10.2 事件的相互独立性
[学习目标] 1．在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念．
2．能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．
[讨论交流] 预习教材P249－P252的内容，思考以下问题：
问题1.事件的相互独立性的定义是什么？
问题2.相互独立事件有哪些性质？
问题3.相互独立事件与互斥事件有什么区别？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 相互独立事件的概念
探究问题1 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A＝“第一枚硬币正面朝上”，B＝“第二枚硬币反面朝上”．
(1)你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？
(2)计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现？
[提示] (1)事件A发生与否不会影响事件B发生的概率．
(2)用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω＝{(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}，包含4个等可能的样本点．而A＝{(1，1)，(1，0)}，B＝{(1，0)，(0，0)}，所以AB＝{(1，0)}．由古典概型概率公式，得P(A)＝P(B)＝，P(AB)＝.
于是P(AB)＝P(A)P(B)．
积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积．
[新知生成] 相互独立事件的定义
对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝ P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．
【教用·微提醒】 事件A与事件B相互独立就是：事件A是否发生不影响事件B发生的概率，事件B是否发生不影响事件A发生的概率．
【链接·教材例题】
例1 一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异．采用不放回方式从中任意摸球两次．设事件A＝“第一次摸出球的标号小于3”，事件B＝“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立？
[解] 因为样本空间Ω＝{(m，n)|m，n∈{1，2，3，4}，且m≠n}，
A＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)}，
B＝{(1，2)，(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}，
所以P(A)＝P(B)＝＝，P(AB)＝＝.
此时P(AB)≠P(A)P(B), 因此，事件A与事件B不独立．
[典例讲评] 1．(源自湘教版教材)一个家庭中有若干小孩，假定生男孩与生女孩是等可能的，设A＝“一个家庭中既有男孩又有女孩”，B＝“一个家庭中最多有一个女孩”，对下述两种情形，讨论事件A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
[解] (1)有两个小孩的家庭，样本空间
Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个样本点，由等可能性知概率各为，这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，A∩B＝{(男，女)，(女，男)}．
于是P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝.
由此可知P(A∩B)≠P(A)P(B)，
所以事件A，B不独立．
(2)有三个小孩的家庭，样本空间
Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．
由等可能性知这8个样本点的概率均为，这时A含有6个样本点，B含有4个样本点，A∩B含有3个样本点，于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(A∩B)＝.
显然有P(A∩B)＝＝P(A)P(B)成立，从而事件A与B是独立的．
判断两个事件相互独立的方法
(1)定量法：利用P(AB)＝P(A)P(B)是否成立可以准确地判断两个事件是否相互独立．
(2)定性法：直观地判断一个事件发生与否对另一个事件发生的概率是否有影响，若没有影响就是相互独立事件．
[学以致用] 1．(多选)下列各对事件中，为相互独立事件的是( )
A．掷一枚骰子一次，事件M＝“出现偶数点”，事件N＝“出现3点或6点”
B．袋中有3个白球、2个黑球，从中依次有放回地摸2个球，事件M＝“第一次摸到白球”，事件N＝“第二次摸到白球”
C．袋中有3个白球、2个黑球，从中依次不放回地摸2个球，事件M＝“第一次摸到白球”，事件N＝“第二次摸到黑球”
D．甲组有3名男生、2名女生，乙组有2名男生、3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M＝“从甲组中选出1名男生”，事件N＝“从乙组中选出1名女生”
ABD [在A中，样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{2，4，6}，N＝{3，6}，MN＝{6}，所以P(M)＝＝，P(N)＝＝，P(MN)＝，则P(MN)＝P(M)P(N)，故事件M与N相互独立．
在B中，根据事件的特点易知，事件M是否发生对事件N的发生没有影响，故M与N是相互独立事件．
在C中，由于第一次摸到球不放回，因此会对第二次摸到球的概率产生影响，故M与N不是相互独立事件．
在D中，从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个事件的发生没有影响，所以M与N是相互独立事件，故选ABD.]
探究2 相互独立事件的性质
探究问题2 必然事件与任意事件是否相互独立？不可能事件与任意事件是否相互独立？
[提示] 必然事件一定发生，不受任何事件是否发生的影响，故必然事件与任意事件相互独立；不可能事件一定不会发生，不受任何事件是否发生的影响，故不可能事件与任意事件相互独立．
探究问题3 事件AB∪A与事件A什么关系？若事件A与B相互独立， A与也相互独立吗？试给出推理过程．
[提示] A＝AB∪A)．
由事件的独立性定义，知A与相互独立.
[新知生成] 相互独立事件的性质
(1)必然事件与任意事件相互独立，不可能事件与任意事件相互独立；
(2)如果事件A与事件B相互独立，那么A与与B，与也都相互独立．
【教用·微提醒】 当三个事件A，B，C两两独立时，等式P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)一般不成立．
【链接·教材例题】
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：
(1)两人都中靶；
(2)恰好有一人中靶；
(3)两人都脱靶；
(4)至少有一人中靶．
分析：设A＝“甲中靶”，B＝“乙中靶”．从要求的概率可知，需要先分别求A，B的对立事件的概率，并利用A，B，构建相应的事件．
[解] 设A＝“甲中靶”，B＝“乙中靶”，则＝“甲脱靶”，＝“乙脱靶”．由于两个人射击的结果互不影响，所以A与B相互独立，A与都相互独立．
由已知可得，P(A)＝0.8，P(B)＝0.9，P()＝0.1.
(1)AB＝“两人都中靶”，由事件的独立性定义，得
P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.9＝0.72.
(2)“恰好有一人中靶”＝AB互斥，根据概率的加法公式和事件的独立性定义，得
P(AB)
＝P(A)P()P(B)
＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26.
(3)事件“两人都脱靶”＝，所以
P()＝(1－0.8)×(1－0.9)＝0.02.
(4)方法1：事件“至少有一人中靶”＝AB∪AB两两互斥，所以
P(AB∪AB)
＝P(AB)＋P(AB)
＝0.72＋0.26＝0.98.
方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”，根据对立事件的性质，得事件“至少有一人中靶”的概率为
1－P()＝1－0.02＝0.98.
[典例讲评] 2.甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：
(1)两个人都译出密码的概率；
(2)两个人都译不出密码的概率；
(3)恰有一个人译出密码的概率；
(4)至多一个人译出密码的概率；
(5)至少一个人译出密码的概率．
[解] 记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B，A与B为相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝.
(1)“两个人都译出密码”的概率为
P(AB)＝P(A)P(B)＝＝.
(2)“两个人都译不出密码”的概率为
P()＝(1－P(A))×(1－P(B))＝＝.
(3)“恰有一个人译出密码”可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，
所以恰有一个人译出密码的概率为
P(AB)
＝P(A)P()P(B)
＝＝.
(4)“至多一个人译出密码”的对立事件为“两个人都译出密码”，所以至多一个人译出密码的概率为1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－＝.
(5) “至少一个人译出密码”的对立事件为“两个人都译不出密码”，所以至少一个人译出密码的概率为1－P()＝1－＝.
相互独立事件概率求解的关注点
(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤：①确定各事件是相互独立的；②确定各事件会同时发生；③先求每个事件发生的概率，再求其积．
(2)解决这类问题的关键是将事件看作若干事件相互独立的情形，还要注意互斥事件的拆分，以及对立事件概率的求法．
(3)已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有
事件 表示 概率
A，B同时发生 AB P(A)P(B)
A，B都不发生 P()P()
A，B恰有一个发生 (A)∪(B) P(A)P()＋P()P(B)
A，B中至少有一个发生 (A)∪(B)∪(AB) P(A)P()＋P()P(B)＋P(A)P(B)
A，B中至多有一个发生 (A)∪(B)∪( ) P(A)P()＋P()P(B)＋P()P()
[学以致用] 2．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否回答正确互不影响．求：
(1)该选手进入第三轮考核才被淘汰的概率；
(2)该选手至多进入第二轮考核的概率．
[解] (1)记“该选手正确回答第i轮问题”为事件Ai(i＝1，2，3)，则
事件A1，A2，A3相互独立，且P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝.
该选手进入第三轮考核才被淘汰指：前两轮均通过，第三轮淘汰，
所以该选手进入第三轮考核才被淘汰的概率为
P(A1A2)＝P(A1)P(A2)P()＝＝.
(2)因为选手至多进入第二轮考核意味着第一轮淘汰或者第一轮通过第二轮淘汰，且事件和A1互斥．
所以该选手至多进入第二轮考核的概率为
P(＋A1)＝P()＋P(A1)P()＝＝.
探究3 相互独立事件的概率的综合应用
【链接·教材例题】
例3 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率．
分析：两轮活动猜对3个成语，相当于事件“甲猜对1个，乙猜对2个”、事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生．
[解] 设A1，A2分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，B1，B2分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件．根据独立性假定，得
P(A1)＝＝，P(A2)＝＝.
P(B1)＝＝，P(B2)＝＝.
设A＝“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则A＝A1B2∪A2B1，且A1B2与A2B1互斥，A1与B2，A2与B1分别相互独立，所以
P(A)＝P(A1B2)＋P(A2B1)＝P(A1)P(B2)＋P(A2)P(B1)＝＝.
因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是.
[典例讲评] 3．(源自北师大版教材)如图，用A，B两个不同的元件连接成系统N1和N2，当元件A，B都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A，B至少有一个正常工作时，系统N2正常工作．已知元件A，B正常工作的概率分别为0.80和0.90，分别求系统N1，N2正常工作的概率．
[解] 分别记元件A，B正常工作为事件A，B，由已知条件P(A)＝0.80，P(B)＝0.90，
因为事件A，B是相互独立的，系统N1正常工作的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝0.80×0.90＝0.72.
系统N2正常工作的概率
1－P()＝1－(1－P(A))·(1－P(B))＝1－0.20×0.10＝0.98.
求较复杂事件的概率的一般步骤
(1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示．
(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式．
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算．
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．
[学以致用] 3．在一次射击游戏中，规定每人最多射击3次．在A处击中目标得3分，在B，C处击中目标均得2分，没击中目标不得分．某同学在A处击中目标的概率为，在B，C处击中目标的概率均为，该同学依次在A，B，C处各射击一次，各次射击之间没有影响，求在一次游戏中：
(1)该同学得4分的概率；
(2)该同学得分不超过3分的概率．
[解] (1)设该同学在A处击中目标为事件A，在B处击中目标为事件B，在C处击中目标为事件C，事件A，B，C相互独立，
依题意P(A)＝，P(B)＝P(C)＝，P()＝，
则该同学得4分的概率为P()P(B)P(C)＝＝.
(2)该同学得分不超过3分的情况为得0分、2分、3分，该同学得0分的概率为P()＝＝；
得2分的概率为P(C)＝＝；
得3分的概率为P(A)＝＝，
则该同学得分不超过3分的概率为＝.
【教用·备选题】 如图所示，用A，B，C，D四种不同的元件分别连接成两个系统M，N.当元件A，B都正常工作或元件C正常工作或元件D正常工作时，系统M正常工作；当元件A，B都正常工作或元件B，D都正常工作或元件C正常工作时，系统N正常工作．已知A，B，C，D四种元件正常工作的概率分别为0.5，0.9，0.7，0.8，且各元件是否正常工作是彼此独立的．试从能否正常工作的角度判断两个系统中哪一个的连接方式更为合理．
[解] 由题意知，元件A正常工作的概率为p1＝0.5，元件B正常工作的概率p2＝0.9，元件C正常工作的概率p3＝0.7，元件D正常工作的概率p4＝0.8，
则系统M正常工作的概率为
1－(1－p1p2)(1－p3)(1－p4)＝1－(1－0.5×0.9)×(1－0.7)×(1－0.8)＝1－0.033＝0.967，
系统N正常工作的概率为1－{1－[1－(1－p1)(1－p4)]·p2}·(1－p3)＝1－[1－(1－0.5×0.2)×0.9]×0.3＝1－0.057＝0.943.
因为0.967＞0.943，所以系统M的连接方式更为合理．
1．一袋中装有5个白球、3个黄球，在有放回地摸球中，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则事件A1与是( )
A．相互独立事件 B．不相互独立事件
C．互斥事件 D．对立事件
A [由题意可得表示“第二次摸到的不是白球”，即表示“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A1与是相互独立事件．]
2．(源自北师大版教材)甲、乙两人打靶，甲的命中率为0.8，乙的命中率为0.7.若两人同时射击一个目标，则两人都命中的概率为( )
A．0.56 B．0.48
C．0.75 D．0.94
A [根据题意，若两人同时射击一个目标，则两人都命中的概率为P＝0.8×0.7＝0.56.故选A.]
3．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(A)＝________，P( )＝________．
[因为P(A)＝，P(B)＝，
所以P()＝.
所以P(A)＝＝，
P()＝＝.]
4．甲、乙两人进行象棋比赛，已知甲胜乙的概率为 0.5，乙胜甲的概率为 0.3 ，甲、乙两人平局的概率为0.2.若甲、乙两人比赛两局， 且两局比赛的结果互不影响， 则乙至少赢甲一局的概率为________．
0.51 [根据题意得，
乙至少赢甲一局是指两局比赛中乙两局全胜，或第一局乙胜第二局乙不胜，或第一局乙不胜第二局乙胜，
则乙至少赢甲一局的概率为P＝0.3×0.3＋0.3×0.7＋0.7×0.3＝0.51.]
1．知识链：(1)相互独立事件的判断．
(2)相互独立事件概率的计算．
2．方法链：用列举法、定义法求相互独立事件的概率．
3．警示牌：注意对事件是否相互独立不要判断错误．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．相互独立事件的定义是什么？具有哪些性质？
[提示] 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立．若A，B相互独立，则也相互独立．
2．相互独立事件与互斥事件有什么区别？
[提示] 相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件 互斥事件
条件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响 不可能同时发生的两个事件
符号 相互独立事件A，B同时发生，记作AB 互斥事件A，B中有一个发生，记作A∪B(或A＋B)
计算 公式 P(AB)＝P(A)P(B) P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
课时分层作业(四十八) 事件的相互独立性
一、选择题
1．若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是( )
A．互斥 B．相互独立
C．互为对立 D．无法判断
B [因为P()＝，所以P(A)＝，又P(B)＝，所以事件A与事件B不对立，又P(AB)＝，所以有P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立但不一定互斥．故选B.]
2．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( )
A．0.12 B．0.42
C．0.46 D．0.88
D [记“甲被录取”为事件A，“乙被录取”为事件B，则两人至少有一人被录取的概率P＝1－P()＝1－(1－P(A))·(1－P(B))＝1－0.4×0.3＝0.88.]
3．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别是，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为( )
A． B．
C． D．
D [设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A，B，C，
则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
停车一次即为事件，
故概率为P＝＝.]
4．如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次是0.9，0.8，0.8，则系统正常工作的概率为( )
A．0.960 B．0.864
C．0.720 D．0.576
B [根据题意，记K，A1，A2正常工作分别为事件A，B，C，则P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.8，A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－P()＝1－(1－0.8)×(1－0.8)＝0.96，则系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.故选B.]
5．(多选)从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋中各摸出一个球，下列结论正确的是( )
A．2个球都是红球的概率为
B．2个球不都是红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为
D．2个球中恰有1个红球的概率为
ACD [设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A1，“从乙袋中摸出一个红球”为事件A2，则P(A1)＝，P(A2)＝，且A1，A2相互独立.2个球都是红球为A1A2，其概率为＝，A正确；“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为，B错误； 2个球中至少有1个红球的概率为1－P()P()＝1－＝，C正确； 2个球中恰有1个红球的概率为＝，D正确．故选ACD.]
二、填空题
6．已知事件A，B相互独立，且P(AB)＝，P(A)＝，则P(A)＝________．
[P(AB)＝P(A)P(B)＝，
P(A)＝，
P(AB)＋P(A)
＝P(A)(P(B)＋P())＝P(A)＝＝.]
7．设某批电子手表的正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行检测，每次抽取一个电子手表，假设每次检测相互独立，则第3次首次检测到次品的概率为________．
[因为第3次首次检测到次品，所以第1次和第2次检测到的都是正品，第3次检测到的是次品，所以第3次首次检测到次品的概率为＝.]
8．在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为和.则在同一时间内，
(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率为______；
(2)至少有一个气象台预报准确的概率为________．
(1) (2) [记“甲气象台预报天气准确”为事件A，“乙气象台预报天气准确”为事件B.
(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝＝.
(2)至少有一个气象台预报准确的概率为P＝1－P()＝1－＝.]
三、解答题
9．一个质地均匀的正四面体的四个面分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体两次，并记录正四面体朝下的数字．
(1)记事件A“两次数字之和为偶数”，求P(A)；
(2)记事件B“第一次数字为奇数”，事件C“第二次数字为偶数”，求P(B)与P(C)；并判断事件B与C是否相互独立．
[解] (1)样本空间包含的样本点总数为16，
“两次数字之和为偶数”，则数字同奇或同偶，符合条件的有(1，1)，(1，3)，(3，1)，(3，3)，(2，2)，(2，4)，(4，2)，(4，4)，共8个样本点，故P(A)＝＝.
(2)因为P(B)＝，P(C)＝，P(BC)＝，
所以P(B)P(C)＝P(BC)，
故B与C相互独立．
10．(多选)对于一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，C，其中n(Ω)＝24，n(A)＝12，n(B)＝4，n(C)＝8，n(A∪B)＝n(A∪C)＝16，则下列说法正确的是( )
A.事件A与B互斥
B．事件A与B相互独立
C．事件A与C互斥
D．事件A与C相互独立
AD [因为n(A∪B)＝n(A)＋n(B)－n(AB)，由已知得n(AB)＝12＋4－16＝0，AB＝ ，即事件A与B互斥，A正确；因为P(AB)＝＝0，P(A)＝＝＝，P(B)＝＝＝，P(AB)≠P(A)·P(B)，即事件A与B不独立，B不正确；因为n(A∪C)＝n(A)＋n(C)－n(AC)，由已知得n(AC)＝12＋8－16＝4，AC≠ ，即事件A与C不互斥，C不正确；因为P(AC)＝＝＝，P(A)＝＝＝，P(C)＝＝＝，有P(AC)＝P(A)P(C)，即事件A与C相互独立，D正确．故选AD.]
11．(多选)已知事件A，B是相互独立事件，且P(B)＝，P(AB)＝，则( )
A．P(A)＝ B．P(B)＝
C．P(A)＝ D．P()＝
ACD [事件A，B是相互独立事件，且P(B)＝，P(AB)＝，
则解得P(A)＝，P(B)＝，A选项正确，B选项错误；
P(A)＝P(A)(1－P(B))＝＝，C选项正确；
P()＝(1－P(A))(1－P(B))＝＝，D选项正确．故选ACD.]
12．(多选)甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制(当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束)．根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为.若前两局中乙队以2∶0领先，则下列结论正确的是( )
A．甲队获胜的概率为
B．乙队以3∶0获胜的概率为
C．乙队以3∶1获胜的概率为
D．乙队以3∶2获胜的概率为
AB [对于A，在乙队以2∶0领先的前提下，若甲队获胜则第三、四、五局均为甲队取胜，所以甲队获胜的概率为P1＝＝，故A正确；
对于B，乙队以3∶0获胜，即第三局乙获胜，概率为，故B正确；
对于C，乙队以3∶1获胜，即第三局甲获胜，第四局乙获胜，概率为＝，故C错误；
对于D，若乙队以3∶2获胜，则第五局为乙队取胜，第三、四局乙队输，所以乙队以3∶2获胜的概率为＝，故D错误．故选AB.]
13．在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者，则乙连胜四局的概率为________．
0.09 [乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，∴概率P＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09.]
14．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况，统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为.若对这三名短跑运动员的100米跑进行一次检测，则求：
(1)三人都合格的概率；
(2)三人都不合格的概率；
(3)出现几人合格的概率最大．
[解] 记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，
显然事件A，B，C相互独立，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0，1，2，3)．
(1)三人都合格的概率：P3＝P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝＝.
(2)三人都不合格的概率：P0＝P()＝＝.
(3)恰有两人合格的概率：P2＝P(ABBC)＝＝.
恰有一人合格的概率：P1＝1－P0－P2－P3＝1－＝＝.
因为>>，
所以出现1人合格的概率最大．
15．甲、乙、丙三人进行台球比赛，比赛规则如下：先由两人上场比赛，第三人旁观，一局结束后，败者下场作为旁观者，原旁观者上场与胜者比赛，按此规则循环下去．若比赛中有人累计获胜3局，则该人获得最终胜利，比赛结束．三人经过抽签决定由甲、乙先上场比赛，丙作为旁观者．根据以往经验，每局比赛中，甲、乙比赛甲胜概率为，乙、丙比赛乙胜概率为，丙、甲比赛丙胜概率为，每局比赛相互独立且每局比赛没有平局．
(1)比赛完3局时，求甲、乙、丙各旁观1局的概率；
(2)已知比赛进行5局后结束，求甲获得最终胜利的概率．
[解] (1)由题可知，甲、乙、丙各旁观1局只需讨论前两局的胜负情况，可分为：
甲胜乙、丙胜甲；乙胜甲，丙胜乙．
设甲、乙比赛甲胜，乙、丙比赛乙胜，丙、甲比赛丙胜分别为事件A，B，C，则A，B，C相互独立，
设比赛完3局时，甲、乙、丙各旁观1局为事件M，则M＝AC，
则P(M)＝P(AC)＋P()＝＝，
所以甲、乙、丙各旁观1局的概率为.
(2)设甲、乙、丙第i局比赛获胜分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1，2，3，4，5，
设比赛完5局甲获得最终胜利为事件D，则
D＝B1B2A3A4A5＋B1C2A3A4A5＋A1A2B3B4A5＋A1A2B3C4A5＋A1C2C3A4A5＋A1C2B3A4A5，P(B1B2A3A4A5)＝P(B1)·P(B2)P(A3)P(A4)P(A5)＝＝，
P(B1C2A3A4A5)＝P(B1)P(C2)P(A3)P(A4)P(A5)＝＝，
P(A1A2B3B4A5)＝P(A1)P(A2)P(B3)P(B4)P(A5)＝＝，
P(A1A2B3C4A5)＝P(A1)P(A2)P(B3)P(C4)P(A5)＝＝，
P(A1C2C3A4A5)＝P(A1)P(C2)P(C3)P(A4)P(A5)＝＝，
P(A1C2B3A4A5)＝P(A1)P(C2)P(B3)P(A4)P(A5)＝＝，
所以P(D)＝＝.
所以已知比赛进行5局后结束，甲获得最终胜利的概率为 .
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10.2 事件的相互独立性
第十章 概率
整体感知
[学习目标] 1．在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念．
2．能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．
[讨论交流] 预习教材P249－P252的内容，思考以下问题：
问题1.事件的相互独立性的定义是什么？
问题2.相互独立事件有哪些性质？
问题3.相互独立事件与互斥事件有什么区别？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1 相互独立事件的概念
探究问题1 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A＝“第一枚硬币正面朝上”，B＝“第二枚硬币反面朝上”．
(1)你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？
(2)计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现？
[新知生成] 相互独立事件的定义
对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝ ____________成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．
P(A)P(B)
【教用·微提醒】 事件A与事件B相互独立就是：事件A是否发生不影响事件B发生的概率，事件B是否发生不影响事件A发生的概率．
【链接·教材例题】
例1 一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异．采用不放回方式从中任意摸球两次．设事件A＝“第一次摸出球的标号小于3”，事件B＝“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立？
[典例讲评] 1．(源自湘教版教材)一个家庭中有若干小孩，假定生男孩与生女孩是等可能的，设A＝“一个家庭中既有男孩又有女孩”，B＝“一个家庭中最多有一个女孩”，对下述两种情形，讨论事件A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
发现规律 判断两个事件相互独立的方法
(1)定量法：利用P(AB)＝____________是否成立可以准确地判断两个事件是否相互独立．
(2)定性法：直观地判断一个事件发生与否对另一个事件发生的概率是否有影响，若________就是相互独立事件．
P(A)P(B)
没有影响
[学以致用] 1．(多选)下列各对事件中，为相互独立事件的是( )
A．掷一枚骰子一次，事件M＝“出现偶数点”，事件N＝“出现3点或6点”
B．袋中有3个白球、2个黑球，从中依次有放回地摸2个球，事件M＝“第一次摸到白球”，事件N＝“第二次摸到白球”
C．袋中有3个白球、2个黑球，从中依次不放回地摸2个球，事件M＝“第一次摸到白球”，事件N＝“第二次摸到黑球”
D．甲组有3名男生、2名女生，乙组有2名男生、3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M＝“从甲组中选出1名男生”，事件N＝“从乙组中选出1名女生”
√
√
√
探究2 相互独立事件的性质
探究问题2 必然事件与任意事件是否相互独立？不可能事件与任意事件是否相互独立？
[提示] 必然事件一定发生，不受任何事件是否发生的影响，故必然事件与任意事件相互独立；不可能事件一定不会发生，不受任何事件是否发生的影响，故不可能事件与任意事件相互独立．
【教用·微提醒】 当三个事件A，B，C两两独立时，等式P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)一般不成立．
【链接·教材例题】
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：
(1)两人都中靶；
(2)恰好有一人中靶；
(3)两人都脱靶；
(4)至少有一人中靶．
反思领悟 相互独立事件概率求解的关注点
(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤：①确定各事件是相互独立的；②确定各事件会同时发生；③先求每个事件发生的概率，再求其积．
(2)解决这类问题的关键是将事件看作若干事件相互独立的情形，还要注意互斥事件的拆分，以及对立事件概率的求法．
(3)已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有
事件 表示 概率
A，B同时发生 AB P(A)P(B)
A，B都不发生
A，B恰有一个发生
A，B中至少有一个发生
A，B中至多有一个发生
分析：两轮活动猜对3个成语，相当于事件“甲猜对1个，乙猜对2个”、事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生．
[典例讲评] 3．(源自北师大版教材)如图，用A，B两个不同的元件连接成系统N1和N2，当元件A，B都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A，B至少有一个正常工作时，系统N2正常工作．已知元件A，B正常工作的概率分别为0.80和0.90，分别求系统N1，N2正常工作的概率．
反思领悟 求较复杂事件的概率的一般步骤
(1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示．
(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式．
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算．
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．
【教用·备选题】 如图所示，用A，B，C，D四种不同的元件分别连接成两个系统M，N.当元件A，B都正常工作或元件C正常工作或元件D正常工作时，系统M正常工作；当元件A，B都正常工作或元件B，D都正常工作或元件C正常工作时，系统N正常工作．已知A，B，C，D四种元件正常工作的概率分别为0.5，0.9，0.7，0.8，且各元件是否正常工作是彼此独
立的．试从能否正常工作的
角度判断两个系统中哪一个
的连接方式更为合理．
[解] 由题意知，元件A正常工作的概率为p1＝0.5，元件B正常工作的概率p2＝0.9，元件C正常工作的概率p3＝0.7，元件D正常工作的概率p4＝0.8，
则系统M正常工作的概率为
1－(1－p1p2)(1－p3)(1－p4)＝1－(1－0.5×0.9)×(1－0.7)×(1－0.8)＝1－0.033＝0.967，
系统N正常工作的概率为1－{1－[1－(1－p1)(1－p4)]·p2}·(1－p3)＝1－[1－(1－0.5×0.2)×0.9]×0.3＝1－0.057＝0.943.
因为0.967＞0.943，所以系统M的连接方式更为合理．
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
2
3
题号
1
4
2．(源自北师大版教材)甲、乙两人打靶，甲的命中率为0.8，乙的命中率为0.7.若两人同时射击一个目标，则两人都命中的概率为
( )
A．0.56 B．0.48
C．0.75 D．0.94
√
A [根据题意，若两人同时射击一个目标，则两人都命中的概率为P＝0.8×0.7＝0.56.故选A.]
2
3
题号
4
1
2
4
3
题号
1
4．甲、乙两人进行象棋比赛，已知甲胜乙的概率为 0.5，乙胜甲的概率为 0.3 ，甲、乙两人平局的概率为0.2.若甲、乙两人比赛两局， 且两局比赛的结果互不影响， 则乙至少赢甲一局的概率为________．
0.51 [根据题意得，
乙至少赢甲一局是指两局比赛中乙两局全胜，或第一局乙胜第二局乙不胜，或第一局乙不胜第二局乙胜，
则乙至少赢甲一局的概率为P＝0.3×0.3＋0.3×0.7＋0.7×0.3＝0.51.]
0.51
1．知识链：(1)相互独立事件的判断．
(2)相互独立事件概率的计算．
2．方法链：用列举法、定义法求相互独立事件的概率．
3．警示牌：注意对事件是否相互独立不要判断错误．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．相互独立事件的定义是什么？具有哪些性质？
2．相互独立事件与互斥事件有什么区别？
[提示] 相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件 互斥事件
条件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响 不可能同时发生的两个事件
符号 相互独立事件A，B同时发生，记作AB 互斥事件A，B中有一个发生，记作A∪B(或A＋B)
计算公式 P(AB)＝P(A)P(B) P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
