 在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．
3．判断或证明线面平行的常用方法有哪些？
[提示] (1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作)．
(2)判定定理法：a α，b α，a∥b a∥α．
(3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内．
课时分层作业(二十九) 直线与平面平行
一、选择题
1．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为( )
A．都平行
B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点
D．都平行或交于同一点
A [因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A．]
2．下列命题正确的是( )
A．a∥b，b α a∥α
B．a∥α，b α a∥b
C．a∥α，a∥b b∥α
D．a α，a∥b，b α a∥α
D [对于A，a∥b，b α，有可能a α，A错误；
对于B，a∥α，b α，有可能a，b异面，B错误；
对于C，a∥α，a∥b，有可能b α，C错误；
对于D，由线面平行的判定定理可知D正确．]
3．如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则( )
A．MN∥PD
B．MN∥PA
C．MN∥AD
D．以上均有可能
B [∵MN∥平面PAD，MN 平面PAC，平面PAD∩平面PAC＝PA，∴MN∥PA．故选B．]
4．若l，m是平面α外的两条不同直线，且m∥α，则“l∥m”是“l∥α”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
A [∵l，m是平面α外的两条不同的直线，m∥α，∴若l∥m，则推出“l∥α”；若l∥α，则l∥m或l与m相交，∴若l，m是平面α外的两条不同直线，且m∥α，则“l∥m”是“l∥α”的充分不必要条件．故选A．]
5．(多选)在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是( )
A B
C D
BCD [对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行的判定定理可知B满足题意；对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行的判定定理可知C满足题意；对于选项D，由于AB∥NQ，结合线面平行的判定定理可知D满足题意．故选BCD．]
二、填空题
6．已知α，β是不同的平面，a，b是不同的直线．给出下列四个论断：①α∩β＝b；②a β；③a∥b；④a∥α．以其中三个论断作为条件，剩下一个论断作为结论，写出你认为正确的两个命题：________．
①②④ ③，①②③ ④ [由线面平行的判定定理与性质定理得①②④ ③，①②③ ④．]
7．如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，若过A，C，B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与AC的关系是________．
平行 [连接A1C1(图略)，∵AC∥A1C1，∴AC∥平面A1B1C1D1，
又∵AC 平面AB1C，平面AB1C∩平面A1B1C1D1＝l，
∴AC∥l．]
8．如图所示，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N且点M是AD的中点，AB＝4，CD＝6，则MN＝________．
5 [因为AB∥平面α，AB 平面ABCD，平面ABCD∩平面α＝MN，
所以AB∥MN．
又点M是AD的中点，AB∥CD，
所以MN是梯形ABCD的中位线，故MN＝5．]
三、解答题9．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F分别是AB，PC的中点．证明：EF∥平面PAD．
[证明] 取PD的中点G，连接AG，FG，
因为F，G分别是PC，PD的中点，
所以FG∥CD且FG＝CD．
因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB∥CD且AB＝CD．
因为E为AB的中点，
所以AE∥CD且AE＝CD，所以AE∥FG且AE＝FG，
所以四边形AEFG为平行四边形，
故EF∥AG．
因为EF 平面PAD，AG 平面PAD，所以EF∥平面PAD．
10．若直线a∥平面α，A α，且直线a与点A位于α的两侧，B，C∈a，AB，AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF的长为( )
A．3 B．
C． D．
B [∵BC∥α，BC 平面ABC，
平面ABC∩α＝EF，
∴EF∥BC，∴＝，
即＝，
∴EF＝．故选B．]
11．已知A，B是直线l外的两点，则过A，B且和l平行的平面有( )
A．0个 B．1个
C．无数个 D．以上都有可能
D [若直线AB与l相交，则过A，B不存在与l平行的平面；
若AB与l异面，则过A，B存在1个与l平行的平面；
若AB与l平行，则过A，B存在无数个与l平行的平面，故选D．]
12．如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是它们所在线段的中点，则满足A1F∥平面BD1E的图形为( )
A．① B．①②
C．② D．①②③
C [①中，平移A1F至D1F′，知D1F′与平面BD1E有一个交点D1，则A1F与平面BD1E不平行；
②中，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是它们所在线段的中点，则易知A1F∥D1E，而A1F 平面BD1E，D1E 平面BD1E，故A1F∥平面BD1E；
③中，同①平移A1F至D1F′，知D1F′与平面BD1E有一个交点D1，则A1F与平面BD1E不平行．
故选C．]
13．如图，在三棱锥P-ABC中，D，E分别为棱PB，BC的中点，若F在线段AC上，且满足AD∥平面PEF，则＝( )
A．1 B．2
C． D．
C [如图，连接CD交PE于点G，则G为△PBC的重心，连接FG．
因为AD∥平面PEF，AD 平面ADC，平面ADC∩平面PEF＝FG，所以AD∥FG，
即＝＝，故选C．]
14．如图所示，已知P是 ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l．
(1)求证：l∥BC；
(2)MN与平面APD是否平行？试证明你的结论．
[解] (1)证明：因为BC∥AD，
BC 平面PAD，AD 平面PAD，
所以BC∥平面PAD．
又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l．
(2)平行．如图，取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM．
可知四边形AMNE为平行四边形，
所以MN∥AE．又因为MN 平面APD，AE 平面APD，
所以MN∥平面APD．
15．如图，E为平行四边形ABCD所在平面外一点，P是线段CD的中点，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE？若存在，指出点M的位置，并证明你的结论．
[解] 存在点M，如图，当点M是线段AE的中点时，
PM∥平面BCE．
证明如下：取BE的中点N，连接CN，MN，
则MN∥AB且MN＝AB．
又PC∥AB且PC＝AB，所以MN∥PC且MN＝PC，所以四边形MNCP为平行四边形，所以PM∥CN．
因为PM 平面BCE，CN 平面BCE，
所以PM∥平面BCE．
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