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6.2.3 向量的数乘运算
第六章 平面向量及其
6.2 平面向量的运算
整体感知
[学习目标] 1．了解向量数乘的概念．
2．理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算．
3．理解并掌握向量共线定理及其判定方法．
[讨论交流] 预习教材P13－P16的内容，思考以下问题：
问题1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？
问题2．向量数乘运算满足哪三条运算律？
问题3．向量共线定理是怎样表述的？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1 向量的数乘运算
探究问题1 如图，已知非零向量a，你能作出a＋a＋a，(－a)＋(－a)＋(－a)吗？它们的长度和方向分别是怎样的？
向量
数乘
0
【教用·微提醒】 (1)数乘向量仍是向量．
(2)实数λ与向量不能相加．
探究2 向量的线性运算
探究问题2 类比实数的乘法的运算律，那么数乘向量有什么运算律呢？
[提示] 数乘向量满足乘法对加法的分配律．
[新知生成]
1．数乘运算的运算律
设λ，μ为实数，那么
(1)λ(μa)＝______．
(2)(λ＋μ)a＝__________．
(3)λ(a＋b)＝__________．
特别地，(－ λ)a＝－(λa)＝ λ(－a)，λ(a－b)＝ λa－ λb．
(λμ)a
λa＋μa
λa＋ λb
2．向量的线性运算
向量的__、__、____运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝___________．
加
减
数乘
λμ1a± λμ2b
【链接·教材例题】
例5 计算：
(1)(－3)×4a；
(2)3(a＋b)－2(a－b)－a；
(3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)．
[解] (1)原式＝(－3×4)a＝－12a；
(2)原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b；
(3)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c．
[解] (1)原式＝2a＋2b－2a＋2b＝2a－2a＋2b＋2b＝4b．
(2)原式＝－a－b＋c＋2a－2b＋2c＝a－3b＋3c．
(3)原式＝2a－b＋2a＝4a－b．
(4)原式＝(λ＋μ)a－(λ＋μ)b＋(λ－μ)a＋(λ－μ)b
＝[(λ＋μ)＋(λ－μ)]a＋[(λ－μ)－(λ＋μ)]b
＝2λa＋(－2μ)b＝2λa－2μb．
反思领悟 向量线性运算的基本方法
(1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．
(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当地运用运算律，简化运算．
[学以致用] 1．已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y．
探究3 向量共线定理
探究问题3 结合探究1，思考一下：如果b＝λa(a≠0)，那么向量a，b是否共线？反过来，若向量b与非零向量a共线，那么是否存在一个实数λ，使得b＝λa(a≠0)
[提示] 共线，存在．
[新知生成] 向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa．
【教用·微提醒】 定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数，若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa．
√
反思领悟 用已知向量表示其他向量的方法
(1)直接法：结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中，然后利用向量的三角形法则或平行四边形法则，用已知向量表示未知向量．
√
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
2
3
题号
1
4
√
2
3
题号
1
4
2
3
题号
4
1
√
√
√
2
3
题号
4
1
ABC [对于A，b＝－a，有a∥b；
对于B，b＝－2a，有a∥b；
对于C，a＝4b，有a∥b；
对于D，a与b不一定共线．故选ABC．]
2
4
3
题号
1
－4
1．知识链：(1)向量的数乘及运算律．
(2)向量共线定理．
(3)三点共线的常用结论．
2．方法链：数形结合法、分类讨论法．
3．警示牌：运用向量共线定理时注意不要忽视零向量这一个特殊向量．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．向量λa的几何意义是什么？
[提示] λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．
2．向量共线定理的内容是什么？
[提示] 若向量a与b共线，则存在唯一实数λ，使得b＝λa(a≠0)．
3．如何利用向量共线定理证明A，B，C三点共线？6.2.3 向量的数乘运算
[学习目标] 1．了解向量数乘的概念．
2．理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算．
3．理解并掌握向量共线定理及其判定方法．
[讨论交流] 预习教材P13－P16的内容，思考以下问题：
问题1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？
问题2．向量数乘运算满足哪三条运算律？
问题3．向量共线定理是怎样表述的？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 向量的数乘运算
探究问题1 如图，已知非零向量a，你能作出a＋a＋a，(－a)＋(－a)＋(－a)吗？它们的长度和方向分别是怎样的？
[提示] 如图，
由图及向量加法的定义可知，＝＝a＋a＋a＝3a．
＝＝(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a．
显然的方向与a的方向相同，长度是a的长度的3倍，的方向与a的方向相反，长度是a的长度的3倍．
[新知生成]
一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|．
(2)λa(a≠0)的方向
特别地，当λ＝0时，λa＝0．
当λ＝－1时，(－1)a＝－a．
【教用·微提醒】 (1)数乘向量仍是向量．
(2)实数λ与向量不能相加．
探究2 向量的线性运算
探究问题2 类比实数的乘法的运算律，那么数乘向量有什么运算律呢？
[提示] 数乘向量满足乘法对加法的分配律．
[新知生成]
1．数乘运算的运算律
设λ，μ为实数，那么
(1)λ(μa)＝(λμ)a．
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa．
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb．
特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb．
2．向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．
【链接·教材例题】
例5 计算：
(1)(－3)×4a；
(2)3(a＋b)－2(a－b)－a；
(3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)．
[解] (1)原式＝(－3×4)a＝－12a；
(2)原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b；
(3)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c．
[典例讲评] 1．(源自人教B版教材)化简下列各式：
(1)2(a＋b)－2(a－b)；
(2)－(a＋b－c)＋2(a－b＋c)；
(3)2a－×3b＋×4a；
(4)(λ＋μ)(a－b)＋(λ－μ)(a＋b)．
[解] (1)原式＝2a＋2b－2a＋2b＝2a－2a＋2b＋2b＝4b．
(2)原式＝－a－b＋c＋2a－2b＋2c＝a－3b＋3c．
(3)原式＝2a－b＋2a＝4a－b．
(4)原式＝(λ＋μ)a－(λ＋μ)b＋(λ－μ)a＋(λ－μ)b
＝[(λ＋μ)＋(λ－μ)]a＋[(λ－μ)－(λ＋μ)]b
＝2λa＋(－2μ)b＝2λa－2μb．
向量线性运算的基本方法
(1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．
(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当地运用运算律，简化运算．
[学以致用] 1．已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y．
[解] 联立
由①×3＋②×2得，x＝3a＋2b，
代入①得3×(3a＋2b)－2y＝a，
所以y＝4a＋3b．
所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b．
探究3 向量共线定理
探究问题3 结合探究1，思考一下：如果b＝λa(a≠0)，那么向量a，b是否共线？反过来，若向量b与非零向量a共线，那么是否存在一个实数λ，使得b＝λa(a≠0)
[提示] 共线，存在．
[新知生成] 向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa．
【教用·微提醒】 定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数，若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa．
【链接·教材例题】
例7 如图6.2-16，已知任意两个非零向量a，b，试作＝a＋b，＝a＋2b，＝a＋3b．猜想A，B，C三点之间的位置关系，并证明你的猜想．
分析：判断三点之间的位置关系，主要是看这三点是否共线，为此只要看其中一点是否在另两点所确定的直线上．在本题中，应用向量知识判断A，B，C三点是否共线，可以通过判断向量是否共线，即是否存在λ，使＝λ成立．
[解] 分别作向量，过点A，C作直线AC(图6.2-17)．观察发现，不论向量a，b怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A，B，C三点共线．
事实上，因为
＝＝a＋2b－(a＋b)＝b，
＝＝a＋3b－(a＋b)＝2b，
所以＝2．
因此，A，B，C三点共线．
【链接·教材例题】
例8 已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta，a－b共线，求实数t的值．
[解] 由a，b不共线，易知向量a－b为非零向量．由向量b－ta，a－b共线，可知存在实数λ，使得b－ta＝λ，
即a＝b．
由a，b不共线，必有t＋λ＝λ＋1＝0．
否则，不妨设t＋λ≠0，则a＝b．
由两个向量共线的充要条件知，a，b共线，与已知矛盾．
由解得t＝．
因此，当向量b－ta，a－b共线时，t＝．
[典例讲评] 2．设a，b是不共线的两个向量．
(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，
求证：A，B，C三点共线；
(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值．
[解] (1)证明：∵＝＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，
而＝＝(a－3b)－(3a＋b)
＝－(2a＋4b)＝－2，
∴与共线，且有公共点B，
∴A，B，C三点共线．
(2)∵8a＋kb与ka＋2b共线，
∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，
即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0，
∵a与b不共线，∴
解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4．
1．证明或判断三点共线的方法
一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可．
2．利用向量共线求参数的方法
已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数对应相等求解．
[学以致用] 2．设不共线，且＝a＋b(a，b∈R)．
(1)若a＝，b＝，求证：A，B，C三点共线；
(2)若A，B，C三点共线，则a＋b是否为定值？说明理由．
[解] (1)证明：当a＝，b＝时，
＝＋，所以)＝)，即2＝，
所以与共线．又与有公共点C，
所以A，B，C三点共线．
(2)a＋b为定值1，理由如下：
因为A，B，C三点共线，所以∥，
不妨设＝λ(λ∈R)，所以＝λ()，即＝(1－λ)＋λ，
又＝a＋b，且不共线，
则所以a＋b＝1(定值)．
【教用·备选题】 已知A，B，C，O为平面内不同在一条直线上的四点，证明A，B，C三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m，n，使＝m＋n，且m＋n＝1．
[证明] (1)证明充分性．
∵＝m＋n，m＋n＝1，
∴＝m＋n()＝(m＋n)＋n＝＋n，
∴＝n，即＝n．
又有公共点A，
∴A，B，C三点共线．∴充分性成立．
(2)证明必要性．
由A，B，C三点共线知，存在实数λ，使得＝λ，即＝λ()，∴＝(λ－1)＋λ＝(1－λ)＋λ．
设m＝1－λ，n＝λ，则m＋n＝1，＝m＋n．
∴必要性成立．
∴A，B，C三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m，n，使＝m＋n，且m＋n＝1．
探究4 用已知向量表示其他向量
【链接·教材例题】
例6 如图6.2-15， ABCD的两条对角线相交于点M，且＝a，＝b，用a，b表示和．
[解] 在 ABCD中，
＝＝a＋b，
＝＝a－b．
由平行四边形的两条对角线互相平分，得
＝－＝－(a＋b)＝－a－b，
＝＝(a－b)＝a－b，
＝＝a＋b，
＝－＝－a＋b．
[典例讲评] 3．(1)如图，在 ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则等于( )
A．a－b B．a＋b
C．a＋b D．a－b
(2)在△ABC中，已知D是BC上的点，且CD＝2BD，设＝a，＝b，试用a和b表示．
(1)D [因为E是BC的中点，
所以＝＝－＝－b，
所以＝＝＝a－b．]
(2)[解] ∵B，C，D三点共线，且CD＝2BD，
∴＝．
法一：＝＝＋＝＋)＝＋＝a＋b．
法二：∵＝＝＝)，
∴＝＋)＝＋＝a＋b．
用已知向量表示其他向量的方法
(1)直接法：结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中，然后利用向量的三角形法则或平行四边形法则，用已知向量表示未知向量．
(2)方程法：当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
(3)中点向量公式：若M为AB的中点，O为平面内任一点，则＝．
[学以致用] 3．如图，在△ABC中，D是边BC的中点，＝2，则用向量表示为( )
A．＝－＋
B．＝－＋
C．＝－
D．＝＋
A [由题意可得＝＝＋＝＋×)＝＋＋＝－．故选A．]
1．已知向量a，b，那么(2a－4b)＋2b等于( )
A．a－2b B．a－4b
C．a D．b
C [(2a－4b)＋2b＝a－2b＋2b＝a．
故选C．]
2．如图，向量的终点在同一直线上，且＝－3，设＝p，＝q，＝r，则下列等式中成立的是( )
A．r＝－p＋q B．r＝－p＋2q
C．r＝p－q D．r＝－q＋2p
A [由＝－3＝p，＝q，＝r，得r－p＝－3(q－r)，所以r＝－p＋q．故选A．]
3．(多选)下列非零向量a，b中，一定共线的是( )
A．a＝2e，b＝－2e
B．a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2
C．a＝4e1－e2，b＝e1－e2
D．a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2
ABC [对于A，b＝－a，有a∥b；
对于B，b＝－2a，有a∥b；
对于C，a＝4b，有a∥b；
对于D，a与b不一定共线．故选ABC．]
4．设向量a，b不平行，向量a＋λb与－a＋b平行，则实数λ＝________．
－4 [∵a，b不平行，∴－a＋b≠0．
∵a＋λb与－a＋b平行，∴存在实数μ，使a＋λb＝μ(－a＋b)，即(1＋μ)a＝b．
∵a，b不平行，∴1＋μ＝μ－λ＝0，∴λ＝－4．]
1．知识链：(1)向量的数乘及运算律．
(2)向量共线定理．
(3)三点共线的常用结论．
2．方法链：数形结合法、分类讨论法．
3．警示牌：运用向量共线定理时注意不要忽视零向量这一个特殊向量．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．向量λa的几何意义是什么？
[提示] λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．
2．向量共线定理的内容是什么？
[提示] 若向量a与b共线，则存在唯一实数λ，使得b＝λa(a≠0)．
3．如何利用向量共线定理证明A，B，C三点共线？
[提示] 要证A，B，C三点共线，只需证明与或与或与共线即可．
课时分层作业(四) 向量的数乘运算
一、选择题
1．如图，在矩形ABCD中，E为BC中点，那么向量等于( )
A． B．
C． D．
B [因为四边形ABCD为矩形，E为BC中点，
所以＝，
所以＝＝．故选B．]
2．若＝5，b与a的方向相反，且＝7，则a等于( )
A．b B．－b
C．b D．－b
B [∵b与a反向，∴a＝λb，∴＝－λ，
即－7λ＝5，解得λ＝－， ∴a＝－b．故选B．]
3．下列说法中，正确的是( )
A．λa与a的方向不是相同就是相反
B．若a，b共线，则b＝λa
C．若|b|＝2|a|，则b＝±2a
D．若b＝±2a，则|b|＝2|a|
D [对于A, 当λ＝0时，结论不成立；
对于B，当a＝0，b≠0时，结论不成立；
对于C，当|b|＝2|a|，b与2a不一定共线；
对于D, 因为b＝±2a，所以|b|＝2|a|，故正确．
故选D．]
4．在四边形ABCD中，若＝3a，＝－5a，且||＝||，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．菱形
C．等腰梯形 D．非等腰梯形
C [由条件可知＝－，所以AB∥CD，又因为||＝||，所以四边形ABCD为等腰梯形．]
5．(多选)如图，点C，D是线段AB的三等分点，则下列结论正确的有( )
A．＝ B．＝
C．．＝ D．＝2
AD [由题知，点C，D是线段AB的三等分点，
所以AC＝CD＝DB，AB＝3AC，AB＝3CD，AD＝2CD．
对于A，AC＝DB，所以＝，A选项正确；
对于B，AB≠AC，所以≠，B选项错误；
对于C，AB＝3CD，所以≠，C选项错误；
对于D，AD＝2CD，所以＝2，D选项正确．故选AD．]
二、填空题
6．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＝λ，则λ＝________．
2 [∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴＝＝2，∴λ＝2．]
7．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则k＝________．
[因为向量m与向量n共线，所以设m＝λn(λ∈R)，所以－e1＋ke2＝λe2－2λe1，
因为e1与e2不共线，
所以所以 ]
8．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC．若＝a，＝b，则＝________．(用a，b表示)
－a＋b [＝＝＋＝＋)＝－＋＝－a＋b．]
三、解答题
9．(源自北师大版教材)如图，在 ABCD中，点M为AB的中点，点N在BD上，3BN＝BD．
求证：M，N，C三点共线．
证明：设＝a，＝b，
则＝a＋b，＝b＋＝b＋＝a＋b，
所以＝．
又因为有公共起点C，
所以M，N，C三点共线．
10．已知在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD为( )
A．梯形 B．正方形
C．平行四边形 D．矩形
A [∵＝a＋2b，＝－5a－3b，
∴与不共线，
∵＝
＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)
＝－8a－2b＝2(－4a－b)，
∴＝2．
∴与共线，且||＝2||．
又∵这两个向量所在的直线不重合，
∴AD∥BC，且AD＝2BC．
∴四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形．]
11．(多选)已知点O是△ABC的重心，则下列说法中正确的有( )
A．＝0
B．＝
C．＝
D．＝
AB [记D为BC中点，则O为AD靠近点D的三等分点，因为＝2，＝－2，所以＝0，A正确；又＝2＝，
所以＝，B正确，C错误；
又＝2＝2＝6，
所以＝，故D错误．故选AB．]
12．点P在△ABC所在平面上，且满足＝2，则＝( )
A． B．
C． D．
B [因为＝2＝2()，所以3＝＝，所以共线，且3||＝||，所以＝．]
13．在平行四边形 ABCD中， 点E满足＝λ且＝－， 则实数λ＝________．
4 [由题意可得，
＝＝
＝
＝＋＝－，∴λ＝4．]
14．(源自北师大版教材)在四边形ABCD中，点E，F分别为AD，BC的中点，求证：＝)．
[证明] 因为点E，F分别为AD，BC的中点，
所以＝－＝－，
即＝0，＝0，
又＝，①
＝，②
所以①＋②，
得2＝()＋()＝，
所以＝)．
15．(源自北师大版教材)已知非零向量，λ∈＝λ，画图并说明是∠BAC的平分线．
[解] 因为是与同向的单位向量，
是与同向的单位向量，如图，设＝＝，
则＝λ，AM＝AN，
以AM，AN为邻边作平行四边形AMEN，
则＝，且平行四边形AMEN为菱形，
所以AE平分∠MAN，所以＝λ，
又A为公共端点，所以A，E，Q三点共线，
所以是∠BAC的平分线．
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