7.1 复数的概念
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
[学习目标] 1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程．
2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念．
3．掌握复数的表示方法，理解复数相等的充要条件．
[讨论交流] 预习教材P68－P70的内容，思考以下问题：
问题1．为什么要引入复数？
问题2．复数是如何定义的？其表示方法又是什么？复数分为哪两大类？
问题3．复数相等的充要条件是什么？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 复数的有关概念
探究问题1 我们知道，方程x2＋1＝0在实数集中无解，类比从自然数集到实数集的扩充过程，思考能否引入一种“新数”使得x2＝－1有解？
[提示] 为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使得x＝i是方程x2＋1＝0的解，即使得i2＝－1．
探究问题2 引入新数“i”后，新的数系该怎样表示？
[提示] a＋bi(a，b∈R)．
[新知生成]
1．定义：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1．
2．表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．
3．复数集
(1)定义：全体复数构成的集合叫做复数集．
(2)表示：通常用大写字母C表示，即C＝{a＋bi|a，b∈R}．
【教用·微提醒】 (1)i2＝－1．
(2)i和实数之间能进行加法、乘法运算．
(3)a，b∈R．
[典例讲评] 1．(源自湘教版教材)求以下复数的实部和虚部：
(1)1－i；(2)3＋2；(3)－i．
[解] (1)1－i＝1＋(－1)i，实部为1，虚部为－1．
(2)3＋2＝(3＋2)＋0i，实部为3＋2，虚部为0．
(3)－i＝0＋(－1)i，实部为0，虚部为－1．
在复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部．
[学以致用] 1．(1)若复数z满足z＝6i＋2i2，则z的虚部是( )
A．－2i B．6i C．1 D．6
(2)若复数z＝(2a－1)＋(3＋a)i(a∈R)的实部与虚部相等，则a＝ ．
(1)D (2)4 [(1)z＝6i＋2i2＝－2＋6i，则z的虚部是6，故选D．
(2)由题意知，2a－1＝3＋a，解得a＝4．]
探究2 复数的分类
[新知生成]
1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)
2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
【链接·教材例题】
例1 当实数m取什么值时，复数z＝m＋1＋(m－1)i是下列数？
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
分析：因为m∈R，所以m＋1，m－1都是实数．由复数z＝a＋bi(a，b∈R)是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的取值．
[解] (1)当m－1＝0，即m＝1时，复数z是实数．
(2)当m－1≠0，即m≠1时，复数z是虚数．
(3)当m＋1＝0，且m－1≠0，即m＝－1时，复数z是纯虚数．
[典例讲评] 2．(源自湘教版教材)当m为何实数时，复数z＝m2＋m－2＋(m2－1)i分别是：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0
[解] (1)当m2－1＝0，即m＝±1时，复数z是实数．
(2)当m2－1≠0，即m≠±1时，复数z是虚数．
(3)当m2＋m－2＝0且m2－1≠0，即m＝－2时，复数z是纯虚数．
(4)当m2＋m－2＝0且m2－1＝0，即m＝1时，复数z＝0．
复数分类问题的求解方法与步骤
(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为a＋bi(a，b∈R)的形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可．
(3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，则：
①z为实数 b＝0；
②z为虚数 b≠0；
③z为纯虚数 a＝0且b≠0．
[学以致用] 2．已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，复数z满足下列条件？
(1)z为实数；
(2)z为虚数；
(3)z为纯虚数．
[解] (1)要使z为实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3．
(2)要使z为虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3．
(3)要使z为纯虚数，m需满足＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2．
探究3 复数相等的充要条件
[新知生成]
设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d．特别地，a＋bi＝0 a＝b＝0．
[典例讲评] 3．(源自人教B版教材)分别求满足下列关系的实数x与y的值．
(1)(x＋2y)－i＝6x＋(x－y)i；
(2)(x＋y＋1)－(x－y＋2)i＝0．
[解] (1)根据复数相等的定义，得
解这个方程组，得x＝，y＝．
(2)由复数等于0的充要条件，得
解这个方程组，得x＝－，y＝．
复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数的a＋bi(a，b∈R)的形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．
(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．
(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．
[学以致用] 3．若关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实数根，求实数a的值．
[解] 设方程的实数根为x＝m，
则原方程可变为3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，
所以
解得或
所以a的值为11或－．
1．复数z＝2－3i(i为虚数单位)的虚部为( )
A．2 B．3
C．－3 D．－3i
C [根据虚部的概念易知虚部为－3，故选C．]
2．若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，则实数m的值为( )
A．－1 B．2
C．1 D．－1或2
D [因为复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，
所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2．]
3．已知x，y∈R，i为虚数单位，且(x－2)＋yi＝－1＋i，则x＋y＝ ．
2 [∵(x－2)＋yi＝－1＋i，∴
∴∴x＋y＝2．]
4．在下列数中，属于虚数的是 ，属于纯虚数的是 ．
0，1＋i，πi，＋2i，i，i．
1＋i，πi，＋2i，i，i πi，i [根据虚数的概念知：1＋i，πi，＋2i，i，i都是虚数．
由纯虚数的概念知：πi，i都是纯虚数．]
1．知识链：(1)数系的扩充．
(2)复数的概念．
(3)复数的分类．
(4)复数相等的充要条件．
2．方法链：方程思想．
3．警示牌：注意将复数化成z＝a＋bi(a，b∈R)的形式．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．当a，b满足什么条件时，复数z＝a＋bi(a，b∈R)是实数、虚数、纯虚数？
[提示] 当b＝0时，a＋bi是实数；当b≠0时，a＋bi是虚数；当a＝0，b≠0时，a＋bi是纯虚数．
2．两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？
[提示] 当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小．
3．若复数z＝a＋bi>0，则实数a，b满足什么条件？
[提示] 若复数z＝a＋bi>0，则实数a，b满足a>0，且b＝0．
课时分层作业(十六) 数系的扩充和复数的概念
一、选择题
1．在2＋，i，8＋5i，(1－)i，0.618这几个数中，纯虚数的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
C [i，(1－)i是纯虚数，2＋，0.618是实数，8＋5i是虚数．故纯虚数的个数为2．]
2．若a，b∈R，i是虚数单位，a＋2 024i＝2－bi，则a2＋bi＝( )
A．2 024＋2i B．2 024＋4i
C．2＋2 024i D．4－2 024i
D [因为a＋2 024i＝2－bi，所以a＝2，－b＝2 024，即a＝2，b＝－2 024，所以a2＋bi＝4－2 024i．故选D．]
3．“复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数”是“a＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [因为复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数，所以a＝0，但是当a＝0时，只有当b≠0时，复数a＋bi才是纯虚数，所以“复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数”是“a＝0”的充分不必要条件．故选A．]
4．以－3＋i的虚部为实部，以3i＋i2的实部为虚部的复数是( )
A．1－i B．1＋i
C．－3＋3i D．3＋3i
A [－3＋i的虚部为1，3i＋i2＝－1＋3i的实部为－1，故所求复数为1－i．故选A．]
5．(多选)下列说法正确的是( )
A．纯虚数的平方不小于0
B．i是一个无理数
C．1－ai(a∈R)是一个复数
D．复数a＋i与b＋3i(a，b∈R)不可能相等
CD [纯虚数的平方，如i2＝－1＜0，故A错；∈R，故i是纯虚数，故B错；C正确；D中两个复数的虚部不相等，故两个复数不可能相等，D正确，故选CD．]
二、填空题
6．若实数x，y满足x＋y＋(x－y)i＝2，则xy＝ ．
1 [由题意得 所以x＝y＝1，所以xy＝1．]
7．若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i＜0，则实数m的值等于 ．
－3 [因为z＜0，所以 解得m＝－3．]
8．下列命题：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则x＝±1；
③两个虚数不能比较大小．
其中正确命题的序号是 ．
③ [当a＝－1时，(a＋1)i＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则即x＝1，故②错．]
三、解答题
9．当实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－8)i是下列数？
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0．
[解] 由m2＋5m＋6＝0，得m＝－2或m＝－3，
由m2－2m－8＝0，得m＝4或m＝－2．
(1)当m2－2m－8＝0时，复数z为实数，
∴m＝4或m＝－2．
(2)当m2－2m－8≠0时，复数z为虚数，
∴m≠4且m≠－2．
(3)当时，复数z是纯虚数，
∴m＝－3．
(4)当时，复数z＝0，∴m＝－2．
10．给出下列说法：①复数2＋3i的虚部是3i；②形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数；③若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数；④若两个复数能够比较大小，则它们都是实数．其中错误说法的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [复数2＋3i的虚部是3，①错；形如a＋bi(b∈R)的数不一定是虚数，②错；只有当a∈R，a＋3≠0时，(a＋3)i是纯虚数，③错；若两个复数能够比较大小，则它们都是实数，故④正确，所以有3个错误．]
11．已知关于x的方程(x2＋mx)＋2xi＝－2－2i(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z＝( )
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
B [由题意知(n2＋mn)＋2ni＝－2－2i，n∈R，即解得∴z＝3－i．]
12．已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，3) B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
B [由已知可得a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，解得a>3或a<－1，因此，实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．故选B．]
13．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b，组成复数a＋bi，其中虚数有 个．
36 [从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b，组成复数a＋bi，当a＝0时，对应的b有6个值；当a取1，2，3，4，5，6时，对应的b只有5个值．所以虚数有6＋6×5＝36(个)．]
14．若复数z1＝m2＋1＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝4m－2＋(m2－5m)i，m为实数，且z1＞z2，求实数m的值．
[解] ∵z1＞z2，∴ 解得m＝0．
15．已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R)．
(1)若z1为纯虚数，求实数m的值；
(2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围．
[解] (1)∵z1为纯虚数，
∴解得m＝－2．
(2)由z1＝z2，得
∴λ＝4－cos2θ－2sinθ＝sin2θ－2sinθ＋3＝(sin θ－1)2＋2．
∵－1≤sin θ≤1，∴当sin θ＝1时，λmin＝2，
当sin θ＝－1时，λmax＝6，∴实数λ的取值范围是[2，6]．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共33张PPT)
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
第七章 复数
7.1 复数的概念
整体感知
[学习目标] 1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程．
2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念．
3．掌握复数的表示方法，理解复数相等的充要条件．
[讨论交流] 预习教材P68－P70的内容，思考以下问题：
问题1．为什么要引入复数？
问题2．复数是如何定义的？其表示方法又是什么？复数分为哪两大类？
问题3．复数相等的充要条件是什么？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1 复数的有关概念
探究问题1 我们知道，方程x2＋1＝0在实数集中无解，类比从自然数集到实数集的扩充过程，思考能否引入一种“新数”使得x2＝－1有解？
[提示] 为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使得x＝i是方程x2＋1＝0的解，即使得i2＝－1．
探究问题2 引入新数“i”后，新的数系该怎样表示？
[提示] a＋bi(a，b∈R)．
[新知生成]
1．定义：我们把形如_______________的数叫做复数，其中i叫做________，满足i2＝___．
2．表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的____，b叫做复数z的____．
a＋bi(a，b∈R)
虚数单位
－1
实部
虚部
3．复数集
(1)定义：全体复数构成的集合叫做______．
(2)表示：通常用大写字母__表示，即C＝{a＋bi|a，b∈R}．
复数集
C
【教用·微提醒】 (1)i2＝－1．
(2)i和实数之间能进行加法、乘法运算．
(3)a，b∈R．
反思领悟 在复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部．
[学以致用] 1．(1)若复数z满足z＝6i＋2i2，则z的虚部是( )
A．－2i B．6i C．1 D．6
(2)若复数z＝(2a－1)＋(3＋a)i(a∈R)的实部与虚部相等，则a＝_____．
(1)D (2)4 [(1)z＝6i＋2i2＝－2＋6i，则z的虚部是6，故选D．
(2)由题意知，2a－1＝3＋a，解得a＝4．]
√
4
【链接·教材例题】
例1 当实数m取什么值时，复数z＝m＋1＋(m－1)i是下列数？
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
分析：因为m∈R，所以m＋1，m－1都是实数．由复数z＝a＋bi(a，b∈R)是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的取值．
[解] (1)当m－1＝0，即m＝1时，复数z是实数．
(2)当m－1≠0，即m≠1时，复数z是虚数．
(3)当m＋1＝0，且m－1≠0，即m＝－1时，复数z是纯虚数．
[典例讲评] 2．(源自湘教版教材)当m为何实数时，复数z＝m2＋m－2＋(m2－1)i分别是：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0
[解] (1)当m2－1＝0，即m＝±1时，复数z是实数．
(2)当m2－1≠0，即m≠±1时，复数z是虚数．
(3)当m2＋m－2＝0且m2－1≠0，即m＝－2时，复数z是纯虚数．
(4)当m2＋m－2＝0且m2－1＝0，即m＝1时，复数z＝0．
反思领悟 复数分类问题的求解方法与步骤
(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为a＋bi(a，b∈R)的形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可．
(3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，则：
①z为实数 b＝0；
②z为虚数 b≠0；
③z为纯虚数 a＝0且b≠0．
探究3 复数相等的充要条件
[新知生成]
设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di ___________．特别地，a＋bi＝0 _________．
a＝c且b＝d
a＝b＝0
[典例讲评] 3．(源自人教B版教材)分别求满足下列关系的实数x与y的值．
(1)(x＋2y)－i＝6x＋(x－y)i；
(2)(x＋y＋1)－(x－y＋2)i＝0．
反思领悟 复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数的a＋bi(a，b∈R)的形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．
(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．
(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．
2
4
3
题号
1
应用迁移
1．复数z＝2－3i(i为虚数单位)的虚部为( )
A．2 B．3
C．－3 D．－3i
√
C [根据虚部的概念易知虚部为－3，故选C．]
2
3
题号
1
4
2．若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，则实数m的值为( )
A．－1 B．2
C．1 D．－1或2
√
D [因为复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，
所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2．]
2
3
题号
4
1
3．已知x，y∈R，i为虚数单位，且(x－2)＋yi＝－1＋i，则x＋y＝_____．
2
2
4
3
题号
1
1．知识链：(1)数系的扩充．
(2)复数的概念．
(3)复数的分类．
(4)复数相等的充要条件．
2．方法链：方程思想．
3．警示牌：注意将复数化成z＝a＋bi(a，b∈R)的形式．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．当a，b满足什么条件时，复数z＝a＋bi(a，b∈R)是实数、虚数、纯虚数？
[提示] 当b＝0时，a＋bi是实数；当b≠0时，a＋bi是虚数；当a＝0，b≠0时，a＋bi是纯虚数．
2．两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？
[提示] 当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小．
3．若复数z＝a＋bi>0，则实数a，b满足什么条件？
[提示] 若复数z＝a＋bi>0，则实数a，b满足a>0，且b＝0．
