6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
[学习目标] 1．掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算．
2．能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题．
[讨论交流] 预习教材P34－P35的内容，思考以下问题：
问题1．平面向量数量积的坐标表示是什么？
问题2．如何用坐标表示向量的模、夹角和垂直？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 平面向量数量积的坐标表示
探究问题1 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能用a，b的坐标表示a·b的值吗？
[提示] 在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，则i·i＝1，j·j＝1，i·j＝0．
∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，
∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)
＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2．
又∵i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，
∴a·b＝x1x2＋y1y2．
[新知生成] 平面向量数量积的坐标表示
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．
即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
[典例讲评] 1．(1)已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝( )
A．10 B．－10 C．3 D．－3
(2)如图，已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，F为AD的中点，求·的值．
(1)B [a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10．
故选B．]
(2)[解] 以的方向分别为x，y轴正方向建立平面直角坐标系．
则A，B，F，E(1，2)，
所以＝＝，
所以·＝1×＋2×1＝0．
[母题探究]本例(2)的条件“F为AD的中点”换成“点F在AD上，且＝2”，求·的值．
[解] 建立平面直角坐标系如图所示，由题意可知，
A，B，C，F，E，
所以＝(－1，2)，＝，
所以·＝(－1，2)·
＝(－1)×(－2)＋2×＝．
在解决平面几何中的数量积的运算时，对于规则的图形，一定要先建立恰当的平面直角坐标系，用向量的坐标法解决平面几何中的数量积的问题．
[学以致用] 1．(1)若向量a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝24，则x等于( )
A．6 B．2 C．4 D．3
(2)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，D是边BC上一动点，则·＝________．
(1)B (2)4 [(1)由题意得8a－b＝(6，3)，c＝(3，x)，所以(8a－b)·c＝18＋3x＝24，解得x＝2．
(2)以B为原点，以的方向为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系，如图．
则B(0，0)，A(2，0)，D(0，y)．
所以＝(－2，0)，＝(－2，y)，
得·＝(－2，0)·(－2，y)＝4．]
【教用·备选题】
如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．
[以A为坐标原点，AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则B(，0)，D(0，2)，C(，2)，E(，1)．
可设F(x，2)，因为·＝(，0)·(x，2)＝x＝．所以x＝1，F(1，2)．则＝(1－，2)，·＝(，1)·(1－，2)＝．]
探究2 向量模的坐标表示
探究问题2 若向量a＝(x，y)，向量a的模如何表示？若A(x1，y1)，B(x2，y2), 的模如何表示？
[提示] 根据a2＝a·a＝x2＋y2，所以＝＝(x2－x1，y2－y1)，
则||＝．
[新知生成]
1．若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，或|a|＝．
2．如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝．
[典例讲评] 2．若向量a的始点为A(－2，4)，终点为B(2，1)，求：
(1)向量a的模；
(2)与a平行的单位向量的坐标；
(3)与a垂直的单位向量的坐标．
[解] (1)∵a＝＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，∴|a|＝＝5．
(2)与a平行的单位向量是±＝±(4，－3)，
即坐标为或．
(3)设与a垂直的单位向量为e＝(m，n)，则a·e＝4m－3n＝0，∴＝．
又∵|e|＝1，∴m2＋n2＝1，
解得 或
∴e＝或e＝．
求向量模的方法
(1)利用公式|a|＝求解；
(2)利用数量积求解；
(3)利用公式a2＝|a|2求解．
[学以致用] 2．(1)(2023·北京高考)已知向量a，b满足a＋b＝(2，3)，a－b＝(－2，1)，则|a|2－|b|2＝( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
(2)已知点A(0，1)，B(1，－2)，向量＝(4，－1)，则||＝________．
(1)B (2) [(1)∵a＋b＝(2，3)，a－b＝(－2，1)，∴a＝(0，2)，b＝(2，1)，
∴|a|2－|b|2＝4－5＝－1．故选B．
(2)设C(x，y)，因为点A(0，1)，向量＝(4，－1)，所以＝(x，y－1)＝(4，－1)，所以 解得x＝4，y＝0，所以C(4，0)，
所以＝(3，2)，||＝＝．]
探究3 平面向量的夹角、垂直问题
[新知生成]
设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角．
(1)cos θ＝＝．
(2)a⊥b x1x2＋y1y2＝0．
【教用·微提醒】 (1)两向量垂直与两向量平行的坐标表示易混淆．
(2)两向量夹角的余弦值大于0的夹角不一定是锐角，同样余弦值小于0的夹角也不一定是钝角．
【链接·教材例题】
例11 设a＝(5，－7)，b＝(－6，－4)，求a·b及a，b的夹角θ(精确到1°)．
[解] a·b＝5×(－6)＋(－7)×(－4)
＝－30＋28
＝－2．
因为|a|＝＝，|b|＝＝，所以用计算器计算可得
cos θ＝＝≈－0.03．
利用计算工具可得θ≈92°．
[典例讲评] 3．(源自湘教版教材)已知a＝(3，1)，b＝，求k为何值时：
(1)a∥b
(2)a⊥b
(3)a与b的夹角为钝角？
[解] (1)因为a∥b，
所以3k－1×＝0，解得k＝－．
(2)因为a⊥b，
所以3×＋1×k＝0，解得k＝．
(3)因为＜〈a，b〉＜π，所以cos 〈a，b〉＜0，
所以3×＋1×k＝－＋k＜0，
解得k＜．
由(1)知，k＝－时，a∥b，即a，b共线，此时〈a，b〉＝π．
所以k＜且k≠－时，a，b的夹角为钝角．
利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤
[学以致用] 3．(1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则( )
A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1
C．λμ＝1 D．λμ＝－1
(2)已知a＝(1，)，b＝(2，m)，当a与b的夹角为120°时，则m＝________．
(1)D (2)－2 [(1)因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，因为(a＋λb)⊥(a＋μb)，所以(a＋λb)·(a＋μb)＝0，所以(1＋λ)·(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1．故选D．
(2)由题意得|a|＝2，|b|＝，a·b＝2＋m，
所以cos 120°＝＝＝－，
整理得2＋m＋＝0，
化简得m2＋2m＝0，
解得m＝－2或m＝0(舍去)．
所以m＝－2．]
【链接·教材例题】
例10 若点A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，则△ABC是什么形状？证明你的猜想．
[解] 如图6.3-19，在平面直角坐标系中画出点A，B，C，我们发现△ABC是直角三角形．证明如下．
因为＝(2－1，3－2)＝(1，1)，
＝(－2－1，5－2)＝(－3，3)，
所以·＝1×(－3)＋1×3＝0．
于是⊥．
因此，△ABC是直角三角形．
例12 用向量方法证明两角差的余弦公式
cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β．
[证明] 如图6.3-20，在平面直角坐标系Oxy内作单位圆O，以x轴的非负半轴为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B．则＝(cos α，sin α)，＝(cos β，sin β)．
由向量数量积的坐标表示，有
·＝cos αcos β＋sin αsin β．
设与的夹角为θ，则
·＝||||cos θ＝cos θ．
所以cos θ＝cos αcos β＋sin αsin β．
另一方面，由图6.3-20(1)可知，α＝2kπ＋β＋θ；由图6.3-20(2)可知，α＝2kπ＋β－θ．
于是α－β＝2kπ±θ，k∈Z．
所以cos (α－β)＝cos θ．
于是cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β．
【教用·备选题】 已知平面向量a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c．
(1)求b与c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．
[解] (1)因为a∥b，所以3x＝4×9，即x＝12．
因为a⊥c，所以3×4＋4y＝0，所以y＝－3．
故b＝(9，12)，c＝(4，－3)．
(2)m＝2a－b＝(6，8)－(9，12)＝(－3，－4)，
n＝a＋c＝(3，4)＋(4，－3)＝(7，1)．
设m，n的夹角为θ，则cos θ＝
＝＝＝－．
因为θ∈[0，π]，所以θ＝，
即m，n的夹角为．
1．(2022·全国乙卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
D [因为a－b＝－＝，
所以＝＝5．
故选D．]
2．已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，则a与b夹角的余弦值为( )
A．
C．
A [|a|＝＝5，|b|＝＝13．
a·b＝3×5＋4×12＝63．
设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝＝．]
3．设向量a＝(2，x＋1)，b＝(x－2，－1)，若a⊥b，则x＝( )
A．5 B．2
C．1 D．0
A [∵向量a＝(2，x＋1)，b＝(x－2，－1)，a⊥b，
∴a·b＝0，可得2(x－2)＋(x＋1)×(－1)＝0，
∴x＝5．故选A．]
4．已知a＝(1，2)，b＝(3，4)，则a在b方向上的投影向量的坐标为________ ．
[由a＝(1，2)，b＝(3，4)，
得a在b方向上的投影向量为·＝·＝．]
1．知识链： (1)平面向量数量积的坐标表示．
(2)平面向量的模．
(3)平面向量的夹角、垂直问题．
2．方法链：转化与化归．
3．警示牌：注意不要记错两向量夹角的余弦公式．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
已知非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
1．如何求向量a与b的夹角θ的余弦值cos θ？
[提示] cos θ＝
＝．
2．向量a与b的夹角θ的范围与向量数量积的坐标运算的关系是什么？
[提示] (1)当θ为锐角或零角 x1x2＋y1y2>0；
(2)当θ为直角 x1x2＋y1y2＝0；
(3)当θ为钝角或平角 x1x2＋y1y2<0．
向量的数量积与三角形的面积
在平面直角坐标系Oxy中，给定A(x1，y1)，B(x2，y2)，假设O，A，B不在同一条直线上，如图1所示，你能用A，B的坐标表示出△OAB的面积吗？
一般地，利用向量的数量积可以方便地求出△OAB的面积为
S＝|x1y2－x2y1|．
事实上，如图2所示，记t＝||，a＝(－y1，x1)，则容易验证，a是与垂直的单位向量．
图2
过B作OA的垂线BC．因为a为单位向量，所以由向量数量积的几何意义可知
||＝|a·|，
因此，△OAB的面积为
S＝||×||＝||×|a·|
＝t×
＝|(－y1，x1)·(x2，y2)|
＝|x1y2－x2y1|．
由此也可以看出，如图3所示，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，而且O，A，B三点不共线，则以OA，OB为邻边的平行四边形OACB的面积为
图3
S＝|x1y2－x2y1|．
由此，你体会到向量数量积的作用之大了吗？
课时分层作业(十) 平面向量数量积的坐标表示
一、选择题
1．(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
D [因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，
所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，故x＝2．
故选D．]
2．设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|2a－b|等于( )
A．4 B．5
C．3 D．4
D [由a∥b得y＋4＝0，∴y＝－4，b＝(－2，－4)，
∴2a－b＝(4，8)，
∴|2a－b|＝4．
故选D．]
3．与向量d＝(12，5)平行的单位向量为( )
A．
B．
C．或
D．或
C [与向量d＝(12，5)平行的单位向量为±＝±，即或．
故选C．]
4．向量b＝在向量a＝上的投影向量的坐标为( )
A． B．
C． D．
B [b＝在向量a＝上的投影向量为＝＝．故选B．]
5．(多选)设向量a＝(－1，1)，b＝(0，2)，则( )
A．a·b＝2 B．|a|＝|b|
C．(a－b)⊥a D．(a－b)∥a
AC [对于A，因为a·b＝·＝2，所以A正确．
对于B，因为＝＝，＝＝2，所以|a|≠|b|．
对于C，a－b＝－＝，
因为(a－b)·a＝·＝×＋×1＝0，所以(a－b)⊥a．
对于D，由C可知(a－b)⊥a，所以D错误．
故选AC．]
二、填空题
6．已知平面向量a＝，且a⊥b．写出满足条件的一个非零向量b＝ ________ ．
(2，1)(答案不唯一，形如(2m，m)(m≠0)) [设b＝(x，y)，而向量a＝，且a⊥b，因此x－2y＝0，即x＝2y，又b≠0，则令y＝m≠0，
所以b＝(2m，m)(m≠0)，取m＝1，得b＝(2，1)．]
7．设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝，则m＝________．
－2 [法一：a＋b＝(m＋1，3)，
又|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，
∴(m＋1)2＋32＝m2＋1＋5，解得m＝－2．
法二：由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，
得a·b＝0，即m＋2＝0，解得m＝－2．]
8．设向量a＝(2，3)，b＝(6，t)，若a与b的夹角为锐角，则实数t的取值范围为________．
(－4，9)∪(9，＋∞) [因为a与b的夹角为锐角，
所以a·b>0，且a与b不共线，
所以解得t>－4且t≠9，
所以实数t的取值范围为(－4，9)∪(9，＋∞)．]
三、解答题
9．已知三点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．
[解] (1)证明：因为A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，＝(1，1)，＝(－3，3)，
所以·＝1×(－3)＋1×3＝0，所以⊥，即AB⊥AD．
(2)因为⊥，四边形ABCD为矩形，所以＝，设点C的坐标为(x，y)，则由＝(1，1)，＝(x＋1，y－4)，
得 解得 所以点C的坐标为(0，5)，从而＝(－2，4)，＝(－4，2)，且||＝2，||＝2·＝8＋8＝16，
设与的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，所以矩形的两对角线所夹锐角的余弦值为．
10．已知A(－2，1)，B(6，－3)，C(0，5)，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
A [由题设知＝(8，－4)，＝(2，4)，＝(－6，8)，所以·＝2×8＋(－4)×4＝0，即⊥．所以∠BAC＝90°，故△ABC是直角三角形．]
11．(2023·全国甲卷)已知向量a＝(3，1)，b＝(2，2)，则cos 〈a＋b，a－b〉＝( )
A．
C．
B [由题意知，a＋b＝(5，3)，a－b＝(1，－1)，
所以cos 〈a＋b，a－b〉＝＝＝＝．故选B．]
12．(多选)已知向量a＝(1，0)，b＝(cos θ，sin θ)，θ∈，则|a＋b|的值可以是( )
A．
C．2 D．2
ABC [由题意，向量a＝(1，0)，b＝(cos θ，sin θ)，
可得|a|＝1，|b|＝1，a·b＝cos θ，
则|a＋b|＝＝．
因为θ∈，所以cos θ∈[0，1]，
所以∈[，2]，即|a＋b|∈[，2]，故选项ABC符合题意．故选ABC．]
13．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且＝2，则·的值是________．
[以A为原点，AB，AD所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
∵AB＝，BC＝2，
∴A(0，0)，B(，0)，C(，2)，D(0，2)，
∵点E在边CD上，
且＝2，∴E．
∴＝＝，
∴·＝－＋4＝．]
14．(源自湘教版教材)如图，已知点O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为(4，3)，点B的坐标为(－1，6)，作BD⊥OA，垂足为点D．
(1)求，，；
(2)求cos ∠AOB；
(3)求S△OAB．
[解] (1)＝＝＝5，＝＝＝，由于＝－＝，所以＝＝＝．
(2)·＝·＝－4＋18＝14，
故cos ∠AOB＝＝＝．
(3)由(2)得cos ∠AOB＝，
所以OD＝OB·cos ∠AOB＝×＝，
由勾股定理得，BD＝＝＝，
所以S△OAB＝BD·OA＝××5＝．
15．已知定点A和向量，点P是直线AB外的一点，请写出点P到直线AB的距离的向量表示．
[解] 设n⊥，作向量(如图)．
则表示向量在向量n上的投影向量，是点P到直线AB的距离．
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6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
第六章 平面向量及其
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
整体感知
[学习目标] 1．掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算．
2．能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题．
[讨论交流] 预习教材P34－P35的内容，思考以下问题：
问题1．平面向量数量积的坐标表示是什么？
问题2．如何用坐标表示向量的模、夹角和垂直？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1 平面向量数量积的坐标表示
探究问题1 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能用a，b的坐标表示a·b的值吗？
[提示] 在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，则i·i＝1，j·j＝1，i·j＝0．
∵a＝x1i＋y1 j，b＝x2i＋y2 j，
∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)
＝x1x2i 2＋x1y2i·j＋x2y1 j·i＋y1y2 j2．
又∵i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，
∴a·b＝x1x2＋y1y2．
[新知生成] 平面向量数量积的坐标表示
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝___________．
即两个向量的数量积等于它们对应坐标的________．
x1x2＋y1y2
乘积的和
√
反思领悟 在解决平面几何中的数量积的运算时，对于规则的图形，一定要先建立恰当的平面直角坐标系，用向量的坐标法解决平面几何中的数量积的问题．
√
4
4
4
x2＋y2
(x2－x1，y2－y1)
[典例讲评] 2．若向量a的始点为A(－2，4)，终点为B(2，1)，求：
(1)向量a的模；
(2)与a平行的单位向量的坐标；
(3)与a垂直的单位向量的坐标．
√
x1x2＋y1y2＝0
【教用·微提醒】 (1)两向量垂直与两向量平行的坐标表示易混淆．
(2)两向量夹角的余弦值大于0的夹角不一定是锐角，同样余弦值小于0的夹角也不一定是钝角．
4
【链接·教材例题】
例11 设a＝(5，－7)，b＝(－6，－4)，求a·b及a，b的夹角θ(精确到1°)．
反思领悟 利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤
√
【链接·教材例题】
例10 若点A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，则△ABC是什么形状？证明你的猜想．
例12 用向量方法证明两角差的余弦公式
cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β．
另一方面，由图6.3-20(1)可知，α＝2kπ＋β＋θ；由图6.3-20(2)可知，α＝2kπ＋β－θ．
于是α－β＝2kπ±θ，k∈Z．
所以cos (α－β)＝cos θ．
于是cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β．
【教用·备选题】 已知平面向量a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c．
(1)求b与c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．
[解] (1)因为a∥b，所以3x＝4×9，即x＝12．
因为a⊥c，所以3×4＋4y＝0，所以y＝－3．
故b＝(9，12)，c＝(4，－3)．
4
4
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
2
3
题号
1
4
√
2
3
题号
4
1
3．设向量a＝(2，x＋1)，b＝(x－2，－1)，若a⊥b，则x＝( )
A．5 B．2
C．1 D．0
√
A [∵向量a＝(2，x＋1)，b＝(x－2，－1)，a⊥b，
∴a·b＝0，可得2(x－2)＋(x＋1)×(－1)＝0，
∴x＝5．故选A．]
2
4
3
题号
1
4．已知a＝(1，2)，b＝(3，4)，则a在b方向上的投影向量的坐标为__________ ．
1．知识链： (1)平面向量数量积的坐标表示．
(2)平面向量的模．
(3)平面向量的夹角、垂直问题．
2．方法链：转化与化归．
3．警示牌：注意不要记错两向量夹角的余弦公式．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
已知非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
1．如何求向量a与b的夹角θ的余弦值cos θ？
2．向量a与b的夹角θ的范围与向量数量积的坐标运算的关系是什么？
[提示] (1)当θ为锐角或零角 x1x2＋y1y2>0；
(2)当θ为直角 x1x2＋y1y2＝0；
(3)当θ为钝角或平角 x1x2＋y1y2<0．
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图2
由此也可以看出，如图3所示，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，而且O，A，B三点不共线，则以OA，OB为邻边的平行四边形OACB的面积为
S＝|x1y2－x2y1|．
由此，你体会到向量数量积的作用之大了吗？
图3
