8.5.3 平面与平面平行
[学习目标] 1．理解并掌握平面与平面平行的判定定理．
2．理解并掌握平面与平面平行的性质定理．
[讨论交流] 预习教材P139－P142的内容，思考以下问题：
问题1．面面平行的判定定理是什么？
问题2．面面平行的性质定理是什么？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 平面与平面平行的判定定理
探究问题1 我们知道，若一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，这两个平面平行，能否将“任意一条直线”这个条件转化为“有限条直线”呢？请探究思考以下问题：
(1)如果平面α内有一条直线a平行于平面β，那么α与β平行吗？
(2)如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面呢？
①如图，a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在的直线，它们都和桌面平行，以b为轴旋转硬纸片，那么硬纸片能保证和桌面平行吗？
②如图，c和d分别是三角尺相邻两边所在的直线，它们都和桌面平行，动手试试看，三角尺和桌面平行吗？
[提示] (1)不一定；
(2)①硬纸片和桌面不一定平行；②三角尺和桌面平行．
[新知生成] 平面与平面平行的判定定理
文字 语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号 语言 a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α β∥α
图形 语言
【教用·微提醒】 判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件：
(1)平面β内两条相交直线a，b，即a β，b β，a∩b＝P．
(2)两条相交直线a，b都与α平行，即a∥α，b∥α．
【链接·教材例题】
例4 已知正方体ABCD-A1B1C1D1(图8.5-16)，求证：平面AB1D1∥平面BC1D．
[证明] ∵ABCD-A1B1C1D1为正方体，
∴D1C1綉A1B1，AB綉A1B1．∴D1C1綉AB．
∴四边形D1C1BA为平行四边形．
∴D1A∥C1B．
又D1A 平面BC1D，C1B 平面BC1D，
∴D1A∥平面BC1D．
同理D1B1∥平面BC1D．
又D1A∩D1B1＝D1，∴平面AB1D1∥平面BC1D．
[典例讲评] 1．如图所示，已知三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，求证：平面DEF∥平面ABC．
[证明] 在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB．
又知DE 平面ABC，AB 平面ABC，
因此DE∥平面ABC．
同理EF∥平面ABC．
又因为DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面ABC．
平面与平面平行的判定方法
(1)定义法：两个平面没有公共点．
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．
(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β．
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ．
[拓展] 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．
[学以致用] 1．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．求证：平面EFA1∥平面BCHG．
[证明] ∵E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF∥BC．
∵EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG．
∵A1G∥EB且A1G＝EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB．
∵A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG．
∵A1E∩EF＝E，A1E，EF 平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG．
【教用·备选题】 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点．
求证：(1)E，F，B，D四点共面；
(2)平面MAN∥平面EFDB．
[证明] (1)连接B1D1，
∵E，F分别是B1C1，C1D1的中点，
∴EF∥B1D1．
而BD∥B1D1，
∴BD∥EF．
∴E，F，B，D四点共面．
(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD．
又MN 平面EFDB，BD 平面EFDB，
∴MN∥平面EFDB．
连接MF．∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，
∴MF∥A1D1，MF＝A1D1，
∴MF∥AD且MF＝AD，
∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF．
又AM 平面EFDB，DF 平面EFDB，
∴AM∥平面EFDB．
又∵AM∩MN＝M，
∴平面MAN∥平面EFDB．
探究2 平面与平面平行的性质定理的应用
探究问题2 若两平面α与β平行，那么平面α内的直线a与平面β平行吗？平面α内的直线a与平面β内的任一直线b平行吗？
[提示] 若两平面α与β平行，那么平面α内的直线a与平面β平行，平面α内的直线a与平面β内的任一直线b不一定平行．
探究问题3 观察正方体ABCD-A′B′C′D′，解答下面问题：
(1)平面ABCD与平面A′B′C′D′有什么关系？
(2)平面AA′D′D与平面ABCD、平面A′B′C′D′的交线分别是什么？两者是什么关系？
(3)如图，若平面α∥平面β，平面α∩平面γ＝a，平面β∩平面γ＝b，则a，b是什么关系？请试着给出证明．
[提示] (1)平行；(2)平面AA′D′D∩平面ABCD＝AD，
平面AA′D′D∩平面A′B′C′D′＝A′D′，易知AD∥A′D′．
(3)平行．
证明：∵α∩γ＝a，β∩γ＝b，
∴a α且b β．
又∵α∥β，
∴a与b没有公共点．
又∵a γ且b γ，
∴a∥b．
[新知生成] 平面与平面平行的性质定理
文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
图形语言
[典例讲评] 2．(源自湘教版教材)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N．求证：
(1)NC1∥AM；
(2)N为AC的中点．
[证明] (1)因为平面AB1M∥平面BC1N，
平面AB1M∩平面ACC1A1＝AM，
平面BC1N∩平面ACC1A1＝NC1，
所以NC1∥AM．
(2)因为AC∥A1C1，NC1∥AM，
所以四边形ANC1M为平行四边形，
所以AN＝C1M＝A1C1＝AC，
所以N为AC的中点．
应用平面与平面平行的性质定理的基本步骤
[学以致用] 2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，过点B，E，D1的平面与棱CC1交于点F．
(1)求证：四边形BFD1E为平行四边形；
(2)试确定点F的位置．
[解] (1)证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面DCC1D1，
且平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BE，平面BFD1E∩平面DCC1D1＝FD1，
由面面平行的性质定理知BE∥FD1，
同理BF∥D1E，
∴四边形BFD1E为平行四边形．
(2)取BB1的中点M，
连接MC1，ME，如图，
∵M，E分别为棱BB1，AA1的中点，
∴ME綉A1B1．
又A1B1綉C1D1，
∴ME綉C1D1，
∴四边形D1EMC1为平行四边形，
∴D1E∥MC1．
又D1E∥BF，
∴MC1∥BF，又C1F∥BM，
∴四边形MBFC1为平行四边形，
∴BM綉C1F，
∴F为棱CC1的中点．
探究3 平行关系的综合应用
【链接·教材例题】
例5 求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等．
如图8.5-19，α∥β，AB∥CD，且A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，求证AB＝CD．
[证明] 过平行线AB，CD作平面γ，与平面α和β分别相交于AC和BD．
∵α∥β，
∴BD∥AC．
又AB∥CD，
∴四边形ABDC是平行四边形．
∴AB＝CD．
[典例讲评] 3．如图，已知平面α∥平面β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D．
(1)求证：AC∥BD；
(2)已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长．
[解] (1)证明：∵PB∩PD＝P，
∴直线PB和PD确定一个平面γ，
则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD．
又α∥β，∴AC∥BD．
(2)由(1)得AC∥BD，则＝．
又PA＝4，AB＝5，PC＝3，
∴＝，∴CD＝，
故PD＝PC＋CD＝．
[母题探究] 若点P在平面α与β之间，其他条件不变．
(1)求证：AC∥BD；
(2)已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长．
[解] (1)[证明] 如图，∵PB∩PD＝P，
∴PB，PD确定平面γ，γ∩α＝AC，γ∩β＝BD．
又α∥β，
∴AC∥BD．
(2)由(1)得AC∥BD，∴△PAC∽△PBD，
∴＝，即＝．
又PA＝4，AB＝5，PC＝3．
∴＝，则PD＝．
证明线面平行的两种方法：
(1)由线线平行推出线面平行；
(2)由面面平行推出线面平行．
注意：线线平行、线面平行、面面平行三者之间可以相互转化：
[学以致用] 3．已知三个平面α，β，γ满足α∥β∥γ，直线a与这三个平面依次交于点A，B，C，直线b与这三个平面依次交于点E，F，G．
求证：＝．
[证明] 连接AG交β于H，连接BH，FH，AE，CG．
因为β∥γ，平面ACG∩β＝BH，平面ACG∩γ＝CG，
所以BH∥CG．同理AE∥HF，
所以＝＝，
所以＝．
【教用·备选题】 如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E，F分别是AB，CD的中点，ED与AF相交于点H，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，且PG＝λGD．求：
(1)实数λ的值；
(2)GH的值．
[解] (1)因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，且AB＝CD．
又E，F分别是AB，CD的中点，所以AE＝FD，
又∠EAH＝∠DFH，∠AEH＝∠FDH，
所以△AEH≌△FDH，所以EH＝DH．
因为平面AGF∥平面PEC，
平面PED∩平面AGF＝GH，
平面PED∩平面PEC＝PE，
所以GH∥PE，则G是PD的中点，
即PG＝GD，故λ＝1．
(2)因为PA＝AB＝PB＝2，
所以PE＝，GH＝PE＝．
1．平面α∥平面β，直线l∥α，则( )
A．l∥β B．l β
C．l∥β或l β D．l，β相交
C [因为平面α∥平面β，直线l∥α，
所以直线l可能和平面β平行，也可能在平面β内．
故选C．]
2．下列命题正确的是( )
A．一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
B．如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行
D．如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
B [如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共点，则两平面平行．]
3．如图，在正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是( )
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1H与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
A [如图，∵EG∥E1G1，EG 平面E1FG1，E1G1 平面E1FG1，
∴EG∥平面E1FG1．
又G1F∥H1E，
同理可证H1E∥平面E1FG1，
又H1E∩EG＝E，H1E，EG 平面EGH1，
∴平面E1FG1∥平面EGH1．]
4．已知α∥β，AC α，BD β，AB＝6且AB∥CD，则CD＝________．
6 [如图，∵AB∥CD，
∴A，B，C，D四点共面，
∵α∥β，且α∩平面ABDC＝AC，β∩平面ABDC＝BD，
∴AC∥BD，又AB∥CD，
∴四边形ABDC为平行四边形，
∴AB＝CD＝6．]
1．知识链：(1)平面与平面平行的判定定理．
(2)平面与平面平行的性质定理．
2．方法链：转化与化归．
3．警示牌：注意平面与平面平行的条件要充分．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．线线平行、线面平行、面面平行之间关系如何转化？
[提示] 三者之间的相互转化关系如图所示．
2．证明直线与直线平行的方法有哪些？
[提示] (1)平面几何中证明直线平行的方法．如同位角相等，两直线平行；三角形中位线的性质等．
(2)基本事实4．
(3)线面平行的性质定理．
(4)面面平行的性质定理．
3．证明直线与平面平行的方法有哪些？
[提示] (1)线面平行的判定定理．
(2)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
课时分层作业(三十) 平面与平面平行
一、选择题
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，必与另外一个平面平行
B．一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行
C．平行于同一个平面的两平面平行
D．夹在两个平行平面间的平行线段相等
BCD [A中，直线还可以在平面内，A错误；B中，一个平面内两条相交直线平行于另一个平面内的两条相交直线，可得两条相交直线与另一个平面平行，即两个平面平行，B正确；C，D显然正确．]
2．两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是( )
A．两两相互平行
B．两两相交于同一点
C．两两相交但不一定交于同一点
D．两两相互平行或交于同一点
A [可以想象四棱柱，由面面平行的性质定理可得．]
3．若平面α∥平面β，直线a α，点M∈β，过点M的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．有且只有一条与a平行的直线
D [由于α∥β，a α，M∈β，过M有且只有一条直线与a平行，故D项正确．]
4．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B＝A1F，则AF的长为( )
A．1 B．1.5
C．2 D．3
A [平面α∥平面BC1E，平面α∩平面ABB1A1＝A1F，平面BC1E∩平面ABB1A1＝BE，∴A1F∥BE，又A1E∥FB，
∴四边形A1FBE为平行四边形，
∴FB＝A1E＝3－1＝2，∴AF＝1．]
5．(多选)设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，则下列四个命题正确的为( )
A．若α∥β，γ∥β，则α∥γ
B．若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α∥β，l α，则l∥β
D．若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n
ACD [对于A，由面面平行的传递性可知A正确；对于B，若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β或α与β相交，所以B错误；对于C，若两个平面平行，其中一个平面内的任一直线都与另一个平面平行，所以C正确；对于D，因为α∩β＝l，β∩γ＝m，l∥γ，所以l∥m，同理l∥n，由平行线的传递性可得m∥n，所以D正确．故选ACD．]
二、填空题
6．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．
平行四边形 [∵平面ABFE∥平面DCGH，平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG．同理，EH∥FG．∴四边形EFGH是平行四边形．]
7．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC于N，则＝________．
[∵平面MNE∥平面ACB1，
由面面平行的性质定理可得EN∥B1C，EM∥B1A，
又∵E为BB1的中点，∴M，N分别为BA，BC的中点，
∴MN＝AC，即＝．]
8．如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝________．
[∵平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，
∴AB∥A′B′，同理B′C′∥BC，
易得△ABC∽△A′B′C′，
＝＝＝．]
三、解答题
9．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，EF∥AC，G是DE的中点，求证：平面ACG∥平面BEF．
[证明] 如图，连接BD，设BD∩AC＝O，连接OG，则由题意可知，OG是△BDE的中位线，所以OG∥BE，
又OG 平面BEF，BE 平面BEF，所以OG∥平面BEF．
又已知EF∥AC，AC 平面BEF，EF 平面BEF，所以AC∥平面BEF．又AC∩OG＝O，AC，OG 平面ACG，
所以平面ACG∥平面BEF．
10．已知α，β是空间两个不同的平面，命题p：“α∥β”，命题q：“平面α内有无数条直线与β平行”，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [若α∥β，则平面α内的任意一条直线平行于平面β，故平面α内有无数条直线与β平行，所以p可以推出q；
根据面面平行的判定定理，如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．
若平面α内有无数条直线与β平行，则α与β可能相交，不一定平行，所以q不能推出p．故选A．]
11．(多选)如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中正确的关系有( )
A．AG∥CD
B．DE∥平面ABFG
C．平面BDE∥平面AFH
D．BE∥平面DGC
BC [还原为原正方体如图所示，
由图可知，AG与CD异面，故A错误；
因为DE∥AF，AF 平面ABFG，DE 平面ABFG，
所以DE∥平面ABFG，故B正确；
因为DE∥AF，AF 平面AFH，DE 平面AFH，
所以DE∥平面AFH，
因为DB∥FH，FH 平面AFH，DB 平面AFH，
所以DB∥平面AFH，
而DE∩DB＝D，DE，DB 平面BDE，
所以平面BDE∥平面AFH，故C正确；
因为BE∥AH，AH与平面DGC相交，
所以BE与平面DGC相交，故D错误．
故选BC．]
12．(多选)如图，棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1E＝2EA，设过点D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF，则( )
A．EF∥D1C
B．EF＝a
C．CF＝a
D．三棱锥A-EFC的体积为a3
AD [如图，
连接AC，A1B，因为在正方体中，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，平面ABB1A1∩平面EFCD1＝EF，平面CDD1C1∩平面EFCD1＝CD1，根据面面平行的性质定理可得EF∥D1C，故A正确；
故EF＝A1B＝a，
CF＝＝a，故BC错误；
VA-EFC＝VE-AFC＝a×a×a＝a3，故D正确．]
13．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1．
M在线段FH上 [连接HN，FH，FN(图略)．
∵HN∥DB，FH∥D1D，
HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，
HN，HF 平面FHN，DB，DD1 平面B1BDD1，
∴平面FHN∥平面B1BDD1．
∵点M在四边形EFGH上及其内部运动，
∴M∈FH．]
14．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E＝C1F．求证：EF∥平面ABCD．
[证明] 过点E作EG∥AB交BB1于点G，连接GF，如图，
则＝．
∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，
∴＝，∴FG∥B1C1．
又B1C1∥BC，∴FG∥BC，
又FG 平面ABCD，BC 平面ABCD，
∴FG∥平面ABCD，
又EG∥AB且EG 平面ABCD，AB 平面ABCD，
∴EG∥平面ABCD．
∵FG∩EG＝G，FG，EG 平面EFG，
∴平面EFG∥平面ABCD．
∵EF 平面EFG，∴EF∥平面ABCD．
15．如图所示，在矩形ABCD和矩形ABEF中，AF＝AD，点M，N分别位于AE，DB上(点M异于点A，点N异于点D)，且AM＝DN，矩形ABEF可沿AB任意翻折．
(1)求证：当F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面ADF；
(2)“不管怎样翻折矩形ABEF，线段MN总和线段FD平行”，这个结论对吗？如果对，请证明；如果不对，请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立．
[解] (1)证明：在平面图形中，连接MN，设MN与AB交于点G(图略)．∵四边形ABCD和四边形ABEF都是矩形，且AD＝AF，∴AD∥BE且AD＝BE，
∴四边形ADBE是平行四边形，∴AE＝BD．
又AM＝DN，∴MN∥AD．
翻折之后，如图所示．
∵MG∥AF，NG∥AD，MG∩NG＝G，AF∩AD＝A，∴平面GNM∥平面ADF．又MN 平面GNM，
∴MN∥平面ADF．∴当F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面ADF．
(2)这个结论不对．
要使上述结论成立，M，N应分别为AE，BD的中点．
翻折后连接FB(图略)．
在△BDF中，∵M，N分别为BF，BD的中点，
∴MN∥FD．
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8.5.3 平面与平面平行
第八章 立体几何初步
8.5 空间直线、平面的平行
整体感知
[学习目标] 1．理解并掌握平面与平面平行的判定定理．
2．理解并掌握平面与平面平行的性质定理．
[讨论交流] 预习教材P139－P142的内容，思考以下问题：
问题1．面面平行的判定定理是什么？
问题2．面面平行的性质定理是什么？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1 平面与平面平行的判定定理
探究问题1 我们知道，若一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，这两个平面平行，能否将“任意一条直线”这个条件转化为“有限条直线”呢？请探究思考以下问题：
(1)如果平面α内有一条直线a平行于平面β，那么α与β平行吗？
(2)如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面呢？
①如图，a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在的直线，它们都和桌面平行，以b为轴旋转硬纸片，那么硬纸片能保证和桌面平行吗？
②如图，c和d分别是三角尺相邻两边所在的直线，它们都和桌面平行，动手试试看，三角尺和桌面平行吗？
[提示] (1)不一定；
(2)①硬纸片和桌面不一定平行；②三角尺和桌面平行．
[新知生成] 平面与平面平行的判定定理
文字
语言 如果一个平面内的____________与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号
语言 a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α β∥α
图形
语言
两条相交直线
【教用·微提醒】 判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件：
(1)平面β内两条相交直线a，b，即a β，b β，a∩b＝P．
(2)两条相交直线a，b都与α平行，即a∥α，b∥α．
【链接·教材例题】
例4 已知正方体ABCD-A1B1C1D1(图8.5-16)，求证：平面AB1D1∥平面BC1D．
[证明] ∵ABCD-A1B1C1D1为正方体，
∴D1C1綉A1B1，AB綉A1B1．∴D1C1綉AB．
∴四边形D1C1BA为平行四边形．
∴D1A∥C1B．
又D1A 平面BC1D，C1B 平面BC1D，
∴D1A∥平面BC1D．
同理D1B1∥平面BC1D．
又D1A∩D1B1＝D1，∴平面AB1D1∥平面BC1D．
[典例讲评] 1．如图所示，已知三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，求证：平面DEF∥平面ABC．
[证明] 在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB．
又知DE 平面ABC，AB 平面ABC，
因此DE∥平面ABC．
同理EF∥平面ABC．
又因为DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面ABC．
反思领悟 平面与平面平行的判定方法
(1)定义法：两个平面没有公共点．
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．
(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β．
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ．
[拓展] 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．
[学以致用] 1．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．求证：
平面EFA1∥平面BCHG．
[证明] ∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC．
∵EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG．
∵A1G∥EB且A1G＝EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB．
∵A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG．
∵A1E∩EF＝E，A1E，EF 平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG．
【教用·备选题】 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点．
求证：(1)E，F，B，D四点共面；
(2)平面MAN∥平面EFDB．
[证明] (1)连接B1D1，
∵E，F分别是B1C1，C1D1的中点，
∴EF∥B1D1．
而BD∥B1D1，∴BD∥EF．
∴E，F，B，D四点共面．
(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD．
又MN 平面EFDB，BD 平面EFDB，
∴MN∥平面EFDB．
连接MF．∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，
∴MF∥A1D1，MF＝A1D1，∴MF∥AD且MF＝AD，
∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF．
又AM 平面EFDB，DF 平面EFDB，
∴AM∥平面EFDB．
又∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB．
探究2 平面与平面平行的性质定理的应用
探究问题2 若两平面α与β平行，那么平面α内的直线a与平面β平行吗？平面α内的直线a与平面β内的任一直线b平行吗？
[提示] 若两平面α与β平行，那么平面α内的直线a与平面β平行，平面α内的直线a与平面β内的任一直线b不一定平行．
探究问题3 观察正方体ABCD-A′B′C′D′，解答下面问题：
(1)平面ABCD与平面A′B′C′D′有什么关系？
(2)平面AA′D′D与平面ABCD、
平面A′B′C′D′的交线分别是什么？两者是什么关系？
(3)如图，若平面α∥平面β，平面α∩平面γ＝a，
平面β∩平面γ＝b，则a，b是什么关系？
请试着给出证明．
[提示] (1)平行；(2)平面AA′D′D∩平面ABCD＝AD，
平面AA′D′D∩平面A′B′C′D′＝A′D′，易知AD∥A′D′．
(3)平行．
证明：∵α∩γ＝a，β∩γ＝b，
∴a α且b β．
又∵α∥β，
∴a与b没有公共点．
又∵a γ且b γ，
∴a∥b．
[新知生成] 平面与平面平行的性质定理
文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线____
符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b ______
图形语言
平行
a∥b
[典例讲评] 2．(源自湘教版教材)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N．求证：
(1)NC1∥AM；
(2)N为AC的中点．
反思领悟 应用平面与平面平行的性质定理的基本步骤
[学以致用] 2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，过点B，E，D1的平面与棱CC1交于点F．
(1)求证：四边形BFD1E为平行四边形；
(2)试确定点F的位置．
[解] (1)证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面DCC1D1，
且平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BE，平面BFD1E∩平面DCC1D1＝FD1，
由面面平行的性质定理知BE∥FD1，
同理BF∥D1E，
∴四边形BFD1E为平行四边形．
(2)取BB1的中点M，
连接MC1，ME，如图，∵M，E分别为棱BB1，
AA1的中点，∴ME綉A1B1．
又A1B1綉C1D1，∴ME綉C1D1，
∴四边形D1EMC1为平行四边形，
∴D1E∥MC1．
又D1E∥BF，∴MC1∥BF，又C1F∥BM，
∴四边形MBFC1为平行四边形，∴BM綉C1F，∴F为棱CC1的中点．
探究3 平行关系的综合应用
【链接·教材例题】
例5 求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等．
如图8.5-19，α∥β，AB∥CD，且A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，求证AB＝CD．
[证明] 过平行线AB，CD作平面γ，与平面α和β分别相交于AC和BD．
∵α∥β，
∴BD∥AC．
又AB∥CD，
∴四边形ABDC是平行四边形．
∴AB＝CD．
[典例讲评] 3．如图，已知平面α∥平面β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D．
(1)求证：AC∥BD；
(2)已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长．
[母题探究] 若点P在平面α与β之间，其他条件不变．
(1)求证：AC∥BD；
(2)已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长．
[解] (1)证明：如图，∵PB∩PD＝P，
∴PB，PD确定平面γ，γ∩α＝AC，γ∩β＝BD．
又α∥β，
∴AC∥BD．
反思领悟 证明线面平行的两种方法：
(1)由线线平行推出线面平行；
(2)由面面平行推出线面平行．
注意：线线平行、线面平行、面面平行三者之间可以相互转化：
【教用·备选题】 如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E，F分别是AB，CD的中点，ED与AF相交于点H，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，且PG＝λGD．求：
(1)实数λ的值；
(2)GH的值．
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
1．平面α∥平面β，直线l∥α，则( )
A．l∥β B．l β
C．l∥β或l β D．l，β相交
C [因为平面α∥平面β，直线l∥α，
所以直线l可能和平面β平行，也可能在平面β内．
故选C．]
2
3
题号
1
4
√
2．下列命题正确的是( )
A．一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
B．如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行
D．如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
2
3
题号
1
4
B [如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共点，则两平面平行．]
2
3
题号
4
1
√
3．如图，在正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是( )
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1H与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
A [如图，∵EG∥E1G1，EG 平面E1FG1，E1G1 平面E1FG1，
∴EG∥平面E1FG1．
又G1F∥H1E，
同理可证H1E∥平面E1FG1，
又H1E∩EG＝E，H1E，EG 平面EGH1，
∴平面E1FG1∥平面EGH1．]
2
3
题号
4
1
2
4
3
题号
1
4．已知α∥β，AC α，BD β，AB＝6且AB∥CD，则CD＝________．
6 [如图，∵AB∥CD，
∴A，B，C，D四点共面，
∵α∥β，且α∩平面ABDC＝AC，β∩平面ABDC＝BD，
∴AC∥BD，又AB∥CD，
∴四边形ABDC为平行四边形，
∴AB＝CD＝6．]
6
1．知识链：(1)平面与平面平行的判定定理．
(2)平面与平面平行的性质定理．
2．方法链：转化与化归．
3．警示牌：注意平面与平面平行的条件要充分．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．线线平行、线面平行、面面平行之间关系如何转化？
[提示] 三者之间的相互转化关系如图所示．
2．证明直线与直线平行的方法有哪些？
[提示] (1)平面几何中证明直线平行的方法．如同位角相等，两直线平行；三角形中位线的性质等．
(2)基本事实4．
(3)线面平行的性质定理．
(4)面面平行的性质定理．
3．证明直线与平面平行的方法有哪些？
[提示] (1)线面平行的判定定理．
(2)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
