(共48张PPT)
10.1.2 事件的关系和运算
第十章 概率
10.1 随机事件与概率
整体感知
[学习目标] 1．理解事件的关系和运算．
2．通过事件之间的运算，理解互斥事件和对立事件的概念．
[讨论交流] 预习教材P231－P235的内容，思考以下问题：
问题1.事件的关系有哪些？
问题2.互斥事件与对立事件有什么关系？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1 事件的关系
在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件，例如：
Ci＝“点数为i”，i＝1，2，3，4，5，6；
D1＝“点数不大于3”；D2＝“点数大于3”；
E1＝“点数为1或2”；E2＝“点数为2或3”；
F＝“点数为偶数”；G＝“点数为奇数”；
……
探究问题1 用集合的形式表示事件C1＝“点数为1”和事件G＝“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这两个事件之间的联系吗？
[提示] C1＝{1}和G＝{1，3，5}，∵{1} {1，3，5}，∴C1 G.
[新知生成]
关系 定义 符号表示 图示
包含关系 一般地，若事件A发生，则事件B____发生，称事件B____事件A(或事件A包含于事件B) B A(或
A B)
一定
包含
关系 定义 符号表示 图示
相等关系 特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B__A且A__B，则称事件A与事件B相等 ____
A＝B
探究2 事件间的运算
探究问题2 用集合的形式表示事件D1＝“点数不大于3”，事件E1＝“点数为1或2”和事件E2＝“点数为2或3”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
[提示] D1＝{1，2，3}，E1＝{1，2}和E2＝{2，3}．{1，2}∪{2，3}＝{1，2，3}，即E1∪E2＝D1.
探究问题3 事件C2＝“点数为2”，事件E1＝“点数为1或2”和事件E2＝“点数为2或3”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
[提示] E1＝{1，2}，E2＝{2，3}，C2＝{2}．{1，2}∩{2，3}＝{2}，即E1∩E2＝C2.
[新知生成]
事件 定义 符号表示 图示
并事件 事件A与事件B__________发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) _____(或_____)
至少有一个
A∪B
A＋B
事件 定义 符号表示 图示
交事
件 事件A与事件B____发生，称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) _____(或___)
同时
A∩B
AB
【教用·微提醒】 事件A∪B指的是事件A与事件B至少有一个发生，不是事件A与事件B只有一个发生．
[典例讲评] 1．(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系正确的是( )
A．A∩D≠ B．B∩D＝
C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D
√
√
√
ABC [“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中飞机”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中，故A∩D≠ ，B∩D＝ ，A∪C＝D，A∪B≠B∪D.]
反思领悟 事件间的运算方法
(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．
(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．
[学以致用] 1．一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：
事件A：恰有一件次品；事件B：至少有两件次品；
事件C：至少有一件次品；事件D：至多有一件次品．
并给出以下结论：
①A∪B＝C；②D∪B是必然事件；
③A∩B＝C；④A∩D＝C.
其中正确的结论是( )
A．①② B．③④
C．①③ D．②③
√
A [事件A∪B：至少有一件次品，即事件C，所以①正确；事件D∪B：至少有两件次品或至多有一件次品，包括了所有情况，所以②正确；事件A∩B＝ ，所以③不正确；事件A∩D：恰有一件次品，即事件A，所以④不正确．]
探究3 互斥事件与对立事件
探究问题4 从一副扑克牌中任抽一张，设事件A表示“抽出的是红桃”，事件B表示“抽出的是梅花”，在一次抽取中事件A和事件B能同时发生吗？能同时不发生吗？
[提示] 在一次抽取中，事件A和事件B不能同时发生，但能同时不发生．
[新知生成]
事件 定义 符号表示 图示
互斥事件 如果事件A与事件B________发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容) 若________，
则A与B互斥
不能同时
A∩B＝
事件 定义 符号表示 图示
对立
事件 若________，且A∪B＝Ω，则A与B对立
有且仅有一个
A∩B＝
【教用·微提醒】 若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件；反之，不一定成立．
【链接·教材例题】
例5 如图10.1-9，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效．设事件A＝“甲元件正常”，B＝“乙元件正常”．
分析：注意到试验由甲、 乙两个元件的状态组成，所以可以用数组(x1，x2)表示样本点．这样，确定事件A，B所包含的样本点时，不仅要考虑甲元件的状态，还要考虑乙元件的状态．
例6 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R1＝“第一次摸到红球”，R2＝“第二次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两个球颜色相同”，N＝“两个球颜色不同”．
(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
(2)事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？
(3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？
[解] (1)所有的试验结果如图10.1-10所示．用数组(x1，x2)表示可能的结果，x1是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号，则试验的样本空间
Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，
(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}．
事件R1＝“第一次摸到红球”，即x1＝1或2，于是
R1＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)}；
事件R2＝“第二次摸到红球”，即x2＝1或2，于是
R2＝{(2, 1)，(3，1)，(4，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)}．
同理，有
R＝{(1，2)，(2，1)}，
G＝{(3，4)，(4，3)}，
M＝{(1，2)，(2，1)，(3，4)，(4，3)}，
N＝{(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}．
(2)因为R R1，所以事件R1包含事件R；
因为R∩G＝ ，所以事件R与事件G互斥；
因为M∪N＝Ω，M∩N＝ ，所以事件M与事件N互为对立事件．
(3)因为R∪G＝M，所以事件M是事件R与事件G的并事件；
因为R1∩R2＝R，所以事件R是事件R1与事件R2的交事件．
[典例讲评] 2．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取1张．判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
[解] (1)是互斥事件，不是对立事件．
理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．
理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，当然不是对立事件．
理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得的牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然也不是对立事件．
反思领悟 判断互斥事件、对立事件的两种方法
定义法 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断．不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件
集合法 (1)由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．
(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集
[学以致用] 2．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)恰有1名男生与恰有2名男生；
(2)至少有1名男生与全是男生；
(3)至少有1名男生与全是女生；
(4)至少有1名男生与至少有1名女生．
[解] 判断两个事件是否互斥，就要考察它们是否能同时发生；判断两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生．
(1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．
(2)因为“至少有1名男生”与“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件．
(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．
(4)由于选出的是1名男生1名女生时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
【教用·备选题】 已知一名射手进行一次射击．事件A：命中的环数大于8；事件B：命中的环数大于5；事件C：命中的环数小于4；事件D：命中的环数小于6.
(1)用语言描述事件A，B，C，D的对立事件；
(2)用集合表示A，B，C，D各个事件所含结果的相互关系；
(3)指出其中的互斥事件．
[解] (1)事件A的对立事件：命中的环数小于9；
事件B的对立事件：命中的环数小于6；
事件C的对立事件：命中的环数大于3；
事件D的对立事件：命中的环数大于5.
(2)如图所示．
(3)A与C互斥，A与D互斥，B与C互斥，B与D互斥．
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
1．把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是
( )
A．对立事件 B．互斥但不对立事件
C．不可能事件 D．以上都不对
2
4
3
题号
1
应用迁移
B [因为事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不可能同时发生，所以它们是互斥事件，
因为事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不包含所有的可能事件，所以它们不是对立事件，所以它们是互斥但不对立事件，故选B.]
2
3
题号
1
4
2．打靶3次，事件Ai＝“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么A＝A1∪A2∪A3表示( )
A．全部击中 B．至少击中1发
C．至少击中2发 D．全部未击中
√
B [A1∪A2∪A3表示的是A1，A2，A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发，故选B.]
2
3
题号
4
1
√
3．掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则( )
A．A∪B＝Ω
B．事件A与B是互斥事件
C．A∩B＝{出现的点数为2}
D．事件A与B是对立事件
2
3
题号
4
1
2
4
3
题号
1
4．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，“甲夺得冠军”为事件A，“乙夺得冠军”为事件B，那么“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”用事件A与B可表示为________________．
A＋B(或A∪B) [由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”即事件“甲夺得冠军”或“乙夺得冠军”，因此事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”为事件A＋B.]
A＋B(或A∪B)
1．知识链：(1)事件的包含关系与相等关系．
(2)并事件和交事件．
(3)互斥事件和对立事件．
2．方法链：列举法、Venn图法．
3．警示牌：注意正确理解互斥事件和对立事件之间的关系．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．事件间的关系和运算有哪些？如何用符号表示？
[提示]
事件的关系和运算 含义 符号表示
包含 A发生导致B发生 A B
并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B
或A＋B
事件的关系和运算 含义 符号表示
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B＝
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B＝ ，
A∪B＝Ω
2．互斥事件与对立事件有什么关系？
[提示] (1)对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．
(2)从集合的观点来判断：设事件A与B所含的样本点组成的集合分别是A，B，若A，B互斥，则A∩B＝ ，若A，B对立，则A∩B＝ ，且A∪B＝Ω，即 ΩB＝A， ΩA＝B.10.1.2 事件的关系和运算
[学习目标] 1．理解事件的关系和运算．
2．通过事件之间的运算，理解互斥事件和对立事件的概念．
[讨论交流] 预习教材P231－P235的内容，思考以下问题：
问题1.事件的关系有哪些？
问题2.互斥事件与对立事件有什么关系？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 事件的关系
在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件，例如：
Ci＝“点数为i”，i＝1，2，3，4，5，6；
D1＝“点数不大于3”；D2＝“点数大于3”；
E1＝“点数为1或2”；E2＝“点数为2或3”；
F＝“点数为偶数”；G＝“点数为奇数”；
……
探究问题1 用集合的形式表示事件C1＝“点数为1”和事件G＝“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这两个事件之间的联系吗？
[提示] C1＝{1}和G＝{1，3，5}，∵{1} {1，3，5}，∴C1 G.
[新知生成]
关系 定义 符号表示 图示
包含关系 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B A(或 A B)
相等关系 特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B A且A B，则称事件A与事件B相等 A＝B
探究2 事件间的运算
探究问题2 用集合的形式表示事件D1＝“点数不大于3”，事件E1＝“点数为1或2”和事件E2＝“点数为2或3”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
[提示] D1＝{1，2，3}，E1＝{1，2}和E2＝{2，3}．{1，2}∪{2，3}＝{1，2，3}，即E1∪E2＝D1.
探究问题3 事件C2＝“点数为2”，事件E1＝“点数为1或2”和事件E2＝“点数为2或3”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
[提示] E1＝{1，2}，E2＝{2，3}，C2＝{2}．{1，2}∩{2，3}＝{2}，即E1∩E2＝C2.
[新知生成]
事件 定义 符号表示 图示
并事 件 事件A与事件B至少有一个发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B)
交事 件 事件A与事件B同时发生，称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB)
【教用·微提醒】 事件A∪B指的是事件A与事件B至少有一个发生，不是事件A与事件B只有一个发生．
[典例讲评] 1.(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系正确的是( )
A．A∩D≠ B．B∩D＝
C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D
ABC [“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中飞机”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中，故A∩D≠ ，B∩D＝ ，A∪C＝D，A∪B≠B∪D.]
事件间的运算方法
(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．
(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．
[学以致用] 1．一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：
事件A：恰有一件次品；事件B：至少有两件次品；
事件C：至少有一件次品；事件D：至多有一件次品．
并给出以下结论：
①A∪B＝C；②D∪B是必然事件；
③A∩B＝C；④A∩D＝C.
其中正确的结论是( )
A．①② B．③④
C．①③ D．②③
A [事件A∪B：至少有一件次品，即事件C，所以①正确；事件D∪B：至少有两件次品或至多有一件次品，包括了所有情况，所以②正确；事件A∩B＝ ，所以③不正确；事件A∩D：恰有一件次品，即事件A，所以④不正确．]
探究3 互斥事件与对立事件
探究问题4 从一副扑克牌中任抽一张，设事件A表示“抽出的是红桃”，事件B表示“抽出的是梅花”，在一次抽取中事件A和事件B能同时发生吗？能同时不发生吗？
[提示] 在一次抽取中，事件A和事件B不能同时发生，但能同时不发生．
[新知生成]
事件 定义 符号表示 图示
互斥事件 如果事件A与事件B不能同时发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容) 若A∩B＝ ， 则A与B互斥
对立事件 如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 若A∩B＝ ，且A∪B＝Ω，则A与B对立
【教用·微提醒】 若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件；反之，不一定成立．
【链接·教材例题】
例5 如图10.1-9，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效．设事件A＝“甲元件正常”，B＝“乙元件正常”．
(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间；
(2)用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件；
(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件，并说明它们的含义及关系．
分析：注意到试验由甲、 乙两个元件的状态组成，所以可以用数组(x1，x2)表示样本点．这样，确定事件A，B所包含的样本点时，不仅要考虑甲元件的状态，还要考虑乙元件的状态．
[解] (1)用x1，x2分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用(x1，x2)表示这个并联电路的状态．以1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间为Ω＝{(0，0)，(0，1)，(1，0), (1，1)}．
(2)根据题意，可得
A＝{(1，0)，(1，1)}，B＝{(0，1), (1，1)}，
＝{(0，0), (1，0)}．
(3)A∪B＝{(0，1)，(1，0)，(1，1)}，表示电路工作正常，表示电路工作不正常互为对立事件．
例6 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R1＝“第一次摸到红球”，R2＝“第二次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两个球颜色相同”，N＝“两个球颜色不同”．
(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
(2)事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？
(3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？
[解] (1)所有的试验结果如图10.1-10所示．用数组(x1，x2)表示可能的结果，x1是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号，则试验的样本空间
Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4), (2，1), (2，3), (2，4)，
(3, 1), (3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}．
事件R1＝“第一次摸到红球”，即x1＝1或2，于是
R1＝{(1, 2)，(1, 3)，(1, 4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)}；
事件R2＝“第二次摸到红球”，即x2＝1或2，于是
R2＝{(2, 1), (3，1)，(4，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)}．
同理，有
R＝{(1，2)，(2，1)}，
G＝{(3，4), (4，3)}，
M＝{(1，2)，(2，1)，(3，4)，(4，3)}，
N＝{(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}．
(2)因为R R1，所以事件R1包含事件R；
因为R∩G＝ ，所以事件R与事件G互斥；
因为M∪N＝Ω，M∩N＝ ，所以事件M与事件N互为对立事件．
(3)因为R∪G＝M，所以事件M是事件R与事件G的并事件；
因为R1∩R2＝R，所以事件R是事件R1与事件R2的交事件．
[典例讲评] 2.从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取1张．判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
[解] (1)是互斥事件，不是对立事件．
理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．
理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，当然不是对立事件．
理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得的牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然也不是对立事件．
判断互斥事件、对立事件的两种方法
定义法 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断．不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件
集合法 (1)由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥． (2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集
[学以致用] 2．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)恰有1名男生与恰有2名男生；
(2)至少有1名男生与全是男生；
(3)至少有1名男生与全是女生；
(4)至少有1名男生与至少有1名女生．
[解] 判断两个事件是否互斥，就要考察它们是否能同时发生；判断两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生．
(1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．
(2)因为“至少有1名男生”与“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件．
(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．
(4)由于选出的是1名男生1名女生时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
【教用·备选题】 已知一名射手进行一次射击．事件A：命中的环数大于8；事件B：命中的环数大于5；事件C：命中的环数小于4；事件D：命中的环数小于6.
(1)用语言描述事件A，B，C，D的对立事件；
(2)用集合表示A，B，C，D各个事件所含结果的相互关系；
(3)指出其中的互斥事件．
[解] (1)事件A的对立事件：命中的环数小于9；
事件B的对立事件：命中的环数小于6；
事件C的对立事件：命中的环数大于3；
事件D的对立事件：命中的环数大于5.
(2)如图所示．
(3)A与C互斥，A与D互斥，B与C互斥，B与D互斥．
1．把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )
A．对立事件 B．互斥但不对立事件
C．不可能事件 D．以上都不对
B [因为事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不可能同时发生，所以它们是互斥事件，
因为事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不包含所有的可能事件，所以它们不是对立事件，所以它们是互斥但不对立事件，故选B.]
2．打靶3次，事件Ai＝“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么A＝A1∪A2∪A3表示( )
A．全部击中 B．至少击中1发
C．至少击中2发 D．全部未击中
B [A1∪A2∪A3表示的是A1，A2，A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发，故选B.]
3．掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则( )
A．A∪B＝Ω
B．事件A与B是互斥事件
C．A∩B＝{出现的点数为2}
D．事件A与B是对立事件
C [掷骰子有点数为1，2，3，4，5，6六种结果，
即Ω＝，事件A＝，B＝，
故A∪B＝≠Ω，A∩B＝，即事件A，B既不互斥也不对立．显然C正确．
故选C.]
4．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，“甲夺得冠军”为事件A，“乙夺得冠军”为事件B，那么“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”用事件A与B可表示为________．
A＋B(或A∪B) [由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”即事件“甲夺得冠军”或“乙夺得冠军”，因此事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”为事件A＋B.]
1．知识链：(1)事件的包含关系与相等关系．
(2)并事件和交事件．
(3)互斥事件和对立事件．
2．方法链：列举法、Venn图法．
3．警示牌：注意正确理解互斥事件和对立事件之间的关系．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．事件间的关系和运算有哪些？如何用符号表示？
[提示]
事件的关系和运算 含义 符号表示
包含 A发生导致B发生 A B
并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B 或A＋B
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B＝
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B＝ ， A∪B＝Ω
2.互斥事件与对立事件有什么关系？
[提示] (1)对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．
(2)从集合的观点来判断：设事件A与B所含的样本点组成的集合分别是A，B，若A，B互斥，则A∩B＝ ，若A，B对立，则A∩B＝ ，且A∪B＝Ω，即 ΩB＝A， ΩA＝B.
课时分层作业(四十五) 事件的关系和运算
一、选择题
1．同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件A，“向上的面至少有一枚是正面”为事件B，则有( )
A．A＝B B．A B
C．A B D．A与B之间没有关系
C [由同时抛掷两枚硬币，样本空间为Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，
其中事件A＝{(正，正)}，事件B＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)}，
所以A B.故选C.]
2．从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数” 为事件B，则A∪B和A∩B包含的样本点数分别为( )
A.1，6 B．4，2
C．5，1 D．6，1
C [从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间为Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}．
其中事件A包含的样本点有：(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共4个．
事件B包含的样本点有：(1，3)，(2，4)，共2个．
所以事件A∪B包含的样本点有：(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共5个；
事件A∩B包含的样本点有：(2，4)，共1个．
故选C.]
3．甲、乙两个元件构成一串联电路，设E＝“甲元件正常运行”，F＝“乙元件正常运行”，则事件“电路故障”可表示为( )
A．E∪F B．E∩F
C．E D．
D [由题意，知＝“甲元件故障”，＝“乙元件故障”，在该串联电路中，甲元件故障或乙元件故障，都会造成电路故障，所以事件“电路故障”可表示为.故选D.]
4．一只口袋中有大小一样的4个白球与4个黑球，从中一次任意摸出2个球，事件“摸出2个白球”与事件“摸出1个白球和1个黑球”是( )
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥事件 D．以上答案都不对
C [因为事件“摸出2个白球”与事件“摸出1个白球和1个黑球”不可能同时发生，
所以事件“摸出2个白球”与事件“摸出1个白球和1个黑球”是互斥事件．故选C.]
5．已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设E表示事件“3件产品全不是次品”，F表示事件“3件产品全是次品”，G表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是( )
A．F与G互斥
B．E与G互斥但不对立
C．E，F，G任意两个事件均互斥
D．E与G互为对立
D [由题意得事件E与事件F不可能同时发生，是互斥事件；事件E与事件G不可能同时发生，是互斥事件；当事件F发生时，事件G一定发生，所以事件F与事件G不是互斥事件，故A，C不正确；事件E与事件G中必有一个发生，所以事件E与事件G互为对立，故B不正确，D正确．]
二、填空题
6．设某随机试验的样本空间Ω＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{2，3，4}，B＝{3，4，5}，C＝{5，6，7}，则A∪B＝________； ∩B＝________．
[答案] {2，3，4，5} {5}
7．在随机抛掷一颗均匀骰子的试验中，事件A＝“出现不大于4的偶数点”，事件B＝“出现小于6的点数”，则事件A的含义为________，事件A∩B的含义为________．
出现2，4，6点 出现2，4点 [易知＝“出现6点”，则A＝“出现2，4，6点”，A∩B＝“出现2，4点”．]
8．现有语文、数学、英语、物理和化学5本书，从中任取1本，记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A，B，C，D，E，则事件取出的书不是语文和英语可记为________．
[答案] B∪D∪E
三、解答题
9．掷一枚骰子，下列事件：
A＝“出现奇数点”，B＝“出现偶数点”，C＝“点数小于3”，D＝“点数大于2”，E＝“点数是3的倍数”．
求：(1)A∩B，BC；
(2)A∪B，B＋C；
(3)记为事件H的对立事件，求C，∪C， .
[解] (1)A∩B＝ ，BC＝{2}．
(2)A∪B＝{1，2，3，4，5，6}，
B＋C＝{1，2，4，6}．
(3)C＝BC＝{2}；
＝{1，2，4，5}．
10．某饮料生产企业推出了一种有一定几率中奖的新饮料．甲、乙两名同学都购买了这种饮料，设事件A为“甲、乙都中奖”，则与A互为对立事件的是( )
A．甲、乙恰有一人中奖
B．甲、乙都没中奖
C．甲、乙至少有一人中奖
D．甲、乙至多有一人中奖
D [“甲、乙恰有一人中奖”与A互斥但不对立，故A错误； “甲、乙都没中奖”与A互斥但不对立，故B错误； “甲、乙至少有一人中奖”与A不互斥，故C错误； “甲、乙至多有一人中奖”与A互斥且对立，故D正确．故选D.]
11．(多选)某篮球运动员进行投篮训练，连续投篮两次，设事件A表示随机事件“两次都投中”，事件B表示随机事件“两次都未投中”，事件C表示随机事件“恰有一次投中”，事件D表示随机事件“至少有一次投中”，则下列关系正确的是( )
A．A D B．B∩D＝
C．A∪B＝B∪D D．A∪C＝D
ABD [根据题意可得：事件A表示“两次都投中”；事件B表示“两次都未投中”；
事件C表示“恰有一次投中”；
事件D表示“至少有一次投中”，即表示“两次都投中”或“恰有一次投中”，
故A D，所以选项A正确；
事件B和事件D是对立事件，故B∩D＝ ，所以选项B正确；
事件A∪B表示“两次都投中”或“两次都未投中”，而事件B∪D表示“两次都未投中” “两次都投中”或“恰有一次投中”，故选项C错误；
事件A∪C表示“两次都投中”或“恰有一次投中”，故A∪C＝D，所以选项D正确．故选ABD.]
12．一副扑克牌(含大王、小王)共54张，A，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K各4张，从该副扑克牌中随机取出两张，事件A＝“取出的牌有两张6”，事件B＝“取出的牌至少有一张黑桃”，事件C＝“取出的牌有一张大王”，事件D＝“取出的牌有一张红桃6”，则( )
A．事件A与事件D互斥
B．事件B与事件C互斥
C．事件B与事件D互斥
D．事件A与事件C互斥
D [因为事件A与事件D，事件B与事件C，事件B与事件D都可以同时发生，所以A，B，C错误．
因为取出的牌有两张6的同时不可能再有一张大王，所以事件A与事件C互斥．
故选D.]
13．在如图所示的电路中，用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A＝________．(用B，C，D间的运算关系式表示)
(BC)∪(BD)(或B∩(C∪D)) [要使电灯变亮，则开关Ⅰ闭合，且开关Ⅱ，Ⅲ至少有一个闭合，所以A＝(BC)∪(BD)或B∩(C∪D)．]
14．5个相同的小球，分别标上数字1，2，3，4，5，依次有放回地抽取两个小球，记事件A为“第一次抽取的小球上的数字为奇数”，事件B为“抽取的两个小球上的数字至少有一个是偶数”，事件C为“两个小球上的数字之和为偶数”，试用集合的形式表示A，B，C，A∩B，∩C.
[解] 样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)}，
A＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)}，
B＝{(1，2)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，2)，(5，4)}，
C＝{(1，1)，(1，3)，(1，5)，(2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，2)，(4，4)，(5，1)，(5，3)，(5，5)}．
A∩B＝{(1，2)，(1，4)，(3，2)，(3，4)，(5，2)，(5，4)}．
＝{(2，1)，(2，3)，(2，5)，(4，1)，(4，3)，(4，5)}．
∩C＝{(1，1)，(1，3)，(1，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)}．
15．利用如图所示的两个转盘玩配色游戏．两个转盘各转一次，观察指针所指区域的颜色(不考虑指针落在分界线上的情况)．事件A表示“转盘①指针所指区域是黄色”，事件B表示“转盘②指针所指区域是绿色”，用集合表示A∩B，A∪B.
[解] 列表如下：
转盘②转出的颜色 转盘①转出的颜色
红 黄 蓝
蓝 (红，蓝) (黄，蓝) (蓝，蓝)
黄 (红，黄) (黄，黄) (蓝，黄)
红 (红，红) (黄，红) (蓝，红)
绿 (红，绿) (黄，绿) (蓝，绿)
紫 (红，紫) (黄，紫) (蓝，紫)
由上表可知，共有15种等可能的结果，
其中A＝{(黄，蓝)，(黄，黄)，(黄，红)，(黄，绿)，(黄，紫)}，B＝{(红，绿)，(黄，绿)，(蓝，绿)}，所以A∩B＝{(黄，绿)}，
A∪B＝{(黄，蓝)，(黄，黄)，(黄，红)，(黄，绿)，(黄，紫)，(红，绿)，(蓝，绿)}．
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