(共46张PPT)
6.2.1 向量的加法运算
第六章 平面向量及其
6.2 平面向量的运算
整体感知
[学习目标] 1．理解并掌握向量加法的概念．
2．掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则进行两个向量的加法运算．
3．了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性．
[讨论交流] 预习教材P7－P10的内容，思考以下问题：
问题1．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？
问题2．向量加法的运算律有哪两个？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1 向量加法的三角形法则
探究问题1 某次列车从济南西站途经天津南站到达北京南站，这次列车的位移如何表示？你能从这个问题出发，给出求解向量之和的一种方法吗？
两个向量和
【教用·微提醒】 运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，再首尾连”．
√
探究2 向量加法的平行四边形法则
探究问题2 图①表示橡皮条ME在两个力F1和F2的作用下，沿MC方向伸长了EO；图②表示橡皮条ME在一个力F的作用下，沿相同方向伸长了相同的长度EO．从力学的观点分析，力F与F1，F2之间的关系如何？你能从这个问题出发，给出求解向量之和的另一种方法吗？
[提示] F＝F1＋F2．从这个问题出发，我们可以给出求解向量之和的另一种方法——平行四边形法则．
提醒：平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．
对角线
【链接·教材例题】
例1 如图6.2-5，已知向量a，b，求作向量a＋b．
[典例讲评] 2．(1)如图①所示，求作向量a＋b；
(2)如图②所示，求作向量a＋b＋c．
反思领悟 求作和向量的方法
[学以致用] 2．(源自人教B版教材)如图：
(1)以A为始点，作出a＋b；
(2)以B为始点，作出c＋d＋e．
[解] (1)如图所示；
(2)如图所示．
探究3 共线向量的加法与向量加法的运算律
探究问题3 请结合向量加法的三角形法则和平行四边形法则，探索|a＋b|与|a|，|b|之间存在的关系．
[提示] (1)当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b方向不同，且|a＋b|<|a|＋|b|．
(2)当a与b同向时，a＋b，a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|．
(3)当a与b反向时，若|a|>|b|，则a＋b的方向与a相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，则a＋b的方向与b相同，且|a＋b|＝|b|－|a|．
探究问题4 等式a＋b＝b＋a成立吗？(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)呢？试结合向量加法的运算法则证明．
[新知生成]
1．|a＋b|与|a|，|b|之间的关系
一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b中有一个是__向量或a，b是方向____的非零向量时，等号成立．
2．向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝______．
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋_______．
3．对于零向量与任意向量a，规定0＋a＝a＋_____＝_____．
零
相同
b＋a
(b＋c)
0
a
反思领悟 向量加法运算律的意义和应用原则
(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，能实现恰当利用向量加法法则运算的目的．
(2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．
[学以致用] 3．(源自人教B版教材)已知|a|＝3，|b|＝4，求|a＋b|的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系．
探究4 向量加法的实际应用
【链接·教材例题】
例2 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图6.2-8，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15 km/h，同时江水的速
度为向东6 km/h．
(1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
(2)求船实际航行的速度的大小(结果保留小数点后一位)与方向(用与江水速度间的夹角表示，精确到1°)．
[典例讲评] 4．(源自苏教版教材)在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船在静水中的速度为25 km/h．渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
反思领悟 利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤
[学以致用]
4．(源自北师大版教材)如图，在一场足球比赛中，中场队员在点A位置得球，将球传给位于点B的左边锋，随即快速直向插上．边锋得球后看到对方后卫上前逼抢，于是将球快速横传至门前，球到达点C时前插的中场队员正好赶到，直接射门得分．设BC＝30 m，∠ABC＝37°．(取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(1)求中场队员从传球至射门这一过程中足
球的位移；
(2)这一过程中中场队员的位移与球的位移是否相等？
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
2
3
题号
1
4
√
2
3
题号
4
1
3．已知非零向量a，b，|a|＝8，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为________．
13 [因为|a＋b|≤|a|＋|b|，所以|a＋b|的最大值为13．]
13
2
4
3
题号
1
20
1．知识链：(1)向量加法的三角形法则．
(2)向量加法的平行四边形法则．
(3)向量三角不等式．
(4)向量加法的运算律．
2．方法链：数形结合法．
3．警示牌：应用向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，应用平行四边形法则要注意把向量移到共同起点．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．两个向量相加就是两个向量的模相加吗？其运算法则有哪些？
[提示] 两个向量相加不是两个向量的模相加，向量相加要考虑大小及方向，其运算法则有三角形法则和平行四边形法则．
2．应用三角形法则应注意哪些问题？
[提示] 使用三角形法则求两个向量的和时，应注意“首尾相连，起点指终点”，即首尾相连的两个向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点．
3．应用平行四边形法则应注意哪些问题？
[提示] 平行四边形法则只适用于求不共线的两个向量的和．基本步骤可简述为：共起点，两向量所在线段为邻边作平行四边形，找共起点的对角线对应的向量．
4．对于任意的向量a，b，|a＋b|与|a|，|b|之间存在怎样的大小关系？
[提示] |a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时，等号成立．6.2 平面向量的运算
6.2.1 向量的加法运算
[学习目标] 1．理解并掌握向量加法的概念．
2．掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则进行两个向量的加法运算．
3．了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性．
[讨论交流] 预习教材P7－P10的内容，思考以下问题：
问题1．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？
问题2．向量加法的运算律有哪两个？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 向量加法的三角形法则
探究问题1 某次列车从济南西站途经天津南站到达北京南站，这次列车的位移如何表示？你能从这个问题出发，给出求解向量之和的一种方法吗？
[提示] 如图，该次列车两次位移的结果，与从济南西站直接到北京南站的位移的结果相同，因此位移可以看成是位移与合成的，即可以算作是与的和．
从这个问题出发，我们可以给出求解向量之和的一种方法——三角形法则．
[新知生成]
1．向量加法的定义
求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
2．向量加法的三角形法则
已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＝．这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．
【教用·微提醒】 运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，再首尾连”．
[典例讲评] 1．(1)如图，在正六边形ABCDEF中，等于( )
A．0 B． C． D．
(2)如图，请在图中直接标出的运算结果．
(1)D [∵＝，∴＝＝，又＝，∴＝＝．故选D．]
(2)[解] ＝，如图所示．
向量加法的三角形法则的特征为首尾顺次相接，其和为由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点，即＝．
[学以致用] 1．根据图示填空，其中a＝，b＝，c＝，d＝．
(1)a＋b＋c＝________；
(2)b＋c＋d＝________．
(1) (2) [(1)a＋b＋c＝＝．
(2)b＋c＋d＝＝．]
探究2 向量加法的平行四边形法则
探究问题2 图①表示橡皮条ME在两个力F1和F2的作用下，沿MC方向伸长了EO；图②表示橡皮条ME在一个力F的作用下，沿相同方向伸长了相同的长度EO．从力学的观点分析，力F与F1，F2之间的关系如何？你能从这个问题出发，给出求解向量之和的另一种方法吗？
[提示] F＝F1＋F2．从这个问题出发，我们可以给出求解向量之和的另一种方法——平行四边形法则．
[新知生成] 向量加法的平行四边形法则
以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作 OACB，则以O为起点的向量(OC是 OACB的对角线)就是向量a与b的和．把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．
提醒：平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．
【链接·教材例题】
如图6.2-5，已知向量a，b，求作向量a＋b．
[解] 作法1：在平面内任取一点O(图6.2-6(1))，作＝a，＝b．则＝a＋b．
作法2：在平面内任取一点O(图6.2-6(2))，作＝a，＝b．以OA，OB为邻边作 OACB，连接OC，则＝＝a＋b．
[典例讲评] 2．(1)如图①所示，求作向量a＋b；
(2)如图②所示，求作向量a＋b＋c．
[解] (1)首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b．如图所示．
(2)法一：(三角形法则)如图所示，
首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝a＋b＋c即为所求．
法二：(平行四边形法则)如图所示，
首先在平面内任取一点O，作向量＝c，
以OA，OB为邻边作 OADB，连接OD，
则＝a＋b．
再以OD，OC为邻边作 ODEC，连接OE，
则＝a＋b＋c即为所求．
求作和向量的方法
[学以致用] 2．(源自人教B版教材)如图：
(1)以A为始点，作出a＋b；
(2)以B为始点，作出c＋d＋e．
[解] (1)如图所示；
(2)如图所示．
探究3 共线向量的加法与向量加法的运算律
探究问题3 请结合向量加法的三角形法则和平行四边形法则，探索|a＋b|与|a|，|b|之间存在的关系．
[提示] (1)当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b方向不同，且|a＋b|<|a|＋|b|．
(2)当a与b同向时，a＋b，a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|．
(3)当a与b反向时，若|a|>|b|，则a＋b的方向与a相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，则a＋b的方向与b相同，且|a＋b|＝|b|－|a|．
探究问题4 等式a＋b＝b＋a成立吗？(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)呢？试结合向量加法的运算法则证明．
[提示] 均成立．先证明a＋b＝b＋a．作＝b，以AB，AD为邻边作 ABCD，如图①，容易发现＝a，故＝a＋b．又＝b＋a，所以a＋b＝b＋a．
如图②，不难证明(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
[新知生成]
1．|a＋b|与|a|，|b|之间的关系
一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时，等号成立．
2．向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a．
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
3．对于零向量与任意向量a，规定0＋a＝a＋0＝a．
[典例讲评] 3．(源自人教B版教材)化简下列各式：
(1)；
(2)．
[解] (1)＝＋．
(2)＋＝＝＋＝0．
向量加法运算律的意义和应用原则
(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，能实现恰当利用向量加法法则运算的目的．
(2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．
[学以致用] 3．(源自人教B版教材)已知|a|＝3，|b|＝4，求|a＋b|的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系．
[解] 由|a＋b|≤|a|＋|b|可知，|a＋b|的最大值为|a|＋|b|＝3＋4＝7，当且仅当a与b方向相同时取得最大值．
由|a＋b|≥可知，＝|3－4|＝1，当且仅当a与b方向相反时取得最小值．
探究4 向量加法的实际应用
【链接·教材例题】
例2 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图6.2-8，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15 km/h，同时江水的速度为向东6 km/h．
(1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
(2)求船实际航行的速度的大小(结果保留小数点后一位)与方向(用与江水速度间的夹角表示，精确到1°)．
[解] (1)如图6.2-9．表示船速，表示江水速度，以AD，AB为邻边作 ABCD，则表示船实际航行的速度．
(2)在Rt△ABC中，＝6，＝15，于是
＝≈16.2．
因为tan ∠CAB＝，所以利用计算工具可得∠CAB≈68°．
因此，船实际航行速度的大小约为16.2 km/h，方向与江水速度间的夹角约为68°．
[典例讲评] 4．(源自苏教版教材)在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船在静水中的速度为25 km/h．渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
[解] 如图，设表示水流的速度，表示渡船在静水中的速度，表示渡船实际垂直过江的速度．
因为，所以四边形ABCD为平行四边形．
在Rt△ACD中，因为∠ACD＝90°，＝＝12.5，＝25，所以∠CAD＝30°．所以渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°．
利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤
[学以致用]
4．(源自北师大版教材)如图，在一场足球比赛中，中场队员在点A位置得球，将球传给位于点B的左边锋，随即快速直向插上．边锋得球后看到对方后卫上前逼抢，于是将球快速横传至门前，球到达点C时前插的中场队员正好赶到，直接射门得分．设BC＝30 m，∠ABC＝37°．(取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(1)求中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移；
(2)这一过程中中场队员的位移与球的位移是否相等？
[解] (1)由题意，△ABC为直角三角形，
由BC＝30 m，∠ABC＝37°，
得AC＝BC·tan 37°＝30×＝22.5 m，
又，
所以中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移大小为22.5 m，方向为正前方．
(2)因为，
所以中场队员的位移与球的位移相等．
1．化简等于( )
A． B．
C． D．
C [根据平面向量的加法运算，得
＝＋．]
2．在 ABCD中，＝b，则＝( )
A．a B．b
C．0 D．a＋b
B [＝b，即＝b．故选B．]
3．已知非零向量a，b，|a|＝8，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为________．
13 [因为|a＋b|≤|a|＋|b|，所以|a＋b|的最大值为13．]
4．小船以10 km/h的速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行速度的大小为________km/h．
20 [根据平行四边形法则，因为水流方向与船速方向垂直，所以小船实际航行速度的大小为＝20(km/h)．]
1．知识链：(1)向量加法的三角形法则．
(2)向量加法的平行四边形法则．
(3)向量三角不等式．
(4)向量加法的运算律．
2．方法链：数形结合法．
3．警示牌：应用向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，应用平行四边形法则要注意把向量移到共同起点．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．两个向量相加就是两个向量的模相加吗？其运算法则有哪些？
[提示] 两个向量相加不是两个向量的模相加，向量相加要考虑大小及方向，其运算法则有三角形法则和平行四边形法则．
2．应用三角形法则应注意哪些问题？
[提示] 使用三角形法则求两个向量的和时，应注意“首尾相连，起点指终点”，即首尾相连的两个向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点．
3．应用平行四边形法则应注意哪些问题？
[提示] 平行四边形法则只适用于求不共线的两个向量的和．基本步骤可简述为：共起点，两向量所在线段为邻边作平行四边形，找共起点的对角线对应的向量．
4．对于任意的向量a，b，|a＋b|与|a|，|b|之间存在怎样的大小关系？
[提示] |a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时，等号成立．
课时分层作业(二) 向量的加法运算
一、选择题
1．在四边形ABCD中，，则一定有( )
A．四边形ABCD是矩形
B．四边形ABCD是菱形
C．四边形ABCD是正方形
D．四边形ABCD是平行四边形
D [根据向量加法的平行四边形法则，可知四边形ABCD是平行四边形．]
2．等于( )
A． B．
C． D．
C [＝＋＋＝＋．故选C．]
3．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a＋b表示( )
A．向东北方向航行2 km
B．向北偏东30°方向航行2 km
C．向北偏东60°方向航行2 km
D．向东北方向航行 km
B [如图，易知tan α＝，所以α＝30°．故a＋b的方向是北偏东30°．
又|a＋b|＝2(km)，故选B．]
4．(多选)如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是( )
A．
B．
C．
D．＝0
AD [根据向量加法的平行四边形法则和向量加法的几何意义，，所以A正确；，所以B错误；，所以C错误；＝0，所以D正确．故选AD．]
5．a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )
A．a∥b，且a与b方向相同
B．a，b是不共线向量
C．a与b方向相反
D．a，b无论什么关系均可
A [当两个非零向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b的方向都不相同，且|a＋b|＜|a|＋|b|；向量a与b同向时，a＋b的方向与a，b的方向都相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|；向量a与b反向且|a|＜|b|时，a＋b的方向与b的方向相同(与a方向相反)，且|a＋b|＝|b|－|a|．故选A．]
二、填空题
6．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，＝1，则＝________．
1 [＝，
在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，且＝1，
∴△ABD为等边三角形，故＝1，
∴＝1．]
7．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么＝________；＝________．
[因为DE∥BC，AB∥CF，
所以四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：
；
．]
8．在平行四边形ABCD中，若＝，则四边形ABCD是________．
矩形 [如图，＝＝＝，
∴＝．
∴四边形ABCD为矩形．]
三、解答题
9．是否存在a，b，使|a＋b|＝|a|＝|b|？请画出图形说明．
[解] 存在，如图，作＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，连接OC．
由题意知OA＝OB＝OC＝AC，则∠AOC＝∠COB＝60°．
10．在△ABC中，＝＝，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
B [，则＝＝，则△ABC是等边三角形．]
11．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足，则下列结论中正确的是( )
A．P在△ABC的内部
B．P在△ABC的边AB上
C．P在△ABC的边BC上
D．P在△ABC的外部
D []
12．(多选)设a＝＋，b是一个非零向量，则下列结论正确的有( )
A．a∥b B．a＋b＝a
C．a＋b＝b D．|a＋b|<|a|＋|b|
AC [由题意得，a＝＋
＝＝0，又b是一个非零向量，所以a∥b，A正确；由a＋b＝b，所以B不正确，C正确；
则|a＋b|＝|b|，|a|＋|b|＝|b|，所以|a＋b|＝|a|＋|b|，所以D不正确．故选AC．]
13．若P为△ABC的外心，且，则∠ACB＝________．
120° [因为，则四边形APBC是平行四边形．
又P为△ABC的外心，所以＝＝．因此∠ACB＝120°．]
14．一架救援直升机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升机与A地的相对位置．
[解] 如图所示，设分别是直升机的位移，则表示两次位移的合位移，即．
在Rt△ABD中，＝20 km，＝20 km．
在Rt△ACD中，＝∠CAD＝60°，
即此时直升机位于A地北偏东30°方向，且距离A地 km处．
15．如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点，求证：＝0．
证明：由题意知，，
．
由平面几何知识可知，，
所以
＝＋＋
＝＋
＝＋0
＝＝0.
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