8.6.2 直线与平面垂直
第1课时 直线与平面垂直的定义及判定定理
[学习目标] 1．借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系．
2．归纳出直线与平面垂直的判定定理．
3．了解直线与平面所成的角．
[讨论交流] 预习教材P149－P152的内容，思考以下问题：
问题1．直线与平面垂直的定义是什么？
问题2．直线与平面垂直的判定定理是什么？
问题3．直线与平面所成的角的定义是什么？直线与平面所成的角的范围是什么？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 直线与平面垂直的定义
探究问题1 观察立在水平桌面上打开的书，书脊可以抽象成一条直线，书脊与桌面上每一页的下底边所在直线都垂直，就说书脊与桌面垂直．那么，什么是直线与平面垂直呢？
[提示] 直线与平面内任意一条直线都垂直，则该直线与平面垂直．
[新知生成] 直线与平面垂直的定义
定义 一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α
有关概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足
图示
画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
【教用·微提醒】 (1)定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．
(2)若l⊥α，c α，则l⊥c．
探究2 直线与平面垂直的判定定理
探究问题2 木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次，如图．如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直．
问题：(1)用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？
(2)上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？
[提示] (1)不能判断垂直；
(2)直线与平面垂直的条件是一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直．
[新知生成] 直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言 m α，n α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n l⊥α
图形语言
[典例讲评] 1．如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．
(1)求证：AN⊥平面PBM；
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：PB⊥平面ANQ．
[证明] (1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM．
又PA⊥平面ABM，BM 平面ABM，
∴PA⊥BM．
又∵PA∩AM＝A，
PA，AM 平面PAM，
∴BM⊥平面PAM．
又AN 平面PAM，∴BM⊥AN．
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM 平面PBM，
∴AN⊥平面PBM．
(2)由(1)知AN⊥平面PBM，
PB 平面PBM，∴AN⊥PB．
又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ 平面ANQ，
∴PB⊥平面ANQ．
由线线垂直证明线面垂直的方法
(1)定义法(不常用)；(2)判定定理(最常用)，要重点寻找平面内的两条相交直线(有时需要作辅助线)，使它们与所给直线垂直．
[学以致用] 1．(1)如图，已知P是菱形ABCD所在平面外的一点，且PA＝PC，求证：AC⊥平面PBD．
(2)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为DD1中点，O为底面ABCD的中心，求证：B1O⊥平面PAC．
[证明] (1)设AC∩BD＝O，则O为AC中点，连接PO(图略)．
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD．
又∵PA＝PC，O为AC的中点，∴AC⊥PO．
∵BD∩PO＝O，BD，PO 平面PBD，
∴AC⊥平面PBD．
(2)连接AB1，CB1，PO，PB1，B1D1，OD，如图．
设AB＝1，∵AB1＝CB1＝，AO＝CO，∴B1O⊥AC．
＝＝，
＝＝，OP2＝OD2＋DP2＝，
＋OP2＝，∴B1O⊥OP．
又∵AC∩OP＝O，AC，OP 平面PAC，
∴B1O⊥平面PAC．
探究3 直线与平面所成的角
[新知生成]
有关概念 对应图形
斜线 一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA
斜足 斜线和平面的交点，如图中点A
射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO
直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PAO； 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°
取值范围 设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90°
【教用·微提醒】 直线与平面所成的角是这条直线与平面内任意直线所成的角中最小的角．
【链接·教材例题】
例4 如图8.6-15，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角．
分析：关键是找出直线A1B在平面A1DCB1上的射影．
[解] 连接BC1，BC1与B1C相交于点O，连接A1O．设正方体的棱长为a．
∵A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B＝B1，
∴A1B1⊥平面BCC1B1．
∴A1B1⊥BC1．
又BC1⊥B1C，
∴BC1⊥平面A1DCB1．
∴A1O为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影，∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角．
在Rt△A1BO中，A1B＝a，BO＝a，
∴BO＝A1B．
∴∠BA1O＝30°．
∴直线A1B和平面A1DCB1所成的角为30°．
[典例讲评] 2．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1．
(1)求D1A与底面ABCD所成的角；
(2)设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，求D1B与底面ABCD所成的角的余弦值．
[解] (1)因为DD1⊥底面ABCD，所以∠D1AD是D1A与底面ABCD所成的角．
因为侧面A1ADD1是正方形，
所以∠D1AD＝45°．
即D1A与底面ABCD所成的角为45°．
(2)如图，连接BD，则BD＝a．
因为DD1⊥底面ABCD，所以∠D1BD是D1B与底面ABCD所成的角，同时DD1⊥DB．
在Rt△D1BD中，DD1＝a，BD＝a，D1B＝a，所以cos ∠D1BD＝＝＝．
即D1B与底面ABCD所成的角的余弦值为．
[母题探究] 在题设条件不变的前提下，求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．
[解] 连接A1C1交B1D1于点O，连接BO．
在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1 平面A1B1C1D1，
∴BB1⊥A1C1．
又BB1∩B1D1＝B1，
∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O，
∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角．
在Rt△A1BO中，
A1O＝A1C1＝A1B，∴∠A1BO＝30°，
即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°．
求直线与平面所成角的步骤
(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．
(2)证明：证明某平面角就是直线与平面所成的角．
(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．
[学以致用] 2．如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值．
[解] 由题意知A是M在平面ABC上的射影，
所以MA⊥平面ABC，所以MC在平面CAB上的射影为AC．
所以∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角．
又因为在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，
所以MC＝BM sin ∠MBC＝5sin 60°＝5×＝．
在Rt△MAB中，MA＝＝＝3．
在Rt△MAC中，sin ∠MCA＝＝＝，
即MC与平面CAB所成角的正弦值为．
【教用·备选题】 已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，求侧棱与底面所成的角的余弦值．
[解] 如图，设正三棱锥S-ABC的底面边长为a，则侧棱长为2a．
设O为底面△ABC的中心，
则∠SAO为SA与底面ABC所成的角．
在Rt△SOA中，因为AO＝a＝a，
所以cos ∠SAO＝＝＝，
即侧棱与底面所成的角的余弦值为．
1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交不垂直 D．不确定
B [一条直线和三角形的两边同时垂直，则其垂直于三角形所在平面，从而垂直于第三边．]
2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是( )
A．平面DD1C1C
B．平面A1DB1
C．平面A1B1C1D1
D．平面A1DB
B [因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，A1D，A1B1 平面A1DB1，所以AD1⊥平面A1DB1．]
3．(多选)下列说法中，正确的是( )
A．若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α
B．若直线l与平面α内的两条直线垂直，则l⊥α
C．若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则l⊥α
D．若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α
CD [对于AB，不能判定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面内，所以错误，CD正确．故选CD．]
4．如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角为________．
45° [因为PA⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角．在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，所以∠PBA＝45°，即直线PB与平面ABC所成的角等于45°．]
1．知识链：(1)直线与平面垂直的定义．
(2)直线与平面垂直的判定定理．
(3)直线与平面所成的角．
2．方法链：转化思想、数形结合．
3．警示牌：求解线面角时，注意找到斜线在平面内的射影．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．直线与平面垂直的判定定理的内容是什么？证明线面垂直的主要方法有哪些？
[提示] 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．证明线面垂直的主要方法：(1)线面垂直的定义；(2)线面垂直的判定定理．
2．若图中的∠POA是斜线PO与平面α所成的角，则需具备哪些条件？如何求直线与平面所成的角？
[提示] 需要PA⊥α，A为垂足，OA为斜线PO在平面α内的射影，这样∠POA就是斜线PO与平面α所成的角．求直线与平面所成角的步骤为一作、二证、三求、四答，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的突破口．
课时分层作业(三十二) 直线与平面垂直的定义及判定定理
一、选择题
1．如图，将一张三角形纸片沿着BC边上的高AD翻折后竖立在桌面上，则折痕AD所在直线与桌面α所成的角等于( )
A．150° B．135°
C．90° D．60°
C [依题意可知AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩CD＝D，BD，CD 平面α，所以AD⊥平面α，所以折痕AD所在直线与桌面α所成的角等于90°．故选C．]
2．如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是( )
A．平行 B．垂直相交
C．垂直但不相交 D．相交但不垂直
C [因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC．又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC．因为AC∩MC＝C，AC，MC 平面AMC，所以BD⊥平面AMC．又MA 平面AMC，所以MA⊥BD．显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．故选C．]
3．若直线l与平面α所成的角为，直线a在平面α内且与直线l异面，则直线l与直线a所成的角的取值范围是( )
A． B．
C． D．
D [如图所示，
设直线l与平面α的交点为A，过点A在α内作直线b∥a，则直线l与直线b所成的角即为直线l与直线a所成的角．而这两条直线所成的角的取值范围是，所以所成的角的最大值是．又知直线l与直线b所成的角的最小值即为直线l与平面α所成的角，所以最小值为．因此所求角的取值范围是．故选D．]
4．如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝2，则AB1与平面AA1C1C所成角的正弦值等于( )
A． B．
C． D．
C [取A1C1的中点D，连接B1D，AD，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面A1B1C1是正三角形，所以B1D⊥A1C1．又因为CC1⊥底面A1B1C1，所以CC1⊥B1D，又CC1∩A1C1＝C1，CC1，A1C1 平面AA1C1C，所以B1D⊥平面AA1C1C，所以∠B1AD为AB1与平面AA1C1C所成的角，
由题意，B1D＝＝，AB1＝＝2，在Rt△B1AD中，sin ∠B1AD＝＝＝．故选C．]
5．(多选)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是( )
A B
C D
BD [对于A，由AB与CE所成角为45°，可得直线AB与平面CDE不垂直；对于B，由AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，CE，ED 平面CDE，可得AB⊥平面CDE；对于C，由AB与CE所成角为60°，可得直线AB与平面CDE不垂直；对于D，连接AC(图略)，由ED⊥平面ABC，可得ED⊥AB，同理可得EC⊥AB，又ED∩EC＝E，ED，EC 平面CDE，所以AB⊥平面CDE．故选BD．]
二、填空题
6．线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为________．
60° [如图，AC⊥α，AB∩α＝B，则BC是AB在平面α内的射影，且BC＝AB，∠ABC为AB所在直线与平面α所成的角．
在Rt△ABC中，cos ∠ABC＝＝，所以∠ABC＝60°．故AB所在直线与平面α所成的角为60°．]
7．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，若PA⊥平面ABCD，则图中共有________个直角三角形．
4 [因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，所以△PAB，△PAD都是直角三角形．因为BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA＝A，AB，PA 平面PAB，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，所以△PBC为直角三角形．同理得CD⊥PD，所以△PCD是直角三角形．]
8．设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出以下说法：
①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；
②若PA，PB，PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；
③若点P到△ABC三边的距离相等，且H在△ABC的内部，则H是△ABC的内心；
④若PA＝PB＝PC，则H是△ABC的外心．
其中正确的说法是________(填序号)．
①②③④ [①正确，因为点P在平面ABC上的射影是H，则PH⊥平面ABC，故PH⊥BC．又PA⊥BC，PA∩PH＝P，PA，PH 平面PAH，所以BC⊥平面PAH，所以AH⊥BC，同理，BH⊥AC，所以H是△ABC的垂心；②正确，若PA，PB，PC两两互相垂直，容易推出AH⊥BC，同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心；③正确，易证Rt△PHD≌Rt△PHE≌Rt△PHF(D，E，F为△ABC各边的垂足)，所以HD＝HE＝HF，且点H在△ABC的内部，则H是△ABC的内心；④正确，可得Rt△PHA≌Rt△PHB≌Rt△PHC，所以HA＝HB＝HC，则H是△ABC的外心．]
三、解答题
9．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，PA＝AC，E是PC的中点．
求证：(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE．
[证明] (1)因为PA⊥底面ABCD，CD 底面ABCD，所以PA⊥CD，
又AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
所以CD⊥平面PAC，又AE 平面PAC，
所以CD⊥AE．
(2)因为PA＝AC，E是PC的中点，所以PC⊥AE，又CD⊥AE，CD∩PC＝C，CD，PC 平面PCD，所以AE⊥平面PCD，又PD 平面PCD，所以PD⊥AE，
又因为AB⊥AD，AB⊥PA，且AD∩PA＝A，AD，PA 平面PAD，所以AB⊥平面PAD，
又PD 平面PAD，所以AB⊥PD，又AE∩AB＝A，AE，AB 平面ABE，所以PD⊥平面ABE．
10．如图，平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，垂足为G，FH∥GE，为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是( )
A．EF⊥平面α
B．EF⊥平面β
C．PQ⊥GE
D．PQ⊥FH
B [∵EG⊥平面α，PQ 平面α，∴EG⊥PQ．
∵EG∥FH，∴EG与FH共面．
为使PQ⊥GH，只需PQ⊥平面EGHF．
若EF⊥平面β，由PQ 平面β，得EF⊥PQ．
又∵EG∩EF＝E，EG，EF 平面EGHF，
从而PQ⊥平面EGHF，则PQ⊥GH．]
11．如图甲，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是边G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体(如图乙)，使G1，G2，G3三点重合于点G，下面结论成立的是( )
A．SG⊥平面EFG B．SD⊥平面EFG
C．GF⊥平面SEF D．GD⊥平面SEF
A [法一：在正方形SG1G2G3中，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，在四面体S-EFG中，SG⊥GE，SG⊥GF，GE∩GF＝G，GE，GF 平面EFG，所以SG⊥平面EFG．
法二：GF即G3F不垂直于SF，所以可以排除C；在△GSD中，设GS＝a(正方形边长)，则GD＝a，SD＝a，所以GS2≠SD2＋GD2，∠SDG≠90°，从而排除B，D．]
12．如图所示，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，∠PBA＝θ1，∠PBC＝θ2，∠ABC＝θ3．则下列关系一定成立的是( )
A．cos θ1cos θ2＝cos θ3
B．cos θ1cos θ3＝cos θ2
C．sin θ1sin θ2＝sin θ3
D．sin θ1sin θ3＝sin θ2
B [因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PA⊥BC，又AC⊥BC，PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，
所以cos θ1＝，cos θ2＝，cos θ3＝．
则有cos θ1cos θ3＝cos θ2．]
13．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1．(填上你认为正确的一种条件即可)
A1C1⊥B1C1(答案不唯一) [如图所示，
连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1．由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)]
14．如图，∠ACB＝90°，平面ABC外有一点P，PC＝4 cm，点P到角的两边CA，CB的距离PE，PF都等于2 cm，求PC与平面ABC所成角的大小．
[解] 如图，
过点P作PO⊥平面ABC于点O，
连接CO，则CO为∠ACB的平分线，且∠PCO为PC与平面ABC所成的角，设其为θ．
∵∠ACB＝90°，∴∠ACO＝∠BCO＝45°．
连接OF，易知△CFO为直角三角形．
又PC＝4，PF＝2，∴CF＝2，∴CO＝2．
在Rt△PCO中，cos θ＝＝，∴θ＝45°．
15．如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当CF⊥平面B1DF时，求AF的值．
[解] 连接CD(图略)，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，
因为点D是等腰Rt△A1B1C1斜边A1C1的中点，所以B1D⊥平面ACC1A1．
又CF 平面ACC1A1，所以B1D⊥CF，故若CF⊥平面B1DF，则必有CF⊥DF．设AF＝x(0DF2＝a2＋(3a－x)2，又CD2＝a2＋9a2＝10a2，
所以10a2＝x2＋4a2＋a2＋(3a－x)2，解得x＝a或2a．
故当CF⊥平面B1DF时，AF＝a或AF＝2a．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共35张PPT)
第1课时 直线与平面垂直的定义及判定定理
第八章 立体几何初步
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.2 直线与平面垂直
整体感知
[学习目标] 1．借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系．
2．归纳出直线与平面垂直的判定定理．
3．了解直线与平面所成的角．
[讨论交流] 预习教材P149－P152的内容，思考以下问题：
问题1．直线与平面垂直的定义是什么？
问题2．直线与平面垂直的判定定理是什么？
问题3．直线与平面所成的角的定义是什么？直线与平面所成的角的范围是什么？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1 直线与平面垂直的定义
探究问题1 观察立在水平桌面上打开的书，书脊可以抽象成一条直线，书脊与桌面上每一页的下底边所在直线都垂直，就说书脊与桌面垂直．那么，什么是直线与平面垂直呢？
[提示] 直线与平面内任意一条直线都垂直，
则该直线与平面垂直．
[新知生成] 直线与平面垂直的定义
定义 一般地，如果直线l与平面α内的________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α
有关概念 直线l叫做平面α的____，平面α叫做直线l的____．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做____
图示
画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
任意一条
垂线
垂面
垂足
【教用·微提醒】 (1)定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．
(2)若l⊥α，c α，则l⊥c．
探究2 直线与平面垂直的判定定理
探究问题2 木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次，如图．如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直．
问题：(1)用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？
(2)上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？
[提示] (1)不能判断垂直；
(2)直线与平面垂直的条件是一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直．
[新知生成] 直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的____________垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言 m α，n α，______＝P，l⊥m，l⊥n l⊥α
图形语言
两条相交直线
m∩n
[典例讲评] 1．如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．
(1)求证：AN⊥平面PBM；
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：PB⊥平面ANQ．
[证明] (1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM．
又PA⊥平面ABM，BM 平面ABM，∴PA⊥BM．
又∵PA∩AM＝A，PA，AM 平面PAM，∴BM⊥平面PAM．
又AN 平面PAM，∴BM⊥AN．
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM 平面PBM，
∴AN⊥平面PBM．
(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB 平面PBM，∴AN⊥PB．
又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ 平面ANQ，
∴PB⊥平面ANQ．
反思领悟 由线线垂直证明线面垂直的方法
(1)定义法(不常用)；(2)判定定理(最常用)，要重点寻找平面内的两条相交直线(有时需要作辅助线)，使它们与所给直线垂直．
[学以致用] 1．(1)如图，已知P是菱形ABCD所在平面外的一点，且PA＝PC，求证：AC⊥平面PBD．
(2)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为DD1中点，O为底面ABCD的中心，求证：B1O⊥平面PAC．
[证明] (1)设AC∩BD＝O，则O为AC中点，连接PO(图略)．
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD．
又∵PA＝PC，O为AC的中点，∴AC⊥PO．
∵BD∩PO＝O，BD，PO 平面PBD，
∴AC⊥平面PBD．
探究3 直线与平面所成的角
[新知生成]
有关概念 对应图形
斜线 一条直线与一个平面____，但不与这个平面____，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA
斜足 斜线和平面的____，如图中点A
相交
垂直
交点
有关概念
射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引____，过____和____的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO
垂线
垂足
斜足
有关概念 对应图形
直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PAO；
规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是______；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是____
取值范围 设直线与平面所成的角为θ，则________________
90°
0°
0°≤θ≤90°
【教用·微提醒】 直线与平面所成的角是这条直线与平面内任意直线所成的角中最小的角．
【链接·教材例题】
例4 如图8.6-15，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角．
分析：关键是找出直线A1B在平面A1DCB1上的射影．
[典例讲评] 2．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1．
(1)求D1A与底面ABCD所成的角；
(2)设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，求D1B与底面ABCD所成的角的余弦值．
[解] (1)因为DD1⊥底面ABCD，
所以∠D1AD是D1A与底面ABCD所成的角．
因为侧面A1ADD1是正方形，
所以∠D1AD＝45°．
即D1A与底面ABCD所成的角为45°．
[母题探究] 在题设条件不变的前提下，求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．
发现规律 求直线与平面所成角的步骤
(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的____，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．
(2)证明：证明某平面角就是直线与平面所成的角．
(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的__________中计算．
垂线
直角三角形
[学以致用] 2．如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值．
【教用·备选题】 已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，求侧棱与底面所成的角的余弦值．
[解] 如图，设正三棱锥S-ABC的底面边长为a，则侧棱长为2a．
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交不垂直 D．不确定
B [一条直线和三角形的两边同时垂直，则其垂直于三角形所在平面，从而垂直于第三边．]
2
3
题号
1
4
√
2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是( )
A．平面DD1C1C
B．平面A1DB1
C．平面A1B1C1D1
D．平面A1DB
B [因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，A1D，A1B1 平面A1DB1，所以AD1⊥平面A1DB1．]
2
3
题号
4
1
√
3．(多选)下列说法中，正确的是( )
A．若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α
B．若直线l与平面α内的两条直线垂直，则l⊥α
C．若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则l⊥α
D．若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α
CD [对于AB，不能判定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面内，所以错误，CD正确．故选CD．]
√
2
4
3
题号
1
4．如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角为________．
45° [因为PA⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角．在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，所以∠PBA＝45°，即直线PB与平面ABC所成的角等于45°．]
45°
1．知识链：(1)直线与平面垂直的定义．
(2)直线与平面垂直的判定定理．
(3)直线与平面所成的角．
2．方法链：转化思想、数形结合．
3．警示牌：求解线面角时，注意找到斜线在平面内的射影．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．直线与平面垂直的判定定理的内容是什么？证明线面垂直的主要方法有哪些？
[提示] 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．证明线面垂直的主要方法：(1)线面垂直的定义；(2)线面垂直的判定定理．
2．若图中的∠POA是斜线PO与平面α所成的角，则需具备哪些条件？如何求直线与平面所成的角？
[提示] 需要PA⊥α，A为垂足，OA为斜线PO在平面α内的射影，这样∠POA就是斜线PO与平面α所成的角．求直线与平面所成角的步骤为一作、二证、三求、四答，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的突破口．
