〖数学〗导数的概念课件(共15张PPT)-2024-2025学年高二下学期北师大版（2019）选择性必修第二册

(共15张PPT)
导数的概念
复习引入
平均变化率的定义
对一般的函数y=f(x) 来说，当自变量x从x 变为x 时，函
< 数值从f(x ) 变为f(x ), 它的平均变化率为
瞬时变化率
对于一般的函数y=f(x) , 在自变量x从x 变到x 的过程中，若
设△x=x -xo,△y=f(x )-f(xo) , 则该函数的平均变化率为
, 如果当△x趋于0时，平均变化率趋
于某个值，那么这个值就是f(x)在点x 的瞬时变化率.
复 习 引 入
求函数平均变化率的三个步骤：
第一步，求自变量的增量△x=x -x ;
第二步，求函数值的增量△y=f(x )-f(x );
第三步，求平均变化
求函数f(x) 在点x =x 处的瞬时变化率的步骤：
(1)求△y=f(x +△x)-f(x );
(2)计算 并化简，直到当△x=0 时有意义为止；
(3)将△x=0 代入化简后的即得瞬时变化率.
函数值y关于x的平均变化率入
这个值为平均变化率的极限， 记 或 那么这个值就是
函数y=f(x) 在点x 的瞬时变化率 导 数 就 是 瞬 时 变 化 率
在数学中，称瞬时变化率为函数y =f(x )在点x 处的导数，
通常用符号f'(xo) 表示，
新课讲授极限与导数
设函数y=f(x), 当自变量x从x 变到x 时，函数值y从f(xo)变到f(x ),
当x 趋于x , 即△x趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，我们称
注意：
(1)函数应在x 的附近有定义，否则导数不存在；
(2)导数是一个局部概念，它只与函数y=f(x) 在x=x 处及 其附近的函数值有关，与△x无关；
(3)导数的实质是一个极限值.
(4)若函数y=f(x), 则f'(x )=ylx=x。=f(x) |x=x
典例精析
例1. (1)f(x)= x 在x=1 处的导数为( B )
A.2x B.2 C.2+△x D.1
(2)求函数f(x)=x 在x=2 处的导数.
解：△y= (2+△x) -2
=12
归纳总结
求导数的一般步骤
①求函数的改变量△y=f(xo+△x )-f(x );
②求平均变化
③取极限，得导数
例2.求函数f(x)= √x 在x=1 处的导数。
解：
例3: 一条水管中流过的水量y(单位：m ) 与时间x(单位：s)的 函
数关系为f(x)=3x. 求函数y=f(x) 在 x=2 处的导数f'(2),
并解释它的实际意义.
解：当x从2变到2+△x时，函数值从3×2变到3(2+△x), 函数值y关于x 的平均变化率
当x趋于2,即△x趋于0时，平均变化率总是3,所以f'(2)=3(m /s).
导数f'(2) 表示当x=2s 时水量的瞬时变化率，即水流的瞬时速度，也
就是说，如果水管中的水保持以x=2s 时的瞬时速度流动的话，每经过
1s, 水管中流过的水量为3m .
例4.设f(x)=x -8x, 求：
(1)
解：(1)
②
③
④
■
③
=-8
=4
②
④
巩固练习
1.求函数 x=2 处的导数.
解：∵
∴f'(2)=-1
2.若 f'(x )=a, 则 的值为( B )
A.-2a B.2a C.a D.-a
解 析 ：
本课小结
极限与导数
在数学中，称瞬时变化率为函数y=f(x )在点x 处的导数，
通常用符号f'(xo) 表示，
求导数的一般步骤
①求函数的改变量△y=f(xo+△x )-f(xo);
②求平均变化
③取极限，得导数