(共38张PPT)
6.2.2 向量的减法运算
第六章 平面向量及其
6.2 平面向量的运算
整体感知
[学习目标] 1．借助实例和平面向量的几何表示，理解相反向量的含义、向量减法的意义．
2．掌握向量减法的几何意义．
3．能熟练地进行向量的加、减综合运算．
[讨论交流] 预习教材P11－P12的内容，思考以下问题：
问题1．a的相反向量是什么？
问题2．向量减法的几何意义是什么？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1 相反向量
探究问题1 一架飞机由A地到B地，再由B地到A地．飞机的两次位移分别是什么？它们之间有什么关系？
[新知生成] 相反向量
(1)定义：与向量a长度____，方向____的向量，叫做a的相反向量，记作_______．
(2)性质：①－(－a)＝__．
②对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0．
③若a，b互为相反向量，则a＝_____，b＝－a，a＋b＝_．
相等
相反
－a
a
－b
0
【教用·微提醒】 相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．
C [由平行向量的定义可知A项正确；
因为a和b的方向相反，所以a≠b，故B项正确；
由相反向量的定义可知b＝－a，故D项正确；
由相反向量的定义知|a|＝|b|，故C项错误．故选C．]
√
反思领悟 抓住相反向量的两个要素：大小相等、方向相反，对每个选项作出判断，注意零向量．
[学以致用] 1．(多选)下列说法中，错误的是( )
A．等长且方向相反的两个向量是相反向量
B．方向相反的向量是相反向量
C．零向量的相反向量是零向量
D．互为相反向量的两个向量一定不相等
BD [相反向量是指大小相等，方向相反的向量，故A正确，B错误；
零向量的相反向量是零向量，故C正确，D错误．故选BD．]
√
√
[提示]
【教用·微提醒】 两向量要共起点，由减向量的终点指向被减向量的终点．
【链接·教材例题】
例3 如图6.2-12(1)，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d．
[典例讲评] 2．如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c．
反思领悟 求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
(2)可以直接用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
[学以致用] 2．如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c．
反思领悟 向量减法运算的常用方法
反思领悟 解决此类问题要搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与待证向量的转化渠道．
平行四边形
a－b＋c
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
2
3
题号
1
4
√
2
3
题号
4
1
3．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________．
0
0 2 [若a，b为相反向量，则a＋b＝0，
∴|a＋b|＝0．
又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1，
∵a与b共线，∴|a－b|＝2．]
2
2
4
3
题号
1
4．如果a，b都是单位向量，则|a－b|的最大值为______．
2 [|a－b|≤|a|＋|b|＝2，故最大值为2．]
2
1．知识链： (1)向量的减法运算．
(2)向量减法的几何意义．
2．方法链：数形结合法．
3．警示牌：注意不要忽视向量共起点时才可进行向量的减法运算．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．向量减法的实质是什么？
[提示] 向量减法的实质是向量加法的逆运算，即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．
2．利用向量减法的几何意义作向量减法时，要注意什么？
[提示] “差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量．”解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．
4．对于任意的向量a，b, |a|－|b|与|a±b|及|a|＋|b|三者具有什么样的大小关系？
[提示] 它们之间的关系为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|．6.2.2 向量的减法运算
[学习目标] 1．借助实例和平面向量的几何表示，理解相反向量的含义、向量减法的意义．
2．掌握向量减法的几何意义．
3．能熟练地进行向量的加、减综合运算．
[讨论交流] 预习教材P11－P12的内容，思考以下问题：
问题1．a的相反向量是什么？
问题2．向量减法的几何意义是什么？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 相反向量
探究问题1 一架飞机由A地到B地，再由B地到A地．飞机的两次位移分别是什么？它们之间有什么关系？
[提示] 飞机的两次位移分别是；它们的模相等，方向相反．
[新知生成] 相反向量
(1)定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a．
(2)性质：①－(－a)＝a．
②对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0．
③若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0．
【教用·微提醒】 相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．
[典例讲评] 1．若非零向量a和b互为相反向量，则下列说法中错误的是( )
A．a∥b B．a≠b
C．≠ D．b＝－a
C [由平行向量的定义可知A项正确；
因为a和b的方向相反，所以a≠b，故B项正确；
由相反向量的定义可知b＝－a，故D项正确；
由相反向量的定义知|a|＝|b|，故C项错误．故选C．]
抓住相反向量的两个要素：大小相等、方向相反，对每个选项作出判断，注意零向量．
[学以致用] 1．(多选)下列说法中，错误的是( )
A．等长且方向相反的两个向量是相反向量
B．方向相反的向量是相反向量
C．零向量的相反向量是零向量
D．互为相反向量的两个向量一定不相等
BD [相反向量是指大小相等，方向相反的向量，故A正确，B错误；
零向量的相反向量是零向量，故C正确，D错误．故选BD．]
探究2 向量减法的几何意义
探究问题2 已知向量是向量与向量x的和，如图所示，你能作出表示向量x的有向线段吗？
[提示]
[新知生成]
已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b．即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这就是向量减法的几何意义．
【教用·微提醒】 两向量要共起点，由减向量的终点指向被减向量的终点．
【链接·教材例题】
例3 如图6.2-12(1)，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d．
[解] 作法：如图6.2-12(2)，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d．则
＝a－b，＝c－d．
[典例讲评] 2．如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c．
解：法一：如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c．
法二：如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c．
求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
(2)可以直接用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
[学以致用] 2．如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c．
[解] 如图，在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，则向量＝a－b，再作向量＝c，则向量＝a－b－c．
探究3 向量的加减混合运算
[典例讲评] 3．(1)化简：()＋(－)；
(2)化简：()－()．
[解] (1)法一：原式＝
＝()＋()＝＝．
法二：原式＝
＝＋()－＝＋()
＝＋0＝．
(2)法一：原式＝
＝
＝()＋()＝＝0．
法二：原式＝
＝()－－()＋
＝
＝()＋()＋()＝0＋0＋0＝0．
向量减法运算的常用方法
[学以致用] 3．化简下列各式：
(1)；
(2)()＋()．
[解] (1)＝＝＝．
(2)()＋()＝＝＋()＝＋0＝．
探究4 向量加减法的综合应用
【链接·教材例题】
例4 如图6.2-13，在 ABCD中，＝a，＝b，你能用a，b表示向量吗？
[解] 由向量加法的平行四边形法则，我们知道
＝a＋b．
同样，由向量的减法，知
＝＝a－b．
[典例讲评] 4．如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量及．
[解] ∵四边形ACDE是平行四边形，
∴＝＝c，
＝＝b－a，
＝＝c－a，
＝＝c－b，
∴＝＝b－a＋c．
解决此类问题要搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与待证向量的转化渠道．
[学以致用] 4．(源自苏教版教材)如图，点O是 ABCD的两条对角线的交点，＝a，＝b，＝c，求证：b＋c－a＝．
证明：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以＝．
因为b＋c＝＝＝，
＋a＝＝，
所以b＋c＝＋a，即b＋c－a＝．
【教用·备选题】 (1)已知O为四边形ABCD所在平面外的一点，且向量满足＝，则四边形ABCD的形状为________．
(2)如图，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别为a，b，c，则向量＝________．(用a，b，c表示)．
(1)平行四边形 (2)a－b＋c [(1)∵＝，
∴＝，∴＝．
∴||＝||，且DA∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
(2)在△AOD中，＝＝－a．
在△BOC中，＝＝c－b．
又在 ABCD中，＝，
故－a＝c－b，即＝a－b＋c．]
1．在△ABC中，若＝a，＝b，则等于( )
A．a B．a＋b
C．b－a D．a－b
D [＝＝a－b．]
2．化简等于( )
A． B．
C． D．
B [原式＝()＋()＝＋0＝．]
3．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________．
0 2 [若a，b为相反向量，则a＋b＝0，
∴|a＋b|＝0．
又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1，
∵a与b共线，∴|a－b|＝2．]
4．如果a，b都是单位向量，则|a－b|的最大值为______．
2 [|a－b|≤|a|＋|b|＝2，故最大值为2．]
1．知识链： (1)向量的减法运算．
(2)向量减法的几何意义．
2．方法链：数形结合法．
3．警示牌：注意不要忽视向量共起点时才可进行向量的减法运算．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1． 向量减法的实质是什么？
[提示] 向量减法的实质是向量加法的逆运算，即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．
2．利用向量减法的几何意义作向量减法时，要注意什么？
[提示] “差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量．”解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．
3．以 ABCD的两邻边AB，AD分别表示向量＝a，＝b，则两条对角线表示的向量如何表示？
[提示] ＝a＋b，＝b－a，＝a－b，这一结论应用非常广泛，应该加强理解并掌握．
4．对于任意的向量a，b, |a|－|b|与|a±b|及|a|＋|b|三者具有什么样的大小关系？
[提示] 它们之间的关系为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|．
课时分层作业(三) 向量的减法运算
一、选择题
1．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
A．＝ B．＝
C．＝－ D．＝－
[答案] B
2．下列各式中，恒成立的是( )
A．＝ B．a－a＝0
C．＝ D．＝0
D [选项D中，＝＝＝0．]
3．在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a－b＋c B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c D．b－a＋c
A [＝＝＝a＋c－b＝a－b＋c．故选A．]
4．已知在四边形ABCD中，＝，则四边形ABCD一定是( )
A．平行四边形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
A [由＝，可得＝，
所以四边形ABCD一定是平行四边形．]
5．(多选)下列各式中能化简为的是( )
A．()－
B．－()
C．－()－()
D．
ABC [选项A中，()－＝＝＝；选项B中，－()＝－0＝；选项C中，－()－()＝＝＝()＋＝；选项D中，＝．]
二、填空题
6．若菱形ABCD的边长为2，则||的长度为________．
2 [||＝||＝||＝2．]
7．在正六边形ABCDEF中，记向量＝a，＝b，则向量＝________．(用a，b表示)
b－a [由正六边形的性质知，＝，
∴＝b－a．]
8．已知||＝a，||＝b(a>b)，||的取值范围是[5，15]，则a，b的值分别为________．
10，5 [因为a－b＝|||－|||≤||＝||≤||＋||＝a＋b，
所以 解得 ]
三、解答题
9． 如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．
[解] (1)＝＝c－a．
(2)＝＝＝d－a．
(3)＝＝＝d－b．
(4)＝＝b－a＋f－c．
(5)＝－()＝＝f－d．
10．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外＝16，||＝||，则||＝( )
A．8 B．4 C．2 D．1
C [根据||＝||可知，
△ABC是以A为直角的直角三角形，
∵||2＝16，∴||＝4，
又∵M是BC的中点，
∴||＝||＝×4＝2．
故选C．]
11．(多选)一艘船在静水中的航行速度为5 km/h，河水的流速为3 km/h，则船的实际航行的速度可能为( )
A．1 km/h B．5 km/h
C．8 km/h D．10 km/h
BC [设该船实际航行的速度为v，因为船的实际航行速度为静水中的航行速度与水流速度的合速度，
所以||v静|－|v水||≤|v|≤|v静|＋|v水|，
因为船在静水中的航行速度为5 km/h，河水的流速为3 km/h，所以5－3≤|v|≤5＋3，则2≤|v|≤8，
所以船实际航行的速度的取值范围是[2，8]．故选BC．]
12．(多选)下列结论正确的是( )
A．若线段AC＝AB＋BC，则向量＝
B．若向量＝，则线段AC＝AB＋BC
C．若向量与共线，则线段AC＝AB＋BC
D．若向量与反向共线，则||＝AB＋BC
AD [由AC＝AB＋BC得点B在线段AC上，则＝，A正确；三角形内＝，但AC≠AB＋BC，B错误；反向共线时，||＝||≠||＋||，也即AC≠AB＋BC，C错误； 反向共线时，||＝|＋(－)|＝AB＋BC，D正确．]
13．已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，则|a＋b|＝________．
4 [如图所示，设＝a，＝b，则||＝|a－b|．以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则||＝|a＋b|．由于(＋1)2＋(－1)2＝42，故||2＋||2＝||2，所以△OAB是直角三角形，∠AOB＝90°，从而OA⊥OB，所以平行四边形OACB是矩形．根据矩形的对角线相等得||＝||＝4，即|a＋b|＝4．]
14．已知△OAB中，＝a，＝b，满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|及△AOB的面积．
[解] 由已知得||＝||，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则可知其为菱形，且＝a＋b，＝a－b，
由于|a|＝|b|＝|a－b|，
则OA＝OB＝BA，
∴△OAB为正三角形，
∴|a＋b|＝||＝2×＝2，
S△OAB＝×2×＝．
15．如图所示，在 ABCD中，＝a，＝b，先用a，b表示向量和，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？
[解] 由向量的平行四边形法则，得＝a＋b，＝＝a－b．
当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线的长度相等，四边形ABCD为矩形；
当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边的长度相等，四边形ABCD为菱形；
当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形．
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