第2课时 正弦定理
[学习目标] 1．能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系．
2．掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题．
[讨论交流] 预习教材P45－P48的内容，思考以下问题：
问题1．正弦定理的内容是什么？如何推导？
问题2．应用正弦定理可以解哪些三角形？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 正弦定理的推导
探究问题1 在Rt△ABC中，有sin A＝，sin B＝，你能从这两个式子中得出A，B，a，b的定量关系式吗？
[提示] ＝．
探究问题2 在斜三角形中，关系式＝＝是否依然成立？你能类比余弦定理的推导过程，用向量法证明这个结论吗？
[提示] 在斜三角形中，上述关系依然成立．证明如下：
(1)在锐角三角形中，
如图，在锐角△ABC中，过点A作与垂直的单位向量j，
则j与的夹角为－A，j与的夹角为－C．
因为＝，所以j·()＝j·．
由分配律，得j·＋j·＝j·，
即|j|||cos ＋|j|||cos
＝|j|||cos ，也即asin C＝csin A，
所以＝．
同理，过点C作与垂直的单位向量m，可得
＝．
因此＝＝．
(2)在钝角三角形中，当△ABC是钝角三角形时，不妨设A为钝角(如图所示)，过点A作与垂直的单位向量j，则j与的夹角为A－，j与的夹角为－C，
仿照上述方法，同样可得
＝＝．
探究问题3 在△ABC中，＝＝，那么这个比值是多少？
[提示] 如图，无论怎么移动B′，都会有角B′＝B，
所以在△AB′C中，＝＝c，
c是Rt△ABC，△AB′C外接圆的直径，
所以对任意△ABC，均有＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
[新知生成]
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝＝2R． (R为△ABC外接圆的半径)
探究2 正弦定理的应用
探究问题4 应用正弦定理可以解哪几类三角形问题？
[提示] 利用正弦定理，可以解决以下两类解三角形的问题：
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)．
已知两角及任意一边解三角形
【链接·教材例题】
例7 在△ABC中，已知A＝15°，B＝45°，c＝3＋，解这个三角形．
[解] 由三角形内角和定理，得
C＝180°－(A＋B)＝180°－(15°＋45°)＝120°．
由正弦定理，得
a＝＝
＝
＝
＝
＝，
b＝＝
＝
＝．
[典例讲评] 1．(源自湘教版教材)已知△ABC中，c＝4，∠A＝45°，∠B＝60°，sin 75°＝，求a，b．
[解] 由题意可得∠C＝180°－45°－60°＝75°．
由正弦定理得a＝＝．
又sin 75°＝，于是a＝＝4－4．
同理可得b＝＝＝6－2．
已知两角及任意一边，利用正弦定理解三角形
(1)正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个元素就可以求剩下的一个．
(2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角．
[学以致用] 1．在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．
[解] 因为A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－(A＋C)＝105°．
由＝得a＝＝10×＝10．
因为sin 75°＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝，所以b＝＝＝20×＝5＋5．
已知两边及其中一边的对角解三角形
【链接·教材例题】
例8 在△ABC中，已知B＝30°，b＝，c＝2，解这个三角形．
分析：这是已知三角形两边及其一边的对角求解三角形的问题，可以利用正弦定理．
[解] 由正弦定理，得
sin C＝＝＝．
因为c＞b，B＝30°，
所以30°＜C＜180°．
于是C＝45°，或C＝135°．
(1)当C＝45°时，A＝105°．
此时
a＝＝＝
＝
＝＝＋1．
(2)当C＝135°时，A＝15°．
此时
a＝＝
＝
＝
＝＝－1．
[典例讲评] 2．在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解三角形．
[解] ∵＝，∴sin C＝＝＝，
∵0°
当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1；
当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1．
∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°．
[母题探究]若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，则角A有几个值？
[解] ∵＝，
∴sin A＝＝＝．
∵c＝>2＝a，∴C>A．
∴A为小于45°的锐角，且正弦值为，这样的角A只有一个．
已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤
(1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角．
(2)用三角形内角和定理求出第三个角．
(3)根据正弦定理求出第三条边．
其中进行第一个步骤时要注意讨论该角是否可能有两个值．
[学以致用] 2．在△ABC中，cos A＝，a＝4，b＝4，则B＝( )
A．45°或135° B．135° C．45° D．60°
C [由cos A＝，得sin A＝，A＝60°，由正弦定理得sin B＝＝．因为a＞b，所以B＝45°．]
【教用·备选题】 (源自湘教版教材)在△ABC中，分别求下列条件下的∠C和c．
(1)a＝5，b＝5，∠A＝30°；
(2)a＝5，b＝，∠A＝45°，sin 75°＝．
[解] (1)由正弦定理得＝，
即sin B＝，
所以∠B＝60°或∠B＝120°．
当∠B＝60°时，∠C＝90°，
所以c＝sin 90°·＝10．
当∠B＝120°时，∠C＝30°，
所以c＝a＝5．
(2)由正弦定理得sin B＝·＝，
所以∠B＝30°或∠B＝150°．
又∠A＝45°，a＞b，
所以∠B＜45°．
由此得到∠B＝30°，∠C＝105°．
因此c＝sin 105°·＝sin 75°·＝．
探究3 三角形形状与正弦定理
[典例讲评] 3．在△ABC中，若sin A＝2sin B cos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
[解] 根据正弦定理＝＝，
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴a2＝b2＋c2，∴A是直角．
∵A＝180°－(B＋C)，sinA＝2sin B cos C，
∴sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝2sin B cos C，
∴sin (B－C)＝0．
又－90°∴△ABC是等腰直角三角形．
利用正弦定理判断三角形形状的方法
(1)化边为角：根据正弦定理把已知条件中边和角的混合关系转化为角的关系，再进行三角恒等变换，得到角的三角函数值或角的三角函数值之间的关系，进而得到三角形的角或角的关系，从而确定三角形的形状．
(2)化角为边：根据正弦定理把已知条件中边和角的混合关系转化为边的关系，然后通过整理得到边与边之间的数量关系，从而确定三角形的形状．
[学以致用] 3．已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若a cos B＝b cos A，则△ABC一定是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
A [由正弦定理得，a cos B＝b cos A sin A cos B＝sin B cos A sin (A－B)＝0，由于－π1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则的值是( )
A．
C．
A [根据正弦定理，得＝＝．]
2．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC等于( )
A．4 B．2
C．
B [由正弦定理＝，得＝，所以AC＝×＝2．故选B．]
3．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，满足＝＝，则△ABC的形状是( )
A．腰与底不等的等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
C [由正弦定理＝＝，又＝＝，得＝＝，即tan A＝tan B＝tan C，所以A＝B＝C，即△ABC为等边三角形．]
4．在△ABC中，已知AC＝1，BC＝，B＝，则角C＝________．
或 [在△ABC中，已知AC＝1，BC＝，B＝，因为＝，
所以sin A＝＝＝，
又BC>AC，所以所以A＝或，所以C＝或．]
1．知识链： (1)正弦定理．
(2)利用正弦定理解三角形．
(3)三角形解的个数的判断．
2．方法链：化归转化、数形结合．
3．警示牌：已知两边及一边所对的角解三角形时注意不要忽略分类讨论．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．由＝2R，＝2R，＝2R可以得到哪些变形形式？这些变形形式有什么作用？
[提示] 由＝2R，＝2R，＝2R可以得到的变形：sin A＝，a＝2R sin A；sin B＝，b＝2Rsin B；sin C＝，c＝2Rsin C．由这些变形形式，我们可以实现三角形中边、角关系的转化．
2．利用正弦定理能解什么条件下的三角形？
[提示] 正弦定理的等式中有四个量，所以知其中三个，可求第四个．因此，知两角及一边可解三角形；知两边及一边的对角也可解三角形．
课时分层作业(十三) 正弦定理
一、选择题
1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若A＝60°，a＝，则△ABC外接圆的半径等于( )
A．2 B．
C． D．1
D [设△ABC外接圆的半径为R，
根据正弦定理可得2R＝＝＝＝2，
所以R＝1，即△ABC外接圆的半径为1．]
2．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C＝( )
A．
C．
B [由正弦定理，得＝，即＝，
解得sin C＝．因为AB＜AC，所以C＜B，
所以cos C＝＝．]
3．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＋B＝，a＝2，c＝5，则sinA＝( )
A．
C．
B [因为A＋B＝，所以C＝，
由正弦定理＝，得＝，
所以sin A＝．故选B．]
4．在△ABC中，已知3b＝2a sin B，且cos B＝cos C，角A是锐角，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形
B．腰与底不等的等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
D [由3b＝2a sin B，得＝，
根据正弦定理＝，所以＝，
即sin A＝．又角A是锐角，所以A＝60°．
又cos B＝cos C，且B，C都为△ABC的内角，
所以B＝C．故△ABC为等边三角形．]
5．(多选)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝4，A＝30°，则b可以为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
ABC [在△ABC中，a＝4，A＝30°，
由正弦定理＝，得＝，
所以b＝8sin B．因为0结合选项可知b可以为6，7，8．故选ABC．]
二、填空题
6．在△ABC中，已知a∶b∶c＝4∶3∶5，则＝________．
1 [设a＝4k，b＝3k，c＝5k(k＞0)，
由正弦定理，得＝＝1．]
7．在△ABC中，若＝，则C的值为________．
45° [由正弦定理，知＝，
∴＝，∴cos C＝sin C，∴tan C＝1，
又∵0°8．在△ABC中，若B＝，b＝a，则A＝________．
[在△ABC中，由正弦定理＝，得＝＝＝2a，所以sin A＝，所以A＝或．因为b＝a>a，所以B>A，即A<，所以A＝．]
三、解答题
9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝45°，b＝，c＝，求a和A，C．
[解] 由正弦定理可知，＝＝，
即＝＝，解得sin C＝，a＝2sin A．
又∵c＝，b＝，c>b，知C>B，∴C＝60°或120°．
当∠C＝60°时，A＝75°，
sin 75°＝sin ＝，
a＝2sin A＝2×＝，
当C＝120°时，A＝15°，
sin 15°＝sin ＝，
a＝2sin A＝2×＝．
10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若3a＝2b，则的值为( )
A．－
C．1 D．
D [由正弦定理得＝2－1＝2－1．因为3a＝2b，所以＝，
所以＝2×－1＝．故选D．]
11．(多选)在△ABC中，下列关系中一定成立的是( )
A．a>b sinA B．a sin B＝b sin A
C．aBD [在△ABC中，由正弦定理得＝，
所以a sin B＝b sin A，所以a＝．
因为B∈(0，π)，所以sin B∈(0，1]，
所以a＝≥b sin A，所以AC错误，BD正确．
故选BD．]
12．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c等于( )
A．4∶1∶1 B．2∶1∶1
C．∶1∶1 D．∶1∶1
D [∵A＋B＋C＝180°，A∶B∶C＝4∶1∶1，
∴A＝120°，B＝30°，C＝30°．
由正弦定理的变形公式得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 120°∶sin 30°∶sin 30°＝∶∶＝∶1∶1．]
13．在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则＋＋＝________．
7 [∵△ABC的外接圆直径为2R＝2，
∴＝＝＝2R＝2，
∴＋＋＝2＋1＋4＝7．]
14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，b＝，同时还可能满足以下某些条件：
①A＝；②B>A；③sin B(1)直接写出所有可能满足的条件序号；
(2)在(1)的条件下，求B及c的值．
[解] (1)①，③．
(2)由＝，可得＝，
所以sin B＝＝＝．
因为a＝2>b＝，所以A>B，所以B＝．
由a2＝b2＋c2－2bc cos A，得22＝()2＋c2－2××c×，解得c＝＋1或c＝－＋1(舍去)．
15．在△ABC中，a＝，A＝，试求△ABC的周长的取值范围．
[解] 由正弦定理＝＝，
得＝＝＝2，
∴b＝2sin B，c＝2sin C，
∴△ABC的周长为L＝a＋b＋c＝＋2sin B＋2sin C
＝＋2sin B＋2sin
＝＋3sin B＋cos B
＝＋2sin ，
又B∈，
∴B＋∈，
∴sin∈，
∴L∈(2，3]．
即△ABC的周长的取值范围为(2，3]．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共39张PPT)
第2课时 正弦定理
第六章 平面向量及其
6.4 平面向量的应用
6.4.3 余弦定理、正弦定理
整体感知
[学习目标] 1．能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系．
2．掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题．
[讨论交流] 预习教材P45－P48的内容，思考以下问题：
问题1．正弦定理的内容是什么？如何推导？
问题2．应用正弦定理可以解哪些三角形？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
正弦
2R
探究2 正弦定理的应用
探究问题4 应用正弦定理可以解哪几类三角形问题？
[提示] 利用正弦定理，可以解决以下两类解三角形的问题：
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)．
[学以致用] 1．在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．
分析：这是已知三角形两边及其一边的对角求解三角形的问题，可以利用正弦定理．
[母题探究]若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，则角A有几个值？
反思领悟 已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤
(1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角．
(2)用三角形内角和定理求出第三个角．
(3)根据正弦定理求出第三条边．
其中进行第一个步骤时要注意讨论该角是否可能有两个值．
√
探究3 三角形形状与正弦定理
[典例讲评] 3．在△ABC中，若sin A＝2sin B cos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
反思领悟 利用正弦定理判断三角形形状的方法
(1)化边为角：根据正弦定理把已知条件中边和角的混合关系转化为角的关系，再进行三角恒等变换，得到角的三角函数值或角的三角函数值之间的关系，进而得到三角形的角或角的关系，从而确定三角形的形状．
(2)化角为边：根据正弦定理把已知条件中边和角的混合关系转化为边的关系，然后通过整理得到边与边之间的数量关系，从而确定三角形的形状．
[学以致用] 3．已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若a cos B＝b cos A，则△ABC一定是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
A [由正弦定理得，a cos B＝b cos A sin A cos B＝sin B cos A sin (A－B)＝0，由于－π√
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
2
3
题号
1
4
√
2
3
题号
4
1
√
2
3
题号
4
1
2
4
3
题号
1
1．知识链： (1)正弦定理．
(2)利用正弦定理解三角形．
(3)三角形解的个数的判断．
2．方法链：化归转化、数形结合．
3．警示牌：已知两边及一边所对的角解三角形时注意不要忽略分类讨论．
2．利用正弦定理能解什么条件下的三角形？
[提示] 正弦定理的等式中有四个量，所以知其中三个，可求第四个．因此，知两角及一边可解三角形；知两边及一边的对角也可解三角形．