(共44张PPT)
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
第六章 平面向量及其
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
整体感知
[学习目标] 1．掌握平面向量数乘运算的坐标表示．
2．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
3．能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．
[讨论交流] 预习教材P31－P33的内容，思考以下问题：
问题1．两向量共线的充要条件是什么？
问题2．如何利用向量的坐标表示两个向量共线？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1 平面向量数乘运算的坐标表示
探究问题1 当a＝(x，y)时，2a如何表示？
[提示] 法一：2a＝a＋a＝(x，y)＋(x，y)＝(2x，2y)．
法二：a＝xi＋yj，∴2a＝2xi＋2yj，即2a＝(2x，2y)．
[新知生成]
已知a＝(x，y)，则λa＝_________，这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数____________________．
(λx，λy)
乘原来向量的相应坐标
【链接·教材例题】
例6 已知a＝(2，1)，b＝(－3，4)，求3a＋4b的坐标．
[解] 3a＋4b＝3(2，1)＋4(－3，4)＝(6，3)＋(－12，16)＝(－6，19)．
4
反思领悟 平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的坐标运算进行计算．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性运算可完全类比数的运算进行．
探究2 平面向量共线的坐标表示及其应用
探究问题2 已知a，b两向量，则两个向量共线的条件是什么？如何用坐标表示两个向量共线？
[提示] 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，
由a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb，
则有(x1，y1)＝λ(x2，y2)，
即消去λ，得x1y2－x2y1＝0．
[新知生成]
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0．
向量a，b(b≠0)共线的充要条件是_________________．
x1y2－x2y1＝0
【链接·教材例题】
例7 已知a＝(4，2)，b＝(6，y)，且a∥b，求y．
[解] 因为a∥b，
所以4y－2×6＝0．
解得y＝3．
4
例8 已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(2，5)，判断A，B，C三点之间的位置关系．
[解] 在平面直角坐标系中作出A，B，C三点(图6.3-15)．
观察图形，我们猜想A，B，C三点共线．下面来证明．
反思领悟 三点共线的实质与证明步骤
(1)实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个非零向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．
(2)证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成，①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．
[学以致用] 2．已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
[解] 法一：(向量共线定理法)ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，
a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，
当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，
使ka＋b＝λ(a－3b)．
4
【链接·教材例题】
例9 设P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)．
(1)当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
(2)当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标．
4
4
4
反思领悟 处理此类分点问题的关键是建立等量关系，然后借助向量的坐标运算求解，当遇到选择、填空题也可以直接套用公式求解．
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
B [利用平面向量共线的充要条件可知，只有B满足题意．]
2
3
题号
1
4
2．已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝( )
A．(－23，－12) B．(23，12)
C．(7，0) D．(－7，0)
√
A [因为a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，且c满足3a－2b＋c＝0，所以c＝2b－3a＝2(－4，－3)－3(5，2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12)．]
2
3
题号
4
1
√
2
4
3
题号
1
4．(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________．
1．知识链：
(1)平面向量数乘运算的坐标表示．
(2)两个向量共线的坐标表示．
(3)有向线段的定比分点坐标公式及应用．
2．方法链：转化与化归、分类讨论法．
3．警示牌：注意不要记错两个向量共线的坐标表示的公式．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．若a＝(x，y)，则λa等于什么？
[提示] λa＝(λx，λy)．
2．向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)共线的充要条件是什么？
[提示] x1y2＝ x2y1．6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
[学习目标] 1．掌握平面向量数乘运算的坐标表示．
2．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
3．能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．
[讨论交流] 预习教材P31－P33的内容，思考以下问题：
问题1．两向量共线的充要条件是什么？
问题2．如何利用向量的坐标表示两个向量共线？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 平面向量数乘运算的坐标表示
探究问题1 当a＝(x，y)时，2a如何表示？
[提示] 法一：2a＝a＋a＝(x，y)＋(x，y)＝(2x，2y)．
法二：a＝xi＋yj，∴2a＝2xi＋2yj，即2a＝(2x，2y)．
[新知生成]
已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
【链接·教材例题】
例6 已知a＝(2，1)，b＝(－3，4)，求3a＋4b的坐标．
[解] 3a＋4b＝3(2，1)＋4(－3，4)＝(6，3)＋(－12，16)＝(－6，19)．
[典例讲评] 1．已知向量a＝，b＝，c＝．
(1)求2a－3b＋c；
(2)求满足c＝ma＋nb的实数m，n．
[解] (1)2a－3b＋c＝－＋(4，7)＝(17，－3)．
(2)因为c＝ma＋nb，所以＝m＋n(－3，4)＝(2m－3n，m＋4n)，
所以
解得
平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的坐标运算进行计算．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性运算可完全类比数的运算进行．
[学以致用] 1．(源自北师大版教材)已知A(2，－4)，B(－1，3)，C(3，4)，且＝2＋3，求点M的坐标．
[解] 根据题意，得
＝(2－3，－4－4)＝(－1，－8)，＝(－1－3，3－4)＝(－4，－1)．
于是＝2＋3＝2(－1，－8)＋3(－4，－1)＝(－2，－16)＋(－12，－3)＝(－14，－19)．
设点M的坐标为(x，y)，
则＝(x－3，y－4)．
因此解得
所以点M的坐标为(－11，－15)．
探究2 平面向量共线的坐标表示及其应用
探究问题2 已知a，b两向量，则两个向量共线的条件是什么？如何用坐标表示两个向量共线？
[提示] 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，
由a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb，
则有(x1，y1)＝λ(x2，y2)，
即消去λ，得x1y2－x2y1＝0．
[新知生成]
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0．
向量a，b(b≠0Ｋ)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0．
【链接·教材例题】
例7 已知a＝(4，2)，b＝(6，y)，且a∥b，求y．
[解] 因为a∥b，
所以4y－2×6＝0．
解得y＝3．
例8 已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(2，5)，判断A，B，C三点之间的位置关系．
[解] 在平面直角坐标系中作出A，B，C三点(图6.3-15)．
观察图形，我们猜想A，B，C三点共线．下面来证明．
因为＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，
＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3，6)，
又2×6－4×3＝0，
所以∥．
又直线AB，直线AC有公共点A，
所以A，B，C三点共线．
[典例讲评] 2．(1)已知向量a＝(1，－2)，b＝(3，4)．若(3a－b)∥(a＋kb)，则k＝________．
(2)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，向量＝(1，1)，＝(2，－3)，＝(－6，29)，试判断A，B，C三点是否共线，写出理由．
(1)－ [由题意3a－b＝(0，－10)，a＋kb＝(1＋3k，－2＋4k)，因为(3a－b)∥(a＋kb)，
所以0－(－10－30k)＝0，解得k＝－．]
(2)[解] 因为＝＝(2，－3)－(1，1)＝(1，－4)，
＝＝(－6，29)－(1，1)＝(－7，28)，
所以1×28－(－4)×(－7)＝0，所以∥．又直线AB和AC有公共点A，故A，B，C三点共线．
三点共线的实质与证明步骤
(1)实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个非零向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．
(2)证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成，①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．
[学以致用] 2．已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
[解] 法一：(向量共线定理法)ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，
a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，
当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，
使ka＋b＝λ(a－3b)．
即(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4)，
所以
解得k＝λ＝－．
当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，
因为λ＝－<0，
所以平行时ka＋b与a－3b反向．
法二：(坐标法)由题知ka＋b＝(k－3，2k＋2)，
a－3b＝(10，－4)，
因为ka＋b与a－3b平行，
所以(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，
解得k＝－．
这时ka＋b＝＝－(a－3b)，
所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．
【教用·备选题】 设向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)，b＝λ，m，α为实数，若a＝2b，求的取值范围．
[解] 由a＝2b，知以cos2α＋2sinα＝－sin2α＋2sinα＋1＝－(sin α－1)2＋2，所以－2≤cos2α＋2sinα≤2，
所以－2≤λ2－m＝(2m－2)2－m≤2，
所以≤m≤2，
因为＝＝2－，所以－6≤2－≤1，
所以的取值范围为[－6，1]．
探究3 有向线段的定比分点坐标公式及应用
探究问题3 如图所示，设点P(x，y)是线段P1P2上不同于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的点，且满足＝λ，其中λ＞0．
你能推导出点P的坐标吗？
[提示] 因为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且满足＝λ，则(x－x1，y－y1)＝λ(x2－x，y2－y)，
即
当λ＞0时，
则点P的坐标为．
[新知生成] 有向线段的定比分点坐标公式
若点P是直线P1P2上的一点， 且点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则当＝λ时， 点P的坐标为(λ≠－1)．
特别地，线段P1P2的中点P0(x0，y0)的坐标为 此公式为中点坐标公式．
【教用·微提醒】 若＝λ，其中λ≠－1．
(1)当λ>0时，点P在线段P1P2上；
(2)当λ<－1时，点P在线段P1P2的延长线上；
(3)当－1<λ<0时，点P在线段P1P2的反向延长线上．
【链接·教材例题】
例9 设P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)．
(1)当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
(2)当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标．
[解] (1)如图6.3-16，由向量的线性运算可知
＝)＝．
所以，点P的坐标是．
(2)如图6.3-17，当点P是线段P1P2的一个三等分点时，有两种情况，即＝或＝2．
如果＝(图6.3-17(1))，那么
＝＝＋
＝＋)＝＋
＝，
即点P的坐标是．
同理，如果＝2(图6.3-17(2))，那么点P的坐标是．
[典例讲评] 3．已知点A(3，－4)与点B(－1，2)，点P在直线AB上，且||＝2||，求点P的坐标．
[解] 设P点坐标为(x，y)，||＝2||．
当P在线段AB上时，＝2，
∴(x－3，y＋4)＝2(－1－x，2－y)，
∴解得
∴P点坐标为．
当P在线段AB延长线上时，＝－2，
∴(x－3，y＋4)＝－2(－1－x，2－y)，
∴解得
∴P点坐标为(－5，8)．
综上所述，点P的坐标为或(－5，8)．
[母题探究]若将本例条件“||＝2||”改为“＝3”，其他条件不变，求点P的坐标．
[解] 因为＝3，所以(x－3，y＋4)＝3(－1－x，2－y)，
所以解得
所以点P的坐标为．
处理此类分点问题的关键是建立等量关系，然后借助向量的坐标运算求解，当遇到选择、填空题也可以直接套用公式求解．
[学以致用]
3．如图所示，已知△AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，＝，＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．
[解] 因为＝＝(0，5)＝，
所以C．
因为＝＝(4，3)＝，
所以D．
设M(x，y)，则＝(x，y－5)，
＝＝．
因为∥，
所以－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20．①
又＝＝，
因为∥，所以x－4＝0，
即7x－16y＝－20．②
联立①②解得x＝，y＝2，故点M的坐标为．
1．下列各组向量中，共线的是( )
A．a＝(－1，2)，b＝(4，2)
B．a＝(－3，2)，b＝(6，－4)
C．a＝，b＝(10，5)
D．a＝(0，－1)，b＝(3，1)
B [利用平面向量共线的充要条件可知，只有B满足题意．]
2．已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝( )
A．(－23，－12) B．(23，12)
C．(7，0) D．(－7，0)
A [因为a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，且c满足3a－2b＋c＝0，所以c＝2b－3a＝2(－4，－3)－3(5，2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12)．]
3．若P1(1，2)，P(3，2)且＝2，则P2的坐标为( )
A．(7，2) B．(－7，－2)
C．(－4，－2) D．(4，2)
D [设P2(x，y)，则由＝2得(2，0)＝2(x－3，y－2)，
∴ 得 即P2(4，2)．]
4．(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________．
[法一(向量共线定理法)：因为a∥b，所以a＝kb，即(2，5)＝k(λ，4)，得解得
法二(坐标法)：因为a∥b，所以2×4－5λ＝0，解得λ＝．]
1．知识链：
(1)平面向量数乘运算的坐标表示．
(2)两个向量共线的坐标表示．
(3)有向线段的定比分点坐标公式及应用．
2．方法链：转化与化归、分类讨论法．
3．警示牌：注意不要记错两个向量共线的坐标表示的公式．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．若a＝(x，y)，则λa等于什么？
[提示] λa＝(λx，λy)．
2．向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)共线的充要条件是什么？
[提示] x1y2＝ x2y1．
3．设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，则线段P1P2的中点P的坐标如何表示？
[提示] 线段P1P2的中点坐标是．
课时分层作业(九) 平面向量数乘运算的坐标表示
一、选择题
1．已知向量a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且a∥b，那么2a－b＝( )
A．(4，0) B．(0，4)
C．(4，－8) D．(－4，8)
C [因为向量a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且a∥b，所以1×4＝(－2)×m，所以m＝－2，所以2a－b＝(2－m，－4－4)＝(4，－8)．]
2．若三点A(4，3)，B(5，m)，C(6，n)在一条直线上，则下列式子一定正确的是( )
A．2m－n＝3 B．n－m＝1
C．m＝3，n＝5 D．m－2n＝3
A [因为三点A(4，3)，B(5，m)，C(6，n)在一条直线上，所以＝λ，所以(1，m－3)＝λ(2，n－3)，所以λ＝，所以m－3＝(n－3)，即2m－n＝3．]
3．已知两点A(2，－1)，B(3，1)，与平行且方向相反的向量a可能是( )
A．(1，－2) B．(9，3)
C．(－1，2) D．(－4，－8)
D [由题意得＝(1，2)，结合选项可知a＝(－4，－8)＝－4(1，2)＝－4，所以D正确．]
4．若向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，c＝(－1，2)，则c等于( )
A．－a＋b B．a－b
C．a－b D．－a＋b
B [因为向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，
设c＝xa＋yb＝(x＋y，x－y)，
又因为c＝(－1，2)，所以
解得
所以c＝a－b．]
5．(多选)已知在平面直角坐标系中，点P1(0，1)，P2(4，4)．当P是线段P1P2的一个三等分点时，点P的坐标为( )
A． B．
C．(2，3) D．
AD [设P(x，y)，则＝(x，y－1)，
＝(4－x，4－y)，
当点P靠近点P1时，＝，
则解得
所以P．
当点P靠近点P2时，＝2，
则
解得所以P．
综上，故选AD．]
二、填空题
6．已知向量a＝(1，λ)，b＝(2，1)，c＝(1，－2)，若向量2a＋b与c共线，则λ＝________．
－ [因为向量a＝(1，λ)，b＝(2，1)，c＝(1，－2)，所以2a＋b＝(4，2λ＋1)，
所以由2a＋b与c共线，得－8－(2λ＋1)＝0，解得λ＝－．]
7．已知A，B，O为坐标原点，A，B，M三点共线，且＝＋λ，则点M的坐标为________．
[因为A，B，M三点共线，且＝＋λ，所以λ＝，又A，B，即＝(2，－1)，＝(－1，1)，所以＝(2，－1)＋(－1，1)＝，则M的坐标为．]
8．已知点A(2，3)，B(4，－3)，点P在线段AB的延长线上，且||＝2||，则点P的坐标为________．
(6，－9) [设点P的坐标为(x，y)，由条件可知＝－2，由定比分点坐标公式可知
即点P的坐标为(6，－9)．]
三、解答题
9．已知A，B，C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，且＝＝．
(1)求点E，F的坐标；
(2)判断与是否共线．
[解] (1)设E(x1，y1)，F(x2，y2)．依题意，
得＝(2，2)，＝(－2，3)．
由＝可知，(x1＋1，y1)＝(2，2)，
所以
解得
所以点E的坐标为．
由＝可知，(x2－3，y2＋1)＝(－2，3)，
所以
解得
所以点F的坐标为．
(2)由(1)可知，
＝－＝，
又＝(4，－1)，
所以＝(4，－1)＝，所以与共线．
10．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为( )
A．(1，－1) B．(－1，1)
C．(－4，6) D．(4，－6)
D [由题知4a＝(4，－12)，
3b－2a＝(－6，12)－(2，－6)＝(－8，18)，由4a＋(3b－2a)＋c＝0，知c＝(4，－6)．故选D．]
11．(多选)已知向量a＝(x，3)，b＝(－3，x)，则下列叙述中不正确的是( )
A．存在实数x，使a∥b
B．存在实数x，使(a＋b)∥a
C．存在实数x，m，使(ma＋b)∥a
D．存在实数x，m，使(ma＋b)∥b
ABC [由向量共线的坐标表示可知A，B，C无实数解；对于D，有x(mx－3)－(－3)×(3m＋x)＝0，即m(x2＋9)＝0，所以m＝0，x∈R，故D正确．]
12．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是( )
A．k＝－2 B．k＝
C．k＝1 D．k＝－1
C [因为A，B，C三点不能构成三角形，所以A，B，C三点共线，则∥，又＝＝(1，2)，＝＝(k，k＋1)，所以2k－(k＋1)＝0，即k＝1．]
13．已知A(7，1)，B(1，4)，直线y＝ax与线段AB交于点C，且＝2，则实数a的值为________．
2 [设C(x0，y0)，则y0＝ax0．
∴＝，
＝．
∵＝2，
∴
∴ ]
14．设＝(－2，4)，＝(－a，2)，＝(b，0)，a>0，b>0，若A，B，C三点共线，求＋的最小值．
[解] 由题意，得＝(－a＋2，－2)，＝(b＋2，－4)．又A，B，C三点共线，则∥，所以－4(－a＋2)＝－2(b＋2)，整理得2a＋b＝2，
所以＋＝(2a＋b)＝≥＝，当且仅当a＝2－，b＝2－2时等号成立．
所以＋的最小值为．
15．已知三角形的三条中线交于一点G(也称为三角形的重心)，且点G将每条中线分为2∶1的两段(如图，AG∶GM＝2∶1)．设△ABC三个顶点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)．
(1)求点G的坐标；
(2)利用向量的坐标运算证明：＝0．
[解] (1)设G(x，y)，∵＝－2，A(x1，y1)，
M，
∴
∴
∴G．
(2)证明：∵＝
＝，
＝
＝，
＝
＝，
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