〖数学〗8.4.1 平面 同步课件(共27张PPT)-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

(共27张PPT)
第八章 立体几何初 步
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1 平面
【问题引入】前面我们学习了基本几何体，学习了它们的结构特征、平面
表示、面积和体积的计算等 .
在学习棱柱、棱锥、棱台等多面体的过程中，我们知道顶点、棱、平面多
边形等是构成这些多面体的基本元素，这些元素之间的相互关系，反映了
这些多面体的结构特征.
实际上，立体图形都是由点、直线、平面等基本元素
组成的，要研究立体图形的结 构 特 征，就要研究这些 基本元素之间的位置关系 .
我们先从认识点、直线、平面这些基本元素开始.
体
面
线
问题1 在初中，我们已经对点和直线有了一定的认识，知道它们都是由现
实事物抽象得到的.
点、直线、圆
请你类比 “直线的抽象过程”,尝试给出几何里所说的“平面(plane)”的
抽象过程.
几何图形
空间几何体
概念、表示、性
质、应用等
现实物体
抽象
1.概念：几何中所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、平静的水面等，
这样的一些物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸，几何中的平 面是向四周_无限延展 的 .
平面的特征 ①平 ② 无厚薄 ③无限延展的
新课讲授
生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海平面都给我 们以平面的形象。
一 、平面的概念及表示方法
平面的表示
问题2 我们是如何表示直线的 与之类比，你认为如何表示一个平面
我们不可能把一条直线全部画出来，而是画出直线的一部分来表示直线；
(1)表示：我们可以画出平面的一部分来表示平面. D
我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面. A
当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；
当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向.
( 2 ) 记 法：我们常用希腊文字α、β、γ等表示平面.
如平面α,平面β等，并将它们写在代表平面的平行四边形的一个内角内；
也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母表示；
如图：也可以表示为平面ABCD, 平面AC或平面BD;
2.画法：类比用直线的一部分(线段)表示直线，可以用平面的一部 分表示平面，用平行四边形表示平面。
D C · 平行四边形的锐角通常画成450
· 且横边长等于其邻边长的2倍
a
B
3.记 法 ：
①平 面α、平面β、平面y ( 标记在角上)
β ② 平面ABCD 、平 面AC 或 平面BD
a
立体几何画图或作辅助线的原则 —看得见的画成实线，看不见的画成虚线
竖直
A
【练习】判断下列各题的说法正确与否
1.一个平面长4米，宽2米； ( × )
2.平面上一条直线可以把这个平面分成两部分； ( √ ) 3.10个平面叠在一起要比一个平面厚； ( × )
4.菱形的面积可以等于4cm ; ( √ )
5.一个平面可以把空间分成两部分. ( √ )
你可以用集合语言表述 点、直线、平面之间的 关系吗
点的集合 点的集合
直线与平面是包含关系
4.点动成线，线动成面，面动成体.
元素
序号 类别 文字语言 图形语言 符号语言
备注
1 点与直线
2
3 点与平面
4
5 线与线
6
7 线与面
8
点、直线、平面之间位置关系表示
问题3 直线上有无数个点，平面内有无数个点，直线、平面都可以看出是点的集合，平 面也可以看作是直线的集合.
接下来我们通过元素与集合、集合与集合之间的关系，分别用文字语言、符号语言、图
点
直线 平面
形语言来描述，点A, 直线l, 直线m 、平面α的位置关系.
文字语言
A 在l 上
A 在1外
A 在α内
符号语言
A∈l
A∈l
AEα
图形语言
A
A
A
2
3
1
α
l
L
l,m 相交于A
l 在α内
l 不在α内
ln m=A
lcα
ltα
图形语言
Ao
α
文字语言
A 在α外
符号语言
A∈α
L
l
α
α
l
α
④
5
6
7
A m
l
例 1 、(1)如图所示，用符号语言表示以下各概念：
①点 A,B 在直线a 上：
②直线α在平面α内： ;
③点 D 在直线b 上，点C 在平面α内：
线AB 上”的符号语言
变式：根据图，填入相应的符号： A 平面ABC, A 平面BCD,BD 平面ABC, 平面ABCN平 面ACD= ;
C
(2)书写“点A,B 在平面α内，直线a与平面α交于点C, 点C 不在直
● B
α ●A
问题1 两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面呢
要使一辆自行车停放在光滑的地面上，需要几个支撑点
点与平面
基本事实1: 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
简单说成：不共线的三点确定一个平面
符号语言 A,B,C 不共线
→ 存在唯一的平面α,使A,B,C∈a
图形语言
A●
A,B,C 三点确 定的平面，可以 记成平面ABC
B
C●
思 考 ：
1.经过一点、两点可以有多少个平面 无数个
2.经过三点确定一个平面 错误，不在一条直线上的三点
3.经过同一条直线上的三点可以有多少个平面 无数个
4.任给不在同一直线上的四个点，不一定有一个平面同时经过这四个点
正确，不共线
的四点可以确 定一个或四个 平面
问题 如果直线l与平面α有一个公共点P,直线l是否在平面α内 如果直
线1与平面α有两个公共点呢
基本事实2: 如果一条直线的两 点在一个平面内，
那么这条直线在此平面内.
图形语言
符号语言 A∈l,b∈l, 且 A∈α,B∈α →lcα
作 用：用于判定直线是否在面内
直线与平面
问题3 如下图，把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与
课桌面所在平面是否只相交于一点B 为什么
如无特殊说明，
本章中的两个平面均 指两个不重合的平面.
平面与平面
基本事实3 : 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有
一条过该点的公共直线.
有什么作用
图形语言
符号语言 P∈α,P∈β→ α∩β=l, 且P∈l
作 用 ： ① 判断两个平面相交的依据. ( 只要两个平面有公共点，就可
以判定这两个平面必相交于过这个点的一条直线)
②判断点在直线上. ( 点是某两个平面的公共点，线是这两个 平面的公共交线，则这个点在交线上)
在画两个平面相交时，一定要画出交线，如果其中一个平面的一部分被另一
个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画，这样可使画出的图形立 体感更强一些，如图.
两相交平面的画法
如果图形的一部分被另一部分遮住，为了增强它的立体感，通常把遮住
部分画成虚线 (也可以不画) .
练习：画两个相交的平面.
结合图形理解和记忆关于平面的三个基本事实
基本事实1过不在 一 条直线上的三点，有且只有 一个平面 .
基本事实2 如果 一 条直线上的两个点在 一个平面内，那么这条直线在这个平面内 .
基本事实3 如果两个不重合的平面有 一个公共点，那么它们有且只有 一 条过该点的公共 直线 .
问题4 基本事实1给出了确定一个平面的一种方法，利用基本事实1和基
本事实2,再结合“两点确定一条直线”,你还能得到一些确定一个平 面的方法吗
基本事实1: 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
基本事实2 : 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
推论1.过一条直线和直线外一点有且只有一个平面。
推论2.过两条相交直线有且只有一个平面。
推论3.过两条平行直线有且只有一个平面。
A · a
b
a
【证明】如图，设点A是直线a 外一点，在直线a 上任取两点B 、C,
则由基本事实1,经过A 、B 、C三点确定一个平面α.
再由基本事实2,直线a 也在平面α内，
因此平面α经过直线a 和点A. 即一条直线和这条直线外一点确定一个平面.
利用基本事实1和2再结合“两点确定一条直线”,可得到下面三个推论：
推论1 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面.
平 面 的 的 基 本 性 质
【证明】如图，设点A、B 分别是直线a、b 上异于P 的点，
则由基本事实1,经过A 、B 、P三点确定一个平面α.
再由基本事实2,直线a 和直线b也在平面α内，
因此平面α经过直线a 和直线b. 即两条相交直线确定一个平面.
利用基本事实1和2再结合“两点确定一条直线”,可得到下面三个推论：
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
平面的的基本性质
【证明】因为当两条直线在同一个平面内，且不相交时叫做平行线，
所以两条平行直线a和b必在某个平面α内，
就是说过两条平行直线有一个平面.
如果过a 和b还有一个平面β,
那么在a 上的任意一点A一定在β内这样过点A和直线b 有两个平面α和β,
这和推论1矛盾，所以过平行直线a和b的平面只有一个.即两平行线确定一个平面.
利用基本事实1和2再结合“两点确定一条直线”,可得到下面三个推论：
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
平面的的基本性质
基本事实1过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. ( 不共线三点确定一个平面)
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
基本事实2用符号表示为 A∈l,B∈1, 且 A∈a,B∈a→lca.
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
基本事实3用符号表示为 P∈a, 且 P∈β→ αNβ=l, 且P∈1.
基本事实1和2的三个推论： 有什么作用
推论1经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面.
或者： 一条直线和直线外一点确定一个平面；
推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.
或者：两条相交直线确定一个平面；
推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.
或者：两条平行直线确定一个平面；
要点概括整合
平面的概念
平面的画法
和表示
平面
平面的基本事实
推论
平面的概念
及其表示
平面的基本
性质