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第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例
第六章 平面向量及其
6.4 平面向量的应用
6.4.3 余弦定理、正弦定理
整体感知
[学习目标] 1．会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题．
2．培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力．
[讨论交流] 预习教材P48－P51的内容，思考以下问题：
问题1．利用正弦、余弦定理可解决哪些实际问题？
问题2．你能在实际问题中分清“仰角”“俯角”“方向角”“基线”等名词吗？
问题3．测量空间距离时注意哪些问题？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1 距离问题
【链接·教材例题】
例9 如图6.4-12，A，B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A，B两点间距离的方法，并求出A，B间的距离．
分析：若测量者在A，B两点的对岸取定一点C(称作测量基点)，则在点C处只能测出∠ACB的大小，因而无法解决问题．为此，可以再取一点D，测出线段CD的长，以及∠ACD，∠CDB，∠BDA，这样就可借助正弦定理和余弦定理算出距离了．
[典例讲评] 1．(1)某地需要经过一座山两侧的D，E两点修建一条穿山隧道．工程人员先选取直线DE上的三点A，B，C，在隧道DE正上方的山顶P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为45°，C处的俯角为30°，且测得AB＝1.4 km，BD＝0.2 km，EC＝0.5 km，则拟修建的隧道DE的长为______km．
0.7
(2)(源自人教B版教材)如图所示，A，B是某沼泽地上不便到达的两点，C，D是可到达的两点．已知A，B，C，D 4点都在水平面上，而且已经测得∠ACB＝45°，∠BCD＝30°，∠CDA＝45°，∠BDA＝15°，CD＝100 m，求AB的长．
反思领悟 求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是：
(1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形．
(2)把实际问题中的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正弦、余弦定理求解．
[学以致用] 1．(源自湘教版教材)如图，货轮在海上以40 km/h的速度沿着南偏东40°的方向航行，货轮在B点观测灯塔A在其南偏东70°的方向上，航行半小时到达C点，此时观测灯塔A在其北偏东65°的方向上．求C点与灯塔A的距离．
探究2 高度问题
【链接·教材例题】
例10 如图6.4-14，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点．设计一种测量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度．
分析：由锐角三角函数知识可知，只要获得一点C(点C到地面的距离可求)到建筑物的顶部A的距离CA，并测出由点C观察A的仰角，就可以计算出建筑物的高度．为此，应再选取一点D，构造另一个含有CA的△ACD，并进行相关的长度和角度的测量，然后通过解三角形的方法计算出CA．
[典例讲评] 2．如图，测量河对岸的塔高AB，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C和D．现测得∠BCD＝45°，∠BDC＝60°，CD＝100 m，在点C测得塔顶A的仰角为60°．求塔高AB．
反思领悟 测量高度问题的解题策略
(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．
(2)“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．
[学以致用]
2．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝____________m．
探究3 角度问题
【链接·教材例题】
例11 位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30°，且与甲船相距7 n mile的C处的乙船．那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向是北偏东多少度(精确到1°)？需要航行的距离是多少海里(精确到1 n mile)
分析：首先应根据“正东方向”“南偏西30°”“目标方向线”等信息，画出示意图．
反思领悟 测量角度问题的基本思路
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
[学以致用]
3．如图所示，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的视角∠CAD等于( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
√
【教用·备选题】 如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6 n mile，渔船乙以5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α的值．
2
4
3
题号
1
应用迁移
1．若点A在点C的北偏东30°方向上，点B在点C的南偏东60°方向上，且AC＝BC，则点A在点B的( )
A．北偏东15°方向上 B．北偏西15°方向上
C．北偏东10°方向上 D．北偏西10°方向上
√
2
4
3
题号
1
B [如图所示，∠ACB＝90°．又因为AC＝BC，所以∠CBA＝45°．
因为β＝30°，所以α＝90°－45°－30°＝15°．
所以点A在点B的北偏西15°方向上．]
2
3
题号
1
4
√
2
3
题号
1
4
2
3
题号
4
1
√
2
3
题号
4
1
2
4
3
题号
1
24
2
4
3
题号
1
2
4
3
题号
1
1．知识链：不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案．
2．方法链：数形结合．
3．警示牌：方位角是易错点．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
测量距离问题有哪些类型？如何求解？
[提示] 当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型：
类型 简图 计算方法
A，B间不可达也不可视
类型 简图 计算方法
B，C与点A可视但不可达
类型 简图 计算方法
C，D与点A，B均可视不可达 测得CD＝a及∠BDC，∠ACD，∠BCD，∠ADC
的度数．在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB
阅读材料
你能证明这个公式吗？
“三斜求积术”中的“三斜”指三角形的三条边，而且三条边从小到大分别称为“小斜”“中斜”“大斜”．秦九韶是用语言叙述的相关公式，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．
第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例
[学习目标] 1．会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题．
2．培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力．
[讨论交流] 预习教材P48－P51的内容，思考以下问题：
问题1．利用正弦、余弦定理可解决哪些实际问题？
问题2．你能在实际问题中分清“仰角”“俯角”“方向角”“基线”等名词吗？
问题3．测量空间距离时注意哪些问题？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 距离问题
【链接·教材例题】
例9 如图6.4-12，A，B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A，B两点间距离的方法，并求出A，B间的距离．
分析：若测量者在A，B两点的对岸取定一点C(称作测量基点)，则在点C处只能测出∠ACB的大小，因而无法解决问题．为此，可以再取一点D，测出线段CD的长，以及∠ACD，∠CDB，∠BDA，这样就可借助正弦定理和余弦定理算出距离了．
[解] 如图6.4-13，在A，B两点的对岸选定两点C，D，测得CD＝a，并且在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ．
在△ADC和△BDC中，由正弦定理，得
AC＝＝，
BC＝＝．
于是，在△ABC中，由余弦定理可得A，B两点间的距离
AB＝＝
．
[典例讲评] 1．(1)某地需要经过一座山两侧的D，E两点修建一条穿山隧道．工程人员先选取直线DE上的三点A，B，C，在隧道DE正上方的山顶P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为45°，C处的俯角为30°，且测得AB＝1.4 km，BD＝0.2 km，EC＝0.5 km，则拟修建的隧道DE的长为 km．
(2)(源自人教B版教材)如图所示，A，B是某沼泽地上不便到达的两点，C，D是可到达的两点．已知A，B，C，D 4点都在水平面上，而且已经测得∠ACB＝45°，∠BCD＝30°，∠CDA＝45°，∠BDA＝15°，CD＝100 m，求AB的长．
(1)0.7 [由题意得∠APB＝45°－15°＝30°，∠PAB＝15°，∠PCE＝30°，∠BPC＝180°－45°－30°＝105°，在△PAB中，由正弦定理得＝，即＝，所以PB＝2.8sin 15°，
在△PBC中，由正弦定理得＝，
即＝，所以BC＝＝＝5.6sin 15°cos 15°＝2.8sin 30°＝1.4，所以DE＝BC－BD－EC＝1.4－0.2－0.5＝0.7(km)．]
(2)[解] 因为A，B，C，D 4点都在水平面上，所以∠BDC＝∠BDA＋∠CDA＝15°＋45°＝60°，
因此∠CBD＝180°－30°－60°＝90°，
所以在Rt△BCD中，BC＝100cos 30°＝50(m)．
在△ACD中，因为∠CAD＝180°－45°－30°－45°＝60°，所以由正弦定理可知＝，因此AC＝ m．
在△ABC中，由余弦定理可知
AB2＝＋(50)2－2××50cos 45°＝，从而有AB＝ m．
求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是：
(1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形．
(2)把实际问题中的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正弦、余弦定理求解．
[学以致用] 1．(源自湘教版教材)如图，货轮在海上以40 km/h的速度沿着南偏东40°的方向航行，货轮在B点观测灯塔A在其南偏东70°的方向上，航行半小时到达C点，此时观测灯塔A在其北偏东65°的方向上．求C点与灯塔A的距离．
[解] 在△ABC中，BC＝40×＝20，
∠ABC＝70°－40°＝30°，∠ACB＝40°＋65°＝105°，
所以∠A＝180°－＝45°，
由正弦定理得
AC＝＝＝10．
因此，点C与灯塔A的距离是10 km．
探究2 高度问题
【链接·教材例题】
例10 如图6.4-14，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点．设计一种测量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度．
分析：由锐角三角函数知识可知，只要获得一点C(点C到地面的距离可求)到建筑物的顶部A的距离CA，并测出由点C观察A的仰角，就可以计算出建筑物的高度．为此，应再选取一点D，构造另一个含有CA的△ACD，并进行相关的长度和角度的测量，然后通过解三角形的方法计算出CA．
[解] 如图6.4-14，选择一条水平基线HG，使H，G，B三点在同一条直线上．在G，H两点用测角仪器测得A的仰角分别是α，β，CD＝a，测角仪器的高是h．那么，在△ACD中，由正弦定理，得
AC＝．
所以，这座建筑物的高度为
AB＝AE＋h＝AC sin α＋h＝＋h．
[典例讲评] 2．如图，测量河对岸的塔高AB，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C和D．现测得∠BCD＝45°，∠BDC＝60°，CD＝100 m，在点C测得塔顶A的仰角为60°．求塔高AB．
[解] 在△BCD中，因为∠BCD＝45°，∠BDC＝60°，CD＝100，则∠CBD＝75°，
sin 75°＝sin (45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝×＋×＝，
由正弦定理得，＝，
BC＝＝＝50(3)，
依题意，AB⊥BC，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，
由tan ∠ACB＝，得AB＝50(3)tan 60°
＝50(3)×＝150()，
所以塔高AB是150()m．
测量高度问题的解题策略
(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．
(2)“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．
[学以致用]
2．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝ m．
100 [由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°．
又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，
解得BC＝300 m．连接BD(图略)，在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300×＝100(m)．]
探究3 角度问题
【链接·教材例题】
例11 位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30°，且与甲船相距7 n mile的C处的乙船．那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向是北偏东多少度(精确到1°)？需要航行的距离是多少海里(精确到1 n mile)
分析：首先应根据“正东方向”“南偏西30°”“目标方向线”等信息，画出示意图．
[解] 根据题意，画出示意图(图6.4-15)．由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°
＝202＋72－2×20×7×＝589．
于是BC≈24 (n mile)．
由正弦定理，得＝，
于是sin C＝＝．
由于0°＜C＜90°，所以C≈46°．
因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东46°＋30°＝76°，大约需要航行24 n mile．
[典例讲评] 3．甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？
[解] 如图所示．设经过t小时两船在C点相遇，
则在△ABC中，BC＝at(海里)，AC＝at(海里)，B＝180°－60°＝120°，
由＝，得
sin ∠CAB＝＝＝＝，
∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝60°－30°＝30°，∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．
测量角度问题的基本思路
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
[学以致用]
3．如图所示，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的视角∠CAD等于( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
B [依题意可得AD＝＝20(m)，
AC＝＝30(m)，
又CD＝50 m，所以在△ACD中，
由余弦定理得cos ∠CAD＝
＝＝＝，
又0°＜∠CAD＜180°，
所以∠CAD＝45°，
所以从顶端A看建筑物CD的视角为45°．]
【教用·备选题】 如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6 n mile，渔船乙以5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α的值．
[解] (1)依题意，知∠BAC＝120°，AB＝6，AC＝5×2＝10，∠BCA＝α．
在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC＝62＋102－2×6×10×cos 120°＝196，解得BC＝14，所以渔船甲的速度为＝7 (n mile/h)．
(2)在△ABC中，AB＝6，∠BAC＝120°，BC＝14，∠BCA＝α，
由正弦定理，得＝，
即sin α＝＝＝．
1．若点A在点C的北偏东30°方向上，点B在点C的南偏东60°方向上，且AC＝BC，则点A在点B的( )
A．北偏东15°方向上 B．北偏西15°方向上
C．北偏东10°方向上 D．北偏西10°方向上
B [如图所示，∠ACB＝90°．又因为AC＝BC，所以∠CBA＝45°．
因为β＝30°，所以α＝90°－45°－30°＝15°．
所以点A在点B的北偏西15°方向上．]
2．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，可以计算出A，B两点的距离为( )
A．50 m B．50 m
C．25 m D． m
A [∠ABC＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC中，由＝，得AB＝100×＝50(m)．]
3．如图所示，某数学兴趣小组为了测量某地“智标塔”高度，在地面上A点处测得塔顶B点的仰角为60°，塔底C点的仰角为45°．已知山岭高CD为72 m，则塔高BC为( )
A．(72－72) m
B．(72－72) m
C．(72－72) m
D．(144－72) m
B [在△CDA中，AD＝CD tan ∠DCA＝72tan 45°＝72，在△ABD中，DB＝AD tan ∠BAD＝72tan 60°＝72，所以BC＝BD－CD＝72(－1)(m)．故选B．]
4．海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12海里；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为8海里；货轮由A处向正北航行到D处时看灯塔B在南偏东60°，则：
(1)A处与D处之间的距离为 海里；
(2)灯塔C与D处之间的距离为 海里．
(1)24 (2)8 [由题意，画出示意图．
(1)在△ABD中，可知∠ADB＝60°，B＝45°，AB＝12．由正弦定理得AD＝·sin 45°＝24(海里)．
(2)在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos 30°＝242＋(8)2－2×24×8×＝(8)2，∴CD＝8(海里)．
即A处与D处之间的距离为24海里，灯塔C与D处之间的距离为8海里．]
1．知识链：不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案．
2．方法链：数形结合．
3．警示牌：方位角是易错点．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
测量距离问题有哪些类型？如何求解？
[提示] 当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型：
类型 简图 计算方法
A，B间不可达也不可视 测得AC＝b，BC＝a，C的大小，则由余弦定理得AB＝
B，C与点A可视但不可达 测得BC＝a，B，C的大小，则A＝π－(B＋C)，由正弦定理得AB＝
C，D与点A，B均可视不可达 测得CD＝a及∠BDC，∠ACD，∠BCD，∠ADC 的度数．在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB
秦九韶的“三斜求积术”
你听说过“三斜求积术”吗？这是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长a，b，c，求三角形面积S，即
S＝．
你能证明这个公式吗？
“三斜求积术”中的“三斜”指三角形的三条边，而且三条边从小到大分别称为“小斜”“中斜”“大斜”．秦九韶是用语言叙述的相关公式，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．
事实上，利用余弦定理等内容，也可推导出“三斜求积术”，过程如下．
S2＝c2a2sin2B
＝(c2a2－c2a2cos2B)，
又因为ca cosB＝，所以
S2＝，
从而可知
S＝．
课时分层作业(十五) 余弦定理、正弦定理应用举例
一、选择题
1．如图，设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为m，α＝48°，β＝62°，则A，B两点间的距离为( )
A．
C．
C [∠ABC＝180°－48°－62°＝70°，
由正弦定理得＝，AB＝．
故选C．]
2．一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是( )
A．5 海里/时 B．5 海里/时
C．10 海里/时 D．10 海里/时
D [如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10(海里)，在Rt△ABC中，由正弦定理，可得AB＝5(海里)，所以这艘船的速度是10海里/时．故选D．]
3．已知飞机的飞行航线AB和地面目标C在同一铅垂平面内，在A处测得目标C的俯角为30°，飞行26 km到达B处，测得目标C的俯角为75°，此时B处与地面目标C的距离为( )
A．13 km B．5 km
C．5 km D．13 km
D [由题知，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝180°－75°＝105°，
所以∠C＝180°－30°－105°＝45°，
由正弦定理可知，＝，
即BC＝·sin 30°＝×＝13(km)．
故选D．]
4．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为( )
A．20 m B．30 m
C．40 m D．60 m
C [如图，设O为塔顶在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20 m，
则OD＝20(m)．
在Rt△AOD中，OA＝OD·tan 60°＝60(m)．
∴AB＝OA－OB＝40(m)．]
5．如图，记某塔塔高OT，某测量小组选取与塔底O在同一水平面内的两个测量点A，B．现测得∠OAB＝45°．∠OBA＝105°，AB＝18 m，在B点处测得塔顶T的仰角为30°，则塔高OT为( )
A．36 m B．6 m
C．45 m D．15 m
A [在△OAB中，因为∠OAB＝45°，∠OBA＝105°，
所以∠AOB＝180°－45°－105°＝30°，
由正弦定理可知，
＝ ＝ OB＝36，
在直角三角形OTB中，
tan ∠TBO＝ ＝ OT＝36 m，故选A．]
二、填空题
6．有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长 千米．
[如图，∠BAO＝75°，∠C＝30°，AB＝1，
∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°．
在△ABC中，＝，
∴AC＝＝＝(千米)．]
7．已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿正北方向航行(如图)．若A船的航行速度为40 n mile/h，1 h后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船相距 n mile．
20 [由题意∠BCA＝30°，∠ABC＝180°－45°＝135°，AC＝40×1＝40，
由正弦定理得＝，即＝，
解得AB＝20(n mile)．]
8．一艘船以每小时15 km的速度向正东方向航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°方向上，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°方向上，这时船与灯塔间的距离为 km．
30 [如图所示，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，
则∠ABC＝45°，AC＝15×4＝60(km)，根据正弦定理，得
BC＝＝＝30(km)．]
三、解答题
9．为绘制海底地貌图，测量海底两点C，D间的距离，海底探测仪沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，C，D在同一个铅垂平面内．海底探测仪测得∠BAC＝30°，∠DAC＝45°，∠ABD＝45°，∠DBC＝75°，同时测得AB＝海里．
(1)求AD的长度；
(2)求C，D之间的距离．
[解] (1)由题意知，在△ABD中，∠BAC＝30°，∠DAC＝45°，且AB＝海里．
可得∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝30°＋45°＝75°，
又因为∠ABD＝45°，所以∠ADB＝60°，
由正弦定理＝，
可得AD＝＝(海里)．
(2)因为∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝45°＋75°＝120°，且∠BAC＝30°，AB＝海里，
可得∠BAC＝∠BCA＝30°，所以BC＝AB＝海里，
在△ABC中，由余弦定理得，
AC＝
＝＝3，
在△ACD中，由余弦定理得
CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD cos ∠DAC＝5，
即CD＝(海里)，所以C，D间的距离为海里．
10．10世纪著名数学家、天文学家阿尔·库希设计出一种方案，通过两个观测者异地同时观察同一颗流星，来测定其发射点的高度，如图，假设地球是一个标准的球体，O为地球的球心，弧AB为地线，有两个观测者在地球上的A，B两地同时观测到一颗流星S，观测的仰角分别为∠SAD＝α，∠SBD＝β，其中∠DAO＝∠DBO＝90°，为了方便计算，我们考虑一种理想状态，假设两个观测者在地球上的A，B两点测得α＝30°，β＝15°，地球半径为R千米，两个观测者的距离＝π千米．(参考数据：≈1.73，≈1.5)
(1)求流星S发射点的近似高度ES；
(2)在古希腊时代，科学不发达，人们看到流星以为这是地球水分蒸发后凝结的固体．已知对流层(地球大气层靠近地面的一层)高度大约在18千米左右，若地球半径R≈6 370千米，请你据此判断该流星S是地球蒸发物还是“天外来客”，并说明理由．
[解] (1)因为＝R，则∠AOB＝60°，
所以△AOB为等边三角形，所以AB＝R．
又因为∠DAO＝∠DBO＝90°，
所以∠DAB＝∠DBA＝30°，
因为∠SAD＝30°，∠SBD＝15°，
所以∠SAB＝60°，∠SBA＝45°，∠ASB＝75°．
在△ASB中，由正弦定理＝，
得＝，解得AS＝R，
在△SAO中，由余弦定理得，
OS2＝SA2＋OA2－2SA·OA cos ∠SAO＝(－1)2R2＋R2－2R2×＝R2，
所以OS＝R≈R＝R≈1.5R，所以ES＝OS－R≈0.5R千米．
(2)由(1)知，ES≈0.5R千米．又R≈6 370千米，
则ES≈0.5R≈3 185千米，
所以流星S发射点近似高度为3 185千米，远远大于对流层最高近似高度18千米，
所以该流星是“天外来客”．
11．如图是某旅游景区中的网红景点的路线图，从景点A处下山至C处有两种路径：一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B 沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min．在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B 处停留1 min后，再从B 匀速步行到C．假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，索道AB长为1 040 m，经测量，cos A＝，cos C＝．
(1)求山路AC的长；
(2)乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
[解] (1)因为cos A＝，cos C＝，所以A，C∈，
所以sin A＝，sin C＝，
所以sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝，
根据正弦定理＝，得AC＝·sin B＝×＝1 260(m)．
所以山路AC的长为1 260 m．
(2)由正弦定理 ＝，得BC＝sin A＝×＝500(m)，甲共用时间：＝(min)，乙在索道用时间＝8(min)，
设乙出发t(0在△ADE中，由余弦定理得，DE2＝AD2＋AE2－2AD·AE·cos A，所以DE2＝(130t)2＋[50(t＋2)]2－2·130t·50(t＋2)·，整理得DE＝，所以当t＝－＝ min时，甲、乙两游客距离最短．
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