(共40张PPT)
第1课时 向量数量积的概念及性质
第六章 平面向量及其
6.2 平面向量的运算
6.2.4 向量的数量积
整体感知
[学习目标] 1．了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功．
2．掌握向量数量积的定义及投影向量．
3．会计算平面向量的数量积．
[讨论交流] 预习教材P17－P19的内容，思考以下问题：
问题1．什么是向量的夹角？
问题2．数量积的定义是什么？
问题3．投影向量的定义是什么？
问题4．向量数量积有哪些性质？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
非零
0≤θ≤π
同向
反向
垂直
【教用·微提醒】 两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角．
反思领悟 求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．
[学以致用] 1．已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？
探究2 两向量的数量积
探究问题1 物体在力F的作用下产生位移s时，力F所做的功是如何计算的？其结果是向量还是数量？由此你认为两个向量可以相乘吗？
[提示] W＝|F|·|s|cos θ(θ为F与s的夹角)．其结果是数量．两个向量可以相乘．
[新知生成]
1．数量积的定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ．
规定：零向量与任一向量的数量积为_．
0
2．向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ．
(2)a⊥b a·b＝0．
≤
【教用·微提醒】 (1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写．
(2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0．
(3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量．
[典例讲评] 2．(源自苏教版教材)已知向量a与b的夹角为θ，|a|＝2，|b|＝3，分别在下列条件下求a·b；
(1)θ＝135°；(2)a∥b；(3)a⊥b．
发现规律 定义法求平面向量的数量积
(1)求模：分别求|a|和|b|．
(2)求夹角：注意向量a与b的方向．
(3)求数量积：a·b＝__________．
|a||b|cos θ
[学以致用] 2．(1)已知|a|＝3，|b|＝4，〈a，b〉＝60°，求a·b；
(2)已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝3，求〈a，b〉．
[典例讲评] 3．已知|a|＝3，|b|＝1，向量a与向量b的夹角为120°，求：
(1)向量a在向量b上的投影向量；
(2)向量b在向量a上的投影向量．
发现规律 投影向量的求法
方法一：用几何法作出恰当的垂线，直接得到投影向量．
方法二：利用公式．向量a在向量b上的投影向量为_____________．
[学以致用] 3．已知|a|＝12，|b|＝8，a·b＝24，求向量a在向量b上的投影向量．
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
2
4
3
题号
1
2
3
题号
1
4
√
2
3
题号
4
1
3．设|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为________．
2
4
3
题号
1
a
1．知识链：(1)向量的夹角．
(2)向量数量积的定义．
(3)投影向量．
(4)向量数量积的性质．
2．方法链：数形结合法．
3．警示牌：一是注意向量夹角共起点；二是a·b>0 两向量夹角为锐角，a·b<0 两向量夹角为钝角．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．向量夹角的范围是多少？
[提示] [0，π]．
2．如何求两个向量的数量积？对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？
3．如何求向量b在a方向上的投影向量？如何求向量a在b方向上的投影向量？
[提示] b在a方向上的投影向量为|b|e1cos θ，a在b方向上的投影向量为|a|e2cos θ(θ为a与b的夹角，e1为a方向的单位向量，e2为b方向的单位向量)．
4．设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？
[提示] a⊥b a·b＝0．反之成立．
5．|a·b|与|a||b|的大小关系如何？
[提示] |a·b|≤|a||b|．6.2.4 向量的数量积
第1课时 向量数量积的概念及性质
[学习目标] 1．了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功．
2．掌握向量数量积的定义及投影向量．
3．会计算平面向量的数量积．
[讨论交流] 预习教材P17－P19的内容，思考以下问题：
问题1．什么是向量的夹角？
问题2．数量积的定义是什么？
问题3．投影向量的定义是什么？
问题4．向量数量积有哪些性质？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 两向量的夹角
[新知生成]
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
当θ＝0时，向量a，b同向；
当θ＝π时，向量a，b反向；
当θ＝时，向量a与b垂直，记作a⊥b．
【教用·微提醒】 两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角．
[典例讲评] 1．如图，等边三角形ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，指出如下各组向量的夹角．
(1)与；(2)与；
(3)与．
[解] (1)与的夹角是∠EDF＝60°．
(2)因为＝，所以与的夹角等于与的夹角，即∠EDA＝120°．
(3)如图，延长FD至B′，使DB′＝FD，则＝，则与的夹角等于与的夹角，即∠EDB′＝120°．
求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．
[学以致用] 1．已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？
[解] 如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°．
以OA，OB为邻边作 OACB，
则＝a＋b，＝a－b．
因为|a|＝|b|＝2，
所以 OACB是菱形，又∠AOB＝60°，
所以与的夹角为30°，与的夹角为60°，
即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°．
【教用·备选题】
如图，已知△ABC是等边三角形．
(1)求向量与的夹角；
(2)若E为BC的中点，求向量与的夹角．
[解] (1)因为△ABC为等边三角形，所以∠ABC＝60°．如图，延长AB至点D，使BD＝AB，则＝，所以∠DBC为向量与的夹角．
因为∠ABC＝60°，所以∠DBC＝120°，
所以向量与的夹角为120°．
(2)因为E为BC的中点，所以AE⊥BC，
所以向量与的夹角为90°．
探究2 两向量的数量积
探究问题1 物体在力F的作用下产生位移s时，力F所做的功是如何计算的？其结果是向量还是数量？由此你认为两个向量可以相乘吗？
[提示] W＝|F|·|s|cos θ(θ为F与s的夹角)．其结果是数量．两个向量可以相乘．
[新知生成]
1．数量积的定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ．
规定：零向量与任一向量的数量积为0．
2．向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ．
(2)a⊥b a·b＝0．
(3)当a∥b时，a·b＝
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝．
(4)|a·b|≤|a||b|．
(5)cos θ＝．
【教用·微提醒】 (1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写．
(2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0．
(3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量．
【链接·教材例题】
例9 已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝，求a·b．
[解] a·b＝|a||b|cos θ
＝5×4×cos
＝5×4×
＝－10．
例10 设|a|＝12，|b|＝9，a·b＝－54，求a与b的夹角θ．
[解] 由a·b＝|a||b|cos θ，得
cos θ＝＝＝－．
因为θ∈[0，π]，所以θ＝．
[典例讲评] 2．(源自苏教版教材)已知向量a与b的夹角为θ，|a|＝2，|b|＝3，分别在下列条件下求a·b；
(1)θ＝135°；(2)a∥b；(3)a⊥b．
[解] (1)a·b＝|a||b|cos θ＝2×3×cos 135°＝－3．
(2)当a∥b时，θ＝0°或180°．
若θ＝0°，则a·b＝|a||b|＝6；
若θ＝180°，则a·b＝－|a||b|＝－6．
(3)当a⊥b时，a·b＝0．
定义法求平面向量的数量积
(1)求模：分别求|a|和|b|．
(2)求夹角：注意向量a与b的方向．
(3)求数量积：a·b＝|a||b|cos θ．
[学以致用] 2．(1)已知|a|＝3，|b|＝4，〈a，b〉＝60°，求a·b；
(2)已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝3，求〈a，b〉．
[解] (1)由已知可得a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝3×4×cos 60°＝6．
(2)由a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉可知
3＝3×2×cos 〈a，b〉，
因此cos 〈a，b〉＝，从而可知〈a，b〉＝．
【教用·备选题】
如图，在 ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求：
(1)·；(2)·．
[解] (1)因为∥，且方向相同，
所以与的夹角是0°，
所以·＝||||·cos 0°＝3×3×1＝9．
(2)因为与的夹角为60°，
所以与的夹角为120°，
所以·＝||||·cos 120°
＝4×3×＝－6．
探究3 投影向量
探究问题2
如图所示，在Rt△OM1M中，||与||之间存在怎样的等量关系？设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，那么与e，a，θ之间有怎样的关系？
[提示] ||＝||cos θ，＝|a|cos θ e．
[新知生成] 投影向量
设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，称这种变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．
[典例讲评] 3．已知|a|＝3，|b|＝1，向量a与向量b的夹角为120°，求：
(1)向量a在向量b上的投影向量；
(2)向量b在向量a上的投影向量．
[解] (1)∵|b|＝1，∴b为单位向量．
∴向量a在向量b上的投影向量为
|a|cos 120°·b＝3×b＝－b．
(2)∵|a|＝3，∴＝a，
∴向量b在向量a上的投影向量为|b|cos 120°＝1×·a＝－a．
投影向量的求法
方法一：用几何法作出恰当的垂线，直接得到投影向量．
方法二：利用公式．向量a在向量b上的投影向量为|a|·cos θ·．
[学以致用] 3．已知|a|＝12，|b|＝8，a·b＝24，求向量a在向量b上的投影向量．
[解] 设a，b的夹角为θ，∵a·b＝|a||b|cos θ，
∴cos θ＝＝＝，
∴向量a在向量b上的投影向量为
|a|cos θ·＝12××b＝b．
1．在 ABCD中，∠DAB＝30°，则与的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
D [如图，与的夹角为∠ABC＝150°．
故选D．
]
2．已知|a|＝，|b|＝2，a与b的夹角是120°，则a·b等于( )
A．3 B．－3
C．－3 D．3
B [由数量积的定义，得a·b＝|a||b|cos 120°＝×2×＝－3．]
3．设|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为________．
[设a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝，
∵θ∈[0，π]，∴θ＝．]
4．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，则b在a方向上的投影向量为________．
a [b在a方向上的投影向量为|b|cos ·＝2×a＝a．]
1．知识链：(1)向量的夹角．
(2)向量数量积的定义．
(3)投影向量．
(4)向量数量积的性质．
2．方法链：数形结合法．
3．警示牌：一是注意向量夹角共起点；二是a·b>0两向量夹角为锐角，a·b<0两向量夹角为钝角．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．向量夹角的范围是多少？
[提示] [0，π]．
2．如何求两个向量的数量积？对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？
[提示] a·
3．如何求向量b在a方向上的投影向量？如何求向量a在b方向上的投影向量？
[提示] b在a方向上的投影向量为|b|e1cos θ，a在b方向上的投影向量为|a|e2cos θ(θ为a与b的夹角，e1为a方向的单位向量，e2为b方向的单位向量)．
4．设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？
[提示] a⊥b a·b＝0．反之成立．
5．|a·b|与|a||b|的大小关系如何？
[提示] |a·b|≤|a||b|．
课时分层作业(五) 向量数量积的概念及性质
一、选择题
1．如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成60°角．则当小车向前运动10 m时，力F做的功为( )
A．100 J B．50 J C．50 J D．200 J
B [由题意，根据向量的数量积的定义，可得力F做的功W＝F·s＝10×10×cos 60°＝50(J)．故选B．]
2．已知|a|＝3，|b|＝6，当a∥b时，a·b＝( )
A．18 B．－18 C．±18 D．0
C [当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°，所以a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18；若a与b反向，则它们的夹角为180°，所以a·b＝|a|·|b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18．故选C．]
3．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
C
4．已知|b|＝3，a在b上的投影向量为b，则a·b的值为( )
A．3 B． C．2 D．
B [设a与b的夹角为θ，因为|a|·b，
所以|a|···b＝|a||b|cos θ＝3×
5．在边长为1的等边三角形ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于( )
A．－ C．－
A [a·······b＋b·c＋c·
二、填空题
6．如图所示，△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，则·＝________．
－ ·××
7．已知|a|＝2，且a与b的夹角为60°，与b同向的单位向量为e，则向量a在向量b上的投影向量为________．
e [因为a与b的夹角为60°，所以a在b上的投影向量为|a|cos 60°e＝2×
8．已知向量a，b均为单位向量，a·b＝，则a与b的夹角为________．
[设a与b的夹角为θ，由题意知|a|＝|b|＝1，
则cos θ＝，
又∵0≤θ≤
三、解答题
9．如图所示，已知a为单位向量，求出以下向量的数量积．
(1)b·a；(2)c·a；(3)d·a．
[解] (1)由题图可知，
|a|＝1，|b|＝，因此
b·×1×＝1．
(2)由题图可知，〈c，a〉＝·a＝0．
(3)由题图可知，向量d在向量a上的投影向量为－a，且a为单位向量，因此根据向量数量积的几何意义可知d·a＝－1．
10．(多选)若e是直线l上的一个单位向量，这条直线上的向量a＝－e，b＝e，则下列说法正确的是( )
A．a＝－b B．b＝－a
C．a与b的夹角为π D．a·b＝1
BC e，
所以b＝－×a，故A错误，B正确，C正确；
所以a··＝－1，故D错误．
故选BC．]
11．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于( )
A．8 B．－8
C．8或－8 D．6
A ，∵θ∈[0，π]，
∴sin θ＝×b|＝2×5×
12．(多选)下列说法正确的是( )
A．向量a在向量b上的投影向量可表示为·
B．若a·b<0，则a与b的夹角θ的范围是
C．若△ABC是等边三角形，则的夹角为60°
D．若a·b＝0，则a⊥b
AB [对于选项A，根据投影向量的定义，知A正确；对于选项B，∵a·b＝|a||b|cos θ<0，则cos θ<0，又∵0≤θ≤·b＝0 a⊥b或a＝0或b＝0，故D错误．]
13．在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，则·＝________，·＝________，·＝________．
0 －16 －16 ，
所以·×4×·××·×4×cos 135°＝－16．]
14．已知A1A2A3A4A5A6是一个正六边形，将下列向量的数量积按从大到小的顺序排列：····．
[解]
，
，
〉＝0，
，
所以··
＝·＝0，
·<0，
所以····
15．已知正方形ABCD的边长为1，E是AB边上的动点．
(1)求·的值；
(2)求·的最大值．
[解] ···cos θ．
由图可知，|·|2＝1．
(2)···
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