(共38张PPT)
第1课时 余弦定理
第六章 平面向量及其
6.4 平面向量的应用
6.4.3 余弦定理、正弦定理
整体感知
[学习目标] 1．掌握余弦定理的表示形式及证明方法．
2．会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．
[讨论交流] 预习教材P42－P44的内容，思考以下问题：
问题1．余弦定理的内容是什么？如何推导？
问题2．余弦定理有哪些推论？
问题3．应用余弦定理可以解哪些三角形？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
[新知生成] 余弦定理的表示
文字表述 三角形中任何一边的平方，等于________________减去这两边与它们______________的两倍
符号语言 a2＝________________________；
b2＝_________________________；
c2＝________________________
其他两边平方的和
夹角的余弦的积
b2＋c2－2bccos A
c2＋a2－2cacos B
a2＋b2－2abcos C
【教用·微提醒】 (1)适用范围：对任意的三角形，三个等式都成立．
(2)简单应用：每个等式都涉及三边和一角四个元素，利用余弦定理可做到知三求一．
(3)定理特例：当夹角为90°时(例如C＝90°)，定理变为c2＝a2＋b2，这就是勾股定理，所以余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．
反思领悟 已知三角形的两边及一角求第三边的思路
先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．
①若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；
②若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边．
√
3
探究2 已知三边解三角形
探究问题2 在△ABC中，已知三边分别是a，b，c，如何求角A呢？
[新知生成]
1．余弦定理的推论
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则cos A＝_______，
cos B＝________，cos C＝_________．
2．解三角形
(1)一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的____．
(2)已知三角形的几个元素求________的过程叫做解三角形．
元素
其他元素
【链接·教材例题】
例5 在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝34 cm，A＝41°，解这个三角形(角度精确到1°，边长精确到1 cm)．
分析：由条件可求cos C，再利用余弦定理及其推论可求出B的值．
反思领悟 已知三角形的三边解三角形的方法
利用余弦定理的推论求出三个角的余弦，进而求出三个角．
[学以致用] 2．(源自湘教版教材)已知△ABC的三边分别为a＝6，b＝10和c＝14，试求△ABC最大内角的度数．
探究3 三角形的形状与余弦定理
[典例讲评] 3．(1)已知△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则以下为钝角三角形的是( )
A．a＝3，b＝3，c＝4 B．a＝4，b＝5，c＝6
C．a＝4，b＝6，c＝7 D．a＝3，b＝3，c＝5
(2)(源自人教B版教材)在△ABC中，已知acos A＝bcos B，试判断这个三角形的形状．
√
反思领悟
1．利用余弦定理判断三角形形状的两种途径
(1)化边的关系：将条件中的角，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断．
(2)化角的关系：将条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换得出关系进行判断．
[学以致用] 3．(1)在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝3，c＝4，则实数a的取值范围是___________．
(2)(源自苏教版教材)在△ABC中，已知a cos B＝bcos A，求证：△ABC为等腰三角形．
【教用·备选题】 在△ABC中，若a cos B＋acos C＝b＋c，试判断该三角形的形状．
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
2
3
题号
1
4
√
2
3
题号
4
1
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝12，b＝13，c＝17，则△ABC为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能
√
2
4
3
题号
1
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a2＋b2＋ab＝c2，则角C＝________．
120°
1．知识链： (1)余弦定理．
(2)余弦定理解决的两类问题．
(3)余弦定理的简单应用．
2．方法链：公式法．
3．警示牌：注意不要忽略三角形中的隐含条件．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．余弦定理及其推论的内容是什么？
2．解三角形是如何定义的？余弦定理可解哪些三角形？
[提示] 由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形，余弦定理主要解决知道三边求三角，或知道两边及一角求第三边．
3．在△ABC中，若a2
[提示] 当a2第1课时 余弦定理
[学习目标] 1．掌握余弦定理的表示形式及证明方法．
2．会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．
[讨论交流] 预习教材P42－P44的内容，思考以下问题：
问题1．余弦定理的内容是什么？如何推导？
问题2．余弦定理有哪些推论？
问题3．应用余弦定理可以解哪些三角形？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 余弦定理的推导
探究问题1 在△ABC中，当＝b，＝a，试求||2．
[提示] ∵＝，
∴||＝||，
∴||2＝＋－2·＝a2＋b2－2|a||b|cos C．
[新知生成] 余弦定理的表示
文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
符号语言 a2＝b2＋c2－2bccos_A； b2＝c2＋a2－2ca_cos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C
【教用·微提醒】 (1)适用范围：对任意的三角形，三个等式都成立．
(2)简单应用：每个等式都涉及三边和一角四个元素，利用余弦定理可做到知三求一．
(3)定理特例：当夹角为90°时(例如C＝90°)，定理变为c2＝a2＋b2，这就是勾股定理，所以余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．
[典例讲评] 1．(1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a的值；
(2)在△ABC中，已知b＝，c＝，B＝30°，求a的值．
[解] (1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A
＝32＋(2)2－2×3×2cos 30°＝3，
所以a＝．
(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，
得()2＝a2＋()2－2a××cos 30°，
即a2－3a＋10＝0，解得a＝或a＝2．
已知三角形的两边及一角求第三边的思路
先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．
①若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；
②若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边．
[学以致用] 1．(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知A＝，b＝1，c＝，则a＝( )
A．1 B．2 C． D．3
(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝，c＝2，cos A＝，则b＝________．
(1)A (2)3 [(1)由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝1＋2－2×＝1，所以a＝1．故选A．
(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得5＝22＋b2－2×2bcos A，
因为cos A＝，
所以3b2－8b－3＝0，
解得b＝3．]
探究2 已知三边解三角形
探究问题2 在△ABC中，已知三边分别是a，b，c，如何求角A呢？
[提示] cos A＝．
[新知生成]
1．余弦定理的推论
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则cos A＝，cos B＝，cos C＝．
2．解三角形
(1)一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．
(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
【链接·教材例题】
例5 在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝34 cm，A＝41°，解这个三角形(角度精确到1°，边长精确到1 cm)．
[解] 由余弦定理，得
a2＝b2＋c2－2bc cos A
＝602＋342－2×60×34×cos 41°
≈1 676.78，
所以a≈41(cm)．
由余弦定理的推论，得
cos B＝＝＝－，
利用计算器，可得B≈106°．
所以C＝180°－(A＋B)≈180°－(41°＋106°)＝33°．
例6 在△ABC中，a＝7，b＝8，锐角C满足sin C＝，求B(精确到1°)．
分析：由条件可求cos C，再利用余弦定理及其推论可求出B的值．
[解] 因为sin C＝，且C为锐角，
所以cos C＝＝＝．
由余弦定理，得
c2＝a2＋b2－2ab cosC＝49＋64－2×7×8×＝9，
所以c＝3．
进而cos B＝＝＝－．
利用计算器，可得B≈98°．
[典例讲评] 2．已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求△ABC中各角的度数．
[解] 已知a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，
令a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k＞0)，
由余弦定理的推论，得cos A＝
＝＝，
∵0°cos B＝＝＝，
∵0°∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°．
已知三角形的三边解三角形的方法
利用余弦定理的推论求出三个角的余弦，进而求出三个角．
[学以致用] 2．(源自湘教版教材)已知△ABC的三边分别为a＝6，b＝10和c＝14，试求△ABC最大内角的度数．
[解] 根据三角形中大边对大角的原理可知，∠C是△ABC的最大内角．
由余弦定理得cos C＝＝＝－．
因为∠C是三角形的内角，所以∠C＝120°．
因此△ABC的最大内角为120°．
探究3 三角形的形状与余弦定理
[典例讲评] 3．(1)已知△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则以下为钝角三角形的是( )
A．a＝3，b＝3，c＝4 B．a＝4，b＝5，c＝6
C．a＝4，b＝6，c＝7 D．a＝3，b＝3，c＝5
(2)(源自人教B版教材)在△ABC中，已知acos A＝bcos B，试判断这个三角形的形状．
(1)D [对于D，由余弦定理，得cos C＝＝<0，∴C为钝角，∴△ABC为钝角三角形．同理可得选项A，选项B，选项C均为锐角三角形．故选D．]
(2)[解] ∵a cos A＝bcos B，
∴由余弦定理可得a×＝b×，
整理得(c2＋b2－a2)a2 ＝(a2＋c2－b2)b2，
即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2，
∴a2＋b2＝c2或a＝b．
故△ABC为直角三角形或等腰三角形．
1．利用余弦定理判断三角形形状的两种途径
(1)化边的关系：将条件中的角，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断．
(2)化角的关系：将条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换得出关系进行判断．
2．判断三角形的形状时，经常用到以下结论
(1)△ABC为直角三角形 a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2；
(2)△ABC为锐角三角形 a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2；
(3)△ABC为钝角三角形 a2＋b2(4)若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝．
[学以致用] 3．(1)在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝3，c＝4，则实数a的取值范围是________．
(2)(源自苏教版教材)在△ABC中，已知a cos B＝bcos A，求证：△ABC为等腰三角形．
(1)(，5) [因为b＝3，c＝4，且△ABC是锐角三角形，所以cos A＝>0，且cos C＝>0，所以7(2)[证明] 由余弦定理，得a·＝b·，整理，得a2＝b2．
因为a>0，b>0，所以a＝b．
因此△ABC为等腰三角形．
【教用·备选题】 在△ABC中，若a cos B＋acos C＝b＋c，试判断该三角形的形状．
[解] 由acos B＋acos C＝b＋c并结合余弦定理，
得a·＋a·＝b＋c，
即＋＝b＋c，
整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0．
因为b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2，
故△ABC是直角三角形．
1．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－，则该三角形的第三条边长为( )
A．52 B．2
C．16 D．4
B [设第三条边长为x，
则x2＝52＋32－2×5×3×＝52，∴x＝2．]
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝，b＝2，c＝5，则A的大小为( )
A．30° B．60°
C．45° D．90°
B [由余弦定理，得cos A＝＝＝，又0°3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝12，b＝13，c＝17，则△ABC为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能
A [由于c>b>a，且cos C＝>0，故C为锐角，故△ABC为锐角三角形．故选A．]
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a2＋b2＋ab＝c2，则角C＝________．
120° [由a2＋b2＋ab＝c2，得a2＋b2－c2＝－ab．由余弦定理的推论，得cos C＝＝＝－，故C＝120°．]
1．知识链： (1)余弦定理．
(2)余弦定理解决的两类问题．
(3)余弦定理的简单应用．
2．方法链：公式法．
3．警示牌：注意不要忽略三角形中的隐含条件．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．余弦定理及其推论的内容是什么？
[提示] (1)三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝c2＋a2－2ca cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C．
(2)余弦定理的推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝(已知三边求三角)．
2．解三角形是如何定义的？余弦定理可解哪些三角形？
[提示] 由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形，余弦定理主要解决知道三边求三角，或知道两边及一角求第三边．
3．在△ABC中，若a2[提示] 当a2课时分层作业(十二) 余弦定理
一、选择题
1．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝3，c＝8，B＝60°，则△ABC的周长是( )
A．18 B．19
C．16 D．17
A [在△ABC中，a＝3，c＝8，B＝60°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B＝32＋82－2×3×8×cos 60°＝49．
所以b＝7，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝3＋7＋8＝18．故选A．]
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
D [因为a2＋b23．在△ABC中，已知a＝3，b＝5，c＝，则最大角与最小角的和为( )
A．90° B．120°
C．135° D．150°
B [在△ABC中，因为a＝3，b＝5，c＝，
所以最大角为B，最小角为A，
所以cos C＝＝＝，所以C＝60°，所以A＋B＝120°，所以△ABC中最大角与最小角的和为120°．故选B．]
4．(多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝2，c＝2，cos A＝，且bA．b＝2 B．b＝2
C．B＝60° D．B＝30°
AD [由a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－6b b2－6b＋8＝0 (b－2)(b－4)＝0，由b5．已知△ABC的三条边的长度分别为4米、5米、6米，将三边都截掉x米后，剩余的部分组成一个钝角三角形，则x的取值范围是( )
A．(0，5) B．(1，5)
C．(1，3) D．(1，4)
C [根据题意，将三边都截掉x米后，三角形的三边长分别为(4－x)米、(5－x)米、(6－x)米，且0＜x＜4．设长为(6－x)米的边所对的角为α，则α为钝角．
∵4－x＞0，5－x＞0，6－x＞0，
cos α＝＜0，∴1＜x＜4．
∵4－x＋5－x＞6－x，∴x＜3，∴1＜x＜3，
故x的取值范围是(1，3)．故选C．]
二、填空题
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋ac，则B＝________．
45° [由已知得a2＋c2－b2＝ac，所以cos B＝＝＝．又0°＜B＜180°，所以B＝45°．]
7．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则A＝________，AC边上的高为________．
[由余弦定理的推论，可得
cos A＝＝＝，
又0则AC边上的高为h＝ABsin A＝3×＝．]
8．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状是________．
直角三角形 [因为bcos C＋ccos B＝asin A，
所以由余弦定理的推论，得b·＋c·＝asin A，整理，得a＝asin A，所以sin A＝1．又A∈(0，π)，所以A＝．
故△ABC为直角三角形．]
三、解答题
9．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc．
(1)求A的大小；
(2)若b＋c＝2a＝2，试判断△ABC的形状．
[解] (1)∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
∴a2＝b2＋c2－bc，
而a2＝b2＋c2－2bccos A，∴2cos A＝1，
∴cos A＝．∵A∈(0，π)，∴A＝．
(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A，且a＝，
∴()2＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc．①
又∵b＋c＝2，与①联立，解得bc＝3，
∴∴b＝c＝，∴△ABC为等边三角形．
10．在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝( )
A．4
C． D．2
A [因为cos C＝2cos2－1＝2×－1＝－，所以由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝25＋1－2×5×1×＝32，所以AB＝4．故选A．]
11．若△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·的值为( )
A．19 B．14
C．－18 D．－19
D [设三角形的三边BC，AC，AB分别为a，b，c，依题意得，a＝5，b＝6，c＝7．
∴·＝||·||·cos(π－B)＝－ac·cos B．
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B，
∴－ac·cos B＝(b2－a2－c2)＝(62－52－72)
＝－19，∴·＝－19．]
12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若b2＋c2＝2a2，则cos A的最小值为________．
[在△ABC中，由余弦定理的推论可知cos A＝≥＝＝，当且仅当b＝c＝a时，等号成立．]
13．已知△ABC为钝角三角形，a＝3，b＝4，c＝x，则x的取值范围是________．
(1，)∪(5，7) [①若x>4，则x所对的角为钝角，
∴<0且x<3＋4＝7，∴5②若x<4，则4所对的角为钝角，
∴<0且3＋x>4，
∴1∴x的取值范围是(1，)∪(5，7)．]
14．(源自苏教版教材)如图，AM是△ABC的边BC上的中线，求证：AM＝
．
[证明] 设∠AMB＝α，则∠AMC＝180°－α．
在△ABM中，由余弦定理，得
AB2＝AM2＋BM2－2AM·BM cos α．
在△ACM中，由余弦定理，得
AC2＝AM2＋MC2－2AM·MC cos (180°－α)．
因为cos (180°－α)＝－cos α，BM＝MC＝BC，
所以AB2＋AC2＝2AM2＋BC2，
从而AM＝．
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0．
(1)求角B的大小；
(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．
[解] (1)由已知得－cos (A＋B)＋cos A cos B－sin Acos B＝0，
即有sin A sin B－sin A cos B＝0．
因为sin A≠0，所以sin B－ cos B＝0．
又cos B≠0，
所以tan B＝．又0＜B＜π，
所以B＝．
(2)由余弦定理，可知b2＝a2＋c2－2ac cos B．
因为a＋c＝1，cos B＝，
所以b2＝3＋．
又0＜a＜1，
于是有≤b2＜1，即有≤b＜1．
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