8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.1 直线与直线垂直
[学习目标] 1．借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直．
2．理解并掌握异面直线所成的角，掌握两异面直线所成的角的求法．
[讨论交流] 预习教材P146－P148的内容，思考以下问题：
问题1．异面直线所成的角的定义是什么？
问题2．异面直线所成的角的范围是什么？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 异面直线所成的角
探究问题 平面内两条直线所成的角的取值范围是多少？
[提示] ．
[新知生成] 异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°．
【教用·微提醒】 (1)两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关．
(2)找出两条异面直线所成的角，要作平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．
【链接·教材例题】
例1 如图8.6-3，已知正方体ABCD-A′B′C′D′．
(1)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？
(2)求直线BA′与CC′所成的角的大小．
(3)求直线BA′与AC所成的角的大小．
[解] (1)棱AB，BC，CD，DA，A′B′，B′C′，C′D′，D′A′所在直线分别与直线AA′垂直．
(2)因为ABCD-A′B′C′D′是正方体，所以BB′∥CC′，因此∠A′BB′为直线BA′与CC′所成的角．又因为∠A′BB′＝45°，所以直线BA′与CC′所成的角等于45°．
(3)如图8.6-4，连接A′C′．因为ABCD-A′B′C′D′是正方体，所以AA′綉CC′．从而四边形AA′C′C是平行四边形，所以AC∥A′C′．于是∠BA′C′为异面直线BA′与AC所成的角．
连接BC′，易知△A′BC′是等边三角形，所以∠BA′C′＝60°．从而异面直线BA′与AC所成的角等于60°．
[典例讲评] 1．如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：
(1)BE与CG所成的角；
(2)FO与BD所成的角．
[解] (1)∵CG∥FB，
∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角．
在Rt△EFB中，EF＝FB，
∴∠EBF＝45°，
∴BE与CG所成的角为45°．
(2)如图，连接FH，
∵FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD，
∴FB＝HD，FB∥HD，
∴四边形FBDH是平行四边形，
∴BD∥FH，
∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角．
连接HA，AF，则△AFH是等边三角形．
又O是AH的中点，
∴∠HFO＝30°，
∴FO与BD所成的角为30°．
求异面直线所成角的一般步骤
(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角．
(2)证：证明作出的角就是要求的角，其实质是证明线线平行，并指出所作的角就是要求的角．
(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．
(4)结论：假如所构造的角的大小为α，若0°＜α≤90°，则α即为所求异面直线所成角的大小；若90°＜α＜180°，则180°－α即为所求．
可用“一作二证三计算四结论”来概括．同时注意异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°．
[学以致用] 1．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2AA1，M是AA1的中点，则异面直线AD1与BM所成角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
D [如图所示，连接A1C1，C1M，BC1，
∵AB綉CD綉C1D1，
∴四边形ABC1D1为平行四边形，∴AD1∥BC1，
∴AD1与BM所成的角即为BC1与BM所成的角，
即∠C1BM．
不妨设AA1＝1，则AB＝2，
∵BM＝＝，BC1＝＝，
C1M＝＝，
∴cos ∠C1BM＝＝＝．
即异面直线AD1与BM所成角的余弦值为．故选D．]
【教用·备选题】 当动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DC上运动时，异面直线D1P与BC1所成角的取值范围是( )
A． B．
C． D．
C [设正方体棱长为1，DP＝x，则x∈，连接AD1，AP(图略)，
由AD1∥BC1可知，∠AD1P(或其补角)即为异面直线D1P与BC1所成的角．
在△AD1P中，AD1＝，AP＝D1P＝，
故cos ∠AD1P＝，
又∵x∈，∴cos ∠AD1P＝∈，又∠AD1P∈(0，π)，∴∠AD1P∈．故选C．]
探究2 直线与直线垂直
[新知生成] 两条异面直线垂直
(1)定义：如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．
(2)表示：直线a与直线b垂直，记作a⊥b．
【链接·教材例题】
例2 如图8.6-5(1)，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心．求证AO1⊥BD．
分析：要证明AO1⊥BD，应先构造直线AO1与BD所成的角，若能证明这个角是直角，即得AO1⊥BD．
[证明] 如图8.6-5(2)，连接B1D1．
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，∴BB1綉DD1．
∴四边形BB1D1D是平行四边形．
∴B1D1∥BD．
∴直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角．
连接AB1，AD1，易证AB1＝AD1．
又O1为底面A1B1C1D1的中心，
∴O1为B1D1的中点，∴AO1⊥B1D1．
∴AO1⊥BD．
[典例讲评] 2．如图，正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求证：DB1⊥EF．
[解] 法一：如图，连接A1C1，B1D1，设交点为O，取DD1的中点G，连接OG，GA1，GC1．
则OG∥B1D，EF∥A1C1，
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．
∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，
∴GO⊥A1C1，∴异面直线DB1与EF所成的角为90°，
∴DB1⊥EF．
法二：如图，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，则HE∥DB1，且HE＝DB1．
∴∠HEF为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．连接HF，设AA1＝1，则EF＝，HE＝，取A1D1的中点I，连接IF，HI，则HI⊥IF．
∴HF2＝HI2＋IF2＝，
∴HF2＝EF2＋HE2，
∴∠HEF＝90°，∴异面直线DB1与EF所成的角为90°，
∴DB1⊥EF．
法三：如图，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连接B1Q，DQ，则B1Q∥EF．
∠DB1Q是异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．
通过计算，不难得到B1D2＋B1Q2＝DQ2，∴∠DB1Q＝90°，
从而异面直线DB1与EF所成的角为90°，所以DB1⊥EF．
要证明两异面直线垂直，应先构造两异面直线所成的角．若能证明这个角是直角，即得到两异面直线垂直．
[学以致用] 2．如图，空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝，EF＝3．求证：AC⊥BD．
[证明] ∵点G，E分别是CD，BC的中点，∴GE∥BD，同理GF∥AC．∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角．
在△EFG中，FG＝2，GE＝，EF＝3，
满足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°，
即异面直线AC与BD所成的角是90°，
∴AC⊥BD．
1．教室内有一把直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线与直尺所在的直线( )
A．异面 B．相交
C．平行 D．垂直
D [若尺子与地面相交，则C不正确；若尺子平行于地面，则B不正确；若尺子放在地面上，则A不正确，故选D．]
2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AC与B1D1所成的角为( )
A． B．
C． D．
D [由题意，得正方体中B1D1∥BD，故异面直线AC与B1D1所成的角，即正方形ABCD的对角线AC与BD的夹角，故选D．]
3．如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则异面直线BD与AC所成的角为________．
60° [依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°．]
4．在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为________．
60° [如图所示，连接BC1，AD1，CD1，
∵MN∥BC1∥AD1，
∴∠D1AC或其补角是异面直线AC和MN所成的角．
∵△ACD1是等边三角形，∴∠D1AC＝60°，
即异面直线AC和MN所成的角为60°．]
1．知识链：(1)平面内两直线的夹角．
(2)异面直线所成的角．
(3)利用异面直线所成的角证明两直线垂直．
2．方法链：转化与化归．
3．警示牌：注意不要忽视异面直线所成角θ的范围是0°<θ≤90°．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．异面直线所成角的范围如何？什么是异面直线垂直？
[提示] 异面直线所成角θ的范围为0°<θ≤90°，如果两条异面直线a，b所成的角为直角，就称这两条直线互相垂直，记为a⊥b．
2．用平移法求异面直线所成角的一般步骤是什么？
[提示] (1)作角——用平移法找(或作)出符合题意的角；
(2)求角——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角；
(3)结论——设由(2)求出的角的大小为θ，若0°<θ≤90°，则θ即为所求，若90°<θ<180°，则180°－θ即为所求．
3．用平移法求异面直线所成角时应用了什么数学思想？
[提示] 应用的是数学上的转换思想，即化空间图形问题为平面图形问题．
课时分层作业(三十一) 直线与直线垂直
一、选择题
1．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且异面的直线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
B [和AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1，故选B．]
2．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则异面直线BD1与AA1所成角的余弦值是( )
A． B．
C． D．
D [由于AA1∥DD1，所以∠DD1B即为异面直线BD1与AA1所成的角(或其补角)，不妨设正方体的棱长为a，
则BD＝a，BD1＝＝a，
所以cos ∠DD1B＝＝＝，
故选D．]
3．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的12条棱所在的直线中与直线BC1所成角为的条数为( )
A．6 B．8
C．10 D．12
B [因为正方体中∠CBC1＝，所以BC与直线BC1所成角为，又BC∥AD∥A1D1∥B1C1，
所以AD，A1D1，B1C1与直线BC1所成角为，
同理可得BB1，CC1，DD1，AA1与直线BC1所成角为，
又AB，CD，C1D1，A1B1与直线BC1所成角为，
所以与直线BC1所成角为的棱有8条．
故选B．]
4．在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且异面直线AB与CD所成的角为30°，E，F分别是BC和AD的中点，则异面直线EF与AB所成的角等于( )
A．15° B．30°
C．75° D．15°或75°
D [如图，设G是AC的中点，分别连接EG，GF，由已知得EG∥AB，EG＝AB，FG＝CD，FG∥CD，所以∠EGF是AB，CD所成的角(或其补角)．
因为AB＝CD，所以EG＝GF．
当∠EGF＝30°时，AB与EF所成角∠GEF＝75°，
当∠EGF＝150°时，AB与EF所成角∠GEF＝15°．
故选D．]
5．(多选)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )
A．CC1与B1E是异面直线
B．C1C与AE共面
C．AE与B1C1是异面直线
D．AE与B1C1所成的角为90°
CD [由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E共面，A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC的中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成的角为90°，D正确．故选CD．]
二、填空题
6．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝________．
5 [如图，取AD的中点P，连接PM，PN，
则BD∥PM，AC∥PN，
∴∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角，
∴∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，∴MN＝5．]
7．如图，已知O是圆柱下底面圆的圆心，AA1为圆柱的一条母线，B为圆柱下底面圆周上一点，OA＝1，∠AOB＝，△AA1B为等腰直角三角形，则异面直线A1O与AB所成角的余弦值为________．
[如图，过点B作BB1∥AA1交圆柱的上底面于点B1，连接A1B1，B1O，
则由圆柱的性质易证四边形A1B1BA为矩形，所以A1B1∥AB，
所以∠B1A1O或其补角即异面直线A1O与AB所成的角．
在△AOB中，OA＝OB＝1，∠AOB＝，
所以AB＝2OB sin ＝2sin ＝，
因为△AA1B为等腰直角三角形，且AA1⊥AB，所以A1A＝AB＝，
所以B1O＝A1O＝＝2，又A1B1＝AB＝，
所以cos ∠B1A1O＝＝＝，
即异面直线A1O与AB所成角的余弦值为．]
8．如图所示，圆锥的底面直径AB＝4，高OC＝2，D为底面圆周上的一点，且∠AOD＝120°，则直线AD与BC所成的角为________．
60° [如图，延长DO交底面圆于点E，连接BE，CE，由AB，DE均为圆的直径知AD∥BE，且AD＝BE，
所以∠CBE即为异面直线AD与BC所成的角(或其补角)．
在△AOD中，AD＝2OAsin 60°＝2，
在△CBE中，CB＝CE＝BE＝2，所以△CBE为等边三角形，所以∠CBE＝60°．]
三、解答题
9．如图，空间四边形ABCD的各棱长都相等，E为BC的中点，求异面直线AE与CD所成角的余弦值．
[解] 如图，取BD的中点F，连接EF，AF，
又E为BC的中点，∴EF綉CD，
∴∠AEF为异面直线AE与CD所成的角(或其补角)．
设空间四边形ABCD的棱长为a，则AE＝AF＝a，EF＝，
∴cos ∠AEF＝
＝＝．
故异面直线AE与CD所成角的余弦值为．
10．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是( )
A．0°<θ<60° B．0°≤θ<60°
C．0°≤θ≤60° D．0°<θ≤60°
D [连接CD1，因为CD1∥BA1，所以CP与BA1所成的角就是CP与CD1所成的角，
即θ＝∠D1CP．当点P从D1向A运动时，∠D1CP从0°增大到60°，但当点P与D1重合时，CP∥BA1，与CP与BA1为异面直线矛盾，所以异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是0°<θ≤60°．故选D．]
11．(多选)一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，正确的是( )
A．AB⊥EF
B．AB与CM所成的角为60°
C．EF与MN是异面直线
D．MN∥CD
AC [以正方形NACF为底面，还原正方体，如图所示．
对选项A，因为AB∥CM，且CM⊥EF，所以AB⊥EF，故A正确；
对选项B，因为AB∥CM，所以B错误；
对选项C，由图可得EF与MN是异面直线，C正确；
对选项D，MN⊥CD，故D错误．
故选AC．]
12．平面α过直三棱柱ABC-A1B1C1的顶点B1，平面α∥平面ABC1，平面α∩平面BB1C1C＝l，且AA1＝AB＝BC，AB⊥BC，则A1B与l所成角的正弦值为( )
A．B． C． D．
A [如图所示，将直三棱柱ABC-A1B1C1向上补一个全等的直三棱柱A1B1C1-A2B2C2，
则B1C2∥BC1，A1B1∥AB，
因为B1C2 平面ABC1，BC1 平面ABC1，且A1B1 平面ABC1，AB 平面ABC1，
所以B1C2∥平面ABC1，且A1B1∥平面ABC1，
又因为B1C2∩A1B1＝B1，且B1C2，A1B1 平面A1B1C2，
所以平面A1B1C2∥平面ABC1，且B1∈平面A1B1C2，故平面A1B1C2即为平面α，所以交线l即为直线B1C2，
因为B1C2∥BC1，则A1B与l所成角为∠A1BC1(或其补角)．
设AA1＝AB＝BC＝1，AB⊥BC，则AC＝A1C1＝，BC1＝BA1＝，可得A1C1＝BC1＝BA1，
所以△A1BC1为等边三角形，
所以∠A1BC1＝60°，
所以sin ∠A1BC1＝，
即A1B与l所成角的正弦值为．
故选A．]
13．如图所示，在等边三角形ABC中，D，E，F分别为各边中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点．将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥后，GH与IJ所成的角为________．
60° [将三角形折成三棱锥，如图所示，GH与IJ为异面直线，在三棱锥A-DEF中，IJ∥AD，GH∥DF，所以∠ADF即为所求，
因此GH与IJ所成的角为60°．
]
14．如图，已知E，F，G，H分别是三棱锥A-BCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，AC与BD所成的角为60°，且AC＝BD＝2，求EG的长．
[解] 因为E，F，G，H分别是三棱锥A-BCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，所以EF为△ABC的中位线，FG为△BCD的中位线，故EF∥AC且EF＝AC＝1，
FG∥BD且FG＝BD＝1．
因为AC与BD所成的角为60°，所以∠EFG＝60°或120°，
当∠EFG＝60°时，EG＝1．
当∠EFG＝120°时，EG＝．
15．如图，已知点P在圆柱OO1的底面⊙O上，AA1⊥AB，BP⊥A1P，AB，A1B1分别为⊙O，⊙O1的直径，且AB∥A1B1．
若圆柱OO1的体积V＝12π，OA＝2，∠AOP＝120°，回答下列问题．
(1)求三棱锥A1-APB的体积；
(2)在线段AP上是否存在一点M(M点异于A，P两点)，使异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为？若存在，请指出点M的位置，并证明；若不存在，请说明理由．
[解] (1)由题意，得V＝π·OA2·AA1＝4π·AA1＝12π，解得AA1＝3．
由OA＝2，∠AOP＝120°，得∠BAP＝30°，BP＝2，AP＝2，∴S△PAB＝×2×2＝2，
∴＝S△PAB·AA1＝×2×3＝2．
(2)当点M为AP的中点时，异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为．
证明如下：
∵O，M分别为AB，AP的中点，∴OM∥BP，
∴∠A1BP就是异面直线OM与A1B所成的角．
∵AA1＝3，AB＝4，AA1⊥AB，∴A1B＝5．
又BP⊥A1P，∴cos ∠A1BP＝＝，∴当点M为AP的中点时，异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共34张PPT)
8.6.1 直线与直线垂直
第八章 立体几何初步
8.6 空间直线、平面的垂直
整体感知
[学习目标] 1．借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直．
2．理解并掌握异面直线所成的角，掌握两异面直线所成的角的求法．
[讨论交流] 预习教材P146－P148的内容，思考以下问题：
问题1．异面直线所成的角的定义是什么？
问题2．异面直线所成的角的范围是什么？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1 异面直线所成的角
探究问题 平面内两条直线所成的角的取值范围是多少？
[新知生成] 异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线__________所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)空间两条直线所成角α的取值范围是________________．
【教用·微提醒】 (1)两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关．
(2)找出两条异面直线所成的角，要作平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．
a′与b′
0°≤α≤90°
【链接·教材例题】
例1 如图8.6-3，已知正方体ABCD-A′B′C′D′．
(1)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？
(2)求直线BA′与CC′所成的角的大小．
(3)求直线BA′与AC所成的角的大小．
[解] (1)棱AB，BC，CD，DA，A′B′，B′C′，C′D′，D′A′所在直线分别与直线AA′垂直．
(2)因为ABCD-A′B′C′D′是正方体，所以BB′∥CC′，因此∠A′BB′为直线BA′与CC′所成的角．又因为∠A′BB′＝45°，所以直线BA′与CC′所成的角等于45°．
(3)如图8.6-4，连接A′C′．因为ABCD-A′B′C′D′是正方体，所以AA′綉CC′．从而四边形AA′C′C是平行四边形，所以AC∥A′C′．于是∠BA′C′为异面直线BA′与AC所成的角．
连接BC′，易知△A′BC′是等边三角形，
所以∠BA′C′＝60°．
从而异面直线BA′与AC所成的角等于60°．
[典例讲评] 1．如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：
(1)BE与CG所成的角；
(2)FO与BD所成的角．
[解] (1)∵CG∥FB，
∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角．
在Rt△EFB中，EF＝FB，
∴∠EBF＝45°，∴BE与CG所成的角为45°．
(2)如图，连接FH，∵FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD，
∴FB＝HD，FB∥HD，
∴四边形FBDH是平行四边形，
∴BD∥FH，
∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角．
连接HA，AF，则△AFH是等边三角形．
又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°，
∴FO与BD所成的角为30°．
发现规律 求异面直线所成角的一般步骤
(1)作：根据所成角的定义，用____法作出异面直线所成的角．
(2)证：证明作出的角就是要求的角，其实质是证明线线平行，并指出所作的角就是要求的角．
(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．
(4)结论：假如所构造的角的大小为α，若0°＜α≤90°，则α即为所求异面直线所成角的大小；若90°＜α＜180°，则____________即为所求．
可用“一作二证三计算四结论”来概括．同时注意异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°．
平移
180°－α
√
√
探究2 直线与直线垂直
[新知生成] 两条异面直线垂直
(1)定义：如果两条异面直线所成的角是____，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．
(2)表示：直线a与直线b垂直，记作______．
直角
a⊥b
【链接·教材例题】
例2 如图8.6-5(1)，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心．求证AO1⊥BD．
分析：要证明AO1⊥BD，应先构造直线AO1与BD所成的角，若能证明这个角是直角，即得AO1⊥BD．
[证明] 如图8.6-5(2)，连接B1D1．
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，∴BB1綉DD1．
∴四边形BB1D1D是平行四边形．
∴B1D1∥BD．
∴直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角．
连接AB1，AD1，易证AB1＝AD1．
又O1为底面A1B1C1D1的中心，
∴O1为B1D1的中点，∴AO1⊥B1D1．
∴AO1⊥BD．
[典例讲评] 2．如图，正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求证：DB1⊥EF．
[解] 法一：如图，连接A1C1，B1D1，设交点为O，取DD1的中点G，连接OG，GA1，GC1．
则OG∥B1D，EF∥A1C1，
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．
∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，
∴GO⊥A1C1，∴异面直线DB1与EF所成的角为90°，
∴DB1⊥EF．
法三：如图，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连接B1Q，DQ，则B1Q∥EF．
∠DB1Q是异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．
通过计算，不难得到B1D2＋B1Q2＝DQ2，
∴∠DB1Q＝90°，
从而异面直线DB1与EF所成的角为90°，
所以DB1⊥EF．
反思领悟 要证明两异面直线垂直，应先构造两异面直线所成的角．若能证明这个角是直角，即得到两异面直线垂直．
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
1．教室内有一把直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线与直尺所在的直线( )
A．异面 B．相交
C．平行 D．垂直
D [若尺子与地面相交，则C不正确；若尺子平行于地面，则B不正确；若尺子放在地面上，则A不正确，故选D．]
2
3
题号
1
4
√
2
3
题号
4
1
3．如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则异面直线BD与AC所成的角为________．
60° [依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°．]
60°
2
4
3
题号
1
4．在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为________．
60°
60° [如图所示，连接BC1，AD1，CD1，
∵MN∥BC1∥AD1，
∴∠D1AC或其补角是异面直线AC和MN所成的角．
∵△ACD1是等边三角形，∴∠D1AC＝60°，
即异面直线AC和MN所成的角为60°．]
2
4
3
题号
1
1．知识链：(1)平面内两直线的夹角．
(2)异面直线所成的角．
(3)利用异面直线所成的角证明两直线垂直．
2．方法链：转化与化归．
3．警示牌：注意不要忽视异面直线所成角θ的范围是0°<θ≤90°．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．异面直线所成角的范围如何？什么是异面直线垂直？
[提示] 异面直线所成角θ的范围为0°<θ≤90°，如果两条异面直线a，b所成的角为直角，就称这两条直线互相垂直，记为a⊥b．
2．用平移法求异面直线所成角的一般步骤是什么？
[提示] (1)作角——用平移法找(或作)出符合题意的角；
(2)求角——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角；
(3)结论——设由(2)求出的角的大小为θ，若0°<θ≤90°，则θ即为所求，若90°<θ<180°，则180°－θ即为所求．
3．用平移法求异面直线所成角时应用了什么数学思想？
[提示] 应用的是数学上的转换思想，即化空间图形问题为平面图形问题．
