(共18张PPT)
第四章 三角形
1 认识三角形
第1课时 认识三角形（1）
第1课时 认识三角形（1）
观察图片
你能发现生活中的三角形吗？
第1课时 认识三角形（1）
定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形。
三个顶点
三个内角
A
B
C
三条边
“三角形”可以用符号“Δ”表示
C
B
A
D
ΔABD
ΔACD
ΔABC
请你找出下图中的三角形，并用符号表示出来。
它们分别是：
方法一：可用顶点的两个大写字母表示。
A
B
C
c
b
怎样表示三角形的三条边呢？
如：边AB，BC，CA
方法二：可用一个小写字母表示。
在一般情况下，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边CA用b表示，顶点C所对的边AB用c表示。
想一想
a
如：边a，b，c
在小学我们探究了三角形三个内角的和等于180 ，你还记得这个结论的探索过程吗
1
A
B
D
2
C
如图,当时我们是撕下两个角,把∠A移到了∠1的位置,把∠B移到了∠2的位置。
回顾与思考
如果只撕下一个角,你能用学过的知识拼凑并解释“三角形的三个内角和是180 ”吗？
拼一拼 说一说
1
2
3
(1)做一个三角形纸片,它的三个内角分别为∠1,∠2和∠3,如下图.
做一做
1
2
3
(2)将∠1撕下,并按上图进行摆放,其中∠1的顶点与∠2的顶点重合,它的一条边与∠2的一条边重合.此时∠1的另一条边b与∠3的一条边a 平行吗 为什么
1
a
b
做一做
1
2
3
1
a
b
(3)将∠2与∠3的公共边延长，它与边b所夹的角为∠4， ∠3，∠4的大小有什么关系？为什么？
4
做一做
1.由此你能得到什么结论？
三角形的三个内角和等于180°。
2.你会用几何语言进行证明吗？
想一想
证明：
在△ABC的外部，
以CA为一边，
CE为另一边作∠1=∠A，
作BC的延长线CD，
于是CE∥BA
(内错角相等，两直线平行).
所以∠B=∠2
(两直线平行，同位角相等)。
又因为∠1+∠2+∠ACB=180°
(平角的定义)，
所以∠A+∠B+∠ACB=180°
(等量代换)。
）
1
2
C
A
E
）
B
D
证法2：
）
1
2
C
A
E
）
B
D
作BC的延长线CD，过C作CE∥BA.
于是∠A=∠1
(两直线平行，内错角相等)。
所以∠B=∠2
又因为∠1+∠2+∠ACB=180°
(平角的定义)，
所以∠A+∠B+∠ACB=180°
(两直线平行，同位角相等)。
(等量代换)。
C
A
B
E
F
证法3：
过点A作EF∥BC
C
A
B
E
证法4：
过点A作AE∥BC
试一试
例1 如图，在ΔABC中，∠B=3∠A，∠C=5∠A，求∠A，∠B， ∠C的度数.
解：
因为三角形三个内角的和是180°，
所以∠A+∠B+∠C=180°，
所以∠A+3∠A+5∠A=180°，
即9∠A=180°.
所以∠A=20°，∠B=60 °，∠C=100 °.
知识应用
在ΔABC中：
（1）如果∠A+∠B=∠C，那么∠C等于多少度？
（2）如果∠A+∠B=2∠C，那么∠C等于多少度？
大家齐动手！
做一做
请你谈一谈:
通过这节课的学习，你对三角形又多了哪些认识
第1课时 认识三角形（1）
1.定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形.
2.“三角形”可以用符号“Δ”表示.
3.三角形的三个内角和等于180°.(共21张PPT)
第四章 三角形
1 认识三角形
第2课时 认识三角形（2）
下面的图⑴、图⑵、图⑶中的三角形被遮住的两个内角是什么角？试着说明理由。
发现猜想
第2课时 认识三角形（2）
将图⑶的结果与图⑴、图⑵的结果进行比较，可以将三角形如何按角分类？
发现猜想
第2课时 认识三角形（2）
三角形的分类
锐角三角形
三个内角都是锐角
钝角三角形
有一个内角是钝角
直角三角形
有一个内角是直角
按三角形内角的大小把三角形分为三类
直角边
直角边
斜边
1.常用符号“Rt ABC”来表示
直角三角形ABC。.
2.直角三角形的两个锐角之间
有什么关系？
直角三角形的两个锐角互余
直角三角形
如果一个三角形有两个角互余，这个三角形是直角三角形吗？
根据∠A+∠B+∠C=180°，
因为∠A+∠B=90 °，
所以∠C=90°.
所以，是直角三角形.
想一想
例2 如图，在△ABC中，D为BC上的一点，∠ADB=90°，∠1=∠B.若按角分类，△ABC是什么形状的三角形？为什么？
解：
△ABC 是直角三角形.理由如下：
因为∠ADB=90°，
所以△ ADB是直角三角形.
所以∠B+ ∠2=90°.
又因为∠1=∠B，
所以∠1+ ∠2=90°，即∠BAC=90 °.
所以△ABC 是直角三角形.
知识应用
1.观察下面的三角形，并把它们的标号填入相应图内：
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
③⑤
①④⑥
②⑦
练一练
2.一个三角形两个内角的度数分别如下,这个三角形是什么三角形
(1)30度和60度;
(2)40度和70度;
(3)50度和20度;
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
3.在下面的空白处,分别填入“锐角”“钝角”
或“直角”：
（1）如果三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是 三角形；
（2）如果三角形的一个内角等于另外两个内角之和，那么这个三角形是 三角形；
（3）如果三角形的两个内角都小于40度，那么这个三角形是 三角形.
钝角
锐角
直角
4. 在△ABC中, ∠A:∠B:∠C=2:3:4，则
∠A= , ∠B= , ∠C= .
5.在△ABC中, ∠A=1/3∠B=1/5∠C,则△ABC
是 三角形.
40°
80°
60°
钝角
6.已知∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D.
⑴ 图中有几个直角三角形？是哪几个？分别说出它们的直角边和斜边。
⑵ ∠ACD和∠A有什么关系？∠BCD和∠A呢？
C
B
A
D
C
B
A
D
解:(1)直角三角形有三个，分别是：
Rt BDC
Rt ADC
Rt ACB
直角边是AC、BC,斜边AB
直角边是AD、CD,斜边AC
直角边是BD、CD,斜边BC
C
B
A
D
解:(2) ∠ACD和∠A互余,
∠BCD和∠A相等.
因为 ∠ACD＋∠A ＋ ∠ADC =180°，
证明：在Rt ADC中,因为 CD⊥AB , 所以∠ADC =90°.
所以 ∠ACD＋∠A =90°.
又因为∠ACD＋ ∠BCD= 90°，
所以∠BCD=∠A.
一个三角形中会有两个直角吗？可能两个内角是钝角或锐角吗？
想一想
1. 已知∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，∠A＝70°，∠C＝30 °， ∠B＝（ ）.
2. 直角三角形的一个锐角为70°，另一个锐角为（ ）.
80 °
20 °
3.在△ABC中，∠A=80°，∠B=∠C，则∠C=（ ）.
4.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5，此三角形按角分类应为 （ ）.
50 °
直角三角形
练一练
有关三角形的角度计算问题，有两种类型：
一是直接利用三角形的内角和180°进行计算；二是设某一个角为x（或将某一个角视为未知 数），其余的角用x的代数式表示，从而根据题意列出方程（组）求解，这就是“形题数解”。
方法规律
如图，一艘轮船B按箭头所示方向行驶，C处有一灯塔，请你根据图中所标数据求∠ACB的大小，当轮船距离灯塔C最近时，∠ACB是多少度？
30 °
70 °
B
C
A
E
实际问题
30 °
70 °
B
C
A
E
解：因为∠ABC+∠CBE= 180°，
所以 ∠ABC= 180°－∠CBE= 180°－ 70°= 110°.
所以在 ABC中， ∠ACB= 180°－ ∠ABC － ∠A
= 180°－ 110° － 30°
= 40°.
实际问题
30 °
90 °
B
C
A
解：当轮船距离灯塔C最近时，则有CB⊥AB
即∠ACB = 90°
所以在 ABC中， ∠ACB= 180°－ ∠ABC － ∠A
= 180°－ 90° － 30°
= 60°.
实际问题
第2课时 认识三角形（2）
请你谈一谈:
通过这节课的学习，你对三角形又多了哪些认识
1.三角形按角的大小分类：
⑴锐角三角形 ：三个内角都是锐角；
⑵直角三角形 ：有一个内角为直角；
⑶钝角三角形 ：有一个内角为钝角 。
2.直角三角形的两个锐角互余。(共13张PPT)
第四章 三角形
1 认识三角形
第5课时 认识三角形（5）
你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗
画法
放、
靠、
过、
画。
过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗
B
A
C
第5课时 认识三角形（5）
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
三角形的高
A
B
C
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，
顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。
D
如图, 线段AD是BC边上的高.
任意画一个锐角三角形ABC,
和垂足的字母.
A
B
C
请你画出BC边上的高.
注意
!
标明
垂直的记号
D
第5课时 认识三角形（5）
想一想
分别指出图中△ABC 的三条高。
直角边BC上的
高是 ;
边AB
直角边AB上的
高是 ;
边CB
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
斜边AC上的
高是 ;
BD
AB边上的高是 ;
CE
BC边上的高是 ;
AD
CA边上的高是 ;
BF
锐角三角形的三条高
每人准备一个锐角三角形纸片。
(1) 你能画出这个三角形的三条高吗
做一做
(3) 这三条高之间有怎样的位置关系？
将你的结果与同伴进行交流.
锐角三角形的三条高交于同一点.
(2) 你能用折纸的办法得到它们吗
O
锐角三角形的三条高是
在三角形的内部还是外部
使折痕过顶点，顶点的对边边缘重合
锐角三角形的三条高
都在三角形的内部。
在纸上画出一个直角三角形。
议一议
将你的结果与同伴进行交流.
A
B
C
(1) 画出直角三角形的三条高,
直角边BC上的高是 ;
边AB
直角边AB上的高是 ;
边BC
斜边AC上的高是 ；
直角三角形的三条高交于直角顶点.
D
直角三角形的三条高
它们有怎样的位置关系？
BD
折、画钝角三角形的三条高
在纸上画出一个钝角三角形。
议一议
(2) 你能折出钝角三角形的
三条高吗？
需要把CB延长。
A
C
B
B
A
A
A
A
B
C
D
F
为了便于折出AB边上的高，
需要把AB延长。
C
C
A
B
C
D
F
C
A
B
C
D
F
E
为了便于折出BC边上的高，
你能画出钝角三角形的三条高吗？
A
B
C
BC边上的高是在三角形的内部还是外部
D
AB边上的高呢？
E
F
钝角三角形的三条高
A
B
C
D
E
F
议一议
A
B
C
D
F
(3) 钝角三角形的
三条高交于一点吗？
钝角三角形的
三条高不相交于一点
它们所在的直线交于一点吗？
将你的结果与同伴进行交流.
钝角三角形的三条高所在直线交于一点
O
E
从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，
顶点和垂足之间的线段
叫做三角形的高。
三角形的三条高的特性：
高所在的直线是否相交
高之间是否相交
高在三角形内部的数量
钝角三角形
直角三角形
锐角三角形
3
1
1
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
三角形的三条高所在直线交于一点
知识应用
例4 如图,在△ABC中,AD,AF分别是BC边上中线和高,
（1）AF是图中哪几个三角形的高？
（2）图中哪两个三角形的面积相等？请说明理由。
A
B
F
D
C
解：（1）AF是△ABC，△ABD，△ABF，△ADF，△ADC和△AFC的高.
（2）△ABD与△ADC的面积相等.
因为BD=CD，所以
由三角形的面积公式可知，△ABD与△ADC的面积相等.
A
B
F
D
C
拓展练习
2. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.锐角三角形
B
3. 三角形的三条高相交于一点，此点定在（ ）
A. 三角形的内部 B.三角形的外部
C.三角形的一条边上 D. 不能确定
D
1.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高( )
A
D
C
B
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
(A)
(B)
(C)
(D)
D
感悟与反思
通过这节课的学习活动你有哪些收获？
你还有什么想法吗？
第5课时 认识三角形（5）(共13张PPT)
第四章 三角形
1 认识三角形
第3课时 认识三角形（3）
若将方屋顶的框架图抽象成一个几何图形，标出字母。聪明的你能表示出哪些三角形？
A
F
D
B
E
C
G
第3课时 认识三角形（3）
观察发现
观察下面的三角形，你能发现它们各自的边长之间有什么关系吗？
顶角
腰
腰
底角
底角
底边
有两边相等的三角形叫做等腰三角形
三边都相等的的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形
按边分类 形成概念
第3课时 认识三角形（3）
(1) 元宵节的晚上，房梁上亮起了彩灯，装有黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长呢？说明你的理由。
利用你发现的规律填空:
AB+AC BC;
AB+BC AC;
AC+BC AB.
A
B
C
A
B
C
A
B
C
(2)在一个三角形中,任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系 为什么 由此你能得到什么结论
在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A—B路线，而不选择A—C—B路线，难道小狗也懂数学？
C
B
A
验证
三角形任意两边之和大于第三边
计算每个三角形的任意两边之差，并与第三边比较，你能得到什么结论？
分别量出下面三个三角形的三边长度，并填入空格内。
a
c
b
a
c
b
a
b
c
a = ，
b = ，
c = 。
a = ，
b = ，
c = 。
a = ，
b = ，
c = 。
三角形任意两边之差小于第三边
验证
有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长度为13cm的木棒呢？动手摆一摆。
解题技巧三角形第三边的取值范围是:
两边之差<第三边<两边之和
典例分析
2.三条线段的长度分别为：
（1）3,8,10 （2）5,2,7
（3）5,5,11 （4）13,12,20
能组成三角形的有（ ）组.
1．用两根长度分别为4㎝和7㎝的两根木棒,
（1）用长度为2 ㎝的木棒能与它们组成三角形吗 为什么
（2）用长度为11㎝的木棒呢
（3）如果第三边是正整数,那么第三边可能是哪几个数
练习
(A) 2a-2b (B) 2a+2b+2c
(C) 2b-2c (D) 2a-2c
（ ）
拓展训练
分析：a+b-c可以看作（a+b）-c,b-a-c则可以看作b-(a+c)
由三角形任意两边和大于第三边可得：
a+b>c, b
因此我们有a+b-c>0, b-a-c<0
而由去绝对值法则：
正数的绝对值是它本身，
负数的绝对值是它的相反数，
0的绝对值是0.
原式=（a+b-c）+（b-a-c）
= a+b-c +b-a-c
=2b-2c.
解：由题意，我们可以得到
三角形三边之间的关系：
1.三角形任意两边之和大于第三边;
2.三角形任意两边之差小于第三边.
请你谈一谈:
通过这节课的学习，你对三角形又多了哪些认识
第3课时 认识三角形（3）(共10张PPT)
第四章 三角形
1 认识三角形
第4课时 认识三角形（4）
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线.
三角形的“中线”
BE=EC
B
A
C
E
A
如图，
AE是边BC上的中线.
第4课时 认识三角形（4）
(1) 在纸上画出一个锐角三角形， 并画出它的三条中线.
议一议
它们有怎样的位置关系 与同伴进行交流.
(2) 钝角三角形和直角三角形的三条中线
也有同样的位置关系吗
折一折，画一画，并与同伴进行交流.
三角形的三条中线的性质
三角形的三条中线交于一点.
问题1.在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗
B
A
C
用量角器画最简便。用圆规也能画。
问题2.你能通过折纸的方法得到它吗
在一张纸上画出一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合。
折痕AD即为三角形的∠A的平分线。
A
B
C
A
D
第4课时 认识三角形（4）
三角形的角平分线的定义
以前所学的“角平分线”是一条射线，
B
A
C
“三角形的角平分线”还是射线 吗
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的
线段叫三角形的角平分线。
“三角形的角平分线”是一条线段。
注意
!
D
∠1=∠2
1
2
三角形的角平分线的性质
每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个。
(1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗
(2) 你能用折纸的办法得到它们吗
做一做
(3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系 将你的结果与同伴进行交流.
三角形的三条角平分线交于同一点.
本 课 概 要
B
D
∠1=∠2
1
2
A
C
BE=EC
B
C
E
A
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的
线段叫三角形的角平分线。
三角形的三条中线交于一点.
三角形的三条角平分线交于一点.
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。
例题：如图，在△ABC中，BP，CP分别是∠B，∠C的平分线，求证： ∠BPC= 90 + ∠A。
B
A
C
P
证明：
因为BP，CP分别是∠B， ∠C的平分线(已知)，
所以∠1=
1
∠ABC，
∠2=
2
∠ACB.
因为 ∠BPC +∠1 + ∠2 =180 ，
∠A +∠ABC +∠ACB=180 ，
所以∠BPC=180 (∠1 +∠2 )
=180
=180 (∠ABC +∠ACB )
=180 (180 ∠A )
=90 + ∠A.
1.今天你学到了什么？
2.你觉得角平分线有哪些注意点？
3.中线呢？
4.想一想在三角形中除了中线、
角平分线外还有其他线吗？
第4课时 认识三角形（4）