2025年中考数学二轮复习 专题11 与垂径定理相关的计算 课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
专题十一　与垂径定理相关的计算
　　当条件中出现“垂直弦的直径”或“弧的中点”时，可以构造如
图所示的直角三角形，由勾股定理实现半径、半弦长、弦心距三者之
间的计算联系.
（1）如图①，直径CD⊥弦AB→连接OA→OA2＝OE2＋
.
（2）如图②，C为 的中点→连接OC→OC⊥AB于点E→OB2
＝OE2＋ .
1. 如图，AB为☉O的直径，CD为弦，AB⊥CD于点E，∠CDB＝
30°，AC＝2 ，则OE的长为 .
1　
2. 如图，AB为☉O的直径， ＝ ，AB＝13，AD＝3 ，则弦
AC的长为 .
5　
3. 如图，☉O的直径AB＝10，弦AC＝8，连接BC，作弦CD，使CD
＝BC，连接AD，则四边形ABCD的周长为 .
　
4. 如图，AB为☉O的直径，D为 的中点，弦CD交AB于点E. 若
CE＝3，DE＝5，则☉O的半径为 .
2 　
5. 如图，☉O的直径AB⊥CD于点E，M为☉O上一点，tan∠CDA＝
，OE＝3，则 sin ∠CMD的值为 　 　.
　
6. 如图，AB为☉O的直径，弦CD交AB于点E. 若OE＝BE＝2，CE
＜DE， sin ∠DCO＝ ，则tan∠DEA的值为 　 　.
　
7. 如图， ＝ ，BE为☉O的直径，CF⊥BE于点F，交BA的延长
线于点M.
（1）求证：MC＝MB；
（1）证明：如图，连接CE.
∵BE为☉O的直径，∴∠ECB＝∠ECF＋∠FCB＝90°.
∵CF⊥BE，∴∠ECF＋∠E＝90°，∴∠FCB＝∠E.
∵ ＝ ，∴∠FCB＝∠E＝∠CAB＝∠CBA，∴MC＝MB.
（2）若EF＝1，AB＝4，求BM的长.
（2）解：如图，连接CO并延长，交AB于点N，则CN⊥AB.
易得△BCF≌△CBN（AAS），∴CF＝BN＝ AB＝2.设☉O的半径
为r.
∵OC2＝OF2＋CF2，∴r2＝（r－1）2＋22，解得r＝ ，∴BF＝2r－
EF＝4.
∵BM2＝MF2＋BF2，由（1）可得MF＝CM－CF＝BM－2，∴BM2＝
（BM－2）2＋42，解得BM＝5.
8. 如图，AB为☉O的直径，AC为☉O的弦，D为 的中点，E是AC
的中点.若AC＝6，CD＝2 ，求DE的长.
解：如图，连接BC，OD，OC，OE，BC与OD相交于点M. 设☉O的半径为r.
∵D为 的中点，∴OD⊥BC，CM＝BM. 又∵OA＝OB，
∴OM为△ABC的中位线，∴OM＝ AC＝3.
∵CM2＝OC2－OM2＝CD2－DM2，∴r2－32＝
－（r－3）2，解得r1＝5，r2＝－2（舍去）.
∵E是AC的中点，OC＝OA，∴OE⊥AC，∴OE＝
＝ ＝4，
∴OE∥BC，OD⊥BC，∴OE⊥OD，∴DE＝ ＝ ＝ .
9. 如图，AB是☉O的直径，C为 的中点，AN⊥CD于点M，CD交
AB于点E，且点C，D，N在☉O上，连接MO并延长，交☉O于点F.
若CM＝2，EM＝3，求MF的长.
解：如图，连接CN，过点O作OH⊥AN于点H. ∵C为 的中点，∴∠CNA＝∠NCD＝45°，
∴△CMN为等腰直角三角形，∴MC＝MN＝2.同理可得MA＝MD，∴∠DMF＝∠AMF＝45°.
又∵OH⊥AN，∴设MH＝OH＝x，则AH＝NH＝x＋2，AM＝2x＋2.
易得△AOH∽△AEM，∴ ＝ ，即 ＝ ，解得x1＝2，x2＝－ （舍去）.
经检验，x＝2是原方程的解，∴OM＝ MH＝2 ，
OF＝OA＝ ＝2 ，
∴MF＝OM＋OF＝2 ＋2 .
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