(共36张PPT)
第2课时 平面与平面垂直的性质
第八章 立体几何初步
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.3 平面与平面垂直
整体感知
[学习目标] 1．通过直观感知，归纳出平面与平面垂直的性质定理，并加以证明．
2．能用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的空间线面位置关系问题．
[讨论交流] 预习教材P159－P161的内容，思考以下问题：
问题1．面面垂直性质定理成立的条件有哪几个？
问题2．线线垂直、线面垂直、面面垂直间能相互转化吗？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1 平面与平面垂直的性质定理
探究问题 黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，黑板所在平面内的直线是否都垂直于地面所在的平面？你能否在黑板上画一条直线与地面所在的平面垂直？由此，你能得到什么样的一般结论呢？
[提示] 不一定都垂直于地面所在的平面．找到黑板所在平面与地面所在平面的交线，在黑板上画出和该交线垂直的直线，即垂直于地面．由此可以得出，两个平面垂直，在其中一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直，即面面垂直的性质定理．
文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的____，那么这条直线与另一个平面____
符号语言
图形语言
[新知生成]
交线
垂直
a α
a⊥l
【教用·微提醒】 1．定理成立的条件有三个：
①两平面互相垂直．②直线在其中一个面内．
③直线与两个平面的交线垂直．
2．已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．
【链接·教材例题】
例9 如图8.6-32，已知平面α⊥平面β，直线a⊥β，a α，判断a与α的位置关系．
[解] 在α内作垂直于α与β交线的直线b．
∵α⊥β，∴b⊥β．
又a⊥β，∴a∥b．
又a α，∴a∥α．
即直线a与平面α平行．
例10 如图8.6-33，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB．
分析：要证明BC⊥平面PAB， 需证明BC垂直于平面PAB内的两条相交直线．由已知条件易得BC⊥PA．再利用平面PAB⊥平面PBC，过点A作PB的垂线AE， 由两个平面垂直的性质可得BC⊥AE．
[证明] 如图8.6-34，过点A作AE⊥PB，垂足为E．
∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB，
∴AE⊥平面PBC．
∵BC 平面PBC，
∴AE⊥BC．
∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC．
又PA∩AE＝A，
∴BC⊥平面PAB．
[典例讲评] 1．如图，已知V是△ABC所在平面外一点，VA⊥平面ABC，平面VAB⊥平面VBC．求证：AB⊥BC．
[证明] 如图，在平面VAB内，过点A作AD⊥VB于点D．
∵平面VAB⊥平面VBC，且平面VAB∩平面VBC＝VB，
∴AD⊥平面VBC，BC 平面VBC，
∴AD⊥BC．
∵VA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴VA⊥BC．
∵AD∩VA＝A，且VA 平面VAB，AD 平面VAB，
∴BC⊥平面VAB．
∵AB 平面VAB，∴AB⊥BC．
[母题探究] 若将本例中的条件变为：平面VAB⊥平面ABC，平面VAC⊥平面ABC，CA⊥AB．求证：VA⊥BC．
[证明] ∵平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，AC 平面ABC，CA⊥AB，
∴CA⊥平面VAB，∴CA⊥VA．
同理，BA⊥VA．
又AB∩AC＝A，AB，AC 平面ABC，∴VA⊥平面ABC．
∵BC 平面ABC，∴VA⊥BC．
反思领悟 在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而转化为线线垂直问题．
[学以致用] 1．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，
其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点．求证：
(1)BG⊥平面PAD；
(2)AD⊥PB．
[证明] (1)∵四边形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD．
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG 平面ABCD，∴BG⊥平面PAD．
(2)由(1)可知BG⊥AD，又△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG 平面PBG，∴AD⊥平面PBG．
又PB 平面PBG，∴AD⊥PB．
探究2 线线、线面、面面垂直的综合应用
[典例讲评] 2．如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，点E为垂足．
(1)求证：PA⊥平面ABC；
(2)当点E为△PBC的垂心时，
求证：△ABC是直角三角形．
[证明] (1)如图，在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于点F．
∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，
∴DF⊥平面PAC．
∵PA 平面PAC，∴DF⊥PA．
作DG⊥AB于点G，同理可证DG⊥PA．
∵DG，DF 平面ABC，且DG∩DF＝D，
∴PA⊥平面ABC．
(2)连接BE并延长交PC于点H．
∵点E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE．
又AE⊥平面PBC，PC 平面PBC，∴PC⊥AE．
∵AE∩BE＝E，AE，BE 平面ABE，∴PC⊥平面ABE．
又AB 平面ABE，∴PC⊥AB．
由(1)知PA⊥平面ABC，又AB 平面ABC，
∴PA⊥AB．
∵PA∩PC＝P，PA，PC 平面PAC，∴AB⊥平面PAC．
又AC 平面PAC，∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．
反思领悟 垂直关系的转化
直线与直线垂直(线线垂直)、直线与平面垂直(线面垂直)、平面与平面垂直(面面垂直)之间可以相互转化，它们之间的转化关系可用框图来表示．
[学以致用] 2．如图，AB为圆O的直径，E是圆O上不同于A，B的动点，四边形ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，F是DE的中点．
(1)求证：OF∥平面BCE；
(2)求证：平面ADE⊥平面BCE．
(2)∵四边形ABCD为矩形，∴AD⊥AB．
∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE＝AB，AD 平面ABCD，∴AD⊥平面ABE．
∵BE 平面ABE，∴BE⊥AD．
∵AB为圆O的直径，E是圆O上不同于A，B的动点，∴BE⊥AE．
∵AD∩AE＝A，AD，AE 平面ADE，
∴BE⊥平面ADE．
∵BE 平面BCE，∴平面ADE⊥平面BCE．
【教用·备选题】小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示．底面ABCD是边长为8(单位：cm)的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直．
(1)证明：EF∥平面ABCD；
(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度)．
[解] (1)证明：如图，分别取AB，BC的中点M，N，连接EM，FN，MN，
∵△EAB与△FBC均为正三角形，且边长均为8，
∴EM⊥AB，FN⊥BC，且EM＝FN．
又平面EAB与平面FBC均垂直于平面ABCD，
平面EAB∩平面ABCD＝AB，平面FBC∩平面ABCD＝BC，EM 平面EAB，FN 平面FBC，
∴EM⊥平面ABCD，FN⊥平面ABCD，
∴EM∥FN，∴四边形EMNF为平行四边形，∴EF∥MN．
又MN 平面ABCD，EF 平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
1．平面α⊥平面β，平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则( )
A．直线a必垂直于平面β
B．直线b必垂直于平面α
C．直线a不一定垂直于平面β
D．过a的平面与过b的平面垂直
2
4
3
题号
1
C [当b＝α∩β时，必有a⊥β；当b不是α与β的交线时，直线a不一定垂直于平面β．]
2
3
题号
1
4
√
2．已知长方体ABCD-A1B1C1D1，在平面AA1B1B上任取一点M，作ME⊥AB于点E，则( )
A．ME⊥平面ABCD B．ME 平面ABCD
C．ME∥平面ABCD D．以上都有可能
A [因为ME 平面AA1B1B，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，且平面AA1B1B⊥平面ABCD，ME⊥AB，所以ME⊥平面ABCD．]
2
3
题号
4
1
√
3．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则( )
A．α∥γ
B．α⊥γ
C．α与γ相交但不垂直
D．以上都有可能
D [在正方体中，相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面都与底面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直．故选D．]
2
4
3
题号
1
4．如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________．
1．知识链：平面与平面垂直的性质定理．
2．方法链：转化法．
3．警示牌：注意面面垂直性质定理中在其中一个面内作交线的垂线，与另一个平面垂直．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．面面垂直的性质定理包含哪些条件？
[提示] 面面垂直的性质定理必须满足四条，缺一不可，即①面面垂直；②面和面的交线；③有一条线和交线垂直；④这条线必须在其中一个面内，这样才能证明这条线垂直于另一平面，即将面面垂直转化为线面垂直．切记：前提是平面与平面垂直．
2．当题设条件中给出面面垂直时，我们通常如何作辅助线？
[提示] 面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．
3．线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的判定和性质是如何转化的？
[提示] 垂直问题转化关系如下所示：第2课时 平面与平面垂直的性质
[学习目标] 1．通过直观感知，归纳出平面与平面垂直的性质定理，并加以证明．
2．能用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的空间线面位置关系问题．
[讨论交流] 预习教材P159－P161的内容，思考以下问题：
问题1．面面垂直性质定理成立的条件有哪几个？
问题2．线线垂直、线面垂直、面面垂直间能相互转化吗？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 平面与平面垂直的性质定理
探究问题 黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，黑板所在平面内的直线是否都垂直于地面所在的平面？你能否在黑板上画一条直线与地面所在的平面垂直？由此，你能得到什么样的一般结论呢？
[提示] 不一定都垂直于地面所在的平面．找到黑板所在平面与地面所在平面的交线，在黑板上画出和该交线垂直的直线，即垂直于地面．由此可以得出，两个平面垂直，在其中一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直，即面面垂直的性质定理．
[新知生成]
文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言 a⊥β
图形语言
【教用·微提醒】 1．定理成立的条件有三个：
①两平面互相垂直．②直线在其中一个面内．
③直线与两个平面的交线垂直．
2．已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．
【链接·教材例题】
例9 如图8.6-32，已知平面α⊥平面β，直线a⊥β，a α，判断a与α的位置关系．
[解] 在α内作垂直于α与β交线的直线b．
∵α⊥β，∴b⊥β．
又a⊥β，∴a∥b．
又a α，∴a∥α．
即直线a与平面α平行．
例10 如图8.6-33，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB．
分析：要证明BC⊥平面PAB， 需证明BC垂直于平面PAB内的两条相交直线．由已知条件易得BC⊥PA．再利用平面PAB⊥平面PBC，过点A作PB的垂线AE， 由两个平面垂直的性质可得BC⊥AE．
[证明] 如图8.6-34，过点A作AE⊥PB，垂足为E．
∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB，
∴AE⊥平面PBC．
∵BC 平面PBC，
∴AE⊥BC．
∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC．
又PA∩AE＝A，
∴BC⊥平面PAB．
[典例讲评] 1．如图，已知V是△ABC所在平面外一点，VA⊥平面ABC，平面VAB⊥平面VBC．求证：AB⊥BC．
[证明] 如图，在平面VAB内，过点A作AD⊥VB于点D．
∵平面VAB⊥平面VBC，且平面VAB∩平面VBC＝VB，
∴AD⊥平面VBC，BC 平面VBC，
∴AD⊥BC．
∵VA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴VA⊥BC．
∵AD∩VA＝A，且VA 平面VAB，AD 平面VAB，
∴BC⊥平面VAB．
∵AB 平面VAB，∴AB⊥BC．
[母题探究] 若将本例中的条件变为：平面VAB⊥平面ABC，平面VAC⊥平面ABC，CA⊥AB．求证：VA⊥BC．
[证明] ∵平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，AC 平面ABC，CA⊥AB，
∴CA⊥平面VAB，∴CA⊥VA．
同理，BA⊥VA．
又AB∩AC＝A，AB，AC 平面ABC，∴VA⊥平面ABC．
∵BC 平面ABC，∴VA⊥BC．
在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而转化为线线垂直问题．
[学以致用] 1．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，
其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点．求证：
(1)BG⊥平面PAD；
(2)AD⊥PB．
[证明] (1)∵四边形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD．
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG 平面ABCD，∴BG⊥平面PAD．
(2)由(1)可知BG⊥AD，又△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG 平面PBG，∴AD⊥平面PBG．
又PB 平面PBG，∴AD⊥PB．
探究2 线线、线面、面面垂直的综合应用
[典例讲评] 2．如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，点E为垂足．
(1)求证：PA⊥平面ABC；
(2)当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．
[证明] (1)如图，在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于点F．
∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，
∴DF⊥平面PAC．
∵PA 平面PAC，∴DF⊥PA．
作DG⊥AB于点G，同理可证DG⊥PA．
∵DG，DF 平面ABC，且DG∩DF＝D，
∴PA⊥平面ABC．
(2)连接BE并延长交PC于点H．
∵点E是△PBC的垂心，
∴PC⊥BE．
又AE⊥平面PBC，PC 平面PBC，
∴PC⊥AE．
∵AE∩BE＝E，AE，BE 平面ABE，
∴PC⊥平面ABE．
又AB 平面ABE，∴PC⊥AB．
由(1)知PA⊥平面ABC，又AB 平面ABC，
∴PA⊥AB．
∵PA∩PC＝P，PA，PC 平面PAC，
∴AB⊥平面PAC．
又AC 平面PAC，∴AB⊥AC，
即△ABC是直角三角形．
垂直关系的转化
直线与直线垂直(线线垂直)、直线与平面垂直(线面垂直)、平面与平面垂直(面面垂直)之间可以相互转化，它们之间的转化关系可用框图来表示．
[学以致用] 2．如图，AB为圆O的直径，E是圆O上不同于A，B的动点，四边形ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，F是DE的中点．
(1)求证：OF∥平面BCE；
(2)求证：平面ADE⊥平面BCE．
[证明] (1)如图，取CE的中点G，连接FG，BG，
∵F，G分别为DE，CE的中点，
∴FG∥CD且FG＝CD．
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD且AB＝CD．
∵O为AB的中点，则OB∥CD且OB＝CD，
∴OB∥FG且OB＝FG，
∴四边形OBGF为平行四边形，∴OF∥BG，
∵OF 平面BCE，BG 平面BCE，
∴OF∥平面BCE．
(2)∵四边形ABCD为矩形，∴AD⊥AB．
∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE＝AB，AD 平面ABCD，∴AD⊥平面ABE．
∵BE 平面ABE，∴BE⊥AD．
∵AB为圆O的直径，E是圆O上不同于A，B的动点，∴BE⊥AE．
∵AD∩AE＝A，AD，AE 平面ADE，
∴BE⊥平面ADE．
∵BE 平面BCE，∴平面ADE⊥平面BCE．
【教用·备选题】小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示．底面ABCD是边长为8(单位：cm)的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直．
(1)证明：EF∥平面ABCD；
(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度)．
[解] (1)证明：如图，分别取AB，BC的中点M，N，连接EM，FN，MN，
∵△EAB与△FBC均为正三角形，且边长均为8，
∴EM⊥AB，FN⊥BC，且EM＝FN．
又平面EAB与平面FBC均垂直于平面ABCD，
平面EAB∩平面ABCD＝AB，平面FBC∩平面ABCD＝BC，EM 平面EAB，FN 平面FBC，
∴EM⊥平面ABCD，FN⊥平面ABCD，
∴EM∥FN，∴四边形EMNF为平行四边形，∴EF∥MN．
又MN 平面ABCD，EF 平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．
(2)分别取AD，DC的中点P，Q，连接PM，PH，PQ，QN，QG，AC，BD．
由(1)知EM⊥平面ABCD，FN⊥平面ABCD，
同理可证得，GQ⊥平面ABCD，HP⊥平面ABCD，易得EM＝FN＝GQ＝HP＝4，EM∥FN∥GQ∥HP，所以易知HE綉PM，EF綉MN，GF綉QN，HG綉PQ，
易得AC⊥BD，MN∥AC，PM∥BD，所以PM⊥MN．
又易知PM＝QN＝MN＝PQ＝BD＝4，所以四边形PMNQ是正方形，所以四棱柱PMNQ-HEFG为正四棱柱，
所以V四棱柱PMNQ-HEFG＝(4)2×4＝128．
因为AC⊥BD，BD∥PM，所以AC⊥PM．
因为EM⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以EM⊥AC．
又EM，PM 平面PMEH，且EM∩PM＝M，所以AC⊥平面PMEH，
则点A到平面PMEH的距离d＝AC＝2，
所以V四棱锥A-PMEH＝S四边形PMEH×d＝×4×4×2＝，
所以该包装盒的容积V＝V四棱柱PMNQ-HEFG＋4V四棱锥A-PMEH＝128＋4×＝(cm3)．
1．平面α⊥平面β，平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则( )
A．直线a必垂直于平面β
B．直线b必垂直于平面α
C．直线a不一定垂直于平面β
D．过a的平面与过b的平面垂直
C [当b＝α∩β时，必有a⊥β；当b不是α与β的交线时，直线a不一定垂直于平面β．]
2．已知长方体ABCD-A1B1C1D1，在平面AA1B1B上任取一点M，作ME⊥AB于点E，则( )
A．ME⊥平面ABCD B．ME 平面ABCD
C．ME∥平面ABCD D．以上都有可能
A [因为ME 平面AA1B1B，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，且平面AA1B1B⊥平面ABCD，ME⊥AB，所以ME⊥平面ABCD．]
3．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则( )
A．α∥γ
B．α⊥γ
C．α与γ相交但不垂直
D．以上都有可能
D [在正方体中，相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面都与底面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直．故选D．]
4．如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________．
[∵平面PAC⊥平面ABC，
平面PAC∩平面ABC＝AC，∠PAC＝90°，
∴PA⊥AC，
∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，
∴PB＝＝＝．]
1．知识链：平面与平面垂直的性质定理．
2．方法链：转化法．
3．警示牌：注意面面垂直性质定理中在其中一个面内作交线的垂线，与另一个平面垂直．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．面面垂直的性质定理包含哪些条件？
[提示] 面面垂直的性质定理必须满足四条，缺一不可，即①面面垂直；②面和面的交线；③有一条线和交线垂直；④这条线必须在其中一个面内，这样才能证明这条线垂直于另一平面，即将面面垂直转化为线面垂直．切记：前提是平面与平面垂直．
2．当题设条件中给出面面垂直时，我们通常如何作辅助线？
[提示] 面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．
3．线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的判定和性质是如何转化的？
[提示] 垂直问题转化关系如下所示：
课时分层作业(三十五) 平面与平面垂直的性质
一、选择题
1．已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是( )
A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β
B．若α∩β＝m，l α，l⊥m，则l⊥β
C．若α⊥β，l α，则l⊥β
D．若α⊥β，α∩β＝m，l α，l⊥m，则l⊥β
D [A项中缺少了条件l α，故A错误．
B项中缺少了条件α⊥β，故B错误．
C项中缺少了条件α∩β＝m，l⊥m，故C错误．
D项具备了面面垂直的性质定理中的全部条件，故D正确．]
2．如图所示，已知平面BCD⊥平面ABD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
B [过A作AE⊥DB于E，则AE⊥平面BCD，∴AE⊥BC．又DA⊥平面ABC，∴DA⊥BC．又DA∩AE＝A，∴BC⊥平面DAB，∴BC⊥AB，∴△ABC为直角三角形．
故选B．]
3．已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝( )
A．2 B．
C． D．1
C [如图所示，连接BC．
因为AC⊥l，α⊥β，AC α，α∩β＝l，所以AC⊥β．因为BC β，所以AC⊥BC，所以△ABC为直角三角形，所以BC＝＝．
在Rt△BCD中，CD＝＝．]
4．如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
B [如图，过点A作AE⊥BD，垂足为E．
因为平面ABD⊥平面BCD，AE⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AE 平面ABD，所以AE⊥平面BCD，
所以AD与平面BCD所成的角是∠ADE，
因为∠BAD＝90°，且AB＝AD，
所以∠ADE＝45°，
所以AD与平面BCD所成的角是45°．
故选B．]
5．平面α∩平面β＝l，平面γ⊥平面α，平面γ⊥平面β，则( )
A．l∥平面γ B．l 平面γ
C．l与平面γ斜交 D．l⊥平面γ
D [如图，
在平面γ内取一点O，作OE⊥m，OF⊥n．由于平面β⊥平面γ，平面γ∩平面β＝m，所以OE⊥平面β，所以OE⊥l，同理OF⊥l，又OE∩OF＝O，所以l⊥平面γ．故选D．]
二、填空题
6．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α．
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________．
①③④ ②(或②③④ ①) [共有四个命题：①②③ ④，①②④ ③，①③④ ②，②③④ ①．
对于①②③ ④，若m⊥n，α⊥β，n⊥β，则m与α可能平行或相交，故命题错误；
对于①②④ ③，若m⊥n，α⊥β，m⊥α，则n与β可能平行或相交，故命题错误；
对于①③④ ②，因为m⊥n，n⊥β，所以m∥β．又因为m⊥α，所以α⊥β，故命题正确；
对于②③④ ①，因为m⊥α，α⊥β，所以m∥β．又因为n⊥β，所以m⊥n，故命题正确．]
7．如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cos α∶cos β＝________．
∶2 [如图，
设两个矩形分别为矩形ABCD、矩形ABEF．因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，
AF 平面ABEF，AF⊥AB，故AF⊥平面ABCD，而AC 平面ABCD，所以AF⊥AC，同理CB⊥BF．
由题意，两个矩形的对角线长分别为5，2，
所以cos α＝＝，cos β＝，
所以cos α∶cos β＝∶2．]
8．如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边三角形ADB以AB为轴运动，当平面ADB⊥平面ABC时，CD＝________．
2 [如图，取AB的中点E，连接DE，CE，
因为△ADB是等边三角形，
所以DE⊥AB．
当平面ADB⊥平面ABC时，
因为平面ADB∩平面ABC＝AB，DE 平面ABD，
所以DE⊥平面ABC．又CE 平面ABC，
所以DE⊥CE．由已知可得DE＝，EC＝1，
在Rt△DEC中，CD＝＝2．]
三、解答题9．如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，Q，M分别为AD，PC的中点，PA＝PD＝2，BC＝AD＝1，CD＝．
(1)求证：平面PBC⊥平面PQB；
(2)求三棱锥P-QMB的体积．
[解] (1)证明：∵AD∥BC，Q是AD的中点，BC＝AD，
∴BC綉QD，∴四边形BCDQ为平行四边形．
∵∠ADC＝90°，∴BC⊥BQ．
∵PA＝PD，Q为AD中点，∴PQ⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PQ 平面PAD，
∴PQ⊥平面ABCD．又BC 平面ABCD，
∴PQ⊥BC．又PQ∩BQ＝Q，PQ，BQ 平面PQB，∴BC⊥平面PQB．
∵BC 平面PBC，∴平面PBC⊥平面PQB．
(2)法一：∵在Rt△PQB中，PQ＝＝，BQ＝CD＝，∴S△PQB＝PQ·QB＝．
由(1)知BC⊥平面PQB，连接QC(图略)，
则V三棱锥C-PQB＝S△PQB·BC＝×1＝．
又M是线段PC的中点，
∴V三棱锥P-QMB＝V三棱锥M-PQB＝V三棱锥C-PQB＝＝，故三棱锥P-QMB的体积为．
法二：如图，连接QC，记QC的中点为E，连接ME．
在△PQC中，∵M为PC的中点，∴ME为△PQC的中位线，则ME＝PQ且PQ∥ME．
由(1)可知PQ⊥平面ABCD，∴ME⊥平面ABCD．
在△PAD中，∵PA＝PD＝AD＝2，Q为AD的中点，
∴PQ＝．
由(1)可知四边形BCDQ为矩形．
又CD＝，∴QB＝，
∴S△BQC＝BC·QB＝．
∴V三棱锥P-QMB＝V三棱锥P-BQC－V三棱锥M-BQC＝(PQ－ME)·S△BQC＝PQ·S△BQC＝＝，故三棱锥P-QMB的体积为．
10．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°．将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD，则在三棱锥A-BCD中，下列命题正确的是( )
A．平面ADC⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ABD⊥平面ABC
A [易知CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，
且平面ABD∩平面BCD＝BD，CD 平面BCD，
∴CD⊥平面ABD．又BA 平面ABD，∴CD⊥BA．
又BA⊥AD，且AD∩CD＝D，AD，CD 平面ADC，∴BA⊥平面ADC．又BA 平面ABC，
∴平面ADC⊥平面ABC．]
11．如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影必在( )
A．直线AB上 B．直线BC上
C．直线AC上 D．△ABC内部
A [如图，连接AC1．
∵∠BAC＝90°，即BA⊥AC，
又∵AC⊥BC1，BA∩BC1＝B，BA，BC1 平面ABC1，∴AC⊥平面ABC1．又∵AC 平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1．又平面ABC∩平面ABC1＝AB，∴C1在平面ABC上的射影必在直线AB上．]
12．如图，线段AB的两端在直二面角α-l-β的两个面内，并与这两个面都成30°角，则异面直线AB与l所成的角是( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
B [如图，设AB＝a，在平面α内，作AA′⊥l于A′，则AA′⊥β，连接A′B，则∠ABA′＝30°．
在Rt△AA′B中，AB＝a，
所以AA′＝a．
同理作BB′⊥l于B′，连接AB′，
则∠BAB′＝30°，
所以BB′＝a，AB′＝a，
所以A′B′＝＝a．
过B作BC綉A′B′，连接A′C，
则A′C綉BB′，连接AC．
在Rt△AA′C中，AC＝＝a．
易证BC⊥平面AA′C，所以△ABC为直角三角形，
且AC＝BC，所以∠ABC＝45°，即l与AB所成的角是45°．]
13．如图，在四面体A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，△ABD是边长为3的等边三角形，BD＝CD，BD⊥CD，则四面体A-BCD的体积为________．
[∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，CD⊥BD，CD 平面BCD，
∴CD⊥平面ABD，
∴VA-BCD＝VC-ABD＝S△ABD·CD，
∵△ABD是边长为3的等边三角形，∴S△ABD＝×3×3×sin ＝，
又BD＝CD＝3，
∴VA-BCD＝×3＝．]
14．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．
求证：(1)PA⊥平面ABCD；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD．
[证明] (1)∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．
(2)∵AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，E是CD的中点，故四边形ABED为矩形，故有BE∥AD．
又AD 平面PAD，BE 平面PAD，故有BE∥平面PAD．
(3)由(2)知四边形ABED为矩形，故有BE⊥CD．
由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD，可得AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．
由E，F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，
∴CD⊥EF．
EF∩BE＝E，EF，BE 平面BEF，故CD⊥平面BEF．
∵CD 平面PCD，
∴平面BEF⊥平面PCD．
15．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝4，AB＝2，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF⊥平面EFDC．
(1)当BE＝1时，是否在折叠后的AD上存在一点P，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出P点位置；若不存在，说明理由；
(2)设BE＝x，当x为何值时，三棱锥A-CDF的体积有最大值？并求出这个最大值．
[解] (1)存在点P，使得CP∥平面ABEF，此时＝．
当＝时，＝．
过点P作MP∥FD，交AF于点M，连接EM，如图，则＝．
∵在四边形ABCD中，BE＝AF＝1，AD＝6，
∴FD＝5，∴MP＝3．
∵EC＝3，EC∥FD，∴MP∥EC，且MP＝EC，
故四边形MPCE为平行四边形，∴PC∥ME．
∵CP 平面ABEF，ME 平面ABEF，
∴CP∥平面ABEF．
(2)∵平面ABEF⊥平面EFDC，平面ABEF∩平面EFDC＝EF，AF 平面ABEF，AF⊥EF，∴AF⊥平面EFDC．
∵BE＝x，∴AF＝x(0故三棱锥A-CDF的体积V＝×2×x＝－＋3，当x＝3时，三棱锥A-CDF的体积V有最大值，最大值为3．
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