(共41张PPT)
第2课时 向量数量积的运算律及其应用
第六章 平面向量及其
6.2 平面向量的运算
6.2.4 向量的数量积
整体感知
[学习目标] 1．掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式．
2．会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．
[讨论交流] 预习教材P20－P22的内容，思考以下问题：
问题1．向量数量积的运算有哪些运算律？
问题2．如何利用数量积求向量的模、夹角等问题．
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1 向量数量积的运算律
【链接·教材例题】
例11 我们知道，对任意a，b∈R，恒有
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)(a－b)＝a2－b2．
对任意向量a，b，是否也有下面类似的结论？
(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．
[解] (1)(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)
＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b
＝a2＋2a·b＋b2；
(2)(a＋b)·(a－b)＝a·a－a·b＋b·a－b·b
＝a2－b2．
因此，上述结论是成立的．
[新知生成]
1．对于向量a，b，c和实数λ，有
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
2．数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)2＝________________．
(2)(a－b)2＝________________．
(3)(a＋b)·(a－b)＝________．
a2＋2a·b＋b2
a2－2a·b＋b2
a2－b2
【教用·微提醒】 (1)a·b＝b·c推不出a＝c．
(2)(a·b)c≠a(b·c)，它们表示不同的向量．
【链接·教材例题】
例12 已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b)．
[解] (a＋2b)·(a－3b)
＝a·a－3a·b＋2b·a－6b·b
＝|a|2－a·b－6|b|2
＝|a|2－|a||b|cos θ－6|b|2
＝62－6×4×cos 60°－6×42
＝－72．
[典例讲评] 1．(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，正确的是( )
A． a·c－b·c＝(a－b)·c
B．(b·c)·a－(c·a)·b与c不垂直
C．|a|－|b|<|a－b|
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
√
√
√
ACD [根据数量积的分配律知A正确；
∵[(b·c)·a－(c·a)·b]·c
＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，
∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误；
∵a，b不共线，∴|a|，|b|，|a－b|组成三角形，
∴|a|－|b|<|a－b|成立，C正确；显然D正确．
故选ACD．]
反思领悟 向量的数量积a·b与实数a，b的乘积a·b有联系，同时也有许多不同之处．例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0．特别是向量的数量积不满足结合律．
[学以致用] 1．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3 C．2 D．0
B [由|a|＝1，知a2＝|a|2＝1，又a·b＝－1，
∴a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3．]
√
探究2 与向量模有关的问题
[典例讲评] 2．(1)已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，求|a＋2b|；
(2)已知|a＋b|＝|a－b|，求a·b．
(2)由题意可知|a＋b|2＝|a－b|2，
即(a＋b)2＝(a－b)2，因此a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，因此a·b＝0．
√
√
√
探究3 与向量垂直、夹角有关的问题
【链接·教材例题】
例13 已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线．当k为何值时，向量a＋kb与a－kb互相垂直？
√
[母题探究]将本例(2)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围．
【教用·备选题】 已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角θ．
4
2
4
3
题号
1
应用迁移
C [由题意得(2a＋b)·(2a－b)＝4a2－b2＝4－1＝3．]
√
2
3
题号
1
4
2．已知a，b方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，则|2a＋3b|等于( )
A．16 B．256
C．8 D．64
√
2
3
题号
1
4
A [法一：∵|2a＋3b|2＝4a2＋9b2＋12a·b＝16＋144＋96＝256，∴|2a＋3b|＝16．
法二：由题意知2a＝b，
∴|2a＋3b|＝|4b|＝4|b|＝16．]
2
3
题号
4
1
√
2
4
3
题号
1
4．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角为________．
1．知识链：(1)向量数量积的运算律．
(2)利用数量积求向量的模和夹角．
(3)向量垂直的应用．
2．方法链：类比法．
3．警示牌：注意向量数量积不满足结合律．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．向量的数量积满足哪些运算律？
[提示] (1)a·b＝b·a．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
2．向量的夹角与其数量积之间存在什么关系？
[提示] 向量a，b的夹角为锐角，得到a·b>0；反之，a·b>0不能说明a，b的夹角为锐角，因为a，b夹角为0°时也有a·b>0．同理，向量a，b的夹角为钝角，得到a·b<0；反之，a·b<0不能说明a，b的夹角为钝角，因为a，b夹角为180°时也有a·b<0．第2课时 向量数量积的运算律及其应用
[学习目标] 1．掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式．
2．会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．
[讨论交流] 预习教材P20－P22的内容，思考以下问题：
问题1．向量数量积的运算有哪些运算律？
问题2．如何利用数量积求向量的模、夹角等问题．
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 向量数量积的运算律
【链接·教材例题】
例11 我们知道，对任意a，b∈R，恒有
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)(a－b)＝a2－b2．
对任意向量a，b，是否也有下面类似的结论？
(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．
[解] (1)(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)
＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b
＝a2＋2a·b＋b2；
(2)(a＋b)·(a－b)＝a·a－a·b＋b·a－b·b
＝a2－b2．
因此，上述结论是成立的．
[新知生成]
1．对于向量a，b，c和实数λ，有
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
2．数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2．
(2)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2．
(3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．
【教用·微提醒】 (1)a·b＝b·c推不出a＝c．
(2)(a·b)c≠a(b·c)，它们表示不同的向量．
【链接·教材例题】
例12 已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b)．
[解] (a＋2b)·(a－3b)
＝a·a－3a·b＋2b·a－6b·b
＝|a|2－a·b－6|b|2
＝|a|2－|a||b|cos θ－6|b|2
＝62－6×4×cos 60°－6×42
＝－72．
[典例讲评] 1．(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，正确的是( )
A． a·c－b·c＝(a－b)·c
B．(b·c)·a－(c·a)·b与c不垂直
C．|a|－|b|<|a－b|
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
ACD [根据数量积的分配律知A正确；
∵[(b·c)·a－(c·a)·b]·c
＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，
∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误；
∵a，b不共线，∴|a|，|b|，|a－b|组成三角形，
∴|a|－|b|<|a－b|成立，C正确；显然D正确．
故选ACD．]
向量的数量积a·b与实数a，b的乘积a·b有联系，同时也有许多不同之处．例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0．特别是向量的数量积不满足结合律．
[学以致用] 1．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3 C．2 D．0
B [由|a|＝1，知a2＝|a|2＝1，又a·b＝－1，
∴a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3．]
探究2 与向量模有关的问题
[典例讲评] 2．(1)已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，求|a＋2b|；
(2)已知|a＋b|＝|a－b|，求a·b．
[解] (1)由题意可知
a2＝4，b2＝1，a·b＝2×1×cos 60°＝1，
所以|a＋2b|2＝(a＋2b)2
＝a2＋4a·b＋4b2
＝4＋4×1＋4×1＝12，
因此|a＋2b|＝2．
(2)由题意可知|a＋b|2＝|a－b|2，
即(a＋b)2＝(a－b)2，因此a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，因此a·b＝0．
a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
[学以致用] 2．(1)(多选)单位向量a，b的夹角为锐角，则的取值可能为( )
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
(2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________．
(1)BC (2) [(1)由题知，令a与b的夹角为θ，则0＝
＝，
所以1<5－4cos θ<5，1<．故选BC．
(2)因为|a＋b|＝|2a－b|，即(a＋b)2＝(2a－b)2，
则a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得a2－2a·，即(a－b)2＝3，
则a2－2a·．]
【教用·备选题】 若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，则的最小值为( )
A．－1 B．1 C．＋1 D．
A [∵a·，
∴···c，
则当c与a＋b同向时，··，
所以－1，
所以
探究3 与向量垂直、夹角有关的问题
【链接·教材例题】
例13 已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线．当k为何值时，向量a＋kb与a－kb互相垂直？
[解] a＋kb与a－kb互相垂直的充要条件是
(a＋kb)·(a－kb)＝0，
即a2－k2b2＝0．
因为a2＝32＝9，b2＝42＝16，
所以9－16k2＝0．
解得k＝±．
也就是说，当k＝±
[典例讲评] 3．(1)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，m与n夹角的余弦值为，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为( )
A．4 B．－4 C． D．－
(2)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，求k的取值范围．
(1)B ，
所以m·n2，
因为n·(tm＋n)＝0，所以tm·n＋n2＝0，
即
(2)[解] ∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，
∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)
＝·e2＝2k＞0，∴k＞0．
当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0°，不符合题意，舍去．
综上，k的取值范围为k＞0且k≠1．
[母题探究]将本例(2)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围．
[解] ∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为钝角，
∴(e1＋ke2)··e2＝2k＜0，
∴k＜0．
当k＝－1时，e1＋ke2与ke1＋e2方向相反，它们的夹角为π，不符合题意，舍去．
综上，k的取值范围是k＜0且k≠－1．
求两向量夹角的方法
(1)一般是利用夹角公式：cos θ＝．
(2)注意：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角；数量积等于0说明两向量的夹角为直角；数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．
[学以致用] 3．(源自苏教版教材)如图，在 ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°．求：
(1)·的值；
(2)cos ∠BAC．
[解] ··
＝·
＝··cos 60°
＝4＋2×1×＝5．
(2)因为·
＝4＋2×2×1×，
所以cos ∠BAC＝
【教用·备选题】 已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角θ．
[解] 由已知条件得
即
②－①得23b2－46a·b＝0，
∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，
∴|a|＝|b|，∴cos θ＝．
∵θ∈[0，π]，∴θ＝
1．已知单位向量a，b，则(2a＋b)·(2a－b)的值为( )
A． B．
C．3 D．5
C [由题意得(2a＋b)·(2a－b)＝4a2－b2＝4－1＝3．]
2．已知a，b方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，则|2a＋3b|等于( )
A．16 B．256
C．8 D．64
A [法一：∵|2a＋3b|2＝4a2＋9b2＋12a·b＝16＋144＋96＝256，∴|2a＋3b|＝16．
法二：由题意知2a＝b，
∴|2a＋3b|＝|4b|＝4|b|＝16．]
3．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ等于( )
A． B．－
C．± D．1
A [∵3a＋2b与λa－b垂直，∴(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·
4．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角为________．
，
设向量a与a－b的夹角为θ，则
cos θ＝，
又θ∈[0，π]，所以θ＝
1．知识链：(1)向量数量积的运算律．
(2)利用数量积求向量的模和夹角．
(3)向量垂直的应用．
2．方法链：类比法．
3．警示牌：注意向量数量积不满足结合律．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．向量的数量积满足哪些运算律？
[提示] (1)a·b＝b·a．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
2．向量的夹角与其数量积之间存在什么关系？
[提示] 向量a，b的夹角为锐角，得到a·b>0；反之，a·b>0不能说明a，b的夹角为锐角，因为a，b夹角为0°时也有a·b>0．同理，向量a，b的夹角为钝角，得到a·b<0；反之，a·b<0不能说明a，b的夹角为钝角，因为a，b夹角为180°时也有a·b<0．
课时分层作业(六) 向量数量积的运算律及其应用
一、选择题
1．已知单位向量的夹角为120°，则＝( )
A．－2 B．0
C．1 D．2
A 的夹角为120°，
所以
＝
＝2×1×1×
2．(2024·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝( )
A． B．
C． D．1
B [因为(b－2a)⊥b，所以(b－2a)·b＝0，
即b2＝2a·b，又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2，
所以1＋4a·
3．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于( )
A．1 B．2
C．3 D．5
A [|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，①
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，②
由①－②得4a·b＝4，∴a·b＝1．]
4．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b, c与d垂直，则k的值为( )
A．－6 B．6
C．3 D．－3
B [因为c与d垂直，所以c·d＝0，所以(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，所以2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，所以2k＝12，所以k＝6．]
5．(多选)已知向量a，b满足＝＝1且|b－2a|＝，则下列结论正确的是( )
A．|a－b|＝ B．＝2
C．〈a，b〉＝60° D．a⊥b
AD ·b＋4a2＝5，
因为·b＝0，所以〈a，b〉＝90°，故C错误，D正确；
因为|a－b|2＝a2－2a·，A正确；
因为·
二、填空题
6．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，向量2a＋b与b垂直，则a与b的夹角为________．
[设|a|＝|b|＝1，a，b的夹角为θ，因为向量2a＋b与b垂直，所以(2a＋b)·b＝2a·
7．已知向量a与b的夹角是，且|a|＝1，|b|＝2，若(a＋λb)⊥a，则实数λ＝________．
－ [根据题意得a·b＝|a|···
8．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，则|a＋b|＝________，|3a－4b|＝________．
2 4 [由已知得a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4，a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4．
因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
＝16＋2×(－4)＋4＝12，
所以|a＋b|＝2．
因为|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2
＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304，
所以|3a－4b|＝4
三、解答题
9．已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝．
(1)求|b|；
(2)当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值．
[解] (1)因为(a－b)·，
所以|b|2＝|a|2－．
(2)因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋|2b|2＝1－1＋1＝1，故|a＋2b|＝1．
又因为a·(a＋2b)＝|a|2＋2a·，
所以cos θ＝，
又θ∈[0，π]，故θ＝
10．已知向量a，b满足·b＝16，＝2，则a在b上的投影向量为( )
A．3b B．6b
C．9b D．12b
A ·b＝a·b＋b2＝a·＝16，
因为·b＝16－4＝12，
故·＝3b．
故选A．]
11．若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a－b与b的夹角为( )
A． B．
C． D．
D [由|a＋b|＝|a－b|可得a·
12．已知向量a≠b，|b|≠0，若对任意的t∈R，|a－tb|≥|a－b|恒成立，则必有( )
A．a⊥b B．a⊥(a－b)
C．b⊥(a－b) D．(a＋b)⊥(a－b)
C [因为|a－tb|≥|a－b|恒成立，
两边平方，化简得b2t2－2a·bt＋2a·b－b2≥0，
对任意的t∈R恒成立，
又|b|≠0，则Δ＝4(a·b)2－4b2(2a·b－b2)≤0，
即(a·b－b2)2≤0，
所以a·b－b2＝0，所以b·(a－b)＝0，
即b⊥(a－b)．]
13．已知向量a，b满足|a－b|＝2且0≤a·b≤1，则|a＋b|的取值范围是________，|3a＋b|的最大值是________．
[2，2] 4＋2 [∵|a－b|＝2，
∴|a|2－2a·b＋|b|2＝4，
∴|a|2＋|b|2＝4＋2a·b，
∴|a＋b|＝．
∵0≤a·b≤1，∴4≤4＋4a·b≤8，
∴2≤|a＋b|≤，
即|a＋b|的取值范围是[2，2]．
|3a＋b|＝|2(a＋b)＋(a－b)|≤2|a＋b|＋|a－b|＝2|a＋b|＋2≤
14．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量．若a＝3e1＋2e2，b＝te1＋2e2，其中t∈R，若a，b的夹角为锐角，求实数t的取值范围．
[解] 因为a，b的夹角为锐角，
所以a·b>0，且a，b不共线，当a·b>0时，
(3e1＋2e2)·，
当a，b共线时，存在唯一的实数λ，使a＝λb，
即3e1＋2e2＝λ(te1＋2e2)，
所以
解得
所以当t≠3时，a，b不共线，
综上，t的取值范围为t>－且t≠3，
即t的取值范围为
15．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°．
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范围．
[解] (1)[证明] 因为|a|＝|b|＝|c|＝1，
且a，b，c之间的夹角均为120°，
所以(a－b)·c＝a·c－b·c
＝|a||c|cos 120°－|b||c|cos 120°＝0，
所以(a－b)⊥c．
(2)因为|ka＋b＋c|>1，
所以(ka＋b＋c)2>1，
即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1，
因为a·b＝a·c＝b·，
所以k2－2k>0，解得k<0或k>2．
所以实数k的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞)．
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