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10.1.1 有限样本空间与随机事件
第十章 概率
10.1 随机事件与概率
整体感知
[学习目标] 1．理解随机试验、样本点与样本空间的概念，会写试验的样本空间．
2．了解随机事件的有关概念，掌握随机事件的表示方法及含义．
[讨论交流] 预习教材P228－P230的内容，思考以下问题：
问题1.什么是随机试验？其特点是什么？
问题2.什么是样本点和样本空间？怎么表示？
问题3.什么是随机事件、必然事件、不可能事件？
问题4.怎样区别随机事件、必然事件、不可能事件？
问题5.阅读例4，思考：
①电路为通路有哪些情况？如何用数学语言表示？
②如何用集合表示各事件？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1 试验的样本空间
探究问题1 研究某种随机现象的规律，首先要观察它所有可能的基本结果．
(1)随机抛掷一枚硬币，可能出现哪些结果？事先知道哪一面朝上吗？
(2)买一注彩票，观察中奖、不中奖情况，可能出现哪些结果？事先知道这一结果吗？
(3)用符号语言如何表示探究问题1中(1)(2)的试验结果？
[提示] (1)随机抛掷一枚硬币，可能出现正面朝上、反面朝上两种结果，事先并不知道哪一面朝上．
(2)可能中奖和不中奖两种结果，事先并不知道哪一种结果．
(3)对于(1)的试验结果可用集合表示为{正面，反面}；对于(2)的试验结果可用集合表示为{中奖，不中奖}．
[新知生成]
1．随机试验的定义
我们把对________的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示．
2．随机试验的特点
(1)试验可以在____条件下重复进行；
(2)试验的所有可能结果是________的，并且________；
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的____，但事先不能确定出现__________．
随机现象
相同
明确可知
不止一个
一个
哪一个结果
3．样本点、样本空间
样本点 随机试验E的__________基本结果称为样本点，用___表示样本点
样本空间 __________的集合Ω称为试验E的样本空间
有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝__________________为有限样本空间
每个可能的
ω
全体样本点
{ω1，ω2，…，ωn}
【链接·教材例题】
例4 如图10.1-2，一个电路中有A，B，C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．把这个电路是否为通路看作一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常．
(1)写出试验的样本空间；
(2)用集合表示下列事件：
M＝“恰好两个元件正常”；
N＝“电路是通路”；
T＝“电路是断路”．
[解] (1)分别用x1，x2和x3表示元件A，B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用(x1，x2，x3)表示．进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，则样本空间
Ω＝{(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)，(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)}．
如图10.1-3，还可以借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果．
(2)“恰好两个元件正常”等价于(x1，x2，x3)∈Ω，且x1，x2，x3中恰有两个为1，所以
M＝{(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)}．
“电路是通路”等价于(x1，x2，x3)∈Ω，x1＝1，且x2，x3中至少有一个是1，所以
N＝{(1，1，0)，(1，0，1)，(1，1，1)}．
同理，“电路是断路”等价于(x1，x2，x3)∈Ω，x1＝0，或x1＝1，x2＝x3＝0.所以
T＝{(0，0，0), (0, 1，0), (0，0，1), (0，1，1)，(1，0，0)}．
[典例讲评] 1．抛掷一枚骰子，观察其朝上的面的点数，该试验的样本空间含6个样本点．
(1)若将一枚骰子先后抛掷两次，请列举出该试验的样本空间所包含的样本点；
(2)“向上的点数之和大于8”包含几个样本点？
[解] (1)用(x，y)表示结果，其中x表示骰子第1次出现的点数，y表示骰子第2次出现的点数，则试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，共36个样本点．
(2)法一(列举法)：“向上的点数之和大于8”包含以下10个样本点：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．
法二(列表法)：如图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，样本点与所描点一一对应．
“向上的点数之和大于8”包含10个样本点(已用虚线圈出)．
法三(树状图法)：一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示，如图所示，
“向上的点数之和大于8”包含10个样本点(已用“√”标出)．
反思领悟 样本点个数的三个探求方法
(1)列举法：适用样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏．
(2)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法，列表法的优点是准确、全面、不易遗漏．
(3)树状图法：适用较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举．
[学以致用] 1．(源自北师大版教材)写出下列试验的样本空间：
(1)连续抛掷一枚硬币2次，观察正面、反面出现的情况；
(2)甲、乙、丙、丁四位同学参加演讲比赛，通过抽签确定演讲的顺序，记录抽签的结果；
(3)连续抛掷一枚骰子2次，观察2次掷出的点数之和；
(4)设袋中装有4个白球和6个黑球，从中不放回地逐个取出，直至白球全部取出为止，记录取球的次数．
[解] (1)第一次硬币向上的面与第二次硬币向上的面构成一个样本点，样本空间为{(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}．
(2)四位同学的一个排列构成一个样本点，样本空间为{甲乙丙丁，甲乙丁丙，甲丙乙丁，甲丙丁乙，甲丁乙丙，甲丁丙乙，乙甲丙丁，乙甲丁丙，乙丙甲丁，乙丙丁甲，乙丁甲丙，乙丁丙甲，丙乙甲丁，丙乙丁甲，丙甲乙丁，丙甲丁乙，丙丁乙甲，丙丁甲乙，丁乙丙甲，丁乙甲丙，丁丙乙甲，丁丙甲乙，丁甲乙丙，丁甲丙乙}．
(3)第一枚骰子和第二枚骰子的点数和构成一个样本点，样本空间为{2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}．
(4)白球全部取出，至少取4次，最多取10次，样本空间为{4，5，6，7，8，9，10}．
探究2 随机事件、必然事件、不可能事件
探究问题2 在例1掷骰子试验中， 掷出“骰子的点数是奇数”是随机事件吗？ 掷出“骰子的点数为2的倍数”是否也是随机事件？如果用集合的形式来表示它们，那么这些集合与样本空间有什么关系？掷出骰子的点数可能为8吗？
[提示] 都是随机事件，掷出“骰子的点数是奇数”：A＝{1，3，5}，
掷出“骰子的点数为2的倍数”：B＝{2，4，6}．
集合A，B都是样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}的子集．掷出骰子的点数不可能为8.
[新知生成]
随机事件 将样本空间Ω的____称为随机事件，简称事件，并把只包含____样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生
子集
一个
必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，称Ω为必然事件
不可能
事件 空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，称 为不可能事件
[典例讲评] 2．试验E：甲、乙两人玩猜拳游戏(石头、剪刀、布)，观察甲、乙出拳的情况．
设事件A表示随机事件“甲、乙平局”；
事件B表示随机事件“甲赢得游戏”；
事件C表示随机事件“乙不输”．
试用集合表示事件A，B，C.
[解] 设石头为w1，剪刀为w2，布为w3，用(i，j)(i＝w1，w2，w3，j＝w1，w2，w3)表示游戏的结果，其中i表示甲出的拳，j表示乙出的拳，则样本空间E＝{(w1，w1)，(w1，w2)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w2，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)，(w3，w2)，(w3，w3)}．
因为事件A表示随机事件“甲、乙平局”，
则满足要求的样本点共有3个，分别为(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，
所以事件A＝{(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)}；
事件B表示“甲赢得游戏”，
则满足要求的样本点共有3个，分别为(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)，
所以事件B＝{(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)}；
因为事件C表示“乙不输”，
则满足要求的样本点共有6个，
(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w3，w2)，
所以事件C＝{(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w3，w2)}．
反思领悟 事件类型判断的关注点
(1)条件：在一定条件下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生．
(2)结果发生与否：若一定发生的，则为必然事件，一定不发生的则为不可能事件；若不确定发生与否，则称其为随机事件，随机事件有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况．
[学以致用] 2．下列事件中，必然事件为________，不可能事件为________，随机事件为________．(填序号)
①13个人中至少有2个人生肖相同；
②车辆随机到达一个路口，遇到红灯；
③函数y＝logax(0
④任意买一张电影票，座位号是2的倍数．
①
③
②④
① ③ ②④ [因为共有十二生肖，所以13个人中至少有2个人生肖相同，故①是必然事件；车辆随机到达一个路口，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯或者黄灯，故②是随机事件；因为0【教用·备选题】
1．在所有考试中，小明同学的语文、数学、英语这三科的成绩都是优秀或良好．随机抽取一次考试的成绩，记录小明同学的语文、数学、英语这三科成绩的情况．
(1)写出该试验的样本空间；
(2)用集合表示下列事件：
A＝“至少有两科成绩为优秀”；
B＝“三科成绩不都相同”．
[解] 分别用x1，x2，x3表示语文、数学、英语的成绩，则样本点表示为(x1，x2，x3)．用1表示优秀，用0表示良好，则x1，x2，x3∈{0，1}．
(1)该试验的样本空间可用列举法表示为Ω＝{(0，0，0)，(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)，(1，1，1)}．
(2)A＝{(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)，(1，1，1)}．
B＝{(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)}．
2．指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
(1)某人购买福利彩票一注，中奖了；
(2)下雪不冷化雪冷；
(3)没有空气和水，人类可以生存下去；
(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；
(5)从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；
(6)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．
[解] (1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．
(2)下雪不冷化雪冷是必然事件．
(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．
(4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件．
(5)任意抽取，可能得到1，2，3，4号标签中的任意一张，所以是随机事件．
(6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．
探究3 随机事件的含义
[典例讲评] 3．柜子里有3双不同的鞋，随机抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分别表示3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚，指出下列随机事件的含义．
(1)M＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}；
(2)N＝{A1B1，B1C1，A1C1}；
(3)P＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}．
[解] (1)事件M的含义是“从3双不同的鞋中，随机抽取2只，取出的2只鞋不成双”．
(2)事件N的含义是“从3双不同的鞋中，随机抽取2只，取出的2只鞋都是左脚的”．
(3)事件P的含义是“从3双不同的鞋中，随机抽取2只，取到的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，且不成双”．
反思领悟 解答此类题目，应先理解事件中样本点的意义，再观察事件中样本点的规律，才能确定随机事件的含义．
[学以致用] 3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y)(不考虑指针落在分界线上的情况)．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)写出事件A：“x＋y＝5”和事件B：“x<3且y>1”的集合表示；
(3)说出事件C＝{(1，4)，(2，2)，(4，1)}，D＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)}所表示的含义．
[解] (1)这个试验的样本空间为Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．
(2)事件A＝{(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}；
事件B＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)}．
(3)事件C表示“xy＝4”，事件D表示“x＝y”．
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
1．(多选)下列试验中，是随机事件的有( )
A．某射手射击一次，射中10环
B．同时掷两枚骰子，都出现6点
C．某人购买福利彩票未中奖
D．若x为实数，则x2－2x＋1<0
√
√
ABC [A，B，C为随机事件，D为不可能事件．故选ABC.]
2
3
题号
1
4
2．一个家庭生两个小孩，则关于两个孩子性别的所有的样本点有
( )
A．(男，女)，(男，男)，(女，女)
B．(男，女)，(女，男)
C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)
D．(男，男)，(女，女)
√
C [把第一个孩子的性别写在前面，第二个孩子的性别写在后面，则所有的样本点是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．故选C.]
2
3
题号
4
1
√
3．依次投掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验的样本点是( )
A．第一枚是3点，第二枚是1点
B．第一枚是3点，第二枚是1点或第一枚是1点，第二枚是3点或两枚都是2点
C．两枚都是4点
D．两枚都是2点
2
3
题号
4
1
B [依次投掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验的样本点是第一枚是3点，第二枚是1点或第一枚是1点，第二枚是3点或两枚都是2点．故选B.]
2
4
3
题号
1
4．已知A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，从A，B中各取一个元素分别作为点的横坐标和纵坐标，则该试验的样本空间Ω为_____________________________________________________．
{(－1，1)，(－1，2)，(0，1)，(0，2)，(1，1)，(1，2)}
1．知识链：(1)随机试验．
(2)样本点、样本空间、有限样本空间．
(3)随机事件、必然事件与不可能事件．
2．方法链：列举法、列表法、树状图法．
3．警示牌：在列举样本点时，注意要按照一定的顺序，做到不重、不漏．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．确定样本点个数的常用方法有哪些？书写样本点时常常注意哪些问题？
[提示] 确定样本点个数的常用方法有：列举法、列表法、树状图法．书写样本点时常常注意以下问题：要按顺序写，特别要注意题目中的有关字眼，如“先后”“依次”“顺序”“放回”“不放回”等．
2．如何写出试验的样本空间？
[提示] 确定试验的样本空间就是写出试验的所有可能的结果，并写成Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}的形式．
3．如何判断一个事件是否为随机事件、必然事件和不可能事件？
[提示] 看结果是否发生，一定发生的是必然事件，一定不发生的是不可能事件，可能发生也可能不发生的是随机事件．10.1 随机事件与概率
10.1.1 有限样本空间与随机事件
[学习目标] 1．理解随机试验、样本点与样本空间的概念，会写试验的样本空间．
2．了解随机事件的有关概念，掌握随机事件的表示方法及含义．
[讨论交流] 预习教材P228－P230的内容，思考以下问题：
问题1.什么是随机试验？其特点是什么？
问题2.什么是样本点和样本空间？怎么表示？
问题3.什么是随机事件、必然事件、不可能事件？
问题4.怎样区别随机事件、必然事件、不可能事件？
问题5.阅读例4，思考：
①电路为通路有哪些情况？如何用数学语言表示？
②如何用集合表示各事件？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 试验的样本空间
探究问题1 研究某种随机现象的规律，首先要观察它所有可能的基本结果．
(1)随机抛掷一枚硬币，可能出现哪些结果？事先知道哪一面朝上吗？
(2)买一注彩票，观察中奖、不中奖情况，可能出现哪些结果？事先知道这一结果吗？
(3)用符号语言如何表示探究问题1中(1)(2)的试验结果？
[提示] (1)随机抛掷一枚硬币，可能出现正面朝上、反面朝上两种结果，事先并不知道哪一面朝上．
(2)可能中奖和不中奖两种结果，事先并不知道哪一种结果．
(3)对于(1)的试验结果可用集合表示为{正面，反面}；对于(2)的试验结果可用集合表示为{中奖，不中奖}．
[新知生成]
1．随机试验的定义
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示．
2．随机试验的特点
(1)试验可以在相同条件下重复进行；
(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
3．样本点、样本空间
样本点 随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，用ω表示样本点
样本空间 全体样本点的集合Ω称为试验E的样本空间
有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间
【链接·教材例题】
例4 如图10.1-2，一个电路中有A，B，C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．把这个电路是否为通路看作一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常．
(1)写出试验的样本空间；
(2)用集合表示下列事件：
M＝“恰好两个元件正常”；
N＝“电路是通路”；
T＝“电路是断路”．
[解] (1)分别用x1，x2和x3表示元件A，B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用(x1，x2，x3)表示．进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，则样本空间
Ω＝{(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)，(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)}．
如图10.1-3，还可以借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果．
(2)“恰好两个元件正常”等价于(x1，x2，x3)∈Ω，且x1，x2，x3中恰有两个为1，所以
M＝{(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)}．
“电路是通路”等价于(x1，x2，x3)∈Ω，x1＝1，且x2，x3中至少有一个是1，所以
N＝{(1，1，0)，(1，0，1)，(1，1，1)}．
同理，“电路是断路”等价于(x1，x2，x3)∈Ω，x1＝0，或x1＝1，x2＝x3＝0.所以
T＝{(0，0，0), (0, 1，0), (0，0，1), (0，1，1)，(1，0，0)}．
[典例讲评] 1.抛掷一枚骰子，观察其朝上的面的点数，该试验的样本空间含6个样本点．
(1)若将一枚骰子先后抛掷两次，请列举出该试验的样本空间所包含的样本点；
(2)“向上的点数之和大于8”包含几个样本点？
[解] (1)用(x，y)表示结果，其中x表示骰子第1次出现的点数，y表示骰子第2次出现的点数，则试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，共36个样本点．
(2)法一(列举法)：“向上的点数之和大于8”包含以下10个样本点：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．
法二(列表法)：如图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，样本点与所描点一一对应．
“向上的点数之和大于8”包含10个样本点(已用虚线圈出)．
法三(树状图法)：一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示，如图所示，
“向上的点数之和大于8”包含10个样本点(已用“√”标出)．
样本点个数的三个探求方法
(1)列举法：适用样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏．
(2)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法，列表法的优点是准确、全面、不易遗漏．
(3)树状图法：适用较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举．
[学以致用] 1．(源自北师大版教材)写出下列试验的样本空间：
(1)连续抛掷一枚硬币2次，观察正面、反面出现的情况；
(2)甲、乙、丙、丁四位同学参加演讲比赛，通过抽签确定演讲的顺序，记录抽签的结果；
(3)连续抛掷一枚骰子2次，观察2次掷出的点数之和；
(4)设袋中装有4个白球和6个黑球，从中不放回地逐个取出，直至白球全部取出为止，记录取球的次数．
[解] (1)第一次硬币向上的面与第二次硬币向上的面构成一个样本点，样本空间为{(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}．
(2)四位同学的一个排列构成一个样本点，样本空间为{甲乙丙丁，甲乙丁丙，甲丙乙丁，甲丙丁乙，甲丁乙丙，甲丁丙乙，乙甲丙丁，乙甲丁丙，乙丙甲丁，乙丙丁甲，乙丁甲丙，乙丁丙甲，丙乙甲丁，丙乙丁甲，丙甲乙丁，丙甲丁乙，丙丁乙甲，丙丁甲乙，丁乙丙甲，丁乙甲丙，丁丙乙甲，丁丙甲乙，丁甲乙丙，丁甲丙乙}．
(3)第一枚骰子和第二枚骰子的点数和构成一个样本点，样本空间为{2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}．
(4)白球全部取出，至少取4次，最多取10次，样本空间为{4，5，6，7，8，9，10}．
探究2 随机事件、必然事件、不可能事件
探究问题2 在例1掷骰子试验中， 掷出“骰子的点数是奇数”是随机事件吗？ 掷出“骰子的点数为2的倍数”是否也是随机事件？如果用集合的形式来表示它们，那么这些集合与样本空间有什么关系？掷出骰子的点数可能为8吗？
[提示] 都是随机事件，掷出“骰子的点数是奇数”：A＝{1，3，5}，
掷出“骰子的点数为2的倍数”：B＝{2，4，6}．
集合A，B都是样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}的子集．掷出骰子的点数不可能为8.
[新知生成]
随机事件 将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生
必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，称Ω为必然事件
不可能 事件 空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，称 为不可能事件
[典例讲评] 2.试验E：甲、乙两人玩猜拳游戏(石头、剪刀、布)，观察甲、乙出拳的情况．
设事件A表示随机事件“甲、乙平局”；
事件B表示随机事件“甲赢得游戏”；
事件C表示随机事件“乙不输”．
试用集合表示事件A，B，C.
[解] 设石头为w1，剪刀为w2，布为w3，用(i，j)(i＝w1，w2，w3，j＝w1，w2，w3)表示游戏的结果，其中i表示甲出的拳，j表示乙出的拳，则样本空间E＝{(w1，w1)，(w1，w2)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w2，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)，(w3，w2)，(w3，w3)}．
因为事件A表示随机事件“甲、乙平局”，
则满足要求的样本点共有3个，分别为(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，
所以事件A＝{(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)}；
事件B表示“甲赢得游戏”，
则满足要求的样本点共有3个，分别为(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)，
所以事件B＝{(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)}；
因为事件C表示“乙不输”，
则满足要求的样本点共有6个，
(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w3，w2)，
所以事件C＝{(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w3，w2)}．
事件类型判断的关注点
(1)条件：在一定条件下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生．
(2)结果发生与否：若一定发生的，则为必然事件，一定不发生的则为不可能事件；若不确定发生与否，则称其为随机事件，随机事件有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况．
[学以致用] 2．下列事件中，必然事件为________，不可能事件为________，随机事件为________．(填序号)
①13个人中至少有2个人生肖相同；
②车辆随机到达一个路口，遇到红灯；
③函数y＝logax(0④任意买一张电影票，座位号是2的倍数．
① ③ ②④ [因为共有十二生肖，所以13个人中至少有2个人生肖相同，故①是必然事件；车辆随机到达一个路口，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯或者黄灯，故②是随机事件；因为0【教用·备选题】
1．在所有考试中，小明同学的语文、数学、英语这三科的成绩都是优秀或良好．随机抽取一次考试的成绩，记录小明同学的语文、数学、英语这三科成绩的情况．
(1)写出该试验的样本空间；
(2)用集合表示下列事件：
A＝“至少有两科成绩为优秀”；
B＝“三科成绩不都相同”．
[解] 分别用x1，x2，x3表示语文、数学、英语的成绩，则样本点表示为(x1，x2，x3)．用1表示优秀，用0表示良好，则x1，x2，x3∈{0，1}．
(1)该试验的样本空间可用列举法表示为Ω＝{(0，0，0)，(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)，(1，1，1)}．
(2)A＝{(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)，(1，1，1)}．
B＝{(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)}．
2．指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
(1)某人购买福利彩票一注，中奖了；
(2)下雪不冷化雪冷；
(3)没有空气和水，人类可以生存下去；
(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；
(5)从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；
(6)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．
[解] (1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．
(2)下雪不冷化雪冷是必然事件．
(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．
(4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件．
(5)任意抽取，可能得到1，2，3，4号标签中的任意一张，所以是随机事件．
(6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．
探究3 随机事件的含义
[典例讲评] 3.柜子里有3双不同的鞋，随机抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分别表示3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚，指出下列随机事件的含义．
(1)M＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}；
(2)N＝{A1B1，B1C1，A1C1}；
(3)P＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}．
[解] (1)事件M的含义是“从3双不同的鞋中，随机抽取2只，取出的2只鞋不成双”．
(2)事件N的含义是“从3双不同的鞋中，随机抽取2只，取出的2只鞋都是左脚的”．
(3)事件P的含义是“从3双不同的鞋中，随机抽取2只，取到的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，且不成双”．
解答此类题目，应先理解事件中样本点的意义，再观察事件中样本点的规律，才能确定随机事件的含义．
[学以致用] 3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y)(不考虑指针落在分界线上的情况)．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)写出事件A：“x＋y＝5”和事件B：“x<3且y>1”的集合表示；
(3)说出事件C＝{(1，4)，(2，2)，(4，1)}，D＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)}所表示的含义．
[解] (1)这个试验的样本空间为Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．
(2)事件A＝{(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}；
事件B＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)}．
(3)事件C表示“xy＝4”，事件D表示“x＝y”．
1．(多选)下列试验中，是随机事件的有( )
A．某射手射击一次，射中10环
B．同时掷两枚骰子，都出现6点
C．某人购买福利彩票未中奖
D．若x为实数，则x2－2x＋1<0
ABC [A，B，C为随机事件，D为不可能事件．故选ABC.]
2．一个家庭生两个小孩，则关于两个孩子性别的所有的样本点有( )
A．(男，女)，(男，男)，(女，女)
B．(男，女)，(女，男)
C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)
D．(男，男)，(女，女)
C [把第一个孩子的性别写在前面，第二个孩子的性别写在后面，则所有的样本点是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．故选C.]
3．依次投掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验的样本点是( )
A．第一枚是3点，第二枚是1点
B．第一枚是3点，第二枚是1点或第一枚是1点，第二枚是3点或两枚都是2点
C．两枚都是4点
D．两枚都是2点
B [依次投掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验的样本点是第一枚是3点，第二枚是1点或第一枚是1点，第二枚是3点或两枚都是2点．故选B.]
4．已知A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，从A，B中各取一个元素分别作为点的横坐标和纵坐标，则该试验的样本空间Ω为________．
[答案] {(－1，1)，(－1，2)，(0，1)，(0，2)，(1，1)，(1，2)}
1．知识链：(1)随机试验．
(2)样本点、样本空间、有限样本空间．
(3)随机事件、必然事件与不可能事件．
2．方法链：列举法、列表法、树状图法．
3．警示牌：在列举样本点时，注意要按照一定的顺序，做到不重、不漏．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．确定样本点个数的常用方法有哪些？书写样本点时常常注意哪些问题？
[提示] 确定样本点个数的常用方法有：列举法、列表法、树状图法．书写样本点时常常注意以下问题：要按顺序写，特别要注意题目中的有关字眼，如“先后”“依次”“顺序”“放回”“不放回”等．
2．如何写出试验的样本空间？
[提示] 确定试验的样本空间就是写出试验的所有可能的结果，并写成Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}的形式．
3．如何判断一个事件是否为随机事件、必然事件和不可能事件？
[提示] 看结果是否发生，一定发生的是必然事件，一定不发生的是不可能事件，可能发生也可能不发生的是随机事件．
课时分层作业(四十四) 有限样本空间与随机事件
一、选择题
1．在不透明的布袋中，装有大小、形状完全相同的3个黑球、1个红球，从中摸一个球，摸出1个黑球这一事件是 ( )
A．必然事件 B．随机事件
C．确定事件 D．不可能事件
B [根据题意，从布袋中摸出一个球，有可能是黑球，也有可能是红球，
故摸出1个黑球是随机事件．故选B.]
2．从含有10件正品、2件次品的12件产品中，任意抽取3件，则必然事件是( )
A．3件都是正品 B．3件都是次品
C．至少有1件次品 D．至少有1件正品
D [从10件正品、2件次品中任意抽取3件，A中，3件都是正品是随机事件；B中，3件都是次品是不可能事件；C中，至少有1件次品是随机事件；D中，因为只有两件次品，所以从中任意抽取3件必然会抽到正品，即至少有1件是正品是必然事件．故选D.]
3．为了丰富高一学生的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模型、绘画4个兴趣小组，小明要随机选报其中的2个，则该试验中样本点的个数为( )
A．3 B．5
C．6 D．9
C [由题意，得样本点为(数学，计算机)，(数学，航空模型)，(数学，绘画)，(计算机，航空模型)，(计算机，绘画)，(航空模型，绘画)，共6个．]
4．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1，0，2，4，6，8}，从集合A中任取不相同的两个数作为点P的坐标，则事件“点P落在x轴上”包含的样本点共有( )
A．7个 B．8个
C．9个 D．10个
C [“点P落在x轴上”包含的样本点的特征是纵坐标为0，横坐标不为0，因为A中有9个非零数，故选C.]
5．在10名学生中，男生有x人．现从10名学生中任选6人去参加某项活动，有下列事件：
①至少有一名女生；
②5名男生，1名女生；
③3名男生，3名女生．
若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则x为( )
A．5 B．6
C．3或4 D．5或6
C [由题意，知10名学生中，男生人数少于5，但不少于3，所以x＝3或x＝4.故选C.]
二、填空题
6．写出下列试验的样本空间：
(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)________；
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数________．
(1)Ω＝{胜，平，负} (2)Ω＝{0，1，2，3，4} [(1)对于甲队来说，有胜、平、负三种结果；
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，其次品的个数可能为0，1，2，3，4，不可能再有其他结果．]
7．从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，用(a，b)表示该试验的样本点，则事件“logab为整数”可表示为________．
{(2，8)，(3，9)} [只有log28＝3，log39＝2为整数．]
8．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1，2和3，现任取3面，事件“三面旗帜的颜色与号码均不相同”所包含的样本点的个数是________．
6 [由题意知样本点有：(红1，黄2，蓝3)，(红1，黄3，蓝2)，(红2，黄1，蓝3)，(红2，黄3，蓝1)，(红3，黄1，蓝2)，(红3，黄2，蓝1)，共6个．]
三、解答题
9．从0，1，2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验样本点的总数；
(3)用集合表示“第1次取出的数字是2”这一事件．
[解] (1)这个试验的样本空间Ω＝{(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，2)，(2，0)，(2，1)}．
(2)易知这个试验的样本点的总数是6.
(3)记“第1次取出的数字是2”这一事件为A，则A＝{(2，0)，(2，1)}．
10．一袋中装有10个红球、8个白球、7个黑球，现在把球随机地一个一个摸出来，为了保证在第k次或第k次之前一定能摸出红球，则k的最小值为( )
A．10 B．15
C．16 D．17
C [摸完黑球和白球共需15次，则第16次一定能摸出红球．]
11．(多选)给出关于满足A B的非空集合A，B的四个命题，其中正确的命题是( )
A．若任取x∈A，则x∈B是必然事件
B．若任取x A，则x∈B是不可能事件
C．若任取x∈B，则x∈A是随机事件
D．若任取x B，则x A是必然事件
ACD [根据A B的Venn图(图略)可知，对于A，集合A中的所有元素都在B中，故A正确；对于B，当集合B的范围比A大时，不在A中的元素，有可能在B中，故B错误；对于C，因为A B，所以在B中的元素有可能在A中，易知C正确；对于D，由于B包含A，故若所取元素不在B中，则必不在A中，故D正确．]
12．将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，得到的点数依次记为a，b，设事件M为“方程ax2＋bx＋1＝0(a＞0)有实数解”，则事件M中含有样本点的个数为( )
A．6 B．17
C．19 D．21
C [将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，得到的点数依次记为a和b，
∵方程ax2＋bx＋1＝0(a＞0)有实数解，
∴Δ＝b2－4a≥0，
则M＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，5)，(6，6)}，共含19个样本点．]
13．某个部件由三个元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，用x1，x2，x3分别表示元件1、元件2、元件
3，则样本点表示为(x1，x2，x3)，且“1”表示元件正常工作，“0”表示元件不能正常工作，则部件能正常工作的样本点有________．
(1，1，1)，(1，0，1)，(0，1，1) [试验的样本空间可记为Ω＝{(1，1，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)，(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(0，0，0)}，其中部件正常工作的样本点有(1，1，1)，(1，0，1)，(0，1，1)．]
14．有两名男生(记为B1和B2)和两名女生(记为G1和G2)，从这四人中依次选取两名学生．
(1)请写出有放回简单随机抽样的样本空间；
(2)请写出不放回简单随机抽样的样本空间．
[解] (1)有放回简单随机抽样时，样本空间为
Ω1＝{(B1，B1)，(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B1)，(B2，B2)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G1)，(G1，G2)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)，(G2，G2)}．
(2)不放回简单随机抽样时，样本空间为
Ω2＝{(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B1)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G2)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)}．
15．设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S1，S2，…，S10，共10站．若甲在S3站买票，乙在S6站买票．设试验的样本空间Ω表示火车所有可能停靠的站，令A表示甲可能到达的站的集合，B表示乙可能到达的站的集合．
(1)写出该试验的样本空间Ω；
(2)写出A，B包含的样本点；
(3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？
[解] (1)Ω＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}．
(2)A＝{S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}；B＝{S7，S8，S9，S10}．
(3)铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种，
从S2站发车的车票共计8种，……，从S9站发车的车票1种，共9＋8＋…＋2＋1＝45(种)．
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