〖数学〗排列 排列数 第一课时 课件(共19张PPT)-2024-2025学年高二下学期人教A版（2019）选择性必修第三册

(共19张PPT)
6.2.1排列 6.2.2排列数
第一课时
解决这个问题，需分2个步骤：
第1步，确定参加上午活动的同学，从3人
中任选1人有3种方法；
第2步，确定参加下午活动的同学，只能 从余下的2人中选，有2种方法.
根 据分步计数原理，
共有：3×2=6种不同的方法.
问题探究
问 题 1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加 上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法
选 甲法
甲
乙
乙
丙
丙
乙 丙 甲 丙 甲 乙
乙 丙 甲 丙 甲 乙
甲 丙
上午
下午
问题探究
问 题 2 从a、b、c、d 这四个字母中，取出3个按照顺序排成一列，共有多少种不 同的挑法
解决这个问题，需分3个步骤：
第1步，先确定左边的字母，在4个字母中任取1个，有4种方法；
第2步，确定中间的字母，从余下的3个字母中去取，有3种方法；
第3步，确定右边的字母，只能从余下的2个字母中去取，有2种方法 .
根据分步计数原理，共有：4×3×2=24种不同的排法 .
4 3 2
问题探究
问 题2 从a、b、c、d 这四个字母中，取出3个按照顺序排成一列，共有多少种不 同的挑法
由此可以写出所有的排列：
abc abd acb acd adb adc bac bad bca bcd bda bdc cab cad cba cbd cda cdb dab dac dba dbc dca dcb
问题探究，认识新知
思 考 上述两个问题的共同特点是什么 你能将它们推广到一般情形吗
上述问题都是研究从一些不同元素中取出部分元素，并按照一定顺序 排成一列的方法数.
排列定义
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n) 个元素， 按照一定的顺序排成一
列，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个排 列.
排列的定义中包含两个基本内容：
一是“取出元素”;二是“按照一定顺序排列”. “ 一定顺序”就是与
位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志.
根据排列的定义， 两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素完全相同， 而且元素的排列顺序也完全相同.
知识理解
例1、根据定义，判断下列问题是不是属于排列问题
(1)从5位同学中选3位去参加一项活动，有几种选法 ×
(2 )停车场有8个空车位，现有4辆不同的汽车要停放，有多少种不同 的停法 V
(3)从1,2,3,4四个数字中任选两个做加法，会有多少种不同的结 果
(4)从1,2,3,4四个数字中任选两个做除法，会有多少种不同的结 果 V
检验排列问题的方法：
1.是否取出元素；2.元素的顺序是否影响结果
例2 ( 1)从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送 法
( 2 ) 从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法
解： (1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个 不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是
5×4×3=60
(2)由于有5种不同的书， 送给每个同学的1本书都有5种不同的选 购方法，因此送给3名同学每人各1本书的不同方法种数是
5×5×5=125
知识理解
1、(多选)下列问题是排列问题的是(AC )
A. 某班从50名学生中选出正副班长
B. 选2个小组上交作业
C. 某地共12个车站，为车站之间准备车票
D. 从50张桌子中搬走三张
2、从2,3,5,7,11这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值 的分数共有多少个 5×4=20
3、有5种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地里，有
种不同的种法 5×4×3×2=120
针对训练
●排列数
我们把从n 个不同元素取出m( m≤n )个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号Am 表示.
我们来探究从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数Am是多少
不妨先从取两个元素的特殊情况开始探究：
可以假定有排好顺序的两个空位，每个空位
都从n 个元素中取1个填入，则计算填入方法
时需要分为两个步骤：
第一步，从n 个元素中取1个填入第一个空位，有n 种方法；
第二步，从剩下的n-1 个元素中取1个填入第一个空位，有n-1种方法；
由分步乘法计数原理，则共有A =n(n-1) 种填法.
新知讲解
n种 n-1 种
由此可得，排列数公式为： A,"=n(n-1(n-2)…(n-m+1)
特别地， n 个不同元素全部取出的一个排列，叫作n 个不同元素的一个全排列.这 时在排列数公式中m=n, 即有：
A"=n×(n-1)×(n-2)× … ×3×2×1
n个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积.正整数1到n的连乘 积，叫做n的阶乘，用n! 表示，所以n个不同元素的全排列数公式可以写成
n种 n-1种 n-2种 ●●●
n-m+1
特别地，规定：0!=1
以此法类推，可得出取m 个元素的情况如下：
新 知 讲 解
A"=n!
种
例3:计算(1) (2)A; ③ (4)A ×A2
解：由排列数公式可得
(1)A =7×6×5=210; (2)A=7×6×5×4=840;
思考：观察(1)A 与(3) 的关系，以及(4)A4×A2与A6的关系，从中能发现什么共性么
(3
例题讲解
思考：观察(1) 的关系，以及(4)A4×A2 与A 的关系，从中能发现什么共性么
事实上，A"=n(n-1(n-2)…(n-m+1)
因此排列数公式，也可以写成：
探 究 深 入
例1、用0~9这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数
特殊位置分析法
解法1:由于在没有重复数字的三位数中，百位上的数字不能是0,
因此可以分两步完成排列。
第一步，排百位上的数字，可以从1到9这九个数字中任选1个，
有A 种选法
第二步，排十位和个位上的数字，可以从余下的9个数字中任选2个，
有A 种选法
根据分步乘法计数原理，所求三位数为A·A =9×9×8=648 (个)
例题讲解
例1、用0~9这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数
特殊元素分析法
解法2:符合条件的三位数可以分成3类
每一位数字都不是0的三位数有A,个
个位数字是0的三位数有A3个，
十位数字是0的三位数有A2个
根据分类加法计数原理，所求三位数为A +A +A,=648 (个)
例题讲解
例1、用0~9这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数
间接法
解法3:
从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为
其中0在百位上的排列数是A9
所求三位数为A -A, =10×9×8-9×8 =648 (个)
例题讲解
对于有限制条件的计数问题，通常有两种基本思路，
(1)直接法：
位置分析法：以位置为主，特殊(受限)的位置优先考虑，
有两个以上的约束条件时，往往根据其中的一个条件分类
处 理 。
元素分析法：以元素为主，特殊(受限)的元素优先考虑，
有两个以上的约束条件时，往往根据考虑一个元素的同时，
兼顾其他元素。
(2)间接法： 先不考虑限制条件来计算出所有种数，再从中减去不符合条件
的种数，从而得出符合条件的种数。
方法总结
练习：三个女生，五个男生排成一排，
(1)女生不站两端； (2)甲乙必须站在两端.
解 ： (1)先考虑两端的人选，需先挑两个男生站在两端，共有A =20
种排法.
第二步，对剩余的人在中间进行全排列，共有A =720 种排法. 所以总共有A ·A =14400 种排法
(2)先将甲乙二人排在两端，共有A =2 种排法.
再排剩余的人，共有A =720 种排法.
针对训练
现实意义：从n 个不同元素取出m(m≤n) 个元素出来排成1列，这个过程可以分解为
以下两步：
①先从1到n 的n 个元素中取出1个元素放在第一 位，则有n 种取法；
②再从剩下的n-1个元素中取出m-1 个元素排列，则有 种排列方式 .
故
排列数性质
排列公式(性质):1、
。
现实意义：从n+1个不同元素取出m(m≤n) 个元素出来排成1列，这个过程可以分解
为以下两类：
①从1到n 的n个元素中取出m 个元素排列，则有Am 种排列方式；
②先从1到n 的n个元素中取出m-1 个元素排列，则有Am-1 种排列方式，在将 第n+1 个元素放在排列中，有m 种方法，故结果为mAn
排列数性质
排 列 公 式 ( 性 质 ) :