(共36张PPT)
10.3.2 随机模拟
第十章 概率
10.3 频率与概率
整体感知
[学习目标] 了解随机模拟的含义，会利用随机模拟估计概率．
[讨论交流] 预习教材P258－P260的内容，思考以下问题：
问题1.随机数是如何产生的？
问题2.随机模拟的步骤是什么？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1 随机数的产生方法
[新知生成] 随机数的概念
(1)随机数：要产生1～n(n∈N*)之间的随机整数，把n个__________相同的小球分别标上1，2，3，…，n，放入一个容器中，________后取出一个球，这个球上的号码就称为随机数．
(2)伪随机数：计算器或计算机产生的随机数是按照__________产生的数，具有______(____很长)，它们具有类似______的性质．因此，计算器或计算机产生的随机数不是____________，我们称它们为伪随机数．
质地和大小
充分搅拌
确定的算法
周期性
周期
随机数
真正的随机数
【教用·微提醒】 随机数产生的方法比较
方法 抽签法 用计算器或计算机产生
优点 保证机会均等 操作简单、省时、省力
缺点 耗费大量人力、物力、时间，或不具有实际操作性 由于是伪随机数，故不能保证完全等可能
【链接·教材例题】
例3 从你所在班级任意选出6名同学，调查他们的出生月份，假设出生在一月、二月……十二月是等可能的．设事件A＝“至少有两人出生月份相同”，设计一种试验方法，模拟20次，估计事件A发生的概率.
[解] 方法1 根据假设，每个人的出生月份在12个月中是等可能的，而且相互之间没有影响，所以观察6个人的出生月份可以看成可重复试验．
因此，可以构建如下有放回摸球试验进行模拟：在袋子中装入编号为1，2，…，12的12个球，这些球除编号外没有什么差别．有放回地随机从袋中摸6次球，得到6个数代表6个人的出生月份，这就完成了一次模拟试验．如果这6个数中至少有2个相同，表示事件A发生了．重复以上模拟试验20次，就可以统计出事件A发生的频率．
方法2 利用电子表格软件模拟试验．在A1，B1，C1，D1，E1，F1单元格分别输入“＝RANDBETWEEN(1，12)”，得到6个数，代表6个人的出生月份，完成一次模拟试验．选中A1，B1，C1，D1，E1，F1单元格，将鼠标指向右下角的黑点，按住鼠标左键拖动到第20行，相当于做20次重复试验．统计其中有相同数的频率，得到事件A的概率的估计值．
表10.3-4是20次模拟试验的结果．事件A发生了14次，事件A的概率估计值为0.70，与事件A的概率(约0.78)相差不大．
[典例讲评] 1．要产生1～25之间的随机整数，你有哪些方法？
[解] 法一：可以把25个大小、形状、质地相同的小球分别标上1，2，3，…，24，25，放入一个袋中，把它们充分搅拌均匀，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数，放回后重复以上过程，就得到一系列的1～25之间的随机整数．
法二：可以利用计算机产生随机数，以Excel为例：
(1)选定A1格，输入“＝RANDBETWEEN(1，25)”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的；
(2)选定A1格，点击复制，然后选定要产生随机数的格，比如A2至A100，点击粘贴，则在A2至A100的格中均为随机产生的1～25之间的数，这样我们就很快得到了100个1～25之间的随机数，相当于做了100次随机试验．
反思领悟 (1)产生随机数的方法有抽签法、利用计算机或计算器产生随机数的随机模拟方法等．抽签法产生的随机数能保证机会均等，而计算器或计算机产生的随机数是伪随机数，不能保证等可能性，但是后者较前者速度快，操作简单，省时省力．
(2)用产生随机数的方法抽取样本要注意以下两点：①进行正确的编号，并且编号要连续；②正确把握抽取的范围和容量．
[学以致用] 1．某校高一年级共20个班，1 200名学生，期中考试时如何把学生分配到40个考场中去？
[解] 要把1 200人分到40个考场，每个考场30人，可用计算机完成．
(1)按班级、学号顺序把学生档案输入计算机．
(2)用随机函数按顺序给每个学生一个随机数(每人都不相同)．
(3)使用计算机的排序功能按随机数从小到大排列，可得到1 200名学生的考试号0 001，0 002，…，1 200，然后0 001～0 030为第一考场，0 031～0 060为第二考场，依次类推．
探究2 利用随机模拟法估计概率
[新知生成] 蒙特卡洛方法
用频率估计概率，需要做大量的重复试验，我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了．我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛(Monte Carlo)方法．
【链接·教材例题】
例4 在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛．假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4.利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率．
分析：奥运会羽毛球比赛规则是3局2胜制，甲获得冠军的结果可能是2∶0或2∶1.显然，甲连胜2局或在前2局中赢一局输一局，并赢得第3局的概率，与打满3局，甲胜2局或3局的概率相同．每局比赛甲可能胜，也可能负，3局比赛所有可能结果有8种，但是每个结果不是等可能出现的，因此不是古典概型，可以用计算机模拟比赛结果．
[典例讲评] 2．一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球、1个红球，现任取1个球，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率．
[解] 用1，2，3，4，5，6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机产生1到7之间(包括1和7)取整数值的随机数，因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组，如下，产生30组随机数：
反思领悟 在设计随机模拟试验时，注意以下两点：
(1)要根据具体的事件设计恰当的试验，使试验能够真正地模拟随机事件．
(2)注意用不同的随机数来表示不同的随机事件的发生．
[学以致用] 2．在一个盒中装有10支圆珠笔，其中7支一级品，3支二级品，任取一支，用模拟方法求取到一级品的概率．
探究3 较复杂的随机模拟试验的应用
[典例讲评] 3．A地的天气预报显示，A地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为30%，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生0～9之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：
√
反思领悟 利用随机模拟估计概率应关注的三点
用整数随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果．我们可以从以下三方面考虑：
①当试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件．
②研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数．
③当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复．
[学以致用] 3．袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用计算器随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
232 321 230 023 123 021 132
220 001 231 130 133 231 013
320 122 103 233
√
【教用·备选题】 盒中有大小、形状相同的5个白球和2个黑球，用随机模拟方法求下列事件的概率．
(1)任取1球，得到白球；
(2)任取3球，恰有2个白球；
(3)任取3球(分3次，每次放回再取)，恰有3个白球．
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
1．(多选)下列能产生随机数的是 ( )
A．抛掷骰子试验
B．抛硬币
C．计算器
D．正方体的六个面上分别写有1，2，2，3，4，5，抛掷该正方体
√
√
2
3
题号
1
4
2．用随机模拟方法估计概率时，其准确程度取决于( )
A．产生的随机数的大小
B．产生的随机数的个数
C．随机数对应的结果
D．产生随机数的方法
√
B [随机数容量越大，所估计的概率越接近实际值．]
2
3
题号
4
1
√
3．掷两枚骰子，用随机模拟方法估计出现点数之和为9的概率时，产生的整数值随机数中，每几个数字为一组( )
A．1 B．2
C．9 D．12
B [掷两枚骰子，设它们出现的点数分别为x，y，
则x＋y＝9，由此可得用随机模拟方法产生的整数值随机数中，每2个数字为一组．]
2
4
3
题号
1
4．通过模拟试验产生了20组随机数：
6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884 2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725 6576 5929 9768 6071 9138 6754
如果恰好有三个数在1，2，3，4，5，6中，表示恰好有三次击中目标，则四次射击中恰好有三次击中目标的概率约为________．
0.25
1．知识链：(1)随机数的产生方法．
(2)蒙特卡洛方法．
(3)用随机模拟估计概率．
2．方法链： 模拟试验法．
3．警示牌： 要根据具体的事件设计恰当的试验，使试验能够真正地模拟随机事件．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．产生随机数的方法有哪些？
[提示] 产生随机数的方法有抽签法、利用计算机或计算器产生随机数的随机模拟方法等．
2．如何用随机模拟的方法估计概率？
[提示] 用随机模拟法估计概率的主要步骤：(1)设计概率模型．(2)进行模拟试验．(3)统计试验结果，估计概率．10.3.2 随机模拟
[学习目标] 了解随机模拟的含义，会利用随机模拟估计概率．
[讨论交流] 预习教材P258－P260的内容，思考以下问题：
问题1.随机数是如何产生的？
问题2.随机模拟的步骤是什么？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 随机数的产生方法
[新知生成] 随机数的概念
(1)随机数：要产生1～n(n∈N*)之间的随机整数，把n个质地和大小相同的小球分别标上1，2，3，…，n，放入一个容器中，充分搅拌后取出一个球，这个球上的号码就称为随机数．
(2)伪随机数：计算器或计算机产生的随机数是按照确定的算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质．因此，计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数．
【教用·微提醒】 随机数产生的方法比较
方法 抽签法 用计算器或计算机产生
优点 保证机会均等 操作简单、省时、省力
缺点 耗费大量人力、物力、时间，或不具有实际操作性 由于是伪随机数，故不能保证完全等可能
【链接·教材例题】
例3 从你所在班级任意选出6名同学，调查他们的出生月份，假设出生在一月、二月……十二月是等可能的．设事件A＝“至少有两人出生月份相同”，设计一种试验方法，模拟20次，估计事件A发生的概率.
[解] 方法1 根据假设，每个人的出生月份在12个月中是等可能的，而且相互之间没有影响，所以观察6个人的出生月份可以看成可重复试验．
因此，可以构建如下有放回摸球试验进行模拟：在袋子中装入编号为1，2，…，12的12个球，这些球除编号外没有什么差别．有放回地随机从袋中摸6次球，得到6个数代表6个人的出生月份，这就完成了一次模拟试验．如果这6个数中至少有2个相同，表示事件A发生了．重复以上模拟试验20次，就可以统计出事件A发生的频率．
方法2 利用电子表格软件模拟试验．在A1，B1，C1，D1，E1，F1单元格分别输入“＝RANDBETWEEN(1，12)”，得到6个数，代表6个人的出生月份，完成一次模拟试验．选中A1，B1，C1，D1，E1，F1单元格，将鼠标指向右下角的黑点，按住鼠标左键拖动到第20行，相当于做20次重复试验．统计其中有相同数的频率，得到事件A的概率的估计值．
表10.3-4是20次模拟试验的结果．事件A发生了14次，事件A的概率估计值为0.70，与事件A的概率(约0.78)相差不大．
[典例讲评] 1．要产生1～25之间的随机整数，你有哪些方法？
[解] 法一：可以把25个大小、形状、质地相同的小球分别标上1，2，3，…，24，25，放入一个袋中，把它们充分搅拌均匀，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数，放回后重复以上过程，就得到一系列的1～25之间的随机整数．
法二：可以利用计算机产生随机数，以Excel为例：
(1)选定A1格，输入“＝RANDBETWEEN(1，25)”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的；
(2)选定A1格，点击复制，然后选定要产生随机数的格，比如A2至A100，点击粘贴，则在A2至A100的格中均为随机产生的1～25之间的数，这样我们就很快得到了100个1～25之间的随机数，相当于做了100次随机试验．
(1)产生随机数的方法有抽签法、利用计算机或计算器产生随机数的随机模拟方法等．抽签法产生的随机数能保证机会均等，而计算器或计算机产生的随机数是伪随机数，不能保证等可能性，但是后者较前者速度快，操作简单，省时省力．
(2)用产生随机数的方法抽取样本要注意以下两点：①进行正确的编号，并且编号要连续；②正确把握抽取的范围和容量．
[学以致用] 1.某校高一年级共20个班，1 200名学生，期中考试时如何把学生分配到40个考场中去？
[解] 要把1 200人分到40个考场，每个考场30人，可用计算机完成．
(1)按班级、学号顺序把学生档案输入计算机．
(2)用随机函数按顺序给每个学生一个随机数(每人都不相同)．
(3)使用计算机的排序功能按随机数从小到大排列，可得到1 200名学生的考试号0 001，0 002，…，1 200，然后0 001～0 030为第一考场，0 031～0 060为第二考场，依次类推．
探究2 利用随机模拟法估计概率
[新知生成] 蒙特卡洛方法
用频率估计概率，需要做大量的重复试验，我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了．我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛(Monte Carlo)方法．
【链接·教材例题】
例4 在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛．假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4.利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率．
分析：奥运会羽毛球比赛规则是3局2胜制， 甲获得冠军的结果可能是2∶0或2∶1.显然， 甲连胜2局或在前2局中赢一局输一局，并赢得第3局的概率，与打满3局， 甲胜2局或3局的概率相同．每局比赛甲可能胜，也可能负，3局比赛所有可能结果有8种，但是每个结果不是等可能出现的， 因此不是古典概型，可以用计算机模拟比赛结果．
[解] 设事件A＝“甲获得冠军”，事件B＝“单局比赛甲胜”，则P(B)＝0.6.用计算器或计算机产生1～5之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组．例如，产生20组随机数：
423 123 423 344 114 453 525 332 152 342
534 443 512 541 125 432 334 151 314 354
相当于做了20次重复试验．其中事件A发生了13次，对应的数组分别是423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，334，151，314，用频率估计事件A的概率近似为＝0.65.
[典例讲评] 2.一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球、1个红球，现任取1个球，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率．
[解] 用1，2，3，4，5，6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机产生1到7之间(包括1和7)取整数值的随机数，因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组，如下，产生30组随机数：
666 743 671 464 571 561 156 567
732 375 716 116 614 445 117 573
552 274 114 662 237 456 732 353
156 632 171 243 547 721
就相当于做了30次试验，在这些数组中，前两个数字不是7，第三个数字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的是白球，第三次摸到的是红球，它们分别是567，117，237和547，共4组，因此恰好第三次摸到红球的概率约为＝.
在设计随机模拟试验时，注意以下两点：
(1)要根据具体的事件设计恰当的试验，使试验能够真正地模拟随机事件．
(2)注意用不同的随机数来表示不同的随机事件的发生．
[学以致用] 2.在一个盒中装有10支圆珠笔，其中7支一级品，3支二级品，任取一支，用模拟方法求取到一级品的概率．
[解] 设事件A：“取到一级品”．
(1)用计算机或计算器产生1到10之间的整数随机数，分别用1，2，3，4，5，6，7表示取到一级品，用8，9，10表示取到二级品．
(2)统计试验总次数N及其中出现1至7之间数的次数N1.
(3)计算频率fn(A)＝，即为事件A的概率的近似值．
探究3 较复杂的随机模拟试验的应用
[典例讲评] 3.A地的天气预报显示，A地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为30%，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生0～9之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：
102 798 391 925 173 845 812
529 769 683 231 307 592 027
516 588 730 113 977 539
则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为( )
A． B． C． D．
D [在20组随机数中表示三天中至少有两天有强浓雾的可以通过列举得到，共4组随机数：798，769，588，977，所求概率为＝.故选D.]
利用随机模拟估计概率应关注的三点
用整数随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果．我们可以从以下三方面考虑：
①当试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件．
②研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数．
③当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复．
[学以致用] 3．袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用计算器随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
232 321 230 023 123 021 132
220 001 231 130 133 231 013
320 122 103 233
由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为( )
A． B．
C． D．
B [经随机模拟产生的18组随机数中，恰好第三次就停止包含的样本点有：023，123，132，共3个，由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为＝.故选B.]
【教用·备选题】 盒中有大小、形状相同的5个白球和2个黑球，用随机模拟方法求下列事件的概率．
(1)任取1球，得到白球；
(2)任取3球，恰有2个白球；
(3)任取3球(分3次，每次放回再取)，恰有3个白球．
[解] 用计算器或计算机产生1到7之间取整数值的随机数，用1，2，3，4，5表示白球，6，7表示黑球．
(1)统计随机数个数N及小于6的个数N1，则即为任取一球，得到白球的概率的近似值．
(2)3个数一组(每组内不重复)，统计总组数M及恰好有两个数小于6的组数M1，则即为任取3个球，恰有2个白球的概率的近似值．
(3)3个数一组(每组内可重复)，统计总组数K及3个数都小于6的组数K1，则即为任取3球(分3次，每次放回再取)，恰有3个白球的概率的近似值．
1．(多选)下列能产生随机数的是 ( )
A．抛掷骰子试验
B．抛硬币
C．计算器
D．正方体的六个面上分别写有1，2，2，3，4，5，抛掷该正方体
ABC [D项中，出现2的概率为，出现1，3，4，5的概率均是，则D项不能产生随机数，故选ABC.]
2．用随机模拟方法估计概率时，其准确程度取决于( )
A．产生的随机数的大小
B．产生的随机数的个数
C．随机数对应的结果
D．产生随机数的方法
B [随机数容量越大，所估计的概率越接近实际值．]
3．掷两枚骰子，用随机模拟方法估计出现点数之和为9的概率时，产生的整数值随机数中，每几个数字为一组( )
A．1 B．2
C．9 D．12
B [掷两枚骰子，设它们出现的点数分别为x，y，
则x＋y＝9，由此可得用随机模拟方法产生的整数值随机数中，每2个数字为一组．]
4．通过模拟试验产生了20组随机数：
6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884
2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725 6576 5929 9768 6071 9138 6754
如果恰好有三个数在1，2，3，4，5，6中，表示恰好有三次击中目标，则四次射击中恰好有三次击中目标的概率约为________．
0.25 [表示三次击中目标分别是3013，2604，5725，6576，6754，共5组数，而随机数总共20组，所以所求的概率近似为＝0.25.]
1．知识链：(1)随机数的产生方法．
(2)蒙特卡洛方法．
(3)用随机模拟估计概率．
2．方法链： 模拟试验法．
3．警示牌： 要根据具体的事件设计恰当的试验，使试验能够真正地模拟随机事件．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．产生随机数的方法有哪些？
[提示] 产生随机数的方法有抽签法、利用计算机或计算器产生随机数的随机模拟方法等．
2．如何用随机模拟的方法估计概率？
[提示] 用随机模拟法估计概率的主要步骤：(1)设计概率模型．(2)进行模拟试验．(3)统计试验结果，估计概率．
课时分层作业(五十) 随机模拟
一、选择题
1．利用抛硬币产生随机数1和2，出现正面表示产生的随机数为1，出现反面表示产生的随机数为2.小王抛两次，则出现的随机数之和为3的概率为( )
A． B． C． D．
A [抛掷硬币两次，产生的随机数的情况有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)共四种，其中随机数之和为3的情况有(1，2)，(2，1)两种，故所求概率为＝.]
2．据统计某班三个同学投篮，每一位投进的概率均为0.4，用数字0，1，2，3表示投进，数字4，5，6，7，8，9表示投不进，由计算机产生如下20组随机数：
977 864 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 394 027 556 488 730 113 537 908
由此估计三位同学中恰有一位投进的概率为( )
A．0.2 B．0.3
C．0.4 D．0.5
B [由题意知，20组随机数中表示三位同学中恰有一位投进的数据为：925，683，257，394，537，908，共6个，由此估计三位同学中恰有一位投进的概率为＝0.3.故选B.]
3．袋子中有四个小球，分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字，有放回地从中任取一个小球，取到“快”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1，2，3，4表示取出小球上分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
13 24 12 32 43 14 24 32 31 21
23 13 32 21 24 42 13 32 21 34
据此估计，直到第二次就停止的概率为( )
A． B．
C． D．
B [由随机模拟产生的随机数可知，直到第二次停止的有13，43，23，13，13，共5个，故所求的概率为P＝＝.]
4．某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率，先利用计算器或计算机产生0～9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：812 832 569 683 271 989
730 537 925 907.由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为( )
A．0.2 B．0.3
C．0.4 D．0.5
A [由10组随机数知，3个随机数都在4～9中的有569，989两组，故所求的概率为P＝＝0.2.故选A.]
5．天气预报说，今后三天中，每一天下雨的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示下雨，5，6，7，8，9，0表示不下雨．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 195 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989.据此估计今后三天中恰有两天下雨的概率为( )
A．0.40 B．0.30
C．0.25 D．0.20
D [由题意知：在20组随机数中，恰有两天下雨可以通过列举得到：271 932 812 393，共4组随机数，所以所求概率为＝0.20.故选D.]
二、填空题
6．在用随机数(整数)模拟“有4个男生和5个女生，从中抽选4个，被抽选的4个中有2个男生、2个女生”的概率时，可让计算机产生1～9的随机整数，并且1～4代表男生，用5～9代表女生．因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．若得到的一组随机数为“4678”，则它代表的含义是________．
选出的4人中，只有1个男生(或选出的4人中，1个男生，3个女生) [用1～4代表男生，用5～9代表女生，4678表示选出的4人中，有1个男生，3个女生．]
7．在利用整数随机数进行随机模拟试验中，整数a到整数b之间的每个整数出现的可能性是________．
[[a，b]中共有b－a＋1个整数，每个整数出现的可能性相等，所以每个整数出现的可能性是.]
8．抛掷两颗相同的骰子，用随机模拟方法估计“上面点数的和是6的倍数”的概率时，用1，2，3，4，5，6分别表示上面的点数是1，2，3，4，5，6，用计算器或计算机分别产生1到6的两组整数随机数各60个，每组第i个数组成一组，共组成60组数，其中有一组是16，这组数表示的结果是否满足上面点数的和是6的倍数：________(选填“是”或“否”)．
否 [16表示第一颗骰子向上的点数是1，第二颗骰子向上的点数是6，则上面点数的和是1＋6＝7，不表示和是6的倍数．]
三、解答题
9．某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是60%，若该篮球爱好者连续投篮4次，求至少投中3次的概率．用随机模拟的方法估计上述概率．
[解] 利用计算机或计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4，5，6表示投中，用7，8，9，0表示未投中，这样可以体现投中的概率是60%，因为投篮4次，所以每4个随机数作为1组．例如5727，7895，0123，…，4560，4581，4698，共100组这样的随机数，若所有数组中没有7，8，9，0或只有7，8，9，0中的一个数的数组的个数为n，则至少投中3次的概率近似值为.
10．采取随机模拟的方法估计气步枪学员击中目标的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，以三个随机数为一组，代表三次射击击中的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
107 956 181 935 271 832 612
458 329 683 331 257 393 027
556 498 730 113 537 989
根据以上数据估计，该学员三次射击恰好击中1次的概率为( )
A． B．
C． D．
D [依题意，这20组随机数中恰好击中一次的有107，935，458，683，257，027，498，730，537，共9组，所以所求概率P＝.故选D.]
11．已知某工厂生产的产品的合格率为90%，现采用随机模拟的方法估计4件产品中至少有3件为合格品的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0表示不是合格品，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示是合格品；再以每4个随机数为一组，代表4件产品，经随机模拟产生了如下20组随机数：
7527 0293 7040 9857 0347 4373 8636 6947
1417 4698 0301 6233 2616 8045 6001 3661
9597 7424 7610 4001
据此估计，4件产品中至少有3件合格品的概率为( )
A． B．
C． D．
D [一组随机数中至多出现一次0，共16个，
所以4件产品中至少有3件合格品的概率为＝.故选D.]
12．规定：投掷飞镖3次为一轮，若3次中至少两次投中8环以上为优秀．根据以往经验某选手投掷一次命中8环以上的概率为.现采用计算机做模拟试验来估计该选手获得优秀的概率：用计算机产生0到9之间的随机整数，用0，1表示该次投掷未有8环以上，用2，3，4，5，6，7，8，9表示该次投掷在8环以上，经随机模拟试验产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458
569 683 031 257 393 527 556 488
730 313 537 989
据此估计，该选手投掷1轮，可以拿到优秀的概率为( )
A． B．
C． D．
A [由题意可知，随机模拟试验产生的20组随机数中，代表“3次中至少两次投中8环以上”的数组共18组，
因此，该选手投掷1轮，可以拿到优秀的概率为＝.故选A.]
13．甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为0.6，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计乙获胜的概率．先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2，3，4，5表示甲获胜；6，7，8，9表示乙获胜，这样能体现甲获胜的概率为0.6.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组．例如，产生30组随机数：
034 743 738 636 964 736 614 698 637 162
332 616 804 560 111 410 959 774 246 762
428 114 572 042 533 237 322 707 360 751
据此估计乙获胜的概率约为________．(保留3位有效数字)
0.367 [产生30组随机数，就相当于做了30次试验．如果6，7，8，9中恰有2个或3个数出现，就表示乙获胜，它们分别是738，636，964，736，698，637，616，959，774，762，707，共11个．所以采用三局两胜制，乙获胜的概率约为≈0.367.]
14．甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各3个，乙盒中有黄、黑、白三种颜色的球各2个，从两个盒子中各取1个球．
请设计一种随机模拟的方法，来近似计算取出两个球是不同颜色的概率(写出模拟的步骤)．
[解] 随机模拟的步骤：
第一步：利用抽签法或计算机(计算器)产生1～3和2～4两组取整数值的随机数，每组各有N个随机数．用“1”表示取到红球，用“2”表示取到黑球，用“3”表示取到白球，用“4”表示取到黄球．
第二步：统计两组对应的N对随机数中，每对中的两个数字不同的对数n.
第三步：计算的值，则就是取出的两个球是不同颜色的概率的近似值．
15．某市为了了解一周内学生的线上学习情况，从该市抽取了1 000名学生进行调查，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图．
(1)为了估计从该市任意抽取的3名同学中恰有2人线上学习时间在[200，300)的概率P，特设计如下随机模拟试验：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，依次用0，1，2，3，…，9的前若干个数字表示线上学习时间在[200，300)内，剩余的数字表示线上学习时间不在[200，300)内；再以每三个随机数为一组，代表线上学习的情况．
假设用上述随机模拟方法产生了如下30组随机数：
907 966 191 925 271 569 812 458
932 683 431 257 393 027 556 438
873 730 113 669 206 232 433 474
537 679 138 598 602 231
请根据这些随机数估计概率P；
(2)为了进一步进行调查，用按比例分配的分层随机抽样方法从这1 000名学生中抽取20名学生，在抽取的20人中，再从线上学习时间在[350，450]的同学中任意选择2名，求这2名同学来自同一组的概率．
[解] (1)由频率分布直方图可知，线上学习时间在[200，300)的频率为(0.002＋0.006)×50＝0.4，所以可以用数字0，1，2，3表示线上学习时间在[200，300)内，数字4，5，6，7，8，9表示线上学习时间不在[200，300)内．观察题中随机数组可得，3名同学中恰有2人线上学习时间在[200，300)的有191，271，812，932，431，393，027，730，206，433，138，602，共12个．用频率估计概率可得，该市3名同学中恰有2人线上学习时间在[200，300)的概率P＝＝0.4.
(2)抽取的20人中，线上学习时间在[350，450]的同学有20×(0.003＋0.002)×50＝5(人)，其中线上学习时间在[350，400)的同学有3名，设为A，B，C，线上学习时间在[400，450]的同学有2名，设为a，b，用(x，y)表示样本空间中的样本点，则从5名同学中任取2名的样本空间Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)}，共10个样本点，用M表示“2名同学来自同一组”这一事件，则M＝{(A，B)，(A，C)，(B，C)，(a，b)}，共4个样本点，所以P(M)＝＝0.4.
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