(共49张PPT)
7.1.2 复数的几何意义
第七章 复数
7.1 复数的概念
整体感知
[学习目标] 1．掌握用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．
2．掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念．
3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法．
[讨论交流] 预习教材P70－P72的内容，思考以下问题：
问题1．复平面是如何定义的？
问题2．复数与复平面内的点及向量的关系如何？
问题3．如何计算复数的模？复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数是什么？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1 复数与复平面内点的关系
探究问题1 有序实数对是和坐标平面上的点一一对应的，复数能和坐标平面上的点一一对应吗？
[提示] 复数a＋bi(a，b∈R)实质上是实数的有序数对(a，b)，复数可以和坐标平面上的点一一对应．
探究问题2 在复平面内，实轴上的点都表示实数，那么虚轴上的点都表示纯虚数吗？
[提示] 除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
[新知生成]
1．复平面
(1)复平面：建立直角坐标系来表示____的平面叫做复平面．
(2)实轴：坐标系中的x轴叫做____，实轴上的点都表示____．
(3)虚轴：坐标系中的y轴叫做____，除了原点外，虚轴上的点都表示______．
复数
实轴
实数
虚轴
纯虚数
2．复数集C与复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi 复平面内的点Z__________，这是复数的一种几何意义．
(a，b)
【教用·微提醒】
1．复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)．
2．除原点外，虚轴上的点(0，b)(b≠0)都表示纯虚数．
[典例讲评] 1．在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在y＝x的图象上，分别求实数m的取值范围．
反思领悟 利用复数与点的对应关系解题的步骤
(1)找对应关系：复数的几何表示法，即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示是解决此类问题的依据．
(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．
[学以致用] 1．(1)已知a∈R，则复数(a2＋a＋1)－(a2－2a＋3)i对应的点在复平面内的第______象限．
(2)已知复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第三象限，则实数x的取值范围为_________．
四
(1，2)
一一对应
[典例讲评] 2．(源自苏教版教材)在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：
4，2＋i，－i，－1＋3i，3－2i．
反思领悟 复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数，反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
|z|
|a＋bi|
【链接·教材例题】
例2 设复数z1＝4＋3i，z2＝4－3i．
(1)在复平面内画出复数z1，z2对应的点和向量；
(2)求复数z1，z2的模，并比较它们的模的大小．
【链接·教材例题】
例3 设z∈C，在复平面内z对应的点为Z，那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
(1)|z|＝1；
(2)1＜|z|＜2．
所以满足条件的点Z组成的集合是一个圆环
(包括边界)，如图中阴影部分所示．
反思领悟 1．复数的模的计算
计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．
2．复数模的几何意义
(1)|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形．
(2)利用复数模的定义，把模的问题转化为几何问题解决．
√
【教用·备选题】 (源自苏教版教材)设z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
(1)|z|＝2；(2)2＜|z|＜3．
相等
互为相反数
共轭虚数
√
√
反思领悟 互为共轭复数的两个复数的模相等且对应点的坐标关于x轴对称．
√
－1或－2
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
2
3
题号
1
4
2．在复平面内，表示复数z＝1－i的点所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
√
2
3
题号
4
1
√
2
4
3
题号
1
5
3－4i
1．知识链：(1)复数与复平面内的点、向量之间的对应关系．
(2)复数的模及几何意义．
(3)共轭复数．
2．方法链：待定系数法、数形结合．
3．警示牌：注意虚数不能比较大小，虚数的模可以比较大小．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．复数与复平面内的点、复平面内的向量有什么关系？
[提示] 复数与复平面内的点、与复平面上以原点为始点的向量是一一对应关系．
即：
2．设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|等于多少？其几何意义是什么？7.1.2 复数的几何意义
[学习目标] 1．掌握用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．
2．掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念．
3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法．
[讨论交流] 预习教材P70－P72的内容，思考以下问题：
问题1．复平面是如何定义的？
问题2．复数与复平面内的点及向量的关系如何？
问题3．如何计算复数的模？复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数是什么？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 复数与复平面内点的关系
探究问题1 有序实数对是和坐标平面上的点一一对应的，复数能和坐标平面上的点一一对应吗？
[提示] 复数a＋bi(a，b∈R)实质上是实数的有序数对(a，b)，复数可以和坐标平面上的点一一对应．
探究问题2 在复平面内，实轴上的点都表示实数，那么虚轴上的点都表示纯虚数吗？
[提示] 除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
[新知生成]
1．复平面
(1)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．
(2)实轴：坐标系中的x轴叫做实轴，实轴上的点都表示实数．
(3)虚轴：坐标系中的y轴叫做虚轴，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
2．复数集C与复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义．
【教用·微提醒】
1．复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)．
2．除原点外，虚轴上的点(0，b)(b≠0)都表示纯虚数．
[典例讲评] 1．在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在y＝x的图象上，分别求实数m的取值范围．
[解] 复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10．
(1)由题意得m2－2m－8＝0．
解得m＝－2或m＝4．
(2)由题意，得解得2
(3)由已知得m2－2m－8＝m2＋3m－10，
故m＝．
利用复数与点的对应关系解题的步骤
(1)找对应关系：复数的几何表示法，即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示是解决此类问题的依据．
(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．
[学以致用] 1．(1)已知a∈R，则复数(a2＋a＋1)－(a2－2a＋3)i对应的点在复平面内的第 象限．
(2)已知复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第三象限，则实数x的取值范围为 ．
(1)四 (2)(1，2) [(1)因为a2＋a＋1＝＋>0，
－(a2－2a＋3)＝－(a－1)2－2<0，
故复数在复平面内对应的点在第四象限．
(2)因为复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第三象限，
所以所以
所以1所以所求实数x的取值范围是(1，2)．]
探究2 复数与复平面内向量的关系
探究问题3 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，由探究1可知有序实数对与复数是一一对应的，那么平面向量＝(a，b)对应的复数是什么？
[提示] 在复平面内找到与复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点Z(a，b)，这样向量就表示复数z＝a＋bi(a，b∈R)．
[新知生成]
如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量唯一确定．
因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了一一对应关系(实数0与零向量对应)，即复数z＝a＋bi平面向量．这是复数的另一种几何意义．
[典例讲评] 2．(源自苏教版教材)在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：
4，2＋i，－i，－1＋3i，3－2i．
[解] 如图①，点A，B，C，D，E分别表示复数4，2＋i，－i，－1＋3i，3－2i．
如图②，向量分别表示复数4，2＋i，－i，－1＋3i，3－2i．
复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数，反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
[学以致用] 2．已知复数6＋5i和－3＋4i．
(1)在复平面内作出与这两个复数对应的向量和；
(2)写出向量和表示的复数．
[解] (1)6＋5i在复平面内对应的点的坐标为A，－3＋4i在复平面内对应的点的坐标为B．
＝和＝如图所示．
(2)＝，对应的复数为－9－i．
＝，对应的复数为9＋i．
【教用·备选题】 在复平面内指出与复数z1＝－1＋i，z2＝2－i，z3＝－2i，z4＝＋3i对应的点Z1，Z2，Z3，Z4，然后在复平面内画出这4个复数对应的向量．
[解] 由题意知Z1(－1，)，Z2(2，－1)，Z3(0，－2)，Z4(，3)，如图所示，
在复平面内，复数z1，z2，z3，z4对应的向量分别为 ， ．
探究3 复数的模
[新知生成]
1．定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值．
2．记法：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋bi|．
3．公式：|z|＝|a＋bi|＝．
【链接·教材例题】
例2 设复数z1＝4＋3i，z2＝4－3i．
(1)在复平面内画出复数z1，z2对应的点和向量；
(2)求复数z1，z2的模，并比较它们的模的大小．
[解] (1)如图7.1-4，复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，对应的向量分别为．
(2)|z1|＝|4＋3i|＝＝5，
|z2|＝|4－3i|＝＝5．
所以|z1|＝|z2|．
【链接·教材例题】
例3 设z∈C，在复平面内z对应的点为Z，那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
(1)|z|＝1；
(2)1＜|z|＜2．
[解] (1)由|z|＝1得，向量的模等于1，所以满足条件|z|＝1的点Z的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆．
(2)不等式1<|z|＜2可化为不等式
不等式|z|<2的解集是圆|z|＝2的内部所有的点组成的集合，不等式|z|>1的解集是圆|z|＝1外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件1＜|z|<2的点Z的集合．容易看出，所求的集合是以原点O为圆心，以1及2为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界(图7.1-5)．
[典例讲评] 3．已知复数z1＝－i，z2＝－＋i．
(1)求|z1|，|z2|并比较大小；
(2)设z∈C，且z在复平面内对应的点为Z，则满足|z2|≤|z|≤|z1|的点Z组成的集合是什么图形？并作图表示．
[解] (1)|z1|＝|－i|＝＝2，
|z2|＝＝＝1．
所以|z1|＞|z2|．
(2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2．
不等式1≤|z|≤2等价于不等式组
因为满足|z|≤2的点Z组成的集合是圆心在原点、半径为2的圆及其内部(包括边界)，
而满足|z|≥1的点Z组成的集合是圆心在原点、半径为1的圆的外部(包括边界)，
所以满足条件的点Z组成的集合是一个圆环(包括边界)，如图中阴影部分所示．
1．复数的模的计算
计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．
2．复数模的几何意义
(1)|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形．
(2)利用复数模的定义，把模的问题转化为几何问题解决．
[学以致用] 3．(1)设x＋2xi＝1＋yi(i是虚数单位，x∈R，y∈R)，则|x＋yi|＝( )
A．2 B． C．2 D．
(2)求证：复平面内分别与复数z1＝1，z2＝－i，z3＝cos 10°＋isin 10°，z4＝－i对应的四点Z1，Z2，Z3，Z4共圆．
(1)B [因为x＋2xi＝1＋yi，所以x＝1，y＝2x＝2，所以＝＝．故选B．]
(2)[证明] 由复数z1＝1，z2＝－i，z3＝cos 10°＋isin 10°，z4＝－i得||＝＝1，
||＝＝1，
||＝＝1，
||＝＝1，点Z1，Z2，Z3，Z4在以原点为圆心，以1为半径的圆周上，即复数z1，z2，z3，z4所对应的四点Z1，Z2，Z3，Z4共圆．
【教用·备选题】 (源自苏教版教材)设z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
(1)|z|＝2；(2)2＜|z|＜3．
[解] (1)因为|z|＝2，即||＝2，所以满足|z|＝2的点Z的集合是以原点为圆心、2为半径的圆(图①)．
(2)不等式2＜|z|＜3可化为不等式组不等式|z|＞2的解集是圆|z|＝2外部所有的点组成的集合，不等式|z|＜3的解集是圆|z|＝3内部所有的点组成的集合，这两个集合的交集就是上述不等式组的解集．因此，满足条件2＜|z|＜3的点Z的集合是以原点为
圆心、分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界(图②)．
探究4 共轭复数
[新知生成]
1．定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
2．表示：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi．
[典例讲评] 4．(多选)已知m，n∈R，复数z1＝m＋3i，z2＝z1＋4－2i，且z2为纯虚数，复数z1的共轭复数为，则( )
A．m＝－4 B．＝2
C．＝－4－3i D．复数的虚部为－3i
AC [由题可知z2＝m＋3i＋4－2i＝＋i，
对于A，因为z2为纯虚数，所以m＝－4，故A正确；
对于B，＝1，故B错误；
对于C，＝－4－3i，故C正确；
对于D，复数的虚部为－3，故D错误．
故选AC．]
互为共轭复数的两个复数的模相等且对应点的坐标关于x轴对称．
[学以致用] 4．(1)已知i为虚数单位，若z＝，则＝( )
A．
C．
(2)若复数z＝＋(m2＋3m＋2)i，且z＝，则实数m＝ ．
(1)B (2)－1或－2 [(1)∵z＝＋i，
∴＝－i，故选B．
(2)因为z＝，所以z∈R，所以m2＋3m＋2＝0，解得m＝－1或m＝－2．]
1．若＝(0，－3)，则对应的复数( )
A．等于0
B．等于－3
C．在虚轴上
D．既不在实轴上，也不在虚轴上
C [向量对应的复数为－3i，在虚轴上．]
2．在复平面内，表示复数z＝1－i的点所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D [复数z＝1－i在复平面内对应的点为，该点所在的象限为第四象限，故选D．]
3．满足1≤≤3的复数z在复平面上对应的点构成的图形的面积为( )
A．π B．2π
C．8π D．9π
C [满足1≤≤3的复数z在复平面上对应的点构成的图形为以原点为圆心，半径分别为1和3构成的圆环，所以面积为π×32－π×12＝8π．故选C．]
4．向量a＝(3，4)，设向量a对应的复数为z，则z的共轭复数＝ ，||＝ ．
[答案] 3－4i 5
1．知识链：(1)复数与复平面内的点、向量之间的对应关系．
(2)复数的模及几何意义．
(3)共轭复数．
2．方法链：待定系数法、数形结合．
3．警示牌：注意虚数不能比较大小，虚数的模可以比较大小．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．复数与复平面内的点、复平面内的向量有什么关系？
[提示] 复数与复平面内的点、与复平面上以原点为始点的向量是一一对应关系．
即：
2．设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|等于多少？其几何意义是什么？
[提示] |z|＝，其表示复平面内的点(x，y)到原点(0，0)的距离．
3． 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数如何表示？
[提示] ＝a－bi(a，b∈R)．
课时分层作业(十七) 复数的几何意义
一、选择题
1．在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则复数z的共轭复数＝( )
A．－2－i B．－2＋i
C．2＋i D．2－i
B [依题意，z＝－2－i，所以复数z的共轭复数＝－2＋i．故选B．]
2．若复数z＝(3m－2)＋(m－1)i，其中A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D [因为z＝(3m－2)＋(m－1)i，实部为3m－2，虚部为m－1，因为所以复数z在复平面内对应的点(3m－2，m－1)位于第四象限．故选D．]
3．设复数z满足＝|2－i|，z在复平面内对应的点为，则( )
A．x2＋y2＝3 B．x2＋y2＝5
C．x2＋y2＝ D．x2＋y2＝
B [z在复平面内对应的点为，则复数z＝x＋yi，则由|z|＝|2－i|可知＝，即x2＋y2＝5，故选B．]
4．设a，b∈R，i是虚数单位，若复数a＋i与－1＋bi互为共轭复数，则复数a＋bi的模等于( )
A．2 B．
C． D．1
C [∵a＋i与－1＋bi互为共轭复数，∴a＝－1，b＝－1，
∴|a＋bi|＝|－1－i|＝＝．
故选C．]
5．(多选)已知复数z＝4－3i，则下列命题中正确的为( )
A．||＝5
B．＝4＋3i
C．的虚部为－3i
D．在复平面上对应的点在第二象限
AB [因为z＝4－3i，则在复平面上对应的点是(4，3)，在第一象限，故D错误．故选AB．]
二、填空题
6．复平面上，点对应的复数z＝ ．
2－i [由复数的几何意义知z＝2－i．]
7．已知复数z的共轭复数＝1＋2i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点的坐标为 ．
[由共轭复数的定义可得z＝1－2i，因此，z在复平面内对应的点的坐标为．]
8．若复数z1＝4－3i，z2＝4＋3i(其中i为虚数单位)所对应的向量分别为与，则△OZ1Z2的周长为 ．
16 [因为＝＝＝＝，所以＝＝5，＝＝5，＝＝6．
所以△OZ1Z2的周长为5＋5＋6＝16．]
三、解答题
9．已知复数－1＋i，－3－4i，4＋3i，4i，－i．
(1)在如图所示复平面内，作出各复数对应的向量；
(2)求各复数的模；
(3)求各复数的共轭复数，并在复平面内作出这些共轭复数对应的向量．
[解] (1)设复数－1＋i，－3－4i，4＋3i，4i，－i对应的向量分别为，
则＝＝＝＝＝，
如图，在复平面内，作出各复数对应的向量．
(2)|－1＋i|＝＝，|－3－4i|＝＝5，
＝＝5，＝＝4，
|－i|＝＝．
(3)－1＋i的共轭复数为－1－i，对应向量为＝，－3－4i的共轭复数为－3＋4i，对应向量为＝，4＋3i的共轭复数为4－3i，对应向量为＝，4i的共轭复数为－4i，对应向量为＝，－i的共轭复数为i，对应向量为＝，
如图，在复平面内作出这些共轭复数对应的向量．
10．在复平面内，向量分别与复数2＋i，4－3i对应，其中O为坐标原点，i为虚数单位，则＝( )
A．2 B．4
C．3 D．2
D [向量分别与复数2＋i，4－3i对应，
则＝(2，1)，＝(4，－3)，
＝＝(2，－4)，即||＝＝2．
故选D．]
11．复数z＝－i在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D [令y1＝a2－2a＋3，则Δ1＝－4×3＝－8<0，∴a2－2a＋3>0恒成立；
令y2＝－＝－a2＋a－，则Δ2＝12－4××＝－1<0，∴－a2＋a－<0恒成立．
∵z＝－i对应的点为，
∴z对应的点位于第四象限．故选D．]
12．两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2都是实数且z1≠0，z2≠0)，对应的向量在同一直线上的充要条件是( )
A．·＝－1 B．a1a2＋b1b2＝0
C．＝ D．a1b2＝a2b1
D [复数z1对应的向量为m＝，复数z2对应的向量为n＝，
则m∥n的充要条件为a1b2＝a2b1．故选D．]
13．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应的点Z的集合表示的图形是( )
A．一个圆 B．线段
C．两点 D．两个圆
A [∵|z|2－2|z|－3＝0，
∴(|z|－3)(|z|＋1)＝0，∴|z|＝3，
∴复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，以3为半径的一个圆．]
14．设复数z＝a2＋a－2＋i，其中a∈R．
(1)若z是纯虚数，求a的值；
(2)若z所对应的点在复平面的第四象限内，求实数a的取值范围．
[解] (1)若z是纯虚数，只需解得a＝－2．
(2)由题意知
解得1故当115．在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i．
(1)求对应的复数；
(2)判断△ABC的形状；
(3)求△ABC的面积．
[解] (1)由题意得在复平面内点A，B，C的坐标分别为(1，0)，(2，1)，(－1，2)，∴＝(2，1)－(1，0)＝(1，1)，＝(－1，2)－(2，1)＝(－3，1)，＝(－1，2)－(1，0)＝(－2，2)，∴对应的复数为1＋i，对应的复数为－3＋i，对应的复数为－2＋2i．
(2)由(1)知||＝＝，
||＝＝，
||＝＝2，
∴||2＋||2＝||2，∴△ABC为直角三角形．
(3)S△ABC＝||·||＝×2＝2．
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