(共45张PPT)
6.4.1 平面几何中的向量方法
6.4.2 向量在物理中的应用举例
第六章 平面向量及其
6.4 平面向量的应用
整体感知
[学习目标] 1．能运用平面向量的知识解决一些简单的平面几何问题和物理问题．
2．掌握用向量法解决平面几何问题的两种基本方法——选择基向量法和建系坐标法．
3．通过具体问题的解决，理解用向量知识研究物理的一般思路与方法．
[讨论交流] 预习教材P38－P41的内容，思考以下问题：
问题1．利用向量可以解决哪些常见的几何问题？
问题2．如何用向量方法解决物理问题？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
例2 如图6.4-3，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？
分析：平行四边形中与两条对角线对应的向量恰是与两条邻边对应的两个向量的和与差，我们可以通过向量运算来探索它们的模之间的关系．
角度1 长度问题
[典例讲评] 1．如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
角度3 垂直问题
[典例讲评] 3．如图所示，已知正方形ABCD中，P为对角线AC上且不在端点上的任意一点，PE⊥AB，PF⊥BC，连接DP，EF．求证：DP⊥EF．
反思领悟 用向量法解决平面几何问题的两种方法
(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量为已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．
(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．
【教用·备选题】 (源自北师大版教材)求证：顺次连接任意凸四边形各边中点，构成一个平行四边形．
4
探究2 平面向量在物理中的应用
【链接·教材例题】
例3 在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？
分析：不妨以两人共提旅行包为例，只要研究清楚两个拉力的合力、旅行包所受的重力以及两个拉力的夹角三者之间的关系，就可以获得问题的数学解释．
4
[解] 先来看共提旅行包的情况．如图6.4-5，设作用在旅行包上的两个拉力分别为F1，F2，为方便起见，我们不妨设|F1|＝|F2|．另设F1，F2的夹角为θ，旅行包所受的重力为G．
4
例4 如图6.4-6，一条河两岸平行，河的宽度d＝500 m，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度v1的大小为|v1|＝10 km/h，水流速度v2的大小为|v2|＝2 km/h，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间(精确到0.1 min)
分析：如果水是静止的，那么船只要取垂直于河岸的方向行驶，就能使航程最短，此时所用时间也是最短的．考虑到水的流速，要使航程最短，船的速度与水流速度的合速度v必须垂直于河岸．
[典例讲评] 4．如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1．
(1)求|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；
(2)当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围．
反思领悟 用向量方法解决物理问题的四个步骤
[学以致用] 2．(1)(多选)关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是( )
A．船垂直到达对岸所用时间最少
B．当船速v的方向与河岸垂直时用时最少
C．沿任意直线航行到达对岸的时间都一样
D．船垂直到达对岸时航行的距离最短
(2)某物体做斜抛运动，初速度|v0|＝10 m/s，与水平方向成60°角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度是________ m/s．
√
√
5
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
2
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题号
1
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4
1
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题号
1
4．一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物．太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子的速度大小是
40 m/s，则鹰的飞行速度的大小为________m/s．
2
4
3
题号
1
1．知识链： (1)平面几何中的向量方法．
(2)向量在物理中的应用．
2．方法链：转化化归、数形结合．
3．警示牌：借助向量解决实际问题时，注意最后需要把结果还原为实际问题的答案．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．利用向量方法可以解决平面几何中哪些问题？说出其大体的求解思路．
[提示] 利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一是选择一个基底，利用基底表示涉及的向量；另一种是建立直角坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标．
2．用向量解决物理中的力学、速度、位移、功等问题的步骤大体有哪些？
[提示] 首先：问题的转化，把物理问题转化成数学问题；其次：模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；再次：参数的获取，求出数学模型的相关解；最后：回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象．6.4 平面向量的应用
6.4.1 平面几何中的向量方法
6.4.2 向量在物理中的应用举例
[学习目标] 1．能运用平面向量的知识解决一些简单的平面几何问题和物理问题．
2．掌握用向量法解决平面几何问题的两种基本方法——选择基向量法和建系坐标法．
3．通过具体问题的解决，理解用向量知识研究物理的一般思路与方法．
[讨论交流] 预习教材P38－P41的内容，思考以下问题：
问题1．利用向量可以解决哪些常见的几何问题？
问题2．如何用向量方法解决物理问题？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 向量在平面几何中的应用
【链接·教材例题】
例1 如图6.4-1，DE是△ABC的中位线，用向量方法证明：DE∥BC，DE＝BC．
分析：初中证明过这个结论时要加辅助线，有一定难度．如果用向量方法证明这个结论，可以取{}为基底，用表示，证明＝即可．
[证明] 如图6.4-2，因为DE是△ABC的中位线，所以
＝＝．
从而＝＝－＝)．
又＝，
所以＝．
于是DE∥BC，DE＝BC．
例2 如图6.4-3，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？
分析：平行四边形中与两条对角线对应的向量恰是与两条邻边对应的两个向量的和与差，我们可以通过向量运算来探索它们的模之间的关系．
[解] 第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题：
如图6.4-4，取{}为基底，设＝a，＝b，则
＝a＋b，＝a－b．
第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系：
＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，
＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2．
上面两式相加，得＋＝2(a2＋b2)．
第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：
＝2(AB2＋AD2)．
长度问题
[典例讲评] 1．如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
[解] 设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b，而||＝|a－b|＝＝＝＝2，
所以5－2a·b＝4，所以a·b＝，
又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，所以||＝，即AC＝．
共线问题
[典例讲评] 2．(源自北师大版教材)如图，点O是 ABCD两条对角线的交点，点E，F分别在边CD，AB上，且＝＝．求证：点E，O，F在同一直线上．
[证明] 设＝m，＝n，则＝m＋n，
由＝＝，知E，F分别是CD，AB的三等分点，
所以＝＝＋
＝－m＋(m＋n)＝m＋n，
＝＝＋＝(m＋n)－m＝m＋n．
所以＝．
又O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上．
垂直问题
[典例讲评] 3．如图所示，已知正方形ABCD中，P为对角线AC上且不在端点上的任意一点，PE⊥AB，PF⊥BC，连接DP，EF．求证：DP⊥EF．
解：法一：如图，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系．
设正方形ABCD的边长为1，
则A，B，C，D．
∴＝＝．
设P，0
∴＝＝．
∴·＝a＋a＝0，
∴DP⊥EF．
法二：设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝a，
∴·＝()·()
＝····
＝1×a×cos 180°＋1×(1－a)×cos 90°＋a×a×cos 45°＋a×(1－a)×cos 45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0．
∴⊥，即DP⊥EF．
用向量法解决平面几何问题的两种方法
(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量为已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．
(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．
[学以致用] 1．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC．求：
(1)AD的长；
(2)∠DAC的大小．
[解] (1)设＝a，＝b，
则＝＝＋＝＋)＝＋＝a＋b．
∴||2＝ 2＝＝a2＋2×a·b＋b2＝×9＋2××3×3×cos 120°＋×9＝3．∴AD＝．
(2)设∠DAC＝θ(0°<θ<120°)，
则θ为与的夹角．
∴cos θ＝＝
＝
＝＝0．
∴θ＝90°，即∠DAC＝90°．
【教用·备选题】 (源自北师大版教材)求证：顺次连接任意凸四边形各边中点，构成一个平行四边形．
[解] 如图，凸四边形ABCD，E，F，G，H分别为各边的中点．
连接BD，AC，
因为E，F，G，H分别为各边的中点，
所以，＝＝，所以，＝－＝，即＝．
同理可得，＝．
所以＝，所以EF∥GH，且EF＝GH，
所以四边形EFGH为平行四边形．
探究2 平面向量在物理中的应用
【链接·教材例题】
例3 在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？
分析：不妨以两人共提旅行包为例，只要研究清楚两个拉力的合力、旅行包所受的重力以及两个拉力的夹角三者之间的关系，就可以获得问题的数学解释．
[解] 先来看共提旅行包的情况．如图6.4-5，设作用在旅行包上的两个拉力分别为F1，F2，为方便起见，我们不妨设|F1|＝|F2|．另设F1，F2的夹角为θ，旅行包所受的重力为G．
由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道|F1|＝．
这里，|G|为定值．分析上面的式子，我们发现，当θ由0逐渐变大到π时，由0逐渐变大到，cos 的值由大逐渐变小，此时|F1|由小逐渐变大；反之，当θ由π逐渐变小到0时，由逐渐变小到0，cos 的值由小逐渐变大，此时|F1|由大逐渐变小．这就是说，F1，F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力．
同理，在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．
例4 如图6.4-6，一条河两岸平行，河的宽度d＝500 m，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度v1的大小为|v1|＝10 km/h，水流速度v2的大小为|v2|＝2 km/h，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间(精确到0.1 min)
分析：如果水是静止的，那么船只要取垂直于河岸的方向行驶，就能使航程最短，此时所用时间也是最短的．考虑到水的流速，要使航程最短，船的速度与水流速度的合速度v必须垂直于河岸．
[解] 设点B是河对岸一点，AB与河岸垂直，那么当这艘船实际沿着AB方向行驶时，船的航程最短．
如图6.4-7，设v＝v1＋v2，则
|v|＝＝(km/h)．
此时，船的航行时间
t＝＝×60≈3.1(min)．
所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要3.1 min．
[典例讲评] 4．如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1．
(1)求|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；
(2)当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围．
[解] (1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得－G＝F1＋F2，|F1|＝，|F2|＝|G|tan θ，
当θ从0°趋向于90°时，|F1|，|F2|都逐渐增大．
(2)由|F1|＝，|F1|≤2|G|，得cos θ≥．
又因为0°≤θ<90°，
所以0°≤θ≤60°．
用向量方法解决物理问题的四个步骤
[学以致用] 2．(1)(多选)关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是( )
A．船垂直到达对岸所用时间最少
B．当船速v的方向与河岸垂直时用时最少
C．沿任意直线航行到达对岸的时间都一样
D．船垂直到达对岸时航行的距离最短
(2)某物体做斜抛运动，初速度|v0|＝10 m/s，与水平方向成60°角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度是________ m/s．
(1)BD (2)5 [(1)根据向量将船速v分解，当v垂直河岸时，用时最少．船垂直到达对岸时航行的距离最短．
(2)设该物体在竖直方向上的速度为v1，水平方向上的速度为v2，如图所示，|v2|＝|v0|cos 60°＝10×＝5(m/s)．]
1．已知三个力＝＝＝同时作用于某质点上，若对质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态(合力为零)，则＝( )
A．
C．
D [因为＝＝＝，
所以＝＋＋(4，－3)＝(－1，－2)，想要质点恰好达到平衡状态，只需＝－(－1，－2)＝(1，2)．
故选D．]
2．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC的中点，则cos ∠BDC等于( )
A．－
C．0 D．
B [如图建立平面直角坐标系，则B(0，0)，A(0，8)，C(6，0)，D(3，4)，所以＝(－3，－4)，＝(3，－4)．又∠BDC为的夹角，所以cos ∠BDC＝＝＝．故选B．]
3．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，∠BAC＝135°，D为边BC的中点，且＝，则向量的模为( )
A．
C．或 或
B [因为AB＝4，AC＝2，∠BAC＝135°，
所以·＝－8．因为＝＝＝＝－＋，
所以＝
＝＝．故选B．]
4．一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物．太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子的速度大小是40 m/s，则鹰的飞行速度的大小为________m/s．
[如图，设鹰在地面上的影子的速度＝v1，鹰的飞行速度＝v2，由题可知||＝|v1|＝40，且∠CAB＝30°，则||＝|v2|＝＝． ]
1．知识链： (1)平面几何中的向量方法．
(2)向量在物理中的应用．
2．方法链：转化化归、数形结合．
3．警示牌：借助向量解决实际问题时，注意最后需要把结果还原为实际问题的答案．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1． 利用向量方法可以解决平面几何中哪些问题？说出其大体的求解思路．
[提示] 利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一是选择一个基底，利用基底表示涉及的向量；另一种是建立直角坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标．
2．用向量解决物理中的力学、速度、位移、功等问题的步骤大体有哪些？
[提示] 首先：问题的转化，把物理问题转化成数学问题；其次：模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；再次：参数的获取，求出数学模型的相关解；最后：回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象．
课时分层作业(十一) 平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例
一、选择题
1．在△ABC中，()·＝||2，则△ABC的形状一定是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
C [由()·＝||2，得()·＝0，
即()·＝0，
∴2·＝0，∴⊥，∴A＝90°，
即△ABC的形状一定是直角三角形．
无法判断△ABC是不是等腰三角形．
故选C．]
2．已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为( )
A．5 N B．5 N
C．10 N D．5 N
B [如图，＝＝，∠AOC＝60°，∠OAC＝90°，＝10．
在Rt△OAC中，有＝·cos ∠AOC＝5，
所以，F1的大小为5 N．
故选B．]
3．某人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度大小为( )
A．v1－v2 B．v1＋v2
C．|v1|－|v2| D．|v1－v2|
C [由向量的加法法则可知逆风行驶的速度为v1＋v2．人的速度和风速方向相反，则逆风行驶的速度大小为|v1|－|v2|，故选C．]
4．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，且⊥，则||等于( )
A． B．2
C．3 D．2
B [以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
设||＝a(a>0)，则A(0，0)，C(4，a)，D(0，a)，E(2，0)，
所以＝(2，－a)，＝(4，a)．
因为⊥，所以·＝0，
所以2×4＋(－a)·a＝0，即a2＝8．
所以a＝2，所以＝(2，－2)，
所以||＝＝2．]
5．(多选)在△ABC中，＝(2，3)，＝(1，k)．若△ABC是直角三角形，则k的值可以是( )
A．－1 B．
C．
BCD [若A为直角，则AB⊥AC，则·＝0，∴2＋3k＝0，解得k＝－．若B为直角，则BC⊥AB，则·＝0，∵＝(2，3)，＝(1，k)，∴＝＝(－1，k－3)，∴－2＋3k－9＝0，解得k＝．若C为直角，则BC⊥AC，则·＝0，∴－1＋k(k－3)＝0，解得k＝．综上可得，k的值可能为－，，，．故选BCD．]
二、填空题
6．已知一物体在两力＝＝的作用下，发生位移S＝，则所做的功是________．
2 [因为＝＝，
所以＝＝，
又因为位移S＝，
所以所做的功是W＝2lg 5×1＋2lg 2×1＝2．]
7．点P在平面上做匀速直线运动，速度v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P0的坐标为(－10，10)，则5秒后点P的坐标为________．
(10，－5) [由题意知，＝5v＝(20，－15)，
设点P的坐标为(x，y)，
则
解得点P的坐标为(10，－5)．]
8．已知＝a＋b，＝a－2b，|a|＝2|b|＝2，a，b的夹角为，则三角形ABC的BC边上中线的长为________．
[设D为BC的中点，则2＝，
所以＝，
所以4＝，
所以＝
＝＝．]
三、解答题
9．(源自湘教版教材)如图，两根绳子把物体W吊在水平杆子AB上．已知物体W的重力G大小为10 N，∠ACD＝150°，∠BCD＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．
[解] 如图所示，设分别表示点A和B处所受力，10 N的重力用表示．
则有＝．
因为∠ACG＝150°，∠BCG＝120°，
所以∠FCG＝60°，∠ECG＝30°，
所以＝·cos 30°＝10×＝5，＝·cos 60°＝10×＝5．
所以A处所受力的大小为5 N, B处所受力的大小为5 N．
10．在四边形ABCD中，若＝(1，3)，＝(－6，2)，则该四边形的面积为( )
A． B．2
C．5 D．10
D [∵·＝0，∴AC⊥BD．
∴四边形ABCD的面积
S＝||||＝×2＝10．]
11．若非零向量与满足·＝0，·＝0，则△ABC为( )
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
C [因为非零向量与满足·＝0，
又因为，均为单位向量，所以角A的角平分线垂直于BC，则AB＝AC，
因为·＝0，所以⊥，即AB⊥AC，所以△ABC为等腰直角三角形．故选C．]
12．长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．假设游船在静水中的航行速度v1的大小为|v1|＝10 km/h，水流的速度v2的大小为|v2|＝4 km/h．设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°)，北岸的点A′在A的正北方向，若游船正好到达A′处，则cos θ等于( )
A． B．－
C． D．－
D [设船的实际速度为v，v1与南岸上游的夹角为α，如图所示．
要使得游船正好到达A′处，
则|v1|cos α＝|v2|，
即cos α＝＝，
又θ＝π－α，所以cos θ＝cos (π－α)＝－cos α＝－．]
13．已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上任意一点，则·()的最大值为________．
9 [法一(坐标法)：由题意可知AC⊥BC，所以以C为原点，建立平面直角坐标系如图所示，设P点坐标为(x，y)且0≤y≤3，0≤x≤4，则·()＝·＝(x，y)·(0，3)＝3y，当y＝3时，·()取得最大值9．
法二(基向量法)：∵＝＝，
∴·()＝()·
＝＋·＝9－·
＝9－||||cos ∠BAC
＝9－3||cos ∠BAC．
∵cos ∠BAC为正且为定值，
∴当||最小即||＝0时，·()取得最大值9．]
14．如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的中点，点F在边CD上．
(1)若AB＝BC＝2，点F是边CD上靠近点C的三等分点，求·的值；
(2)若AB＝，BC＝2，当·＝0时，求CF的长．
[解] 以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)因为AB＝BC＝2，点F是边CD上靠近点C的三等分点，点E是BC边上的中点，
所以A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(2，1)，D(0，2)，F，
所以＝(2，1)，＝，
所以·＝－＋1＝－．
(2)因为AB＝，BC＝2，
所以A(0，0)，B(，0)，E(，1)，C(，2)，D(0，2)，
设F(a，2)(0≤a≤)，
所以＝(，1)，＝(a－，2)，
当·＝0时，(a－)＋2＝0，
解得a＝，
所以CF＝－＝．
15．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝3，CB＝4，＝m，＝n，其中m，n∈(0，1)，设DE中点为M，AB中点为N．
(1)若m＝n，求证：C，M，N三点共线；
(2)若m＋n＝1，求||的最小值．
[解] (1)[证明] 当m＝n时，
＝)＝(m＋m)＝)，＝)，故＝m，故C，M，N三点共线，即得证．
(2)当m＋n＝1时，＝)＝(m＋n)，＝)，故＝＝)－(m＋n)＝(n＋m)，故||2＝|n＋m|2＝(9n2＋16m2＋2mn·)＝(9n2＋16m2)＝[9(1－m)2＋16m2]＝(25m2－18m＋9)，
故当m＝＝时，||2取得最小值＝，
即||的最小值为．
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