〖数学〗复数的几何意义课件(共18张PPT)-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

(共18张PPT)
7.1.2复数的几何意义
复习导入
· 形如a+bi(a,b∈R) 的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，规定 i =-1
· 全体复数所构成的集合C={a+bi|a,b∈R} 叫做复数集.
· z=a+bi 其中a 叫做复数z的实部， b叫做复数z的虚部.
· a+bi 与c+di 相等当且仅当a=c 且b=d.
注：复数如果能比较大小，说明它是实数
虚数集
纯虚数集
复数集
实数集
思考1: 类比实数的表示，可以用什么来表示复数
析：根据复数相等的定义，任何一个复数z=a+bi 都可以
由一个有序实数对(a,b)唯一确定；反之也对.
由此你能想到复数的几何表示方法吗
新知探究
实数可以用数轴上的点来表示.
一一对应
数轴上的点
(形)
思考：在几何上，我们
用什么来表示实数
实数
( 数 )
这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫
做复平面， x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
如图，点Z的横坐标是a, 纵坐标是b, 复数
z=a+bi 可用点Z(a,b) 表示.
新知1
复平面
y
b Z:a+bi
O a X
虚轴
复数z=a+bi <一 一 对 应 复平面内的点Z(a,b).
实轴
实轴上的点(a,0) →b=0
实轴上的点都是实数
个 实 轴 b
0
Z:a+bi
x
虚轴
思考2:实轴上的点对应的都是什么数
新知探究
复平面
a
虚轴上的点(0,b)
当b≠0 时
虚轴上的点都是纯虚数
当b=0 时，该点为(0,0) 此时对应实数0
复平面
个y
实 轴 b Z:a+bi
0 a x
虚轴
新知探究
思考3 :虚轴上的点对应的都是什么数
示，而有序实数对与复数是一一对应的，这样就可以用平面向量来表示
复数 .
如图所示,设复平面内的点Z 表示复数z=a+bi,
连接OZ, 显然向量OZ 由点Z 唯一确定；反过来，
点 Z 也可以由向量OZ唯一确定.
新知2
思考4 : 能用平面向量表示复数吗
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表
我们常把复数z=a+bi 说成点Z 或说成向量OZ,
并且规定， 相等的向量表示同一个复数.
新知探究
一一对应
复数z=a+bi - 复平面中的点Z(a,b)
一一对应
平面向量OZ
一一对应
新知3
图中向量OZ的模叫做复数z=a+bi 的模或绝对值，记作|z| 或|a+bi |.
即|z|=|a+bi|= √a +b , 其中a,b∈R.
复数不可以比较大小；
复数的模是个非负实数，任意两复数的模可以比较大小。
例2:设复数Z =4+3i,Z =4-3i.
(1)在复平面内画出复数z ,z 对应的点和向量；
(2)求复数Z ,z 的模，并比较它们的模的大小.
解：(1)当如图，复数Z ,Z 对应的点分别为Z ,
Z , 对应的向量分别为OZ ,OZ .
(2):|z I=|4+3|=√4 +32=5,
|z |=|4-3|=√4 +(-3) =5.
所以|z |=|z |.
新知探究
思考5 类比向量你能归纳出复数的模的几何意义吗
复数 z=a+bi(a,b∈R) 的模 z| 表示复数在平面内对应的点
Z(a,b) 到原点的距离或复数所对应向量的模
Z 的集合是什么图形
(1)|z|=1; (2)1<|z|<2.
解：(1) |z|=1 的 点Z 的集合是以原点O 为圆心，以1为半径的圆，
(2)不等式1< |z|<2 可化为不等式
即，是以原点0为圆心，以1及2为半径的两个圆所夹的圆环，
但不包括圆环的边界 .
例 3 : 设z∈C, 在复平面内z 对应的点为Z, 那么满足下列条件的点
新知4
共轭复数
符号语言： bi
注意：复数z的共轭复数用z 表示，即如果 z=a+bi
(a,b∈R),那么 z=a-bi.
特别地，实数α的共轭复数仍是a本身.
思考7 : 结合上题，猜想若Z ,z 是共轭复数，那么在复平面内它们
所对应的点有怎样的关系 关于x轴对称
变式1 已 知i 为虚数单位，在复平面
内，复数i,1,4+2i 对应的点分别是A,B,C. 求平行四边形 ABCD 的顶点D 所对应的 复数 .
导学大书P42
例3 已知复数z 满足z+|z|=2+8i,
求复数z.
例 1 已 知 a∈R,z=(a -2a+4)-
(a -2a+2)i 所对应的点在第几象限 复数 z 对应的点的轨迹是什么
o
例 2 设 复 数z=-3cosθ+2isin θ .
( 1 ) 当 时，求 |z| 的 值 ；
(2)若复数z 所对应的点在直线x+3y=
的 值 .
复平面内点(a,b)- 一一对应 复平面的向量OZ
一对应
共轭复数 z=a+bi, 那 么z=a-bi
模 lz|=|a+bi|=√a +b
复数与点一一对应
复数与平面向量一
复数的 几何意义
复数z=a+bi
小 结
复平面