(共38张PPT)
6.3.1 平面向量基本定理
第六章 平面向量及其
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
整体感知
[学习目标] 1．理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义．
2．掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量．
3．会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．
[讨论交流] 预习教材P25－P27的内容，思考以下问题：
问题1．平面向量基本定理的内容是什么？
问题2．基底中两个向量满足什么条件？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1 平面向量基本定理
探究问题1 如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？
探究问题2 如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？
[提示] 不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示．
[新知生成]
1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个______向量，那么对于这一平面内的任一向量a，____________实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
2．基底：若e1，e2______，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
不共线
有且只有一对
不共线
【教用·微提醒】 (1)同一平面内的基底有无数个，只要两向量不共线即可．
(2)当基底确定后，任一向量的表示法是唯一的，即λ1，λ2是唯一确定的．
4
√
√
BC [由平面向量基本定理可知，AD的说法是正确的．
对于B，由平面向量基本定理可知，若平面的基底确定，那么同一平面内任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．
对于C，当λ1＝λ2＝0或μ1＝μ2＝0时，结论不成立．]
[学以致用] 1．(1)(多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是( )
A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2
C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2
(2)已知向量{a，b}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝________．
√
√
√
3
4
4
反思领悟 用基底表示向量的一般方法
(1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量．用基底表示向量，实质上是利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算．
(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量．
2a＋c
a＋b
4
4
4
反思领悟 利用向量解决几何问题的一般思路
(1)选取不共线的两个平面向量作为基底．
(2)将相关的向量用基底表示，将几何问题转化为向量问题．
(3)利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解．
(4)将向量问题的解转化为平面几何问题的解．
[学以致用] 3．用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形ABCD是菱形，AC，BD是其对角线．求证：AC⊥BD．
【教用·备选题】
如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB．求证：AD⊥CE
4
4
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
2
4
3
题号
1
2
3
题号
1
4
√
2
3
题号
4
1
√
2
4
3
题号
1
2
4
3
题号
1
1．知识链：(1)平面向量基本定理．
(2)用基底表示向量．
(3)平面向量基本定理的应用．
2．方法链：数形结合．
3．警示牌：注意基底中的向量必须是不共线的两个向量．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．平面内满足什么条件的两个向量可以构成基底？
[提示] 平面内任意不共线的两个向量都可以构成一个基底．
2．若存在实数λ1，λ2，μ1，μ2及不共线的向量e1，e2，使向量a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，则λ1，λ2，μ1，μ2有怎样的大小关系？
[提示] 由题意λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即(λ1－μ1)e1＝(μ2－λ2)e2，由于e1，e2不共线，故λ1＝μ1，λ2＝μ2．6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1 平面向量基本定理
[学习目标] 1．理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义．
2．掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量．
3．会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．
[讨论交流] 预习教材P25－P27的内容，思考以下问题：
问题1．平面向量基本定理的内容是什么？
问题2．基底中两个向量满足什么条件？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 平面向量基本定理
探究问题1 如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？
[提示]
探究问题2 如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？
[提示] 不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示．
[新知生成]
1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
2．基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
【教用·微提醒】 (1)同一平面内的基底有无数个，只要两向量不共线即可．
(2)当基底确定后，任一向量的表示法是唯一的，即λ1，λ2是唯一确定的．
[典例讲评] 1．(多选)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( )
A．a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个
C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则＝
D．若存在实数λ，μ，使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0
BC [由平面向量基本定理可知，AD的说法是正确的．
对于B，由平面向量基本定理可知，若平面的基底确定，那么同一平面内任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．
对于C，当λ1＝λ2＝0或μ1＝μ2＝0时，结论不成立．]
1．两个向量是否能构成基底，关键是看两向量是否共线．若共线，则不能作为基底，若不共线，则可作为基底．
2．一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一地线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则
[学以致用] 1．(1)(多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是( )
A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2
C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2
(2)已知向量{a，b}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝________．
(1)ACD (2)3 [(1)选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，
∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底．
(2)因为{a，b}是一个基底，所以a与b不共线，由平面向量基本定理得
探究2 用基底表示向量
【链接·教材例题】
例1 如图6.3-4，不共线，且＝t(t∈R)，用表示．
[解] ，
所以
＝
＝)
＝
＝(1－t)
[典例讲评] 2．(源自北师大版教材)如图，已知点M，N，P分别是△ABC三边BC，CA，AB上的点，且＝＝，＝．设＝a，＝b，选择基底{a，b}，试写出向量在此基底下的分解式．
[解] b，
所以b．
同理b，
用基底表示向量的一般方法
(1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量．用基底表示向量，实质上是利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算．
(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量．
[学以致用]
2．如图，在正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则以{a，b}为基底时，可表示为________，以{a，c}为基底时，可表示为________．
a＋b 2a＋c ＝a＋b；
以{a，c}为基底时，将
探究3 平面向量基本定理的应用
【链接·教材例题】
例2 如图6.3-5，CD是△ABC的中线，CD＝AB，用向量方法证明△ABC是直角三角形．
分析：由平面向量基本定理可知，任一向量都可由同一个基底表示．本题可取{}为基底，用它表示．证明·＝0，可得⊥，从而证得△ABC是直角三角形．
[证明] ＝a－b．
··(a－b)＝a2－b2．
因为CD＝AB，
所以CD＝DA．
因为a2＝CD2，b2＝DA2，
所以·＝0．
因此CA⊥CB．
于是△ABC是直角三角形．
[典例讲评] 3．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上，且AE＝2BE，点F是BC的中点．
(1)设＝a，＝b，用a，b表示；
(2)已知ED⊥EF，求证：AB＝AD．
[解] a，
b．
(2)证明·＝0，
即·a2＝0，
即|a|＝
利用向量解决几何问题的一般思路
(1)选取不共线的两个平面向量作为基底．
(2)将相关的向量用基底表示，将几何问题转化为向量问题．
(3)利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解．
(4)将向量问题的解转化为平面几何问题的解．
[学以致用] 3．用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形ABCD是菱形，AC，BD是其对角线．求证：AC⊥BD．
[证明] ＝b ．
因为四边形ABCD为菱形，所以|a|＝|b|，
又＝b－a，
则··
【教用·备选题】
如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB．求证：AD⊥CE
[证明] ··)
＝·
＝·
＝·．
＝－|2．
因为CA＝CB，所以－|2＝0，
即·
1．若{e1，e2}是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量的基底的是( )
A．{e1－e2，e2－e1}
B．
C．{2e2－3e1，6e1－4e2}
D．{e1＋e2，e1＋3e2}
D [选项A中，两个向量为相反向量，即e1－e2＝－(e2－e1)，则e1－e2，e2－e1为共线向量；选项B中，2e1－e2＝2(e1－ e2)，为共线向量；选项C中，6e1－4e2＝－2(2e2－3e1)，为共线向量．根据不共线的向量可以作为基底，可知只有选项D中的两向量可作为基底．]
2．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若＝e1，＝e2，则＝( )
A．(e1＋e2) B．(e1－e2)
C．(2e2－e1) D．(e2－e1)
A
3．(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝m，＝n，则＝( )
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
B []
4．如图，C，D是△AOB中边AB的三等分点，设＝e1，＝e2，以{e1，e2}为基底来表示，则＝________，＝________．
e1＋e2 e1＋e2 e2，
1．知识链：(1)平面向量基本定理．
(2)用基底表示向量．
(3)平面向量基本定理的应用．
2．方法链：数形结合．
3．警示牌：注意基底中的向量必须是不共线的两个向量．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．平面内满足什么条件的两个向量可以构成基底？
[提示] 平面内任意不共线的两个向量都可以构成一个基底．
2．若存在实数λ1，λ2，μ1，μ2及不共线的向量e1，e2，使向量a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，则λ1，λ2，μ1，μ2有怎样的大小关系？
[提示] 由题意λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即(λ1－μ1)e1＝(μ2－λ2)e2，由于e1，e2不共线，故λ1＝μ1，λ2＝μ2．
课时分层作业(七) 平面向量基本定理
一、选择题
1．(多选)如图所示，设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是( )
A．与 B．与
C．与 D．与
AC
2．在△ABC中，＝3，则＝( )
A．＋ B．＋
C．＋ D．＋
A ．
故选A．]
3．如图，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝4，则＝( )
A．a＋b B．a＋b
C．a－b D．a－b
B ，
则a＋b．
故选B．]
4．已知非零向量不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系式是( )
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
A ，
所以
5．已知E，F分别为四边形ABCD的边CD，BC上的中点，设＝a，＝b，则＝( )
A．(a＋b) B．－(a＋b)
C．(a－b) D．(b－a)
B [如图所示，
∵E，F分别为四边形ABCD的边CD，BC上的中点，故EF为△CDB的中位线，
则
＝
二、填空题
6．已知向量a在基底{e1，e2}下可以表示为a＝2e1＋3e2，若a在基底{e1＋e2，e1－e2}下可表示为a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，则λ＝________，μ＝________．
－
解得
7．设a，b是两个不共线的非零向量，＝a，＝tb＝．若A，B，C三点共线，则t＝________．
，
所以＝－a＋tb，
b，
因为A，B，C三点共线，所以，
所以存在唯一λ，
所以－a＋tb＝－λb，
又因为a，b是两个不共线的非零向量，
所以
8．如图，在平行四边形ABCD中，E，F依次是对角线AC上的两个三等分点，设＝a，＝b，试用a与b表示和，则＝________，＝________．
a－b －a＋b b，
三、解答题
9．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2．
(1)证明：{a，b}可以作为一个基底；
(2)以{a，b}为基底表示向量c＝3e1－e2．
[解] (1)[证明] 假设a＝λb(λ∈R)，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线，得
所以λ不存在．
故a与b不共线，可以作为一个基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，
则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2．
所以
解得
10．如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)．设＝m＋n，且点P落在第Ⅲ部分，则实数m，n满足( )
A．m>0，n>0 B．m>0，n<0
C．m<0，n>0 D．m<0，n<0
B ，
则方向相同，则m>0；
11．如图，在△ABC中，＝，＝，若＝λ＋μ，则等于( )
A． B．
C．3 D．
A ，
12．(多选)如图所示，四边形ABCD为梯形，其中AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是( )
A．＝＋
B．＝＋
C．＝＋
D．＝－
ABD
13．已知在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，＝y＝x，其中x，y∈R，且均不为0．若∥，则＝________．
，
由(λ∈R)，
即x)
＝λ，
所以
14．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足＝＋．
(1)求△ABM与△ABC的面积之比；
(2)若N为AB中点，AM与CN交于点O，设＝x＋y，求x，y的值．
[解] 可知M，B，C三点共线，
如图，令，
所以，即△ABM与△ABC的面积之比为1∶4．
(2)由
15．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的四等分点．设＝a，＝b．
(1)用a，b表示；
(2)如果|b|＝2|a|，EF，EG 有什么位置关系？用向量的方法证明你的结论．
[解] a，
b，
所以a，
a．
(2)··
＝a2，
如果|b|＝2|a|，那么·＝0，即EF⊥EG．
所以EF与EG互相垂直．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
