6.1 平面向量的概念
[学习目标] 1．能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别．
2．会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别．
3．理解零向量、单位向量、平行向量(共线向量)、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．
[讨论交流] 预习教材P2－P4的内容，思考以下问题：
问题1．向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？
问题2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？
问题3．两个向量(向量的模)能否比较大小？
问题4．如何判断相等向量或共线向量？向量与向量是相等向量吗？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 向量的概念及几何表示
探究问题 某人投掷标枪时，其中的一次记录为：出手角度θ＝43.242°，出手速度大小为v＝28.35 m/s．
实例中的 “速度”与我们生活中接触到的长度、面积、质量等有什么区别？
[提示] 速度是既有大小又有方向的量，而我们接触到的长度、面积、质量等是只有大小没有方向的量．
[新知生成]
1．向量的概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量．
(2)数量：只有大小没有方向的量称为数量．
2．向量的表示
(1)有向线段
具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度．
以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度叫做有向线段的长度，记作||．
(2)向量的表示
①几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．
②字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用)．
【教用·微提醒】 (1)书写向量时带箭头．
(2)有向线段与向量不是同一概念，有向线段有起点、长度、方向三个要素；向量可以用有向线段来表示．
【链接·教材例题】
例1 在图6.1-4中，分别用向量表示A地至B，C两地的位移，并根据图中的比例尺，求出A地至B，C两地的实际距离(精确到1 km)．
[解] 表示A地至B地的位移，且||≈________；表示A地至C地的位移，且||≈________．
[典例讲评] 1．(源自北师大版教材)小明从学校的教学楼出发，向北走了1 500 m到达图书馆，2 h后又从图书馆向南偏东60°走了1 000 m到食堂就餐，用餐后又从食堂向西走了2 000 m来到操场运动．请选择适当的比例尺画图，用向量表示小明每次的位移．
[解] 如图．小明的位移表示如下：
向量表示从教学楼到图书馆的距离与方向；
向量表示从图书馆到食堂的距离与方向；
向量表示从食堂到操场的距离与方向．
用有向线段表示向量的方法
第一步：确定起点；
第二步：确定方向；
第三步：依据有向线段的长度确定有向线段的终点．
[学以致用] 1．某人从点A出发向西走4个单位长度到达点B，然后改变方向朝西北方向走6个单位长度到达点C，最后又向东走4个单位长度到达点D．试分别作出向量和．
[解] 根据题意，在平面内任取一点为A，按照题意要求方向，作线段AB＝4，BC＝6，CD＝4，
则向量和如图所示．
探究2 向量的模、零向量和单位向量
[新知生成]
向量的模 向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作||
零向量 长度为0的向量，记作0
单位向量 长度等于1个单位长度的向量
【教用·微提醒】 零向量不能说没有方向，它的方向是任意的．
[典例讲评] 2．如图，某船从点O出发沿北偏东30°的方向行驶至点A处，求该船航行向量的长度(单位：n mile)．
[解] 由题意||＝＝2，
所以向量的长度为2 n mile．
解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量问题要特别注意方向．
[学以致用] 2．下列说法正确的是( )
A．向量的模都是正实数
B．单位向量只有一个
C．零向量是最小的向量
D．两个单位向量的长度相等
D [零向量的模为0，故A不正确；单位向量的方向可以是任意的，有无数个，故B不正确；向量不能比较大小，故C不正确；单位向量的长度都是1，故D正确．]
探究3 相等向量和共线向量
[新知生成]
平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量；向量a与b平行，记作a∥b，规定：零向量与任意向量平行
相等向量 长度相等且方向相同的向量；向量a与b相等，记作a＝b
【教用·微提醒】 共线向量中的向量所在的直线可以平行，也可以重合，与平面几何中的“共线”“平行”不同．
【链接·教材例题】
例2 如图6.1-8，设O是正六边形ABCDEF的中心．
(1)写出图中的共线向量；
(2)分别写出图中与相等的向量．
[解] (1)是共线向量；
是共线向量；
是共线向量．
(2)＝＝；
＝＝；
＝＝＝．
[典例讲评] 3．(源自苏教版教材)已知O为正六边形ABCDEF的中心，在如图所标出的向量中：
(1)试找出与共线的向量；
(2)确定与相等的向量；
(3)与相等吗？
[解] (1)由O为正六边形ABCDEF的中心，得与共线的向量有和．
(2)由于与长度相等且方向相同，所以＝．
(3)显然∥，且＝，但与的方向相反，所以这两个向量不相等．
相等向量与共线向量的探求方法
(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些同向共线．
(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量．
[学以致用] 3．(1)下列说法正确的是( )
A．长度相等的向量叫做相等向量
B．共线向量是在同一条直线上的向量
C．零向量的长度等于0
D．若||＞||，则＞
(2)如图所示，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形．
①图中与共线的向量有________；
②图中与相等的向量有________；
③图中与模相等的向量有________；
④图中与相等的向量有________．
(1)C (2)①；②，；③；④
[(1)长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A不正确；
方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，但共线向量不一定在同一条直线上，故B不正确；
零向量的模(长度)等于0，故C正确；
向量不能比较大小，故D不正确．
故选C．]
【教用·备选题】 如图所示，△ABC的三边长均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点．
(1)写出与共线的向量；
(2)写出与长度相等的向量；
(3)写出与相等的向量．
[解] (1)∵E，F分别是AC，AB的中点，
∴EF∥BC，∴与共线的向量为．
(2)∵E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，
∴EF＝BC，BD＝DC＝BC，
∴EF＝BD＝DC．
∵AB，BC，AC均不相等，
∴与长度相等的向量为．
(3)与相等的向量为．
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．若a＝0，则|a|＝0
B．零向量是没有方向的
C．零向量与任意向量平行
D．零向量的方向是任意的
ACD [零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行，所以ACD正确，B错误．]
2．已知单位向量a，b，则下列说法正确的是( )
A．a＝b B．a，b方向相反
C．＝ D．a∥b
C [对于A，向量a，b为单位向量，向量a，b的方向不一定相同，A错误；对于B，向量a，b为单位向量，但向量a，b的方向不一定相反，B错误；对于C，向量a，b为单位向量，则＝＝1，C正确；对于D，向量a，b为单位向量，向量a，b的方向不一定相同或相反，即a与b不一定平行，D错误．故选C．]
3．(多选)下列说法错误的为( )
A．共线的两个单位向量相等
B．相等向量的起点相同
C．若∥，则一定有直线AB∥CD
D．若向量共线，则点A，B，C必在同一直线上
ABC [A错误，共线的两个单位向量的方向可能相反；B错误，相等向量的起点和终点都可能不相同；C错误，直线AB与CD可能重合；D正确，AB与BC平行且有公共点B，则A，B，C三点共线．]
4．如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．
(1)与向量相等的向量为________；
(2)若||＝3，则||＝________．
(1) (2)6 [(1)在 ABCD和 ABDE中，
∵＝＝，∴＝．
(2)由(1)知，＝，
∴E，D，C三点共线，||＝||＋||＝2||＝6．]
1．知识链：(1)向量的概念及表示．
(2)向量的相关概念：零向量、单位向量、相等向量、共线向量(平行向量)．
2．方法链：数形结合法．
3．警示牌：零向量的方向具有任意性；向量的平行不具有传递性；共线向量并不是在一条直线上的向量．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．向量与数量有什么区别？向量能比较大小吗？
[提示] 数量是一个代数量，只有大小没有方向，其大小可以用正数、负数、 零来表示，可以比较大小，如长度、面积、体积等；向量既有大小又有方向，因为方向不能比较大小，所以向量不能比较大小．
2．零向量与任意向量存在什么关系？
[提示] 平行．
3．向量中的“平行”“共线”与几何中的“平行”“共线”是否一致？
[提示] 向量中的“平行”与“共线”是一个概念，而几何中的“平行”与“共线”不是一个概念．由于向量可以平移，因此无论两个向量所在的直线是平行还是共线，我们都说这两个向量共线，而几何中则不同．
课时分层作业(一) 平面向量的概念
一、选择题
1．下列量中是向量的为( )
A．时间 B．重力
C．体积 D．距离
B [显然时间、体积、距离，它们只有大小，不是向量，而重力既有大小，又有方向，所以重力是向量．故选B．]
2．(多选)已知向量a如图所示，下列说法正确的是( )
A．可以用表示 B．方向是由M指向N
C．起点是M D．终点是M
ABC [由向量的几何表示知，A，B，C正确，D不正确．故选ABC．]
3．如图，在 ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与平行的向量的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [图中与平行的向量为，共3个．]
4．如图，在圆O中，向量是( )
A．有相同起点的向量
B．共线向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
C [由题图可知，三个向量方向不同，但长度相等，即这三个向量的模相等．]
5．(多选)下列能使a∥b成立的是( )
A．a＝b B．|a|＝|b|
C．a与b方向相反 D．|a|＝0或|b|＝0
[答案] ACD
二、填空题
6．如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则||＝________．
[因为正方形的对角线长为2，所以||＝．]
7．在四边形ABCD中，若＝且||＝||，则四边形的形状为________．
菱形 [∵＝，∴AB＝DC，AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵||＝||，∴平行四边形ABCD是菱形．]
8．某人向正东方向行进100 m后，再向正南方向行进100 m，则此人位移的方向是________．
南偏东30° [如图所示，此人从点A出发，经点B，到达点C，
则tan ∠BAC＝＝＝，
∴∠BAC＝60°，即南偏东30°方向．]
三、解答题
9．(源自苏教版教材)在图中的4×5方格纸中有一个向量，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与相等的向量有多少个？与长度相等的共线向量有多少个(除外)
[解] 当向量的起点C是图中所圈的格点时，可以作出与相等的向量，
这样的格点共有8个，除去点A外，还有7个，所以共有7个向量与相等；
与长度相等的共线向量(除外)，有与相等的向量，还有与方向相反且长度相等的向量，所以与长度相等的共线向量共有7×2＋1＝15(个)．
10．下列说法错误的是( )
A．任一非零向量都可以平行移动
是单位向量，则＝
C．＝
D．两向量相等的充要条件是它们的起点和终点相同
D [因为非零向量是自由向量，可以自由平行移动，故A正确；由单位向量定义可知＝，故B正确；由向量的几何表示及模的概念可知，C正确；两向量相等的充要条件是它们的大小、方向相同，与起点、终点无关，故D错误．故选D．]
11．(多选)在下列结论中，正确的结论为( )
A．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的必要不充分条件
B．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的既不充分也不必要条件
C．a与b方向相同且|a|＝|b|是a＝b的充要条件
D．a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条件
ACD [若a＝b，则a与b方向相同，模相等，所以ACD正确，B错误．]
12．在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB＝30°，||＝2，则||等于( )
A．1 B．
C． D．2
A [如图，连接AC，由||＝||，得∠ABC＝∠OCB＝30°，又∠ACB＝90°，则||＝||＝×2＝1．
故选A．]
13．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了10米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点，则||＝________米．
5 [如图所示，由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10 米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝＝5(米)，所以||＝5 米．]
14．一辆汽车从A点出发向西行驶100千米到达B点，然后向北偏西40°方向走200千米到达C点，最后向东行驶100千米到达D点．
(1)作出位移；
(2)求．
[解] (1)作出，如图所示．
(2)由题意，知与方向相反，且长度相等，所以四边形ABCD为平行四边形，所以＝＝200千米．
15．如图所示的方格纸中每个小方格的边长为1，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝．
(1)画出所有的向量；
(2)求||的最大值与最小值．
[解] (1)画出所有的向量，
如图中所示．
(2)由图知，
①当点C位于点C1或C2时，
||取得最小值，为＝；
②当点C位于点C5或C6时，
||取得最大值，为＝．
故||的最大值为，最小值为．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共39张PPT)
6.1 平面向量的概念
第六章 平面向量及其
整体感知
[学习目标] 1．能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别．
2．会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别．
3．理解零向量、单位向量、平行向量(共线向量)、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1 向量的概念及几何表示
探究问题 某人投掷标枪时，其中的一次记录为：出手角度θ＝43.242°，出手速度大小为v＝28.35 m/s．
实例中的 “速度”与我们生活中接触到的长度、
面积、质量等有什么区别？
[提示] 速度是既有大小又有方向的量，而我们接触到的长度、面积、质量等是只有大小没有方向的量．
[新知生成]
1．向量的概念
(1)向量：既有____又有____的量叫做向量．
(2)数量：只有____没有____的量称为数量．
大小
方向
大小
方向
方向
起点
方向
长度
【教用·微提醒】 (1)书写向量时带箭头．
(2)有向线段与向量不是同一概念，有向线段有起点、长度、方向三个要素；向量可以用有向线段来表示．
【链接·教材例题】
例1 在图6.1-4中，分别用向量表示A地至B，
C两地的位移，并根据图中的比例尺，求出A
地至B，C两地的实际距离(精确到1 km)．
[典例讲评] 1．(源自北师大版教材)小明从学校的教学楼出发，向北走了1 500 m到达图书馆，2 h后又从图书馆向南偏东60°走了
1 000 m到食堂就餐，用餐后又从食堂向西走了2 000 m来到操场运动．请选择适当的比例尺画图，用向量表示小明每次的位移．
[解] 如图．小明的位移表示如下：
发现规律 用有向线段表示向量的方法
第一步：确定____；
第二步：确定____；
第三步：依据有向线段的____确定有向线段的终点．
起点
方向
长度
探究2 向量的模、零向量和单位向量
[新知生成]
向量的模
零向量 长度为_的向量，记作0
单位向量 长度等于___________的向量
长度
模
0
1个单位长度
【教用·微提醒】 零向量不能说没有方向，它的方向是任意的．
反思领悟 解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量问题要特别注意方向．
[学以致用] 2．下列说法正确的是( )
A．向量的模都是正实数
B．单位向量只有一个
C．零向量是最小的向量
D．两个单位向量的长度相等
D [零向量的模为0，故A不正确；单位向量的方向可以是任意的，有无数个，故B不正确；向量不能比较大小，故C不正确；单位向量的长度都是1，故D正确．]
√
探究3 相等向量和共线向量
[新知生成]
平行向量
(共线向量) 方向__________的非零向量；向量a与b平行，记作a∥b，规定：零向量与任意向量____
相等向量 长度____且方向____的向量；向量a与b相等，记作a＝b
相同或相反
平行
相等
相同
【教用·微提醒】 共线向量中的向量所在的直线可以平行，也可以重合，与平面几何中的“共线”“平行”不同．
反思领悟 相等向量与共线向量的探求方法
(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些同向共线．
(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量．
√
2
4
3
题号
1
应用迁移
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．若a＝0，则|a|＝0
B．零向量是没有方向的
C．零向量与任意向量平行
D．零向量的方向是任意的
√
√
ACD [零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行，所以ACD正确，B错误．]
√
2
3
题号
1
4
√
2
3
题号
4
1
√
√
√
2
3
题号
4
1
ABC [A错误，共线的两个单位向量的方向可能相反；B错误，相等向量的起点和终点都可能不相同；C错误，直线AB与CD可能重合；D正确，AB与BC平行且有公共点B，则A，B，C三点共线．]
2
4
3
题号
1
6
1．知识链：(1)向量的概念及表示．
(2)向量的相关概念：零向量、单位向量、相等向量、共线向量(平行向量)．
2．方法链：数形结合法．
3．警示牌：零向量的方向具有任意性；向量的平行不具有传递性；共线向量并不是在一条直线上的向量．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．向量与数量有什么区别？向量能比较大小吗？
[提示] 数量是一个代数量，只有大小没有方向，其大小可以用正数、负数、 零来表示，可以比较大小，如长度、面积、体积等；向量既有大小又有方向，因为方向不能比较大小，所以向量不能比较大小．
2．零向量与任意向量存在什么关系？
[提示] 平行．
3．向量中的“平行”“共线”与几何中的“平行”“共线”是否一致？
[提示] 向量中的“平行”与“共线”是一个概念，而几何中的“平行”与“共线”不是一个概念．由于向量可以平移，因此无论两个向量所在的直线是平行还是共线，我们都说这两个向量共线，而几何中则不同．
