6.3二项式定理课件(共22张PPT)-高二下学期数学人教A版选择性必修第三册-

(共22张PPT)
第六章计算原理
6.3二项式定理
课时1二项式定理
问题1: 在初中，我们用多项式乘法法则得到了(a+b) 的展开式：
(a+b) =(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a +2ab+b . 如何利用分步
乘法计数原理解释上述展开过程
问题2: 仿照上述过程，你认为(a+b) ,(a+b) ,(a+b)n 的展开式分别是什
么
探究一：二项式定理
情境设置
新 知 生 成
知识点 一 二项式定理
二项式定理公式
(a+b)n=Can+Cnan-1b+…+Chan-kbk+…+Cnbn(n∈N*)
叫作二项式定理.简写成 .等号右边的式子称为二项展开式， (a+b)n 的展开式共有(n+1) 项，其中 称为二项式系数.
一 、二项式定理
例题1(1)求 的展开式.
(2)化简： Cn(x+1)n-Cn(x+1)n-1+C2(x+1)n-2-…+(-1)kch(x+1)n-k+ …+ (-1)ncn.
( 2 ) 原 式 = C(x+1)n+Ch(x+1)n-1(-1)+C (x+1)n-2(-1) +…+Ch(x+1)n-k(-
1)k+…+Cn·(-1)n=[(x+1)+(-1)]"=x".
反思感悟
方法总结
二项式定理的双向功能
(1)正用：将(a+b)" 展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到右使用是展 开.对于较复杂的式子，可先化简，再用二项式定理展开.
(2)逆用：将展开式合并成(a+b)" 的形式，即二项式定理从右到左使用是合并. 对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的 规律以及各项系数的规律.
新 知 运 用
跟踪训练1(1)1 - 2C1+4C2-8C +16C 先+ … +( - 2)nCn的值为(C).
A.1 B.-1 C.(-1)n D.3n
(2)若(1+ √ 3) = a+b√3(a,b 为 有 理 数 ) , 则a+b= 44.
【解析】(1)1 -2C!+4C2-8C +16C 先+ … +(-2)"cn=[1+(-2)]"=(1-2)n=(-1)n
(2):(1+√3) =C×(√3°+c×(√3) +c ×(√3) +c×(√3 +c×(√3) =1+
4√3+18+12√3+9=28+16√3,∴a=28,b=16,
∴a+b=28+16=44.
问题1: 在(a+b)n 的展开式中， Tk+1=Chan-kbk 是展开式的第几项 其二项式 系数是什么
问题2: (1+3 x)n 的展开式是什么 其第6项的二项式系数和第6项的系数各是 什么
探究二：二项展开式的通项
情境设置
新 知 生 成
知识点二二项展开式的通项
二项展开式的通项
(a+b)n 展开式中的 作二项展开式的通项，它表示展开式的第k+
1 项，记作
所以 的展开式中第6项的二项式系数为C5=6, 第6项的系数为
C5·(-1) ·2=-12.
(2) 的展开式的通项为T+1=Cbx -r. ·Cs·x -2r,
令 9 - 2r=3, 可得r=3, 即展开式中第4项含x , 其系数为(-1) ·C =-84.
一 、二项展开式的通项的应用
例题2(1) 的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；
(2)求 的展开式中x 的系数.
【解析】(1)由已知得 的展开式的通项为
反思感悟
方法总结
1.二项式系数都是组合数Cn(r=0,1,2, … ,n), 它与二项展开式中某一项的系数 不一定相等，要注意区分“二项展开式中某一项的二项式系数”与“二项展开式 中某一项的系数”的概念.
2.第r+1 项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为Cn.例如， 在(1+2x) 的展开式中，第4项是T =C 17-3(2x) , 其二项式系数是C =35,
而第4项的系数是C z =280.
新知运用
跟踪训练2(1)在 的展开式中，含x-3 项的系数为(A).
A.240 B.160 C.-160 D.-240
(2)若(2-x)n(n∈N*) 的展开式中的常数项为32,则n=(A).
A.5 B.6 C.7 D.8
【解析】(1) 的展开式的通项为T+1= C6(R6-r. (-2)x=(-2)° ·
, 得r=4, 所 以 含x-3 项的系数为 . 故 选A.
(2)(2-x)n(n∈N*) 的展开式的通项为T k+1=Ch·2n-k.(-x)k , 故常数项为
T =Cn·2n=32, 解 得n=5. 故 选A.
二 、求两个多项式积的特定项
例题3(1) 的展开式中x 的系数为(C).
A.270 B.-270 C.765 D.-765
(2 的展开式的通项为 ,所以该展开式中 x 的系数 .故选C.
(2) 的展开式的通项为Tr+1=Ciox -r. ·Ciox 0-2r,
故展开式中x 的系数为(-1) ×C 0-a×(-1) ×C o=-120-45a,
则 - 120 - 45a=30, 解得
反思感悟
方法总结
求多项式积的特定项的方法 双通法
所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到(a+bx)n(s+tx)m
的展开式中的一般项为Tk+1 ·Tr+1=Chan-k(bx)k·Cmsm-r(tx) r, 再依据题目中
对指数的特殊要求，确定r 与k所满足的条件，进而求出r,k 的取值情况.
新 知 运 用
跟踪训练3已知(ax+1)(2x-1) 的展开式中x 的系数为448,则展开式中x 的系数为 -112
【解析】依题意，(ax+1)(2x-1) =ax(2x-1) +(2x-1) ,
(2x-1) 的展开式的通项为Tr+1=C(2x) -r×(-1)r,
所以 -aC5×2 +C4×2 =-84a+280=448, 解得a=-2,
故展开式中x 的系数为-2×C ×2-C ×2 =-28-84=-112.
问题1: 什么是展开式中的有理项
问题2: 什么是展开式中的整数项 与有理项相同吗
【解析】(1)展开式中的有理项，就是指系数为有理数， 且字母的指数为整数的项， 一般是指通项公式中字母的指数为整数的项.
(2)展开式中的整数项是有理项的一部分，是有理项中分母不含字母的项，与有理 项不同.
探究三：有理项问题
情境设置
新知生成
知识点三 有理项问题
1.求展开式中的有理项的方法， 一般是先写出通项，再找出其所有的字母的指数 恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求， 令其为整数，再根据数的整除性来求解.
2.求展开式中的整数项的方法， 一般是先写出通项公式，再找出其通项公式中同 一字母的指数是自然数的项，求解方式与求解有理项的方式一致.
三 、有理项问题
例4已知 的展开式中，第4项和第5项的二项式系数相等，则该展开式中有理
项的个数是(B)
A.5 B.4 C.3 D.2
【解析】 的展开式的通项为 ,k=0,
1,2,…,n. ∵ 第4项和第5项的二项式系数相等，∴C =C,∴n=7,
,k=0,1,2, …,7, ∴ 当 为整数，即k=0,2,4,6
时 ， 为有理项，∴展开式中有理项的个数是4.故选B.
反思感悟
方法总结
求二项展开式的有理项，应写出它的通项，令未知量的指数为整数，便能求 出符合题意的有理项.
新 知 运 用
跟踪训练4已知， 的展开式中，第2、第3、第4项的二项式 系数依次成等差数列.
(1)证明：展开式中没有常数项.
(2)求展开式中所有的有理项.
【解析】(1)由第2、第3、第4项的二项式系数依次成等差数列，得2C2=Ch+C , 解得n=2 ( 舍 去 ) 或n=7,
通 项 为
,故展开式中没有常数项.
(2) , 解 得r=2 或r=6,
故展开式中的有理项为
随堂检测
1.在(1- 2x) 的展开式中，x 的系数为( D ).
A.20 B.-20
C.160 D.-160
2.化简多项式(2x+1) -5(2x+1) +10(2x+1) -10(2x+1) +5(2x+1)-1 的
结果是( D ).
A.(2x+2) B.2x
C.(2x-1) D.32x
的展开式中的常数项为 -4 .
随 堂 检 测
4.已知
(1)求展开式中x 的系数；
(2)求展开式中所有的有理项.
【解析】(1)由题意知，展开式的第r+1 项为
令 , 得r=2, 则展开式中x的系数为3 × C =54.
(2)由(1)可知，令 ∈Z, 则r=0,2,4,
所以所有的有理项为81x ,54x,x- .
课堂小结
1.知识清单：
(1)二项式定理；
(2)二项展开式的通项；
(3)有理项问题.