第2课时 线面垂直的性质与空间距离
[学习目标] 1．理解直线与平面垂直的性质定理．
2．理解空间距离相关定义并会求相应的距离．
[讨论交流] 预习教材P153－P155的内容，思考以下问题：
问题1．直线与平面垂直的性质定理的内容是什么？
问题2．如何求直线到平面的距离？
问题3．如何求两个平行平面间的距离？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 直线与平面垂直的性质定理
探究问题1 广阔的田野上有笔直的电线杆，它们的位置如何？
[提示] 平行．
[新知生成] 直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言 a∥b
图形语言
【教用·微提醒】 (1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．
(2)直线与平面垂直的性质定理揭示了空间中平行与垂直关系的内在联系，提供了垂直与平行关系转化的依据．
[典例讲评] 1．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：MN∥AD1．
[证明] 因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D．
又因为CD⊥平面ADD1A1，AD1 平面ADD1A1，
所以CD⊥AD1．
因为A1D∩CD＝D，A1D，CD 平面A1DC，
所以AD1⊥平面A1DC．
又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1．
证明线线平行常用的方法
(1)利用线线平行的定义：证共面且无公共点．
(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线．
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直．
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．
[学以致用] 1．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a β，a⊥AB．求证：a∥l．
[证明] 因为EA⊥α，α∩β＝l，即l α，所以l⊥EA，
同理l⊥EB．又EA∩EB＝E，EA，EB 平面EAB，
所以l⊥平面EAB．
因为EB⊥β，a β，
所以EB⊥a，
又a⊥AB，EB∩AB＝B，EB，AB 平面EAB，
所以a⊥平面EAB．
由线面垂直的性质定理，得a∥l．
探究2 空间中的距离问题
探究问题2 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，那么在空间中，过一点垂直于已知平面的直线有几条？
[提示] 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条．
探究问题3 类比平面内两条平行直线之间的距离，如果直线l平行于平面α，那么直线l上各点到平面α的距离有什么关系？
[提示] 相等．
[新知生成]
1．过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．
2．一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．
3．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．
【教用·微提醒】 由直线到平面的距离与平行平面间的距离的定义知，它们都可以转化为点到平面的距离．
【链接·教材例题】
例5 如图8.6-19，直线l平行于平面α，求证：直线l上各点到平面α的距离相等．
[证明] 过直线l上任意两点A，B分别作平面α的垂线AA1，BB1，垂足分别为A1，B1．
∵AA1⊥α，BB1⊥α，∴AA1∥BB1．
设直线AA1，BB1确定的平面为β，β∩α＝A1B1．
∵l∥α，∴l∥A1B1．
∴四边形AA1B1B是矩形．
∴AA1＝BB1．
由A，B是直线l上任取的两点，可知直线l上各点到平面α的距离相等．
[典例讲评] 2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC＝45°，PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝1，AD＝3，求点D到平面PBC的距离．
[解]法一(等体积转化法)：因为AD∥BC，AD 平面PBC，BC 平面PBC，所以AD∥平面PBC．
于是点D到平面PBC的距离可转化为点A到平面PBC的距离，设为h，
连接AC(图略)，则V三棱锥A-PBC＝V三棱锥P-ABC，
即×S△PBC×h＝×S△ABC×PA．
因为PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，BC 平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥BC．
又AB⊥BC，且PA∩AB＝A，PA 平面PAB，AB 平面PAB，所以BC⊥平面PAB．
又PB 平面PAB，所以BC⊥PB，即△PBC是直角三角形．
又∠ADC＝45°，AB＝AP＝1，AD＝3，所以BC＝2，PB＝，
所以h＝＝＝＝，
则点D到平面PBC的距离为．
法二(几何法)：因为AD∥BC，AD 平面PBC，BC 平面PBC，
所以AD∥平面PBC．
于是点D到平面PBC的距离可转化为点A到平面PBC的距离．
如图，在平面PAB内作AH⊥PB交PB于点H．
因为PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，
所以PA⊥BC．
又AB⊥BC，且PA∩AB＝A，PA 平面PAB，AB 平面PAB，所以BC⊥平面PAB，
而AH 平面PAB，所以BC⊥AH．
又PB∩BC＝B，且PB 平面PBC，
BC 平面PBC，所以AH⊥平面PBC．
即AH为点A到平面PBC的距离．
在Rt△PAB中，AB＝AP＝1，故PB＝，
由S△PAB＝PB×AH＝PA×AB，
得AH＝＝＝．
即点A到平面PBC的距离为，
所以点D到平面PBC的距离为．
空间中距离的转化
(1)利用线面、面面平行转化：利用线面距离、面面距离的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离．
(2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离．
(3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高．
[学以致用] 2．如图，已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，求平面DA1C1与平面AB1C间的距离．
[解] 因为AC∥A1C1，AB1∥DC1，AC∩AB1＝A，A1C1∩DC1＝C1，
故平面AB1C∥平面DA1C1，
取平面AB1C上一点B1，
则点B1到平面DA1C1的距离就是两平行平面间的距离，
设点B1到平面DA1C1的距离为h，
∵A1C1，DC1，A1D都是正方形的对角线，且长为，
∴△DA1C1是等边三角形，
则＝×()2＝．
又∵＝＝DD1＝∴＝，
即＝，解得h＝，
则平面DA1C1与平面AB1C间的距离为．
【教用·备选题】 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，A1A＝1．
(1)证明：直线BC1∥平面D1AC；
(2)求直线BC1到平面D1AC的距离．
[解] (1)证明：∵ABCD-A1B1C1D1为长方体，∴AB∥C1D1，AB＝C1D1，
∴四边形ABC1D1为平行四边形，∴BC1∥AD1．又AD1 平面D1AC，BC1 平面D1AC，∴直线BC1∥平面D1AC．
(2)直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离，设为h，
可得＝×1＝．
∵在△AD1C中，AC＝D1C＝，AD1＝，
∴cos ∠ACD1＝，sin ∠ACD1＝，
∴S△AD1C＝＝．
∴＝＝×h＝，∴h＝，
即直线BC1到平面D1AC的距离为．
【链接·教材例题】
例3 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
已知：如图8.6-12，a∥b，a⊥α，求证b⊥α．
分析：要证明直线b⊥α，根据直线与平面垂直的判定定理可知，只需证明直线b垂直于平面α内的两条相交直线即可．
[证明] 如图8.6-13，在平面α内取两条相交直线m，n．
∵直线a⊥α，
∴a⊥m，a⊥n．
∵b∥a，
∴b⊥m，b⊥n．
又m α，n α，m，n是两条相交直线，
∴b⊥α．
1．已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是( )
A．b∥α B．b α
C．b⊥α D．b∩α＝A
[答案] C
2．在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点D1到平面AB1C的距离是( )
A．a B．a
C．a D．a
[答案] B
3．线段AB的端点A，B到平面α的距离分别是30 cm和50 cm，则线段AB的中点M到平面α的距离为( )
A．40 cm B．10 cm
C．80 cm D．40 cm或10 cm
[答案] D
4．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，则直线AB到平面A1B1C1D1的距离为________；平面ADD1A1与平面BCC1B1之间的距离为________．
[答案] 2 4
1．知识链：(1)直线与平面垂直的性质定理．
(2)点到平面的距离、直线与平面、平行平面间的距离的定义及其求法．
2．方法链：转化与化归．
3．警示牌：注意不要因距离转化不当导致错误．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．线面垂直的性质定理揭示了平行关系与垂直关系之间的相互转化，你能表述它们间的转化关系吗？
[提示] 平行关系与垂直关系之间的相互转化
2．点到平面的距离、直线到平面的距离以及平面到平面的距离之间是如何转化的？
[提示] 直线到平面的距离以及平面到平面的距离都可以转化为点到平面的距离．
课时分层作业(三十三) 线面垂直的性质与空间距离
一、选择题
1．已知△ABC，若直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则l，m的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．不确定
C [依题意知l⊥平面ABC，m⊥平面ABC，∴l∥m．]
2．已知a，b，c为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列四个命题中错误的是( )
A．a⊥α，b∥β，且α∥β a⊥b
B．a⊥b，a⊥α b∥α
C．a⊥α，b⊥α，a∥c b∥c
D．a∥b，a⊥α b⊥α
B [对于A项，由a⊥α，α∥β可得a⊥β，又b∥β，则a⊥b，故A项正确；
对于B，由a⊥α，a⊥b可得b α或b∥α，故B项错误；
对于C，由a⊥α，b⊥α可得a∥b，因为a∥c，故得b∥c，即C项正确；
对于D，根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面，D正确．
故选B．]
3．在正三棱锥A-OBC中，顶点A在底面OBC的射影为点D，OA＝OB＝1，则AD＝( )
A． B． C． D．
D [正三棱锥A-OBC中，点A在平面OBC的射影是点D，即为等边△OBC的中心，
已知OA＝OB＝1，可得OD＝×1×sin＝，
由AD⊥底面OBC，OD 底面OBC，可得AD⊥OD，
则由勾股定理可得AD＝＝＝．故选D．]
4．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为，则平面AB1D1到平面BC1D的距离为( )
A． C．
C [由题意可得，原问题等价于求解点C1到平面AB1D1的距离h，由等体积法可得＝
即h·×22×sin 60°＝，
解得h＝，即平面AB1D1到平面BC1D的距离为．]
5．(多选)如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任意一点，则下列关系正确的是( )
A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC
C．AC⊥PB D．PC⊥BC
ABD [∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC，A选项正确；又∵BC⊥AC，PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，又PC 平面PAC，∴BC⊥PC，∴B，D选项均正确．
故选ABD．]
二、填空题
6．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则点P到BC的距离是________．
4 [如图所示，作PD⊥BC于点D，连接AD．
因为PA⊥平面ABC，
所以PA⊥BC．
又PD∩PA＝P，PD，PA 平面PAD，
所以BC⊥平面PAD，所以AD⊥BC．
在△ACD中，AC＝5，CD＝3，所以AD＝4．
在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，所以PD＝＝4．]
7．已知四边形ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，当平行四边形ABCD满足条件________时，有PC⊥BD(填上你认为正确的一个条件即可)．
[答案] 四边形ABCD为菱形(答案不唯一)
8．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，PA⊥平面ABC，此图形中有________个直角三角形．
4 [∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC．
∵AC⊥BC，且PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC，
∴BC⊥PC．综上知：△ABC，△PAC，△PAB，△PBC都是直角三角形，共有4个．]
三、解答题
9．如图，斜边为AB的直角三角形ABC，PA⊥平面ABC．AE⊥PB，AF⊥PC，E，F分别为垂足．
(1)求证：EF⊥PB；
(2)若直线l⊥平面AEF，求证：PB∥l．
[证明] (1)因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC．
又因为△ABC为直角三角形，AB为斜边，
所以BC⊥AC．又PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
所以BC⊥平面PAC．
又因为AF 平面PAC，所以BC⊥AF．
又AF⊥PC，且PC∩BC＝C，PC，BC 平面PBC，所以AF⊥平面PBC．
又PB 平面PBC，所以AF⊥PB．
又AE⊥PB，且AE∩AF＝A，AE，AF 平面AEF，
所以PB⊥平面AEF．
又EF 平面AEF，所以EF⊥PB．
(2)由(1)知，PB⊥平面AEF，
而l⊥平面AEF，所以PB∥l．
10．(多选)如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中是定值的是( )
A．点P到平面QEF的距离
B．直线PQ与平面PEF所成的角
C．三棱锥P-QEF的体积
D．△QEF的面积
ACD [因为点P到平面A1B1CD的距离是定值，所以点P到平面QEF的距离是定值；又因为EF的长为定值，所以△QEF的面积是定值，所以三棱锥P-QEF的体积也是定值．故选ACD．]
11．如图，四面体A-BCD中，AB，BC，BD两两垂直，BC＝BD＝2，点E是CD的中点，若直线AB与平面ACD所成角的正弦值为，则B到平面ACD的距离为( )
A． C．
B [连接AE(图略)．∵AB⊥BC，AB⊥BD，BC∩BD＝B，BC，BD 平面BCD，∴AB⊥平面BCD，∵CD 平面BCD，∴AB⊥CD，∵BC＝BD，E为CD的中点，∴CD⊥BE．又AB∩BE＝B，AB，BE 平面ABE，∴CD⊥平面ABE，
∴AB在平面ADC上的射影在直线AE上，
∴∠BAE就是直线AB与平面ACD所成的角．
在Rt△ABE中，由BE＝，sin ∠BAE＝，可得AE＝3，AB＝4．
易证AE⊥CD，S△ACD＝6，
设点B到平面ACD的距离为h，∵VA-BCD＝VB-ACD，
∴S△BCD×AB＝S△ACD×h，
整理得2AB＝6h，解得h＝．
故选B．]
12．(多选)如图，四边形ABCD是矩形，沿对角线BD将△ABD折起到△A′BD，且A′在平面BCD上的射影O恰好在CD上，则下列结论正确的是( )
A．A′C⊥BD B．BC⊥A′D
C．BC⊥A′C D．A′B⊥A′D
BCD [因为四边形ABCD是矩形，且A′在平面BCD上的射影O恰好在CD上，所以A′O⊥平面BCD，又BC 平面BCD，所以BC⊥A′O．又BC⊥CD，且CD∩A′O＝O，CD，A′O 平面A′CD，所以BC⊥平面A′CD，从而BC⊥A′D，BC⊥A′C．显然，由矩形ABCD，易知A′B⊥A′D．故BCD正确．]
13．《九章算术·商功》：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”．文中所述可用下图表示：
则几何体“鳖臑”的四个面中，直角三角形的个数为________；若上图中的“立方”是棱长为1的正方体，则BC1的中点到直线CD1的距离等于________．
4 [如图所示：
在正方体中，易知BC⊥平面CC1D1，则BC⊥D1C，BC⊥CC1，所以△BCD1，△BCC1都是直角三角形；同理D1C1⊥平面BCC1，则D1C1⊥CC1，D1C1⊥BC1，所以△D1C1C，△D1C1B都是直角三角形，故几何体“鳖臑”的四个面中，直角三角形的个数为4；
如图所示：
过BC1的中点P，作PQ⊥CC1，过Q作QR⊥CD1，连接PR，易知PQ⊥平面CDD1C1，则PQ⊥CD1，又QR∩PQ＝Q，QR，PQ 平面PQR，所以CD1⊥平面PQR，所以CD1⊥PR，所以PR为点P到直线CD1的距离，又PQ＝，QR＝，所以PR＝＝．]
14．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．
(1)证明：B1C⊥AB；
(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC-A1B1C1的高．
[解] (1)证明：连接BC1，则O为B1C与BC1的交点．
因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1．
又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO．又BC1∩AO＝O，BC1，AO 平面ABO，
故B1C⊥平面ABO．
由于AB 平面ABO，故B1C⊥AB．
(2)在平面BB1C1C内作OD⊥BC，垂足为D，连接AD．
在平面AOD内作OH⊥AD，垂足为H．
由于BC⊥AO，BC⊥OD，AO∩OD＝O，AO，OD 平面AOD，
故BC⊥平面AOD，所以OH⊥BC．
又OH⊥AD，AD∩BC＝D，AD，BC 平面ABC，所以OH⊥平面ABC．
因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形．
又BC＝1，可得OD＝．
由于AC⊥AB1，所以OA＝B1C＝．
由OH·AD＝OD·OA，且AD＝＝，得OH＝．
又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC的距离为，故三棱柱ABC-A1B1C1的高为．
15．如图①，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝6，E，F分别为CD，AB边上的点，且DE＝3，BF＝4，将△BCE沿BE折起至△PBE的位置(如图②所示)，连接AP，PF，其中PF＝2．
(1)求证：PF⊥平面ABED；
(2)在线段PA上是否存在点Q使得FQ∥平面PBE？若存在，求出点Q的位置；若不存在，请说明理由；
(3)求点A到平面PBE的距离．
[解] (1)证明：连接EF(图略)，由题意知，PB＝BC＝6，PE＝CE＝9，
在△PBF中，PF2＋BF2＝20＋16＝36＝PB2，所以PF⊥BF．
易得EF＝＝，
在△PEF中，EF2＋PF2＝61＋20＝81＝PE2，所以PF⊥EF．
又BF∩EF＝F，BF 平面ABED，EF 平面ABED，所以PF⊥平面ABED．
(2)存在，当Q为PA的三等分点(靠近P)时，FQ∥平面PBE．
理由如下：
因为AQ＝AP，AF＝AB，所以FQ∥BP，
又FQ 平面PBE，PB 平面PBE，所以FQ∥平面PBE．
(3)由(1)知PF⊥平面ABED，连接AE(图略)，则PF为三棱锥P-ABE的高．
设点A到平面PBE的距离为h，由等体积法得VA-PBE＝VP-ABE，
即×S△PBE×h＝×S△ABE×PF．
又S△PBE＝×6×9＝27，S△ABE＝×12×6＝36，
所以h＝＝＝，
即点A到平面PBE的距离为．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共33张PPT)
第2课时 线面垂直的性质与空间距离
第八章 立体几何初步
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.2 直线与平面垂直
整体感知
[学习目标] 1．理解直线与平面垂直的性质定理．
2．理解空间距离相关定义并会求相应的距离．
[讨论交流] 预习教材P153－P155的内容，思考以下问题：
问题1．直线与平面垂直的性质定理的内容是什么？
问题2．如何求直线到平面的距离？
问题3．如何求两个平行平面间的距离？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1 直线与平面垂直的性质定理
探究问题1 广阔的田野上有笔直的电线杆，它们的位置如何？
[提示] 平行．
[新知生成] 直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线____
符号语言
图形语言
平行
a∥b
【教用·微提醒】 (1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．
(2)直线与平面垂直的性质定理揭示了空间中平行与垂直关系的内在联系，提供了垂直与平行关系转化的依据．
[典例讲评] 1．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：MN∥AD1．
[证明] 因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D．
又因为CD⊥平面ADD1A1，AD1 平面ADD1A1，
所以CD⊥AD1．
因为A1D∩CD＝D，A1D，CD 平面A1DC，
所以AD1⊥平面A1DC．
又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1．
反思领悟 证明线线平行常用的方法
(1)利用线线平行的定义：证共面且无公共点．
(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线．
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直．
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．
[学以致用] 1．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a β，a⊥AB．求证：a∥l．
[证明] 因为EA⊥α，α∩β＝l，即l α，所以l⊥EA，
同理l⊥EB．又EA∩EB＝E，EA，EB 平面EAB，
所以l⊥平面EAB．
因为EB⊥β，a β，所以EB⊥a，
又a⊥AB，EB∩AB＝B，EB，AB 平面EAB，
所以a⊥平面EAB．
由线面垂直的性质定理，得a∥l．
探究2 空间中的距离问题
探究问题2 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，那么在空间中，过一点垂直于已知平面的直线有几条？
[提示] 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条．
探究问题3 类比平面内两条平行直线之间的距离，如果直线l平行于平面α，那么直线l上各点到平面α的距离有什么关系？
[提示] 相等．
[新知生成]
1．过一点作____于已知平面的直线，则该点与____间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，____________叫做这个点到该平面的距离．
2．一条直线与一个平面平行时，这条直线上________到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．
3．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的________到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．
垂直
垂足
垂线段的长度
任意一点
任意一点
【教用·微提醒】 由直线到平面的距离与平行平面间的距离的定义知，它们都可以转化为点到平面的距离．
【链接·教材例题】
例5 如图8.6-19，直线l平行于平面α，求证：直线l上各点到平面α的距离相等．
[证明] 过直线l上任意两点A，B分别作平面α的垂线AA1，BB1，垂足分别为A1，B1．
∵AA1⊥α，BB1⊥α，∴AA1∥BB1．
设直线AA1，BB1确定的平面为β，β∩α＝A1B1．
∵l∥α，∴l∥A1B1．
∴四边形AA1B1B是矩形．
∴AA1＝BB1．
由A，B是直线l上任取的两点，可知直线l上各点到平面α的距离相等．
[典例讲评] 2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC＝45°，PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝1，AD＝3，求点D到平面PBC的距离．
法二(几何法)：因为AD∥BC，AD 平面PBC，BC 平面PBC，
所以AD∥平面PBC．
于是点D到平面PBC的距离可转化为点A到平面PBC的距离．
如图，在平面PAB内作AH⊥PB交PB于点H．
因为PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，
所以PA⊥BC．
又AB⊥BC，且PA∩AB＝A，PA 平面PAB，AB 平面PAB，所以BC⊥平面PAB，
反思领悟 空间中距离的转化
(1)利用线面、面面平行转化：利用线面距离、面面距离的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离．
(2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离．
(3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高．
[学以致用] 2．如图，已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，求平面DA1C1与平面AB1C间的距离．
[解] 因为AC∥A1C1，AB1∥DC1，
AC∩AB1＝A，A1C1∩DC1＝C1，
故平面AB1C∥平面DA1C1，
取平面AB1C上一点B1，
则点B1到平面DA1C1的距离就是两平行平面间的距离，
设点B1到平面DA1C1的距离为h，
【教用·备选题】 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，A1A＝1．
(1)证明：直线BC1∥平面D1AC；
(2)求直线BC1到平面D1AC的距离．
[解] (1)证明：∵ABCD-A1B1C1D1为长方体，∴AB∥C1D1，AB＝C1D1，
∴四边形ABC1D1为平行四边形，∴BC1∥AD1．又AD1 平面D1AC，BC1 平面D1AC，∴直线BC1∥平面D1AC．
【链接·教材例题】
例3 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
已知：如图8.6-12，a∥b，a⊥α，求证b⊥α．
分析：要证明直线b⊥α，根据直线与平面垂直的判定定理可知，只需证明直线b垂直于平面α内的两条相交直线即可．
[证明] 如图8.6-13，在平面α内取两条相交直线m，n．
∵直线a⊥α，
∴a⊥m，a⊥n．
∵b∥a，
∴b⊥m，b⊥n．
又m α，n α，m，n是两条相交直线，
∴b⊥α．
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
1．已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是( )
A．b∥α B．b α
C．b⊥α D．b∩α＝A
2
3
题号
1
4
√
2
3
题号
4
1
√
3．线段AB的端点A，B到平面α的距离分别是30 cm和50 cm，则线段AB的中点M到平面α的距离为( )
A．40 cm B．10 cm
C．80 cm D．40 cm或10 cm
2
4
3
题号
1
4．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，则直线AB到平面A1B1C1D1的距离为________；平面ADD1A1与平面BCC1B1之间的距离为________．
2
4
1．知识链：(1)直线与平面垂直的性质定理．
(2)点到平面的距离、直线与平面、平行平面间的距离的定义及其求法．
2．方法链：转化与化归．
3．警示牌：注意不要因距离转化不当导致错误．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．线面垂直的性质定理揭示了平行关系与垂直关系之间的相互转化，你能表述它们间的转化关系吗？
[提示] 平行关系与垂直关系之间的相互转化
2．点到平面的距离、直线到平面的距离以及平面到平面的距离之间是如何转化的？
[提示] 直线到平面的距离以及平面到平面的距离都可以转化为点到平面的距离．
