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第1课时 总体取值规律的估计
第九章 统计
9.2 用样本估计总体
9.2.1 总体取值规律的估计
整体感知
[学习目标] 1．掌握频率分布表的作法以及频率分布直方图的画法．
2．掌握用频率分布直方图估计总体．
[讨论交流] 预习教材P193－P198的内容，思考以下问题：
问题1．绘制频率分布表和频率分布直方图有哪些步骤？
问题2．频率分布直方图有哪些特征？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1 频率分布直方图的绘制
某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一户居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费．为使大部分居民用户的水费支出不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢？
探究问题1 为了确定一个较为合理的用水标准，你认为需要做哪些工作？
[提示] 为了确定一个较为合理的用水标准a，必须先了解全市居民日常用水量的分布情况，比如月均用水量在哪个范围的居民最多，他们占全市居民的百分比情况等．
探究问题2 为了了解全市居民用户月均用水量的整体分布情况，应该采用怎样的方法？
[提示] 采用抽样调查的方式，通过分析样本观测数据来估计全市居民用户月均用水量的分布情况．
探究问题3 假设通过简单随机抽样，获得100位居民用户的月均用水量数据(单位：t)如下：
9.0 13.6 14.9 5.9 4.0 7.1 6.4 5.4
19.4 2.0 2.2 8.6 13.8 5.4 10.2 4.9
6.8 14.0 2.0 10.5 2.1 5.7 5.1 16.8
6.0 11.1 1.3 11.2 7.7 4.9 2.3 10.0
16.7 12.0 12.4 7.8 5.2 13.6 2.6 22.4
3.6 7.1 8.8 25.6 3.2 18.3 5.1 2.0
3.0 12.0 22.2 10.8 5.5 2.0 24.3 9.9
3.6 5.6 4.4 7.9 5.1 24.5 6.4 7.5
4.7 20.5 5.5 15.7 2.6 5.7 5.5 6.0
16.0 2.4 9.5 3.7 17.0 3.8 4.1 2.3
5.3 7.8 8.1 4.3 13.3 6.8 1.3 7.0
4.9 1.8 7.1 28.0 10.2 13.8 17.9 10.1
5.5 4.6 3.2 21.6
上述100个数据中的最大值和最小值分别是多少？由此说明样本数据的变化范围是什么？
[提示] 最大值是28.0 t，最小值是1.3 t，样本观测数据的变化范围为26.7 t．
探究问题4 样本数据中的最大值和最小值的差称为极差，如果将上述100个数据按组距为3进行分组，那么这些数据共分为多少组？
[提示] 26.7÷3＝8.9．因此这些数据共分为9组．
探究问题5 以组距为3进行分组，上述100个数据共分为9组，各组数据的取值范围可以如何设定？
[提示] [1.2，4.2)，[4.2，7.2)，…，[25.2，28.2]．
探究问题6 试列出频率分布表．
[提示]
分组 频数累计 频数 频率
[1.2，4.2) 正正正正 23 0.23
[4.2，7.2) 正正正正正正 32 0.32
[7.2，10.2) 正正 13 0.13
[10.2，13.2) 正 9 0.09
[13.2，16.2) 正 9 0.09
[16.2，19.2) 正 5 0.05
[19.2，22.2) 3 0.03
[22.2，25.2) 4 0.04
[25.2，28.2] 2 0.02
合计 100 1.00
探究问题7 请画出频率分布直方图．
[提示]
探究问题8 同一组数据，组数不同，得到的频率分布直方图形状相同吗？如何决定组距与组数？
[提示] 同一组数据，组数不同，得到的频率分布直方图形状不尽相同．
组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况．组距与组数的确定没有固定的标准，常常需要一个尝试和选择的过程．决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成5～12组，为了方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”．
[新知生成] 画频率分布直方图的步骤
(1)求极差：极差为一组数据中________与________的差．
(2)决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成_________组，为了方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”．
(3)将数据分组．
(4)列频率分布表：一般分四列：分组、__________、频数、_______．其中频数合计应是样本容量，频率合计是___．
(5)画频率分布直方图：横轴表示分组，纵轴表示________．小长方形的
面积＝组距×_______＝_______．各小长方形的面积总和等于1．
最大值
最小值
5～12
频数累计
频率
频率
1
[典例讲评] 1．(源自苏教版教材)为了解一大片经济林的生长情况，随机测量其中100株树木的底部周长，得到如表所示的数据(单位：cm)．
135 98 102 110 99 121 110 96 100 103
125 97 117 113 110 92 102 109 104 112
109 124 87 131 97 102 123 104 104 128
105 123 111 103 105 92 114 108 104 102
129 126 97 100 115 111 106 117 104 109
111 89 110 121 80 120 121 104 108 118
129 99 90 99 121 123 107 111 91 100
99 101 116 97 102 108 101 95 107 101
102 108 117 99 118 106 119 97 126 108
123 119 98 121 101 113 102 103 104 108
(1)编制频率分布表；
(2)绘制频率分布直方图；
(3)估计该片经济林中底部周长小于100 cm的树木约占多少，底部周长不小于120 cm的树木约占多少．
分组 频数 频率
[80，85) 1 0.01 0.002
[85，90) 2 0.02 0.004
[90，95) 4 0.04 0.008
[95，100) 14 0.14 0.028
[100，105) 24 0.24 0.048
[105，110) 15 0.15 0.030
[110，115) 12 0.12 0.024
[115，120) 9 0.09 0.018
[120，125) 11 0.11 0.022
[125，130) 6 0.06 0.012
[130，135] 2 0.02 0.004
合计 100 1 0.2
(2)这组数据的频率分布直方图如图所示．
(3)从频率分布表可以看出，该样本中小于100的频率为0.01＋0.02＋0.04＋0.14＝0.21，
不小于120的频率为0.11＋0.06＋0.02＝0.19，
故可估计该片经济林中底部周长小于100 cm的树木约占21%，
底部周长不小于120 cm的树木约占19%．
[学以致用] 1．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计．请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题．
分组 频数 频率
50.5～60.5 4 0.08
60.5～70.5 0.16
70.5～80.5 0.20
80.5～90.5 16
90.5～100.5
合计 50 1.00
(1)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)；
(2)补全频数分布直方图；
(3)若成绩在75.5～85.5分的学生获得二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？
[解] (1)补全频率分布表如下：
分组 频数 频率
50.5～60.5 4 0.08
60.5～70.5 8 0.16
70.5～80.5 10 0.20
80.5～90.5 16 0.32
90.5～100.5 12 0.24
合计 50 1.00
(2)频数分布直方图如图所示：
【教用·备选题】 某厂对一批产品进行抽样检测，如图是抽检产品净重(单位：克)的频率分布直方图，样本数据分组为[76，78)，[78，80)，…，[84，86]．若这批产品有120个，估计其中净重大于或等于78克且小于84克的产品的个数是( )
A．12 B．18 C．25 D．90
D [净重大于或等于78克且小于84克的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，所以在该范围内的产品个数为120×0.75＝90．]
√
探究2 频率分布直方图的应用
[典例讲评] 2．为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12．
(1)第二小组的频率是多少？样本量是多少？
(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？
(3)样本中不达标的学生人数是多少？
(4)第三小组的频数是多少？
频率
1
[学以致用] 2．某高校在2024年的综合评价招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下：
组号 分组 频数 频率
第1组 [160，165) 5 0.05
第2组 [165，170) ① 0.35
第3组 [170，175) 30 ②
第4组 [175，180) 20 0.20
第5组 [180，185] 10 0.10
合计 100 1.00
(1)请先求出频率分布表中①②处应填写的数据，并完成如图所示的频率分布直方图；
(2)为了选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层随机抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第3，4，5组每组各应抽取多少名学生进入第二轮面试．
【教用·备选题】 1．从全校参加期末考试的学生试卷中抽取一个样本，考察成绩(均为整数，单位：分)的分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图如图所示，从左到右各小组的小矩形的高之比为2∶3∶6∶4∶1，最左边的一组频数为6．
(1)求样本容量；
(2)求[105.5，120.5)这一组的频数及频率；
(3)如果成绩大于120分为优秀，估计这次考试成绩的优秀率．
2．为增强市民创新意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如下表所示：
分组(单位：岁) 频数 频率
[20，25) 5 0.05
[25，30) ① 0.20
[30，35) 35 ②
[35，40) 30 0.30
[40，45] 10 0.10
合计 100 1.00
(1)频率分布表中的①②位置应填什么数据？
(2)补全如图所示的频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，35)岁的人数．
补全频率分布直方图如图所示．
根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，35)岁的人数为500×0.35＝175．
2
4
3
题号
1
应用迁移
1．对于频率分布直方图，下列说法中正确的是( )
A．小长方形的高表示取某数的频率
B．小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频数
C．小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频率与组距的比
D．小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频数与组距的比
√
C [在频率分布直方图中，小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频率与组距的比．]
2
3
题号
1
4
2．一个容量为20的样本数据，分组与频数如表所示：
则样本在[10，50)内的频率为( )
A．0.5 B．0.24 C．0.6 D．0.7
√
分组 [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70]
频数 2 3 4 5 4 2
2
3
题号
4
1
3．(多选)容量为100的样本数据分布在[2，18]中，分组列表后得到如图所示的频率分布直方图．对于下列说法，正确的选项有( )
A．样本数据分布在[6，10)内的频率为0.32
B．样本数据分布在[10，14)内的频数为40
C．估计总体数据大约有10%分布在[10，14)内
D．样本数据分布在[2，10)内的频数为40
√
√
√
2
3
题号
4
1
ABD [A：由题图知，[6，10)的频率为0.08×4＝0.32，正确；
B：由题图知，[10，14)的频数为0.1×4×100＝40，正确；
C：由题图知，[10，14)的频率为0.1×4＝0.4，估计总体数据大约有40%分布在[10，14)内，错误；
D：由题图知，样本数据分布在[2，10)内的频数为(0.02＋0.08)×4×100＝40，正确．故选ABD．]
2
4
3
题号
1
4．为了帮助班上的两名学生解决经济困难问题，班上的20名同学捐出了自己的零花钱，他们的捐款数(单位：元)如下：19，20，25，30，24，23，25，29，27，27，28，28，26，27，21，30，20，19，22，20．班主任老师准备将这组数据制成频率分布直方图，以表彰他们的爱心．制图时先计算最大值与最小值的差是________，若取组距为2，则应分成________组；若第一组的起点定为18.5，则在[26.5，28.5)内的频数为________．
11
6
5
1．知识链：(1)频率分布直方图的绘制．
(2)频率分布直方图的应用．
2．方法链：图表识别、数据分析．
3．警示牌：注意不要对频率分布直方图中小矩形的高以及小矩形的面积代表的意义理解不清．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．绘制频率分布直方图的步骤是什么？
[提示] 绘制频率分布直方图的步骤如下：
①求极差；②决定组距与组数；③将数据分组；④列频率分布表；⑤画频率分布直方图．
2．频率分布直方图具备哪些性质？9.2 用样本估计总体
9.2.1 总体取值规律的估计
第1课时 总体取值规律的估计
[学习目标] 1．掌握频率分布表的作法以及频率分布直方图的画法．
2．掌握用频率分布直方图估计总体．
[讨论交流] 预习教材P193－P198的内容，思考以下问题：
问题1．绘制频率分布表和频率分布直方图有哪些步骤？
问题2．频率分布直方图有哪些特征？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 频率分布直方图的绘制
某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一户居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费．为使大部分居民用户的水费支出不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢？
探究问题1 为了确定一个较为合理的用水标准，你认为需要做哪些工作？
[提示] 为了确定一个较为合理的用水标准a，必须先了解全市居民日常用水量的分布情况，比如月均用水量在哪个范围的居民最多，他们占全市居民的百分比情况等．
探究问题2 为了了解全市居民用户月均用水量的整体分布情况，应该采用怎样的方法？
[提示] 采用抽样调查的方式，通过分析样本观测数据来估计全市居民用户月均用水量的分布情况．
探究问题3 假设通过简单随机抽样，获得100位居民用户的月均用水量数据(单位：t)如下：
9.0 13.6 14.9 5.9 4.0 7.1 6.4 5.4
19.4 2.0 2.2 8.6 13.8 5.4 10.2 4.9
6.8 14.0 2.0 10.5 2.1 5.7 5.1 16.8
6.0 11.1 1.3 11.2 7.7 4.9 2.3 10.0
16.7 12.0 12.4 7.8 5.2 13.6 2.6 22.4
3.6 7.1 8.8 25.6 3.2 18.3 5.1 2.0
3.0 12.0 22.2 10.8 5.5 2.0 24.3 9.9
3.6 5.6 4.4 7.9 5.1 24.5 6.4 7.5
4.7 20.5 5.5 15.7 2.6 5.7 5.5 6.0
16.0 2.4 9.5 3.7 17.0 3.8 4.1 2.3
5.3 7.8 8.1 4.3 13.3 6.8 1.3 7.0
4.9 1.8 7.1 28.0 10.2 13.8 17.9 10.1
5.5 4.6 3.2 21.6
上述100个数据中的最大值和最小值分别是多少？由此说明样本数据的变化范围是什么？
[提示] 最大值是28.0 t，最小值是1.3 t，样本观测数据的变化范围为26.7 t．
探究问题4 样本数据中的最大值和最小值的差称为极差，如果将上述100个数据按组距为3进行分组，那么这些数据共分为多少组？
[提示] 26.7÷3＝8.9．因此这些数据共分为9组．
探究问题5 以组距为3进行分组，上述100个数据共分为9组，各组数据的取值范围可以如何设定？
[提示] [1.2，4.2)，[4.2，7.2)，…，[25.2，28.2]．
探究问题6 试列出频率分布表．
[提示]
分组 频数累计 频数 频率
[1.2，4.2) 正正正正 23 0.23
[4.2，7.2) 正正正正正正 32 0.32
[7.2，10.2) 正正 13 0.13
[10.2，13.2) 正 9 0.09
[13.2，16.2) 正 9 0.09
[16.2，19.2) 正 5 0.05
[19.2，22.2) 3 0.03
[22.2，25.2) 4 0.04
[25.2，28.2] 2 0.02
合计 100 1.00
探究问题7 请画出频率分布直方图．
[提示]
探究问题8 同一组数据，组数不同，得到的频率分布直方图形状相同吗？如何决定组距与组数？
[提示] 同一组数据，组数不同，得到的频率分布直方图形状不尽相同．
组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况．组距与组数的确定没有固定的标准，常常需要一个尝试和选择的过程．决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成5～12组，为了方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”．
[新知生成] 画频率分布直方图的步骤
(1)求极差：极差为一组数据中最大值与最小值的差．
(2)决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成5～12组，为了方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”．
(3)将数据分组．
(4)列频率分布表：一般分四列：分组、频数累计、频数、频率．其中频数合计应是样本容量，频率合计是1．
(5)画频率分布直方图：横轴表示分组，纵轴表示．小长方形的面积＝组距×＝频率．各小长方形的面积总和等于1．
[典例讲评] 1．(源自苏教版教材)为了解一大片经济林的生长情况，随机测量其中100株树木的底部周长，得到如表所示的数据(单位：cm)．
135 98 102 110 99 121 110 96 100 103
125 97 117 113 110 92 102 109 104 112
109 124 87 131 97 102 123 104 104 128
105 123 111 103 105 92 114 108 104 102
129 126 97 100 115 111 106 117 104 109
111 89 110 121 80 120 121 104 108 118
129 99 90 99 121 123 107 111 91 100
99 101 116 97 102 108 101 95 107 101
102 108 117 99 118 106 119 97 126 108
123 119 98 121 101 113 102 103 104 108
(1)编制频率分布表；
(2)绘制频率分布直方图；
(3)估计该片经济林中底部周长小于100 cm的树木约占多少，底部周长不小于120 cm的树木约占多少．
[解] (1)从表中可以看出，这组数据的最大值为135，最小值为80，故极差为55，可将其分为11组，组距为5．
从第1组[80，85)开始，将各组的频数、频率和填入表中：
分组 频数 频率
[80，85) 1 0.01 0.002
[85，90) 2 0.02 0.004
[90，95) 4 0.04 0.008
[95，100) 14 0.14 0.028
[100，105) 24 0.24 0.048
[105，110) 15 0.15 0.030
[110，115) 12 0.12 0.024
[115，120) 9 0.09 0.018
[120，125) 11 0.11 0.022
[125，130) 6 0.06 0.012
[130，135] 2 0.02 0.004
合计 100 1 0.2
(2)这组数据的频率分布直方图如图所示．
(3)从频率分布表可以看出，该样本中小于100的频率为0.01＋0.02＋0.04＋0.14＝0.21，
不小于120的频率为0.11＋0.06＋0.02＝0.19，
故可估计该片经济林中底部周长小于100 cm的树木约占21%，
底部周长不小于120 cm的树木约占19%．
绘制频率分布直方图的注意点
(1)各组频率的和等于1，因此，各小矩形的面积的和也等于1．
(2)横轴表示样本数据，纵轴表示，这样每一组的频率可以用该组的组距为底、为高的小矩形的面积表示．
(3)画频率分布直方图的关键是确定矩形的高，一般地，频率分布直方图中两坐标轴上的单位长度不一致．
[学以致用] 1．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计．请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题．
分组 频数 频率
50.5～60.5 4 0.08
60.5～70.5 0.16
70.5～80.5 0.20
80.5～90.5 16
90.5～100.5
合计 50 1.00
(1)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)；
(2)补全频数分布直方图；
(3)若成绩在75.5～85.5分的学生获得二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？
[解] (1)补全频率分布表如下：
分组 频数 频率
50.5～60.5 4 0.08
60.5～70.5 8 0.16
70.5～80.5 10 0.20
80.5～90.5 16 0.32
90.5～100.5 12 0.24
合计 50 1.00
(2)频数分布直方图如图所示：
(3)成绩在75.5～80.5分的学生占70.5～80.5分的学生的，
因为成绩在70.5～80.5分的学生频率为0.20，
所以成绩在75.5～80.5分的学生频率为0.10．
成绩在80.5～85.5分的学生占80.5～90.5分的学生的．
因为成绩在80.5～90.5分的学生频率为0.32，
所以成绩在80.5～85.5分的学生频率为0.16，
所以成绩在75.5～85.5分的学生频率为0.26．
因为有900名学生参加了这次竞赛，所以该校获得二等奖的学生人数为0.26×900＝234，
所以该校获得二等奖的学生有234人．
【教用·备选题】 某厂对一批产品进行抽样检测，如图是抽检产品净重(单位：克)的频率分布直方图，样本数据分组为[76，78)，[78，80)，…，[84，86]．若这批产品有120个，估计其中净重大于或等于78克且小于84克的产品的个数是( )
A．12 B．18 C．25 D．90
D [净重大于或等于78克且小于84克的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，所以在该范围内的产品个数为120×0.75＝90．]
探究2 频率分布直方图的应用
[典例讲评] 2．为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12．
(1)第二小组的频率是多少？样本量是多少？
(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？
(3)样本中不达标的学生人数是多少？
(4)第三小组的频数是多少？
[解] (1)频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为＝0.08．
又因为第二小组的频率＝，
所以样本量＝＝＝150．
(2)由频率分布直方图可估计该校高一年级学生的达标率为×100%＝88%．
(3)由(1)(2)知达标率为88%，样本量为150，不达标的学生频率为1－0.88＝0.12．
所以样本中不达标的学生人数为150×0.12＝18(人)．
(4)第三小组的频率为＝0.34．
又因为样本量为150，
所以第三小组的频数为150×0.34＝51．
频率分布直方图具备的性质
(1)因为小长方形的面积＝组距×＝频率，所以各小长方形的面积表示相应各组的频率．这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小．
(2)在频率分布直方图中，各小长方形的面积之和等于1．
(3)样本容量＝．
[学以致用] 2．某高校在2024年的综合评价招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下：
组号 分组 频数 频率
第1组 [160，165) 5 0.05
第2组 [165，170) ① 0.35
第3组 [170，175) 30 ②
第4组 [175，180) 20 0.20
第5组 [180，185] 10 0.10
合计 100 1.00
(1)请先求出频率分布表中①②处应填写的数据，并完成如图所示的频率分布直方图；
(2)为了选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层随机抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第3，4，5组每组各应抽取多少名学生进入第二轮面试．
[解] (1)由题意可知，第2组的频数为0.35×100＝35，第3组的频率为＝0.30，故①处填35，②处填0.30．
频率分布直方图如图所示．
(2)因为第3，4，5组共有60名学生，所以利用分层随机抽样在60名学生中抽取6名学生，抽样比为＝，故第3组应抽取30×＝3(名)学生，第4组应抽取20×＝2(名)学生，第5组应抽取10×＝1(名)学生，所以第3，4，5组应抽取的学生人数分别为3，2，1．
【教用·备选题】 1．从全校参加期末考试的学生试卷中抽取一个样本，考察成绩(均为整数，单位：分)的分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图如图所示，从左到右各小组的小矩形的高之比为2∶3∶6∶4∶1，最左边的一组频数为6．
(1)求样本容量；
(2)求[105.5，120.5)这一组的频数及频率；
(3)如果成绩大于120分为优秀，估计这次考试成绩的优秀率．
[解] (1)小矩形的高之比为频率之比，
∴从左到右各小组的频率之比为2∶3∶6∶4∶1，
∴最左边的一组所占的频率为＝，
∴样本容量＝＝＝48．
(2)[105.5，120.5)这一组的频率为＝，
∴频数为48×＝18．
(3)成绩大于120分的频率为＝，
∴考试成绩的优秀率约为×100%＝31.25%．
2．为增强市民创新意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如下表所示：
分组(单位：岁) 频数 频率
[20，25) 5 0.05
[25，30) ① 0.20
[30，35) 35 ②
[35，40) 30 0.30
[40，45] 10 0.10
合计 100 1.00
(1)频率分布表中的①②位置应填什么数据？
(2)补全如图所示的频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，35)岁的人数．
[解] (1)设年龄在[25，30)岁的频数为x，年龄在[30，35)岁的频率为y．
法一：根据题意可得＝0.20，＝y，解得x＝20，y＝0.35，故①处应填20，②处应填0.35．
法二：由题意得5＋x＋35＋30＋10＝100，
0.05＋0.20＋y＋0.30＋0.10＝1，解得x＝20，y＝0.35，故①处填20，②处填0.35．
(2)由频率分布表知年龄在[25，30)岁的频率是0.20，组距是5．
所以＝＝0.04．
补全频率分布直方图如图所示．
根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，35)岁的人数为500×0.35＝175．
1．对于频率分布直方图，下列说法中正确的是( )
A．小长方形的高表示取某数的频率
B．小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频数
C．小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频率与组距的比
D．小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频数与组距的比
C [在频率分布直方图中，小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频率与组距的比．]
2．一个容量为20的样本数据，分组与频数如表所示：
分组 [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70]
频数 2 3 4 5 4 2
则样本在[10，50)内的频率为( )
A．0.5 B．0.24 C．0.6 D．0.7
D [因为样本在[10，50)内的频数为2＋3＋4＋5＝14，样本容量为20，所以在[10，50)内的频率为＝0.7．]
3．(多选)容量为100的样本数据分布在[2，18]中，分组列表后得到如图所示的频率分布直方图．对于下列说法，正确的选项有( )
A．样本数据分布在[6，10)内的频率为0.32
B．样本数据分布在[10，14)内的频数为40
C．估计总体数据大约有10%分布在[10，14)内
D．样本数据分布在[2，10)内的频数为40
ABD [A：由题图知，[6，10)的频率为0.08×4＝0.32，正确；
B：由题图知，[10，14)的频数为0.1×4×100＝40，正确；
C：由题图知，[10，14)的频率为0.1×4＝0.4，估计总体数据大约有40%分布在[10，14)内，错误；
D：由题图知，样本数据分布在[2，10)内的频数为(0.02＋0.08)×4×100＝40，正确．故选ABD．]
4．为了帮助班上的两名学生解决经济困难问题，班上的20名同学捐出了自己的零花钱，他们的捐款数(单位：元)如下：19，20，25，30，24，23，25，29，27，27，28，28，26，27，21，30，20，19，22，20．班主任老师准备将这组数据制成频率分布直方图，以表彰他们的爱心．制图时先计算最大值与最小值的差是________，若取组距为2，则应分成________组；若第一组的起点定为18.5，则在[26.5，28.5)内的频数为________．
11 6 5 [由题意知，极差为30－19＝11；由于组距为2，则＝5.5不是整数，所以取6组；捐款数落在[26.5，28.5)内的有27，27，28，28，27，共5个，因此频数为5．]
1．知识链：(1)频率分布直方图的绘制．
(2)频率分布直方图的应用．
2．方法链：图表识别、数据分析．
3．警示牌：注意不要对频率分布直方图中小矩形的高以及小矩形的面积代表的意义理解不清．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．绘制频率分布直方图的步骤是什么？
[提示] 绘制频率分布直方图的步骤如下：
①求极差；②决定组距与组数；③将数据分组；④列频率分布表；⑤画频率分布直方图．
2．频率分布直方图具备哪些性质？
[提示] ①因为小矩形的面积＝组距×＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率．这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小；
②在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1；
③＝样本容量．
课时分层作业(三十九) 总体取值规律的估计
一、选择题
1．用样本频率分布估计总体频率分布的过程中，下列说法正确的是( )
A．总体容量越大，估计越精确
B．总体容量越小，估计越精确
C．样本容量越大，估计越精确
D．样本容量越小，估计越精确
C [∵用样本频率估计总体频率分布的过程中，
估计的是否准确与总体容量无关，
只与样本容量在总体中所占的比例有关，
∴样本容量越大，估计的越准确．
故选C．]
2．在抽查某产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b)是其中一组，抽查出的个体数在该组内的频率为m，该组在频率分布直方图中的高为h，则的值等于( )
A．hm B． C． D．与m，h无关
B [频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率÷组距，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率，则组距等于频率除以高．
即＝，故选B．]
3．将样本容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如表：
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
频数 10 13 x 14 15 13 12 9
第三组的频数和频率分别是( )
A．14和0.14 B．0.14和14
C．和0.14 D．和
A [第三组的频数x＝100－(10＋13＋14＋15＋13＋12＋9)＝100－86＝14，频率为＝0.14．]
4．某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，选取了n人参与问卷调查，将他们的成绩进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，得到如图所示的频率分布直方图，且成绩落在[90，100)内的人数为10，则n＝( )
A．60 B．80 C．100 D．120
C [由题图可知，10×(0.006＋0.012＋0.02＋0.032＋0.02＋m)＝1，解得m＝0.01，则成绩在[90，100)内的频率为0.1，由0.1n＝10，得n＝100．故选C．]
5．(多选)某学校为了调查学生一周在生活方面的支出情况，抽取了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60]元的学生有60人，则下列说法正确的是( )
A．样本中支出在[50，60]元的频率为0.03
B．样本中支出不少于40元的人数为132
C．n的值为200
D．若该校有2 000名学生，则一定有600人的支出在[50，60]元
BC [由频率分布直方图知，样本中支出在[50，60]元的频率为1－(0.010＋0.024＋0.036)×10＝0.3，故A错误；样本中支出不少于40元的人数为×60＋60＝132，故B正确； n＝＝200，故C正确；若该校有2 000名学生，则可能有600人的支出在[50，60]元，故D错误．]
二、填空题
6．在样本的频率分布直方图中，共有5个小长方形，已知中间一个小长方形面积是其余4个小长方形面积之和的，且中间一组的频数为10，则样本容量是________．
40 [设中间长方形的面积为x，样本容量为n．
由题意得x＝(1－x)，解得x＝，即中间一组的频率为，∴＝，解得n＝40．]
7．在某市高一年级举行的一次数学调研考试中，为了了解考生的成绩状况，现抽取了样本容量为n的部分学生成绩，作出如图所示的频率分布直方图(所有考生成绩均在[50，100]内，按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分组)，若在样本中，成绩在[50，60)内的人数为50，则成绩在[80，90)内的人数为________．
30 [依题意，10×(0.020＋0.024＋0.036＋x＋0.008)＝1，得x＝0.012，
所以成绩在[80，90)内的人数为50×＝30．]
8．为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员的学生的体重(单位：千克)情况，将所得数据整理后，画出频率分布直方图，如图所示，已知图中从左到右的前三个小长方形的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为12．则该校报考飞行员的总人数为________．
48 [设报考飞行员的总人数为n，第1小组的频率为a，则有a＋2a＋3a＋(0.013＋0.037)×5＝1，解得a＝0.125，所以第2小组的频率为0.25．
又第2小组的频数为12，则有0.25＝，解得n＝48．]
三、解答题
9．下面是某城市公共图书馆在一年中通过随机抽样调查得到的60天读者借书量(单位：册)，并排序如下：
213 230 239 289 291 301 308 310
311 312 318 318 337 343 344 348
349 351 360 362 368 372 374 379
383 385 390 393 396 398 399 399
400 404 406 425 429 430 436 438
440 441 444 446 453 456 458 471
473 475 483 484 495 498 521 524
549 556 568 584
为估计图书馆每天借书量的分布情况，以便合理安排工作人员，试根据以上数据制作一个频率分布表以帮助分析．
[解] (1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；
样本数据中最小值是213，最大值是584．它们的极差是371．
(2)决定组距与组数：
这60个数据散布在闭区间[213，584]中．
为了分组的方便，取一个略大的区间[200，600]，然后将该区间分成若干组．
若取组距为50，那么组数＝＝＝7.42，因此可以将数据分为8组．
(3)将数据分组：
将[200，600]八等分，所分8组为：[200，250)，[250，300)，[300，350)，[350，400)，[400，450)，[450，500)，[500，550)，[550，600]．
(4)列出频率分布表，如下表所示．
分组 发生天数(频数) 频率
[200，250) 3 5%
[250，300) 2 3.3%
[300，350) 12 20%
[350，400) 15 25%
[400，450) 12 20%
[450，500) 10 16.7%
[500，550) 3 5%
[550，600] 3 5%
合计 60 100%
上表体现了样本数据落在各个小组的比例大小，从中可以看到，借书量在[350，400)内的天数最多，在[300，350)和[400，450)内的天数次之，大部分借书量集中在[300，500)之间．
10．为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组……第五组，下图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有8人，则第三组中有疗效的人数为( )
A．8 B．10 C．12 D．18
B [由题可知样本总数为＝50，
设第三组有疗效的人数为x人，则＝0.36，解得x＝10．故选B．]
11．某中学有初中学生1 800人，高中学生1 200人．为了解学生本学期课外阅读情况，从中抽取了部分学生，按初中学生和高中学生分为两组，将每组学生的课外阅读时间(单位：h)分为5组：[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于30 h的学生人数为( )
A．830 B．870 C．960 D．1 100
B [由题图知，初中学生组中课外阅读时间不小于30 h的学生人数为1 800×(0.020＋0.005)×10＝450，
高中学生组中课外阅读时间不小于30 h的学生人数为1 200×(0.030＋0.005)×10＝420，
所以课外阅读时间不小于30 h的学生人数为450＋420＝870，故选B．]
12．样本容量为100的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图，记样本数据落在[6，10)内的频数为a，样本数据落在[2，10)内的频率为b，则a，b分别是( )
A．32，0.4 B．8，0.1
C．32，0.1 D．8，0.4
A [样本数据落在[6，10)内的频率为0.08×4＝0.32，则a＝100×0.32＝32；样本数据落在[2，6)内的频率为0.02×4＝0.08，则样本数据落在[2，10)内的频率b＝0.08＋0.32＝0.4．]
13．为了解学生“阳光体育”活动的情况，随机统计了n名学生的“阳光体育”活动时间(单位：min)，所得数据都在区间[10，110]内，其频率分布直方图如图所示，已知活动时间在[10，35)内的频数为80，则n的值为________．
800 [由频率分布直方图知，活动时间在[10，35)内的频率为0.004×25＝0.1，又活动时间在[10，35)内的频数为80，故n＝＝800．]
14．某校100名学生期中考试语文成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]．
(1)求图中a的值；
(2)若这100名学生的语文成绩在某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比如下表所示，求数学成绩在[50，90)之外的人数．
分数段 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90)
x∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5
[解] (1)依题意得，10×(2a＋0.02＋0.03＋0.04)＝1，解得a＝0.005．
(2)数学成绩在[50，60)之间的人数为100×0.05＝5，数学成绩在[60，70)之间的人数为100×0.4
×＝20，数学成绩在[70，80)之间的人数为100×0.3×＝40，数学成绩在[80，90)之间的人数为100×0.2×＝25，所以数学成绩在[50，90)之外的人数为100－5－20－40－25＝10．
15．某城市100户居民的月平均用电量(单位：kW·h)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图所示．
(1)求直方图中x的值；
(2)在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四组用户中，用分层随机抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取多少户？
[解] (1)x＝[1－(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋0.005＋0.002 5)×20]÷20＝0.007 5．
(2)由频率分布直方图知，月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的共有(0.012 5＋0.007 5＋0.005＋0.002 5)×20×100＝55(户)，其中在[220，240)中的有0.012 5×20×100＝25(户)，因此，在所抽取的11户居民中，月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取×11＝5(户)．
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