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鲁教版八年级下册数学第八章单元测评卷
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1.下列方程中是关于的一元二次方程的是 ( )
A. B. C. D.
【答案】C。
【解析】A、不是整式方程，故本选项错误；
B、当=0时，方程就不是一元二次方程，故本选项错误；
C、由原方程，得，符合一元二次方程的要求，故本选项正确；
D、方程中含有两个未知数；故本选项错误。故选C。
2.如果关于x的方程x2﹣2x﹣k＝0有实根．那么以下结论正确的是（ ）
A. k＞1 B. k＝﹣1 C. k≥﹣1 D. k＜﹣1
【答案】C
【解析】解：由题意知△＝(-2) ﹣4×1×(-k)≥0，
解得：k≥-1，
故选：C
3.下列一元二次方程无实数根的是（ ）
A．x2+x﹣2＝0 B．x2﹣2x＝0 C．x2+x+5＝0 D．x2﹣2x+1＝0
【答案】C
【解答】解：A、Δ＝12﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，则该方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
B、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，则该方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
C、Δ＝12﹣4×1×5＝﹣19＜0，则该方程无实数根，故本选项符合题意；
D、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，则该方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；
故选：C．
4.关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A．m＜4 B．m＞﹣4 C．m≤4 D．m≥﹣4
【答案】D
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个实数根，
∴Δ＝42﹣4×1×（﹣m）＝16+4m≥0，
解得：m≥﹣4，
故选：D．
5.国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为．则可列方程为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为，
∵2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元
即2019年我国快递业务收入为亿元，
∴可列方程：，
故选C．
6.下列关于x的方程一定有实数解的是（ ）
A．x2+1＝0 B．x2﹣x+1＝0
C．x2﹣bx+1＝0（b为常数） D．x2﹣bx﹣1＝0（b为常数）
【答案】D
【解答】解：A．Δ＝02﹣4×1＝﹣4＜0，则方程没有实数解，所以A选项不符合题意；
B．Δ＝（﹣1）2﹣4×1＝﹣3＜0，则方程没有实数解，所以B选项不符合题意；
C．Δ＝b2﹣4×1＝b2﹣4，当b＝0时，Δ＝﹣4＜0，则方程没有实数解，所以C选项不符合题意；
D．Δ＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0时，则方程有两个不相等的实数解，所以CD项符合题意．
故选：D．
7.为了回馈客户，商场将定价为200元的某种儿童玩具降价进行销售．“六·一”儿童节当天，又将该种玩具按新定价再次降价销售，那么该种玩具在儿童节当天的销售价格为（ ）
A. 160元 B. 162元 C. 172元 D. 180元
【答案】B
【解析】解：由题意得：
（元）；
故选B．
8.直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（ ）.
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个
【答案】D
【解析】∵直线不经过第二象限，
∴，
∵方程，
当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解，
当a<0时，方程为一元二次方程，
∵ =，
∴4-4a>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：D.
9.对于实数a，b定义运算“ ”为a b＝b2﹣ab，例如3 2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（k﹣3） x＝k﹣1的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】A
【解答】解：∵（k﹣3） x＝k﹣1，
∴x2﹣（k﹣3）x＝k﹣1，
∴x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0，
∴Δ＝[﹣（k﹣3）]2﹣4×1×（﹣k+1）＝（k﹣1）2+4＞0，
∴关于x的方程（k﹣3） x＝k﹣1有两个不相等的实数根．
故选：A．
10.已知2是关于的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（ ）
A. 10 B. 14 C. 10或14 D. 8或10
【答案】B.
【解析】∵2是关于的方程的一个根，∴，解pol得.
∴方程为，解得.
∵这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，
∴根据三角形三边关系，只能是6，6，2.∴三角形ABC的周长为14.故选B.
二、填空题（每小题3分，共18分）
11.请填写一个常数，使得关于x的方程x2﹣2x+ 0（答案不唯一） ＝0有两个不相等的实数根．
【答案】2（答案不唯一）．
【解答】解：a＝1，b＝﹣2．
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×c＞0，
∴c＜1．
故答案为：0（答案不唯一）．
12.已知方程没有实数根，则代数式.
【答案】2
【解析】∴，即，，得
则代数式
13.我市某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元．该公司缴税的年平均增长率为_______．
【答案】10%
【解析】设该公司缴税的年平均增长率是x，
则去年缴税40(1＋x) 万元， 今年缴税40(1＋x) (1＋x) ＝40(1＋x)2万元．
据此列出方程：40(1＋x)2=48.4，
解得x=0.1或x=－2.1（舍去）．
∴该公司缴税的年平均增长率为10%．
14.关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】k＜2且k≠1
【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4×（k﹣1）＞0，
解得k＜2且k≠1，
所以k的取值范围是k＜2且k≠1．
故答案为：k＜2且k≠1．
15.关于x的方程x2–2x+2m–1=0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根 ．
【答案】x1=x2=1．
【解析】∵关于x的方程x2–2x+2m–1=0有实数根，
∴b2–4ac=4–4（2m–1）≥0，解得m≤1，
∵m为正整数，∴m=1，∴x2–2x+1=0，则（x–1）2=0，解得：x1=x2=1．
16.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣＝0的两个实数根，且x1﹣x2＝1，则m＝______．
【答案】
【解析】根据题意知x1+x2＝2m﹣1 ①，x1x2＝﹣②，
∵x1﹣x2＝1 ③，
由①③，得：，
代入②，得：m（m﹣1）＝﹣，
解得m＝，故答案为：．
三、解答题（共52分）
17.（8分）19. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
（1）解：，
因式分解得：，
解得：，；
（2），
整理得：，
，，，
，
，
，．
18.（8分）如图，在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶嵌宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图，已知整个挂图的面积是，求金色纸边的宽是多少．
【答案】金色纸边的宽是
【解析】解：设金色纸边的宽是，
依题意，得，即
解得（不合舍去）
答：金色纸边的宽是．
19.（8分）已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0，其中a、b、c分别为△ABC的三边的长.
(1)如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
【解析】(1)把x=-1代入方程得2a-2b=0，即a=b，
∴△ABC是等腰三角形.
(2)∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ=(2b)2-4(a+c)(a-c)=0，即b2+c2=a2，
∴△ABC是直角三角形.
(3)∵△ABC是等边三角形，∴a=b=c.
∴原方程变为：2ax2+2ax=0.
∵a≠0，∴x2+x=0.
∴x1=0，x2=-1.
20.（8分）用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米．（围栏宽忽略不计）
（1）若生态园的面积为144平方米，求生态园垂直于墙的边长；
（2）生态园的面积能否达到150平方米？请说明理由．
【答案】（1）6米 （2）不能达到，理由见解析
【解析】（1）设生态园垂直于墙的边长为x米，则x≤7，生态园平行于墙的边长为(42－3x)米
由题意得：x(42－3x)=144
即
解得：（舍去）
即生态园垂直于墙的边长为6米.
（2）不能，理由如下：
设生态园垂直于墙的边长为y米，则生态园平行于墙的边长为(42－3y)米
由题意得：y(42－3y)=150
即
由于
所以此一元二次方程在实数范围内无解
即生态园的面积不能达到150平方米.
21.（10分）关于x的一元二次方程(a-6)x2-8x+9=0有实根.
(1)求a的最大整数值；
(2)当a取最大整数值时，①求出该方程的根；②求2x2-的值.
【解析】(1)∵关于x的一元二次方程(a-6)x2-8x+9=0有实根，
∴a-6≠0，Δ=(-8)2-4×(a-6)×9≥0.
解得a≤且a≠6.
∴a的最大整数值为7.
(2)①当a=7时，原一元二次方程变为
x2-8x+9=0.
解得x1=4+，x2=4-.
②∵x是一元二次方程x2-8x+9=0的根，
∴x2-8x=-9.
∴原式=2x2-=2x2-16x+=2(x2-8x)+=2×(-9)+=-.
22.（10分）如图13－1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为米.
（1）用含的式子表示花圃的面积；
（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；
（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价（元）、（元）与修建面积之间的函数关系如图13－2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？
【解析】解：（1）由图可知，花圃的面积为（40﹣2a）（60﹣2a）；
（2）由已知可列式：60×40﹣（40﹣2a）（60﹣2a）=×60×40，
解以上式子可得：a1=5，a2=45（舍去），
答：所以通道的宽为5米；
（3）设修建的道路和花圃的总造价为y，由已知得y1=40x，
y2=，则y=y1+y2=；
x花圃=（40﹣2a）（60﹣2a）=4a2﹣200a+2400；
x通道=60×40﹣（40﹣2a）（60﹣2a）=﹣4a2+200a，
当2≤a≤10，800≤x花圃≤2016，384≤x通道≤1600，
∴384≤x≤2016，
所以当x取384时，y有最小值，最小值为2040，即总造价最低为23040元，
当x=383时，即通道的面积为384时，有﹣4a2+200a=384，
解得a1=2，a2=48（舍去），
所以当通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价最低为23040元．
图13－2
图13－1
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鲁教版八年级下册数学第八章单元测评卷
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1.下列方程中是关于的一元二次方程的是 ( )
A. B. C. D.
2.如果关于x的方程x2﹣2x﹣k＝0有实根．那么以下结论正确的是（ ）
A. k＞1 B. k＝﹣1 C. k≥﹣1 D. k＜﹣1
3.下列一元二次方程无实数根的是（ ）
A．x2+x﹣2＝0 B．x2﹣2x＝0 C．x2+x+5＝0 D．x2﹣2x+1＝0
4.关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A．m＜4 B．m＞﹣4 C．m≤4 D．m≥﹣4
5.国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为．则可列方程为( )
A. B.
C. D.
6.下列关于x的方程一定有实数解的是（ ）
A．x2+1＝0 B．x2﹣x+1＝0
C．x2﹣bx+1＝0（b为常数） D．x2﹣bx﹣1＝0（b为常数）
7.为了回馈客户，商场将定价为200元的某种儿童玩具降价进行销售．“六·一”儿童节当天，又将该种玩具按新定价再次降价销售，那么该种玩具在儿童节当天的销售价格为（ ）
A. 160元 B. 162元 C. 172元 D. 180元
8.直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（ ）.
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个
9.对于实数a，b定义运算“ ”为a b＝b2﹣ab，例如3 2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（k﹣3） x＝k﹣1的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
10.已知2是关于的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（ ）
A. 10 B. 14 C. 10或14 D. 8或10
二、填空题（每小题3分，共18分）
11.请填写一个常数，使得关于x的方程x2﹣2x+ 0（答案不唯一） ＝0有两个不相等的实数根．
12.已知方程没有实数根，则代数式.
13.我市某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元．该公司缴税的年平均增长率为_______．
14.关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
15.关于x的方程x2–2x+2m–1=0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根 ．
16.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣＝0的两个实数根，且x1﹣x2＝1，则m＝______．
三、解答题（共52分）
17.（8分）19. 解方程：
（1）；
（2）．
18.（8分）如图，在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶嵌宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图，已知整个挂图的面积是，求金色纸边的宽是多少．
19.（8分）已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0，其中a、b、c分别为△ABC的三边的长.
(1)如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
20.（8分）用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米．（围栏宽忽略不计）
（1）若生态园的面积为144平方米，求生态园垂直于墙的边长；
（2）生态园的面积能否达到150平方米？请说明理由．
21.（10分）关于x的一元二次方程(a-6)x2-8x+9=0有实根.
(1)求a的最大整数值；
(2)当a取最大整数值时，①求出该方程的根；②求2x2-的值.
22.（10分）如图13－1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为米.
（1）用含的式子表示花圃的面积；
（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；
（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价（元）、（元）与修建面积之间的函数关系如图13－2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？
图13－2
图13－1
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