8.1.1 变量的相关关系 课件(共31张PPT)-2024-2025学年高二数学（人教A版2019选择性必修第三册）

(共31张PPT)
人教A 版2019选择性必修第三册
第八章成对数据的统计分析
8.1.1 变量的相关关系
在必修二的课程中，我们学习了单个变量的观察数据的直观表示和统计特征的刻画 .
例 如 ：
● 商 品销售收入与哪些因素有关；
● 学 生使用手机时长和近视之间的关系；
● 人 体 的脂肪含量与年龄之间的关系；
用直方图描述样本数据的分布规律
用均值刻画样本数据的集中趋势
用方差刻画样本数据的离散程度
在 现 实中，我们还经常需要了解两个或两个以上变量之间的关系，例如：
该如何刻画这两个变量 之间的统计规律
主要适用于通过样本认识
单个变量的统计规律
0 前情回顾
●
●
●
0 学习目标
1 通过具体实例，了解样本相关系数的统计含义.
2 掌握相关关系的判断，能辨析相关关系和函数的区别.
3 结合实例，能根据散点图判断线性相关关系.
俗话说“庄稼一枝花，全靠肥当家”,
这说明施肥的多少对粮食的产量影响很大。
为了搞清这些问题，我们一起来学习本节内容--变量的相关关系.
问题：(1)粮食的产量还受其他因素的影响吗
(2)施肥量和粮食的产量是确定的函数关系吗
(3)两个变量间的关系除了可能是函数关系外，还可能是其他关系吗
0 新课引入
1.相关关系与函数的区别和联系
2.你能总结出两个变量之间的关系有哪些吗
我们一起来探究“变量的相关关系”吧!
阅读课本P93-P95,4分钟后完成下列问题：
0 读教材
读教材 知识梳理
3题型训练
学习过程
01
02
03
1两个变量的相关关系
2散点图与线性相关
目录
(1)正方体的体积V与棱长a; (2)汽车匀速行驶时的路程S与时间t;
有确定关系：V=a 有确定关系：s=vt
(3)粮食产量y与施肥量x; (4)学习成绩与学习时间；
有关系但不是唯一因素 有关系但不是唯一因素
(5)人的体重与视力； (6)商品销售收入y与广告支出经费x;
没有关系 有关系但不是唯一因素
思考：上述问题中，该如何刻画两个变量之间的关系呢
1 新知探究
探究1下列两个变量之间有关系吗 关系是否确定
问题(1)和问题(2)的确定关系中，体积V是棱长a的函数，路程s是时间t 的函数，
我们知道，如果变量y是变量x的函数，那么由x就可以唯一确定y;
所以当两个变量之间有确定的关系时，这两个变量之间有因果关系，
也就是说两个变量之间的确定关系是一种“函数关系”。
思 考 ：上述问题中，该如何刻画两个变量之间的关系呢
(2)汽车匀速行驶时的路程S 与时间t;
有确定关系： s=vt
(1)正方体的体积V与棱长a;
有确定关系： V=a
1 新知探究
思 考 ：上述问题中，该如何刻画两个变量之间的关系呢
(3)粮食产量y与施肥量x; (4)学习成绩与学习时间；
有关系但不是唯一因素 有关系但不是唯一因素
(5)人的体重与视力； (6)商品销售收入y与广告支出经费x;
没有关系 有关系但不是唯一因素
问题(3)、问题(4)、问题(6)的不确定关系中，
两个变量有关系，但后一个变量不是影响前一个变量的唯一因素，
所以当两个变量之间有不确定的关系时，这两个变量之间有因果关系或伴随关系，
此时，我们称两个变量之间的不确定关系是一种“相关关系”。
1 新知探究
一个人的体重与他的身高有关系，个子高的人往往体重值较大，个子矮的人
往往体重值较小；但身高并不是决定体重的唯一因素，例如生活中的饮食习 惯、体育锻炼、睡眠时间以及遗传因素等也是影响体重的重要因素.
像上述，两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的
一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.
不相关 : 体重与视力
两个变量的关系 相关关系： 学习时间与学习成绩
函数关系：正方形的面积与边长
两 个 变 量 的 相 关 关 系
1 新知1--两个变量的相关关系
思考：相关关系与函数关系之间有何区别和联系
关系 函数关系
相关关系
相同点 都是两个变量间的关系 不同点 是一种确定关系
是一种非确定关系
是一种因果关系
不一定是因果关 系 ， 也可能是伴随关系
伴随关系：现象之间伴随发生或共同变化。
例如：我市某年的房产销售产量与装修公司的收入之间的关系。
1 新知1--离散型随机变量
例1(多选)下列关系中，属于相关关系的是 ( BD
A.正方形的边长与面积之间的关系 B.农作物的产量与施肥量之间的关系
C.出租车费与行驶的里程 D.降雪量与交通事故的发生率之间的关系
解：A 中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；
B中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；
C 为确定的函数关系；
D 中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系.
y 学以致用
例2若“名师出高徒”成立，则名师与高徒之间存在什么关系 ( A
A.相关关系 B.函数关系
C.无任何关系 D.不能确定
解：一般来说，名师更可能出高徒，但高徒还受师傅教导时间、徒弟的天赋、
以及徒弟自身的努力等因素影响。
y 学以致用
例3(多选)给出下列关系，其中有相关关系的是 ( AOD
A.人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系
B.曲线上的点与该点的坐标之间的关系
C.苹果的产量与气候之间的关系
D.森林中的同一种树木，其截面直径与高度之间的关系
解 ：A 中 ，人的年龄与他(她)拥有的财富有相关关系；
B中，曲线上的点与该点的坐标之间有确定关系；
C中 ，苹果的产量与气候之间有相关关系；
D 中 ，森林中的同一种树木，其截面直径与高度之间的关系具有相关关系.
y 学以致用
1两个变量的相关关系
2离散图与线性相关
3题型训练
学习过程
01
02
03
目录
(2)学习成绩与学习时间；
学习时间越长，学习成绩越好，但学习成绩还与学习效率、学习状态等因素有关。
(3)商品销售收入y与广告支出经费x;
思考：上述相关性是由“经验”推断，当经验判断不了时应该怎么办呢
1 新知探究
思考：你能准确描述下列相关关系吗
(1)粮食产量y与施肥量x;
在一定范围内，施肥量越大，粮食亩产量就越高.但施肥量并不是决定粮食亩产量的 唯一因素，粮食亩产量还要受到土壤质量、降水量、田间管理水平等因素的影响.
一般来说，广告支出越多，商品销售收入越高.但广告支出并不是决定商品销 售收入的唯一因素，商品销售收入还与产品质量、居民收入等因素有关。
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
14
年龄/岁 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60
61
脂肪含量/% 9.5 17. 8 21. 2 25. 9 27. 5 26. 3 28. 2 29. 6 30. 2 31. 4 30. 8 33. 5 35. 2
34.
6
探究2 在研究两个变量间的相关关系时，我们需要借助数据说话，即通过样本数 据分析，从数据中提取信息，并构建适当的模型，再利用模型进行估计或推断：
问题1:根据以上数据，你能推断人体的脂肪含量与年龄之间存在怎样的关系吗
问题2: 如果用横轴表示年龄，纵轴表示脂肪含量，上述数据用直角坐标系中的 点表示出来，图有什么特征
科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表，表中每个编号下 的年龄和脂肪含量数据都是对同一个体的观测结果，它们构成了成对数据：
1 新知探究
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
14
年龄/岁 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60
61
脂肪含量/% 9.5 17. 21. 25. a 27. 26. 28. 29. c 30. 31. A 30. 33. 35.
34.
C
问题1: 根据以上数据，你能推断人体的脂肪含量与年龄之间存在怎样的关系吗
问题2: 如果用横轴表示年龄，纵轴表示脂肪含量，上述数据用直角坐标系中的 点表示出来，图有什么特征
由散点图得，散点大致落在一条
从左下角到右上角的直线附近，
表明随年龄值的增加，脂肪含量值
呈现增高的趋势.
把成对样本数据用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图叫做散点图.
散点图：是描述成对数据
之间关系的一种直观方法.
1 新知探究
正相关： 从整体上来看一个变量会随 着另一个变量变大而变大，点的位置 散布在从左下角到右上角的区域.
负相关： 从整体上来看一个变量会随
着另一个变量变大而变小，点的位置 散布在从左上角到右下角的区域内.
把成对样本数据用直角坐标系中的点表示出来，
由这些点组成的统计图叫做散点图.
散点图：是描述成对数据之间关系的一种直观方法.
离 散 图 与 线 性 相 关
新知2--离散图与线性相关
2
一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，
而且散点落在一一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关。
思考1: 两个变量的相关关系一定是线性相关的吗
不一定，如上图，正相关也可能是非线性关系；
反之也不一定，相关系数为0时。
思考2: 正相关和负相关一定是线性相关的吗 反过来呢
线性相关
线性相关
新知2--离散图与线性相关
非线性相关
2
(2)从图中可以发现广告支出费与销售金额之间具有
相关关系，并且当广告支出费由小变大时，销售金 额也大多由小变大，图中的数据大致分布在某条直 线的附近，即x与y成正相关关系.
y 学以致用
x 2 4 5 6
8
y 30 40 60 50
70
(1)画出散点图；(2)从散点图中判断
销售金额与广告支出费成什么样的关系
例1某种产品的广告支出费x与销售额y之间有如下对应数据(单位：百万元):
y对应的数据为纵坐标，所作的散点图如图所示.
解：(1)以x对应的数据为横坐标，
解：图A 的两个变量具有函数关系；图BC 的两个变量具有相关关系；
图D的两个变量之间既不是函数关系，也不是相关关系.
y 学以致用
例2(多选)在下列所示的四个图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是( B )
C
C
A
D
B
解：对于(1),图中的点成带状分布，且从左到右上升，是①正相关关系；
对于(2),图中的点没有明显的带状分布，是③不相关；
对于(3),图中的点成带状分布，且从左到右是下降的，是②负相关关系.故选D.
A.①②③ C.②①③
B.②③①
D.①③②
(1) (2) (3)
y
例3两个变量的相关关系有①正相关，②负相关，③不相关，
则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系是( D
学以致用
(填“确定关系”“相关关系”或“没有关系”)
解：由表中数据可以得到x,y 之间是一种函数关系：y=2x+1,
所以x,y 是一种确定的关系，即函数关系.
学以致用
例4 给出下列x,y 值的数据如下：
则根据数据可以判断x和y的关系是 确定关系.
x 1 2 4
8
y 3 5 9
17
散 点 图 判 断 相 关 关 系 ：
画散点图的一般步骤：(1)建立直角坐标系，注意，两轴的长度单位可以不一致.
(2)将n个数据点(xi,yi)(i=1,2,3,…,n) 描在平面直角坐标系中， 描出的点可以是实心点，也可以是空心点.
(3)画直线时， 一定要画在多数点经过的区域.具体作直线时，
用一条透明的直尺边缘尽量靠近或经过大多数点，然后画出直线.
不 相 关 : 体重与视力
两个变量的关系 相关关系： 线性相关，非线性相关，正相关，负相关
函数关系：正方形的面积与边长
y 思路点拨
人
1两个变量的相关关系
2散点图与线性相关
学习过程
01
02
03
3题型训练
目录
3 题型1--散点图与相关关系
例1判断下列正误：
(1)函数关系是一种确定关系，而相关关系是一种不确定关系.( V )
(2)两个变量呈正相关，那么这两个变量有线性相关性.( × )
(3)散点图可以直观地分析出两个变量是否具有相关性. ( √
(4)若变量x,y 满足函数关系，则这两个变量线性相关. ( X
解：(1)由两个变量关系的分类可知，说法正确；
(2)正相关不一定线性相关，也可能是非线性相关，例如曲线相关，说法错误；
(3)散点图的作用可知，说法正确；
(4)函数关系是两个变量有确定关系，不是线性相关，说法错误.
例2据两个变量x,y 之间的成对样本数据画出散点图如图，
这两个变量是否具有线性相关关系 否 . (填“是”或“否”)
3 题型1--散点图与相关关系
解：图中的点分布杂乱，两个变量不具有线性相关关系.
例3如图所示，有5组(x,y) 数据，去掉哪一组数据之后，
剩下的4组数据成线性相关关系 ( B
A.E B.D C.B D.A
解：如图，去掉D组数据之后，剩下的4组数据成线性相关关系.
3 题型1--散点图与相关关系
解：(1)散点图如图所示；
(2)由图知，所有数据点接近一条直线排列，
因此，认为y与x具有线性相关关系，且是正相关关系.
年龄x(岁) 1 2 3 4 5
6
身高y(cm) 78 87 98 108 115
120
(1)画出散点图；
(2)判断y与x是否具有线性相关关系， 如果相关，是正相关还是负相关.
3 题型1--散点图与相关关系
例4某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示：
相关关系
两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关
系称为相关关系；注意区分相关关系和函数关系。
散点图
成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图叫做散点图
正相关
从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就 称之两个变量正相关。
负相关
当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减小的趋势，则称这两个变量负相关。
线性相关
一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们
就称这两个变量线性相关；正相关不一定是线性相关，也可能是非线性相关。
y课堂小结
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