10.1.3 古典概型
[学习目标] 1．结合具体实例，理解古典概型的概念及特点．
2．掌握古典概型概率公式并能利用公式计算古典概型中简单随机事件的概率．
[讨论交流] 预习教材P235－P241的内容，思考以下问题：
问题1.古典概型的定义是什么？
问题2.古典概型有哪些特征？
问题3.古典概型的概率计算公式是什么？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 古典概型的定义
探究问题1 找出下列试验的样本点及样本空间，它们有哪些共性？
试验1：掷一枚质地均匀的硬币一次；
试验2：掷一颗质地均匀的骰子一次．
[提示] 试验1出现的结果只有两种：正面朝上、反面朝上，且出现哪个结果是随机的、等可能的；
试验2出现的结果只有六种：1点、2点、3点、4点、5点、6点，且出现哪个结果是随机的、等可能的．
共性：样本空间的样本点是有限个，每个样本点发生的可能性相等．
[新知生成]
1．概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．
2．古典概型的定义
一般地，若试验E具有以下特征：
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
【教用·微提醒】 古典概型必须同时具备两个特征，缺一不可．
[典例讲评] 1．判断下列概率模型是不是古典概型：
(1)从区间[1，10]内任意取出一个整数，求取到2的概率；
(2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；
(3)掷一枚质地均匀的骰子的试验中，求事件“出现的点数是2的倍数”的概率；
(4)某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果有： “命中10环”“命中9环”“命中8环”“命中7环”“命中6环”“命中5环”和“不中环”．
[解] (1)是古典概型；
(2)不满足等可能性，故不是古典概型；
(3)是古典概型；
(4)不满足等可能性，故不是古典概型．
古典概型的判断方法
判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性，二者缺一不可．
[学以致用] 1．下列问题中是古典概型的是( )
A．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率
B．掷一枚质地不均匀的骰子，求掷出2点的概率
C．在区间[1，4]上任取一数，求这个数大于2的概率
D．同时掷两枚质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率
D [A，B两项中的样本点的出现不是等可能的；C项中样本点的个数是无限多个；D项中样本点的出现是等可能的，且是有限个．]
【教用·备选题】 袋中有大小相同的5个白球、3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．
(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作是一个样本点概率模型，该模型是不是古典概型？
(2)若按球的颜色为样本点，有多少个样本点？以这些样本点建立概率模型，该模型是不是古典概型？
[解] (1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法．又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为样本点的概率模型为古典概型．
(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个样本点，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”．
因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为.
因为白球有5个，所以一次摸球摸中白球的可能性为.同理可知，摸中黑球、红球的可能性均为.
显然这三个样本点出现的可能性不相等，
所以以颜色为样本点的概率模型不是古典概型．
探究2 古典概型概率的计算
探究问题2 在探究问题1的试验2中，记A事件为“点数为奇数”，则A事件包含哪些样本点？如何度量A事件发生的可能性的大小？
[提示] A＝{1，3，5}．由于各个样本点出现的可能性相同，所以A事件发生的可能性的大小，取决于事件A包含的样本点在样本空间的样本点中所占的比例大小，故可用事件A包含的样本点数与样本空间的样本点数的比值来度量．
[新知生成] 古典概型的概率计算公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝.其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
【链接·教材例题】
例7 单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案．假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率是多少？
[解] 试验有选A、选B、选C、选D共4种可能结果，试验的样本空间可以表示为Ω＝{A，B，C，D}．考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等，所以这是一个古典概型．设M＝“选中正确答案”，因为正确答案是唯一的，所以n(M)＝1.所以，考生随机选择一个答案，答对的概率P(M)＝.
例8 抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号)，观察两枚骰子分别可能出现的基本结果．
(1)写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；
(2)求下列事件的概率：
A＝“两个点数之和是5”；
B＝“两个点数相等”；
C＝“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”．
[解] (1)抛掷一枚骰子有6种等可能的结果， Ⅰ号骰子的每一个结果都可与Ⅱ号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果．用数字m表示Ⅰ号骰子出现的点数是m，数字n表示Ⅱ号骰子出现的点数是n，则数组(m，n)表示这个试验的一个样本点．因此该试验的样本空间
Ω＝{(m，n)|m，n∈{1，2，3，4，5，6}}，
其中共有36个样本点．
由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型．
(2)因为A＝{(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}，所以n(A)＝4，从而
P(A)＝＝＝；
因为B＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)}，所以n(B)＝6, 从而
P(B)＝＝＝；
因为C＝{(2，1)，(3, 1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5, 2)，(5，3)，(5，4)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)}，
所以n(C)＝15，从而
P(C)＝＝＝.
[典例讲评] 2．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，用合适的符号写出样本空间，并求选出的2名教师性别相同的概率；
(2)若从报名的6名教师中任选2名，用合适的符号写出样本空间，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．
[解] (1)不妨设甲校男、女教师分别为a，b，A，乙校男、女教师分别为c，B，C，则样本空间Ω＝{(a，c)，(a，B)，(a，C)，(b，c)，(b，B)，(b，C)，(A，c)，(A，B)，(A，C)}，共9个样本点．
其中同性别的包含4个样本点，所以选出的2名教师性别相同的概率P＝.
(2)不妨设甲校男、女教师分别为a，b，A，乙校男、女教师分别为c，B，C，
从报名的6名教师中任选2名，则Ω＝{(a，c)，(a，B)，(a，C)，(a，b)，(a，A)，(b，A)，(b，c)，(b，B)，(b，C)，(A，c)，(A，B)，(A，C)，(c，B)，(c，C)，(B，C)}，共15个样本点，其中来自同一所学校的事件包含6个样本点，所以选出的2名教师来自同一学校的概率P＝＝.
求古典概型概率的步骤
(1)判断所给概率模型是否为古典概型．
(2)算出样本点的总数n.
(3)算出事件A包含的样本点个数m.
(4)算出事件A的概率，即P(A)＝.
[学以致用] 2.(源自北师大版教材)连续抛掷一枚均匀的骰子2次，试求下列事件的概率：
(1)第一次掷出的点数恰好比第二次的大3；
(2)第一次掷出的点数比第二次的大；
(3)2次掷出的点数均为偶数．
[解] (1)连续抛掷一枚均匀的骰子2次，一共有以下情况：
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，
(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，
(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，
(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，
(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，
共36个样本点，
其中第一次掷出的点数恰好比第二次的大3的事件有：(4，1)，(5，2)，(6，3)，共3个样本点，
故第一次掷出的点数恰好比第二次的大3的概率为＝.
(2)第一次掷出的点数比第二次的大的事件有：
(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，共15个样本点，
故第一次掷出的点数比第二次的大的概率为＝.
(3)2次掷出的点数均为偶数的事件有：
(2，2)，(2，4)，(2，6)，(4，2)，(4，4)，(4，6)，(6，2)，(6，4)，(6，6)，共9个样本点，
故2次掷出的点数均为偶数的概率为＝.
探究3 “放回”与“不放回”问题
【链接·教材例题】
例9 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率：
(1)A＝“第一次摸到红球”；
(2)B＝“第二次摸到红球”；
(3)AB＝“两次都摸到红球”．
[解] 将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5.第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，用表10.1-2表示.
表10.1-2
第一次 第二次
1 2 3 4 5
1 × (1，2) (1，3) (1，4) (1，5)
2 (2，1) × (2，3) (2，4) (2，5)
3 (3，1) (3，2) × (3，4) (3，5)
4 (4，1) (4，2) (4，3) × (4，5)
5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) ×
(1)第一次摸到红球的可能结果有8种(表中第1，2行)，
即A＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1, 5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)}，所以P(A)＝＝.
(2)第二次摸到红球的可能结果也有8种(表中第1，2列)，即
B＝{(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，
(1，2)，(3，2)，(4，2)，(5，2)}，
所以P(B)＝＝.
(3)事件AB包含2个可能结果，即AB＝{(1，2)，(2，1)}，所以
P(AB)＝＝.
例10 从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两人，
(1)分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层随机抽样的样本空间；
(2)在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率．
[解] 设第一次抽取的人记为x1，第二次抽取的人记为x2，则可用数组(x1，x2)表示样本点．
(1)根据相应的抽样方法可知：
有放回简单随机抽样的样本空间
Ω1＝{(B1，B1), (B1，B2), (B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B1), (B2，B2)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G1)，(G1，G2)，(G2，B1)，(G2，B2), (G2，G1)，(G2，G2)}．
不放回简单随机抽样的样本空间
Ω2＝{(B1，B2)，(B1，G1), (B1，G2)，(B2，B1)，(B2，G1), (B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G2)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)}．
按性别等比例分层随机抽样，先从男生中抽一人，再从女生中抽一人，其样本空间Ω3＝{(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，G1)，(B2，G2)}．
(2)设事件A＝“抽到两名男生”，则
对于有放回简单随机抽样，
A＝{(B1，B1)，(B1，B2)，(B2，B1)，(B2，B2)}．
因为抽中样本空间Ω1中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型．因此
P(A)＝＝.
对于不放回简单随机抽样，
A＝{(B1，B2)，(B2，B1)}．
因为抽中样本空间Ω2中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型．
因此P(A)＝＝.
因为按性别等比例分层随机抽样，不可能抽到两名男生，所以A＝ ，因此P(A)＝0.
[典例讲评] 3．从含有两件正品a1，a2和一件次品b的3件产品中，按先后顺序任意取出两件产品，每次取出后不放回，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
[解] 按照题意，取产品的过程可以用如图所示的树状图直观表示．
因此样本空间可记为
Ω＝{(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}，共包含6个样本点．
用A表示事件“取出的两件中，恰好有一件次品”，则A＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}，A包含的样本点个数为4，所以P(A)＝＝.
[母题探究] 把本例的条件“每次取出后不放回”换成“每次取出后放回”，其余条件不变，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
[解] 有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)}，共9个样本点．
用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．
事件B由4个样本点组成，所以P(B)＝.
解决放回与不放回问题应注意的两点
(1)关于不放回抽样，计算基本事件个数时，可以看作是没有顺序的，元素是不能重复的．
(2)关于有放回抽样，计算基本事件个数时，可以看作是有顺序的，元素可以重复．
[学以致用] 3．一个盒子里装有完全相同的10个小球，分别标上1，2，3，…，10这10个数字，现随机地抽取两个小球，如果：
(1)抽取是不放回的；
(2)抽取是有放回的．
分别求两个小球上的数字为相邻整数的概率．
[解] 设事件A：两个小球上的数字为相邻整数．
则事件A包括的样本点有(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(6，7)，(7，8)，(8，9)，(9，10)，(10，9)，(9，8)，(8，7)，(7，6)，(6，5)，(5，4)，(4，3)，(3，2)，(2，1)，共18个．
(1)不放回取球时，总的样本点个数为90，故P(A)＝＝.
(2)有放回取球时，总的样本点个数为100，故P(A)＝＝.
【教用·备选题】 某商场举行购物抽奖的促销活动，规定每位顾客从装有编号分别为0，1，2，3的四个小球(除编号不同外，其他完全相同)的抽奖箱中，每次取出一个球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球的编号的和等于6，则中一等奖，等于5，则中二等奖，等于4或3，则中三等奖，其他情况不中奖，则中三等奖的概率为________；中奖的概率为________．
[设事件A＝“中三等奖”， 从四个小球中有放回地取两球，样本空间Ω＝{(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，(3，3)}，共16个样本点．取出的两个小球的编号的和等于4或3包含的样本点有(1，3)，(2，2)，(3，1)，(0，3)，(1，2)，(2，1)，(3，0)，共7个，则中三等奖的概率为P(A)＝.
设事件B＝“中奖”，由(1)知两个小球的编号的和等于3或4包含的样本点有7个，两个小球的编号的和等于5包含的样本点有(2，3)，(3，2)，共2个，两个小球的编号的和等于6包含的样本点只有(3，3)，1个．
则中奖的概率为P(B)＝＝.]
1．在单词Probability(概率)中任意选择一个字母，则该字母为b的概率为( )
A． B．
C． D．
B [这是一个古典概型问题，所有样本点的个数为11，事件“任意选择一个字母，该字母为b”包含2个样本点，故所求的概率为P＝，故选B.]
2．(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是( )
A． B．
C． D．
B [画出树状图：
甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，所以所求概率为＝.故选B.]
3．(多选)下列试验是古典概型的是( )
A．在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球为白球的概率
C．向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率
D．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
BD [A不是等可能事件，C不满足有限性．]
4．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．
[样本空间Ω＝{(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，红)，(白，白)，(白，蓝)，(蓝，红)，(蓝，白)，(蓝，蓝)}，共9个样本点，其中颜色相同的样本点有(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3个，故所求的概率P＝＝.]
1．知识链：(1)古典概型的定义．
(2)古典概型的概率公式．
2．方法链：常用列举法(列表法、树状图)求样本点的总数．
3．警示牌： 在列举样本点的个数时，要按照一定的顺序，做到不重、不漏，特别注意有无放回问题．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何判断一个试验是不是古典概型？
[提示] 若该试验具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性，则该试验是古典概型，否则不是．
2．古典概型的概率公式是什么？
[提示] 古典概型概率的计算公式P(A)＝，其中样本点总数为n，事件A所包含的样本点个数为m.
3．解决有序和无序问题时应注意哪些问题？
[提示] (1)关于不放回抽样，计算样本点个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其最后结果是一致的．但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误．
(2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a，b)，(b，a)不是同一个样本点．解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是相等的．
课时分层作业(四十六) 古典概型
一、选择题
1．在50瓶牛奶中，有5瓶已经过了保质期，从中任取一瓶，取到已经过保质期的牛奶的概率是( )
A．0.02 B．0.05
C．0.1 D．0.9
C [由题意知，该题是一个古典概型，因为在50瓶牛奶中任取1瓶有50种不同的取法，取到已过保质期的牛奶有5种不同的取法，根据古典概型公式求得概率是＝0.1.故选C.]
2．在1，3，4，5，8路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站只能停靠一辆汽车)，有一位乘客等候4路或8路汽车，假定当时各路汽车首先到站的可能性都相等，则首先到站正好是这位乘客所要乘的汽车的概率为( )
A． B．
C． D．
D [根据题意，样本点分别是1，3，4，5，8路公共汽车首先到站，显然共有5个，而这位乘客所要乘的汽车为4路或8路，故所求概率P＝.]
3．某天放学后，教室里还剩下2位男同学和2位女同学．若他们随机依次走出教室，则第2位走出的是男同学的概率是( )
A． B．
C． D．
A [法一：2位男同学和2位女同学走出教室的所有可能顺序为(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，共6种，所以第2位走出的是男同学的概率P＝＝.故选A.
法二：只考虑第2位同学，出来男生或是女生是等可能的，故概率为.
故选A.]
4．某不透明的袋中有3个红球，2个白球，它们除颜色不同，质地和大小都完全相同．甲、乙两同学先后从中各取一个球，先取的球不放回，则他们取到不同颜色球的概率为( )
A． B．
C． D．
C [设这5个球中，红球分别为a1，a2，a3，白球分别为b1，b2，
则甲、乙两同学先后取出的两球可能的情况有：
a1a2，a1a3，a1b1，a1b2，a2a1，a2a3，a2b1，a2b2，a3a1，a3a2，a3b1，a3b2，b1a1，b1a2，b1a3，b1b2，b2a1，b2a2，b2a3，b2b1共20种，
其中取到不同颜色球的情况有：
a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，a3b1，a3b2，b1a1，b2a1，b1a2，b2a2，b1a3，b2a3，共12种，故其概率为＝.
故选C.]
5．(多选)一个袋子中装有3件正品和1件次品，按以下要求抽取2件产品，其中结论正确的是( )
A．任取2件，则取出的2件中恰有1件次品的概率是
B．每次抽取1件，不放回地抽取两次，样本点总数为16
C．每次抽取1件，不放回地抽取两次，则取出的2件中恰有1件次品的概率是
D．每次抽取1件，有放回地抽取两次，样本点总数为16
ACD [记4件产品分别为1，2，3，a，其中a表示次品．在A中，样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，3)，(2，a)，(3，a)}，共6个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，“恰有一件次品”的样本点为(1，a)，(2，a)，(3，a)，因此其概率P＝＝，A正确；在B中，每次抽取1件，不放回地抽取两次，样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，1)，(2，3)，(2，a)，(3，1)，(3，2)，(3，a)，(a，1)，(a，2)，(a，3)}，因此n(Ω)＝12，B错误；在C中，“取出的两件中恰有一件次品”的样本点个数为6，其概率为，C正确；在D中，每次抽取1件，有放回地抽取两次，样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，a)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，a)，(a，1)，(a，2)，(a，3)，(a，a)}，因此n(Ω)＝16，D正确．]
二、填空题
6．在1，2，3，4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是________．
[用列举法知，可重复地选取两个数共有16个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，其中一个数是另一个数的2倍的有(1，2)，(2，1)，(2，4)，(4，2)，共4个样本点，故所求的概率为＝.]
7．将一个各个面上涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从中任取一个小正方体，其中恰有3面涂有颜色的概率为________．
[在这27个小正方体中，只有原正方体的8个顶点所对应的小正方体的3面是涂色的，故概率P＝.]
8．从1，2，3，4，5这5个数字中不放回地任取两个数，则两个数都是奇数的概率是________；若有放回地任取两个数，则两个数都是偶数的概率是________．
[从5个数字中不放回地任取两个数，样本点有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个，且每个样本点出现的可能性相等．因为都为奇数的样本点有(1，3)，(1，5)，(3，5)，共3个，所以所求概率P＝.从5个数字中有放回的任取两个数，样本点共有25个，且每个样本点出现的可能性相等，都为偶数的样本点有(2，4)，(4，2)，(2，2)，(4，4)，共4个，故概率P＝.]
三、解答题
9．一个口袋内装有大小相同的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球．求：
(1)样本空间的样本点的总数n；
(2)事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数；
(3)摸出2个黑球的概率．
[解] 由于4个球的大小相同，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型．
(1)将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球，样本空间Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)}，共有6个样本点，所以n＝6.
(2)事件“摸出2个黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共有3个样本点．
(3)样本点总数n＝6，事件“摸出两个黑球”包含的样本点个数m＝3，故P＝＝，即摸出2个黑球的概率为.
10．从集合A＝{－1，1，2}中随机选取一个数记为k，从集合B＝{－2，1，2}中随机选取一个数记为b，则直线y＝kx＋b不经过第三象限的概率为( )
A． B．
C． D．
A [直线y＝kx＋b不经过第三象限，即选取出的两个数记为(k，b)，则该试验的样本空间Ω＝{(－1，－2)，(－1，1)，(－1，2)，(1，－2)，(1，1)，(1，2)，(2，－2)，(2，1)，(2，2)}，共9个样本点，符合题意的有(－1，1)，(－1，2)，共2个样本点，所以所求概率为.故选A.]
11．(2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为( )
A． B．
C． D．
D [记高一年级2名学生分别为a1，a2，高二年级2名学生分别为b1，b2，则从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的样本点有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，b2)，共6个，其中这2名学生来自不同年级的样本点有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，共4个，所以这2名学生来自不同年级的概率P＝＝，故选D.]
12．《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事．“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为( )
A． B．
C． D．
A [设齐王的上、中、下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上、中、下三个等次的马分别记为A，B，C，从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的样本点为Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，根据题意，其中Ab，Ac，Bc是田忌获胜，则田忌获胜的概率为＝.故选A.]
13．一次掷两枚均匀的骰子，得到的点数为m和n，则关于x的方程x2＋(m＋n)x＋4＝0无实数根的概率是________．
[总的样本点个数为36，且每个样本点出现的可能性相等．因为方程无实根，所以Δ＝(m＋n)2－16<0，即m＋n<4，其中有(1，1)，(1，2)，(2，1)，共3个样本点．所以所求概率为＝.]
14. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100].
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)从评分在[40，60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50)内的概率．
[解] (1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.
(2)受访职工评分在[50，60)内的有50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；
受访职工评分在[40，50)内的有50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2.
从这5名受访职工中随机抽取2人，
所包含的样本点有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共10个．
所抽取2人的评分都在[40，50)内包含的样本点有1个，即(B1，B2)，故所求的概率为.
15．有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座．
(1)求这四人恰好都坐在自己席位上的概率；
(2)求这四人恰好都没坐在自己席位上的概率；
(3)求这四人恰好有1位坐在自己席位上的概率．
[解] 将A，B，C，D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：
如图所示，本题中的等可能样本点共有24个．
(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己席位上”，则事件A只包含1个样本点，所以P(A)＝.
(2)设事件B为“这四人恰好都没坐在自己席位上”，则事件B包含9个样本点，所以P(B)＝＝.
(3)设事件C为“这四人恰好有1位坐在自己席位上”，则事件C包含8个样本点，所以P(C)＝＝.
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10.1.3 古典概型
第十章 概率
10.1 随机事件与概率
整体感知
[学习目标] 1．结合具体实例，理解古典概型的概念及特点．
2．掌握古典概型概率公式并能利用公式计算古典概型中简单随机事件的概率．
[讨论交流] 预习教材P235－P241的内容，思考以下问题：
问题1.古典概型的定义是什么？
问题2.古典概型有哪些特征？
问题3.古典概型的概率计算公式是什么？
[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1 古典概型的定义
探究问题1 找出下列试验的样本点及样本空间，它们有哪些共性？
试验1：掷一枚质地均匀的硬币一次；
试验2：掷一颗质地均匀的骰子一次．
[提示] 试验1出现的结果只有两种：正面朝上、反面朝上，且出现哪个结果是随机的、等可能的；
试验2出现的结果只有六种：1点、2点、3点、4点、5点、6点，且出现哪个结果是随机的、等可能的．
共性：样本空间的样本点是有限个，每个样本点发生的可能性相等．
[新知生成]
1．概率
对随机事件发生可能性大小的____(数值)称为事件的概率，事件A的概率用______表示．
度量
P(A)
2．古典概型的定义
一般地，若试验E具有以下特征：
(1)有限性：样本空间的______只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性____．
称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
【教用·微提醒】 古典概型必须同时具备两个特征，缺一不可．
样本点
相等
[典例讲评] 1．判断下列概率模型是不是古典概型：
(1)从区间[1，10]内任意取出一个整数，求取到2的概率；
(2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；
(3)掷一枚质地均匀的骰子的试验中，求事件“出现的点数是2的倍数”的概率；
(4)某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果有： “命中10环”“命中9环”“命中8环”“命中7环”“命中6环”“命中5环”和“不中环”．
[解] (1)是古典概型；
(2)不满足等可能性，故不是古典概型；
(3)是古典概型；
(4)不满足等可能性，故不是古典概型．
发现规律 古典概型的判断方法
判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征——______和________，二者缺一不可．
有限性
等可能性
[学以致用] 1．下列问题中是古典概型的是( )
A．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率
B．掷一枚质地不均匀的骰子，求掷出2点的概率
C．在区间[1，4]上任取一数，求这个数大于2的概率
D．同时掷两枚质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率
D [A，B两项中的样本点的出现不是等可能的；C项中样本点的个数是无限多个；D项中样本点的出现是等可能的，且是有限个．]
√
【教用·备选题】 袋中有大小相同的5个白球、3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．
(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作是一个样本点概率模型，该模型是不是古典概型？
(2)若按球的颜色为样本点，有多少个样本点？以这些样本点建立概率模型，该模型是不是古典概型？
[解] (1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法．又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为样本点的概率模型为古典概型．
(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个样本点，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”．
探究2 古典概型概率的计算
探究问题2 在探究问题1的试验2中，记A事件为“点数为奇数”，则A事件包含哪些样本点？如何度量A事件发生的可能性的大小？
[提示] A＝{1，3，5}．由于各个样本点出现的可能性相同，所以A事件发生的可能性的大小，取决于事件A包含的样本点在样本空间的样本点中所占的比例大小，故可用事件A包含的样本点数与样本空间的样本点数的比值来度量．
【链接·教材例题】
例7 单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案．假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率是多少？
例8 抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号)，观察两枚骰子分别可能出现的基本结果．
(1)写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；
(2)求下列事件的概率：
A＝“两个点数之和是5”；
B＝“两个点数相等”；
C＝“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”．
[解] (1)抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，Ⅰ号骰子的每一个结果都可与Ⅱ号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果．用数字m表示Ⅰ号骰子出现的点数是m，数字n表示Ⅱ号骰子出现的点数是n，则数组(m，n)表示这个试验的一个样本点．因此该试验的样本空间
Ω＝{(m，n)|m，n∈{1，2，3，4，5，6}}，
其中共有36个样本点．
由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型．
[典例讲评] 2．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，用合适的符号写出样本空间，并求选出的2名教师性别相同的概率；
(2)若从报名的6名教师中任选2名，用合适的符号写出样本空间，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．
[学以致用] 2．(源自北师大版教材)连续抛掷一枚均匀的骰子2次，试求下列事件的概率：
(1)第一次掷出的点数恰好比第二次的大3；
(2)第一次掷出的点数比第二次的大；
(3)2次掷出的点数均为偶数．
[解] (1)连续抛掷一枚均匀的骰子2次，一共有以下情况：
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，
(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，
(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，
(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，
(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，
共36个样本点，
探究3 “放回”与“不放回”问题
【链接·教材例题】
例9 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率：
(1)A＝“第一次摸到红球”；
(2)B＝“第二次摸到红球”；
(3)AB＝“两次都摸到红球”．
[解] 将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5.第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，用表10.1-2表示.
表10.1-2
第一次 第二次
1 2 3 4 5
1 × (1，2) (1，3) (1，4) (1，5)
2 (2，1) × (2，3) (2，4) (2，5)
3 (3，1) (3，2) × (3，4) (3，5)
4 (4，1) (4，2) (4，3) × (4，5)
5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) ×
例10 从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两人，
(1)分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层随机抽样的样本空间；
(2)在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率．
[解] 设第一次抽取的人记为x1，第二次抽取的人记为x2，则可用数组(x1，x2)表示样本点．
(1)根据相应的抽样方法可知：
有放回简单随机抽样的样本空间
Ω1＝{(B1，B1), (B1，B2), (B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B1), (B2，B2)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G1)，(G1，G2)，(G2，B1)，(G2，B2), (G2，G1)，(G2，G2)}．
不放回简单随机抽样的样本空间
Ω2＝{(B1，B2)，(B1，G1), (B1，G2)，(B2，B1)，(B2，G1), (B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G2)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)}．
按性别等比例分层随机抽样，先从男生中抽一人，再从女生中抽一人，其样本空间Ω3＝{(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，G1)，(B2，G2)}．
[典例讲评] 3．从含有两件正品a1，a2和一件次品b的3件产品中，按先后顺序任意取出两件产品，每次取出后不放回，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
[解] 按照题意，取产品的过程可以用如图所示的树状图直观表示．
[母题探究] 把本例的条件“每次取出后不放回”换成“每次取出后放回”，其余条件不变，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
反思领悟 解决放回与不放回问题应注意的两点
(1)关于不放回抽样，计算基本事件个数时，可以看作是没有顺序的，元素是不能重复的．
(2)关于有放回抽样，计算基本事件个数时，可以看作是有顺序的，元素可以重复．
[学以致用] 3．一个盒子里装有完全相同的10个小球，分别标上1，2，3，…，10这10个数字，现随机地抽取两个小球，如果：
(1)抽取是不放回的；
(2)抽取是有放回的．
分别求两个小球上的数字为相邻整数的概率．
【教用·备选题】 某商场举行购物抽奖的促销活动，规定每位顾客从装有编号分别为0，1，2，3的四个小球(除编号不同外，其他完全相同)的抽奖箱中，每次取出一个球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球的编号的和等于6，则中一等奖，等于5，则中二等奖，等于4或3，则中三等奖，其他情况不中奖，则中三等奖的概率为________；中奖的概率为________．
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
2
3
题号
1
4
√
2
3
题号
1
4
B [画出树状图：
2
3
题号
4
1
√
3．(多选)下列试验是古典概型的是( )
A．在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球为白球的概率
C．向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率
D．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
√
BD [A不是等可能事件，C不满足有限性．]
2
4
3
题号
1
4．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．
1．知识链：(1)古典概型的定义．
(2)古典概型的概率公式．
2．方法链：常用列举法(列表法、树状图)求样本点的总数．
3．警示牌： 在列举样本点的个数时，要按照一定的顺序，做到不重、不漏，特别注意有无放回问题．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何判断一个试验是不是古典概型？
[提示] 若该试验具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性，则该试验是古典概型，否则不是．
2．古典概型的概率公式是什么？
3．解决有序和无序问题时应注意哪些问题？
[提示] (1)关于不放回抽样，计算样本点个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其最后结果是一致的．但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误．
(2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a，b)，(b，a)不是同一个样本点．解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是相等的．
