人教版八年级数学下册 18.2.2 菱形 小节复习题 （含解析）

18.2.2 菱形小节复习题
【题型1 由菱形的性质求角度】
1.如图，菱形中，交于，于，连接，若，则的度数为 °．
2.如图，在菱形中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3.如图，在菱形中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧相交于M，N两点，过M，N两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，．则的度数为 ．

4.如图，四边形为平行四边形，四边形为菱形，与交于点G，，，则（ ）
A． B． C． D．
【题型2 由菱形的性质求线段长度】
1.如图，在菱形纸片中，，，将该菱形纸片沿折痕翻折，使点D落在的中点G处，则的长是 ．
2.如图，在菱形中，，则菱形的周长是（ ）
A．24 B．30 C． D．
3.如图，边长为3的菱形中，，点P是对角线上任意一点（P不与B、D重合），以和为边作平行四边形，则的最小值为 ．
4.如图是由5个边长为1，且一个内角为的小菱形拼成的图形，P是其中4个小菱形的公共顶点．佳佳想到：“一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积”就将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把这五个菱形组成纸片剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（ ）

A． B． C． D．
【题型3 由菱形的性质求面积】
1.如图，在菱形中，点分别是边的中点，连接．若菱形的面积为16，则的面积为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
2.如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，在菱形中，，，过点A分别作，，垂足分别为E，F，连接，则的面积为（ ）

A． B． C． D．
4.如图所示，第一个菱形的边长为2，，且点D落在y轴上，延长交x轴于A，以为边作第二个菱形；延长交x轴于点，以为边作第三个菱形…，按这样的规律进行下去，若点D、C、、…都在一条直线上．
【探究】
(1)______；
(2)____________；
(3)则第个菱形的面积为______．
【题型4 菱形在平面直角坐标系中的运用】
1.如图，在平面直角坐标系中，点，点B在y轴上，菱形的顶点．

(1)求直线的解析式；
(2)点P是对角线上的一个动点，当取到最小值时，求点P的坐标；
(3)y轴上是否存在一点Q，使的面积等于菱形的面积，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．
2.在如图所示的直角坐标系中，菱形的边长是2，为的中点．轴垂直平分，垂足为点．请分别求出点，，，的坐标．

3.如图，在平面直角坐标系中，已知，，，，且以，，，为顶点的四边形为菱形．
(1)直接写出点的坐标______；
(2)请用无刻度直尺作直线，使直线经过点且平分菱形的面积，保留作图痕迹；
(3)已知点是边上一点，若线段将菱形的面积分为2：3两部分，直接写出点的坐标．
4.在平面直角坐标系中，菱形的位置如图所示，点A的坐标为，点B的坐标为，点D在y轴上，．

(1)求点C和点D的坐标．
(2)点P是对角线上一个动点，当最短时，求点P的坐标．
【题型5 菱形中的证明】
1.如图，菱形中，点E，F分别在边上，，求证：．
2.如图，菱形中，过点分别作边上的高，求证：．
3.如图，在菱形中，E为边上一点，交于点M，交于点F．求证：．

4.如图，将菱形沿着，折叠后，点，重合于对角线上一点，求证：四边形是平行四边形．

【题型6 添加条件使四边形是菱形】
1.如图，下列条件之一能使是菱形的为（　　）

①；②平分；③；④；
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
2.如图，中，，，要判定四边形是菱形，还需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．平分
3.已知如图，在中，，为锐角，将沿对角线边平移，得到，连接和，若使四边形是菱形，需添加一个条件，现有三种添加方案，甲方案：；乙方案：；丙方案：；其中正确的方案是（　　）
A．甲、乙、丙 B．只有乙、丙 C．只有甲、乙 D．只有甲
4.依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型7 证明四边形是菱形】
1.如图1，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接

求证：四边形是菱形；
2.如图，在中，点E在边上，连接．
(1)利用尺规作图，在边求作一点F，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若，证明：四边形为菱形．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴______________________，．
∵，
∴（）．
∴，______________________．
∵，
∴，
∴______________________
∵，
∴四边形是平行四边形（______________________）．（填推理依据）
∵，
∴四边形是菱形（______________________）．（填推理依据）
3.已知：如图，在□中，是边上的高，将沿方向平移，使点E与点C重合，得．

(1)求证：；
(2)若，当与满足什么数量关系时，四边形是菱形？证明你的结论．
4.如图，，平分交于点E．
(1)【实践与操作】过点B作的垂线，垂足为点O（要求尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
(2)【猜想与证明】设（1）中的垂线交于点F，连接，试猜想四边形的形状，并证明．
【题型8 由菱形的性质与判定求角度】
1.如图，在中，，分别以C、B为圆心，取的长为半径作弧，两弧交于点D．连接、．若，则 ．
2.如图，在的正方形网格中，每一个小正方形的边长为，其顶点我们称为格点，，为格点三角形．

(1)请你仅用无刻度的直尺，在这个的正方形网格中，画出个以为边的不是正方形的菱形，并简单说明理由；
(2)求的大小．
3.如图，在菱形ABCD的外侧，作等边△DCE，连接AE、DE．若对角线AC＝AB，则∠DEA＝ 度．
4.如图，在四边形中，，，对角线，交于点，且平分，过点作交的延长线于点．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)连结，交于点，若，则______度．
【题型9 由菱形的性质与判定求线段长度】
1.如图，四边形中，，，连接，的角平分线交，分别于点O、E，若，，则的长为（ ）

A．4 B． C． D．
2.如图，是的对角线，于点M，交于点E，连接．若点M为的中点，，，则的周长为 ．
3.如图，E，F是平行四边形ABCD对角线BD上两点，且BE＝DF，若∠BAF＝90°，AB＝4，AF＝AE＝3，则AC的长为（　　）
A．2.4 B．3.6 C．4.8 D．6
4.如图，将边长为4的正方形纸片沿对折再展平，沿折痕剪开，得到矩形和矩形，再将矩形绕点E顺时针方向旋转．使点A与点D重合，点F的对应点为，则图②中阴影部分的周长为 ．

【题型10 由菱形的性质与判定求面积】
1.如图在直角△ABC中，，点D是中点，连接，点E为的中点，过点A作交线段的延长线于点F，连接．
(1)求证：；
(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与面积相等的三角形（不包含）．
2.如图，在中，按如下步骤操作：①以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F；②再分别以点B、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点P；③连接并延长交于点，连接．若，，则四边形的面积为 ．

3.如图，在中，，，，垂足分别为E，F，且E，F分别是和的中点，连接，若，则的面积等于（ ）

A． B． C． D．
4.如图，已知，直线垂直平分，与边交于点，连接，过点作交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是菱形，
(3)若，，则菱形的面积是多少？
参考答案
【题型1 由菱形的性质求角度】
1.35
【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：25．
2.C
【分析】本题考查菱形性质，平行线性质，角平分线性质等．根据题意可知，继而得到，再利用角平分线性质可得的度数．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
3.
【分析】本题考查了作图—垂直平分线，菱形的性质，根据题意得，点E在的垂直平分线上，则，即可得，根据四边形为菱形得，，可得，即可得；掌握作图—垂直平分线，菱形的性质是解题的关键．
【详解】解：根据题意得，点E在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
，
∴，
∴，
故答案为：．
4.A
【分析】本题考查平行四边形和菱形的性质，三角形的内角和定理，掌握菱形的对角线平分一组对角是解题的关键．
【详解】解：∵四边形为菱形，
∴，
又∵为平行四边形，
∴，
∴，
故选A．
【题型2 由菱形的性质求线段长度】
1.
【分析】本题考查菱形的性质、折叠性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质和含30度角的直角三角形的性质是解答的关键．过G作交延长线于H，先根据菱形的性质得到，，，在中，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得
，设，由折叠性质得，在中利用勾股定理列方程求得x值即可．
【详解】解：过G作交延长线于H，
∵四边形是菱形，，，
∴，，则，
∵点G是的中点，
∴，
在中，，
∴，
∴，
设，
由折叠性质得，
在中，，
由得，
解得，
故答案为：
2.A
【分析】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握菱形的性质、等边三角形的判定和性质．
先根据菱形的性质证明，在根据已知条件证明是等边三角形，求出，从而求出菱形周长即可．
【详解】解：四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
，
菱形的周长为：
，
故选：A．
3.
【分析】设与交于O，根据平行四边形的性质得到，当取最小值时，的值最小，当时，的值最小，根据菱形的性质得到，，根据直角三角形的性质得到，于是得到答案．
【详解】解：设与交于O，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴当取最小值时，的值最小，
由“点到直线的距离垂线段最短”可知，
当时，的值最小，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
在中，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
4.B
【分析】本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．根据中心对称的性质即可作出剪痕，由三角形全等的性质即可证得，利用勾股定理即可求得．
【详解】解：如图，连接最左侧菱形的对角线交于点O，作直线，交延长线于点A，交最左侧菱形对边分别于点，交最右侧上方菱形一边于点F，过点作，垂足为G，
菱形是中心对称图形，
经过P、O的直线则把它剪成了面积相等的两部分，
由中心对称图形可知，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
，
，
，
，
∴，
故选：B．
【题型3 由菱形的性质求面积】
1.C
【分析】本题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，连接和，可得，，即可得到，，然后利用解题即可．
【详解】连接和，
则，，
又∵点分别是边的中点，
∴，，
∴，
∵点分别是边的中点，
∴，
∴，
故选C．
2.B
【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形的斜边上的中线性质和菱形的面积公式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
由菱形的性质得，根据题意得，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴菱形的面积，
故选：．
3.A
【分析】首先利用菱形的性质及等边三角形的判定可得判断出是等边三角形，过F作交的延长线于点，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，即可算出三角形的面积．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴和是等边三角形，
∵，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
过F作交的延长线于点，

∴，
∴的面积是：，
故选：A．
4.（1）解： ，
，
菱形的边长为2，
∴，，
∴，，
∴
同理可得
∴
故答案为
（2）由（1）可知
，即：
由此规律可知：，
∴
故答案为：，．
（3）由（2）可知，第个菱形的菱长为，
的高，
第个菱形的面积为．
故答案为．
【题型4 菱形在平面直角坐标系中的运用】
1.（1）解：∵，∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
设的解析式为，
则，解得：，
∴；
（2）连接，交于点P，连接，交于点N，

∵四边形是菱形，
∴，
∴ ，
由三角形三边关系可知：，
∴当A、P、D三点共线时，最小，
设的解析式为，
将、代入，得：，
解得：，
∴，
联立，
解得，
∴P点坐标为；
（3）∵，，
∴，
如图，设交y轴于点E，则，设，

则
，
∴，
∴或，
∴Q点的坐标为或．
2.解：菱形的边长是2，
，
为中点，
，
，
，，
轴垂直平分，
，
，
，
，
，．
3.（1）解：∵，，，
∴，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴
∴；
（2）解：如图所示，连接交于点，过点作直线，直线即为所求；
（3）解：∵，，
∴菱形的面积为，
∵，
∴，
∵线段将菱形的面积分为两部分，
∴或
则或，
∴或
∵
∴或，
∴或
4.（1）解：点A的坐标为，点B的坐标为，
．，
四边形是菱形，
，，
在中，，
则，
∴，
∴，
∴，
，．
（2）四边形是菱形，
，D关于直线对称．
设交于，连接，则，

，即．
当点P和点重合时，的值最小．
在中，
，
∴，
则，即，
，
．
【题型5 菱形中的证明】
1.证明：解法一： ∵四边形是菱形，
∴
又∵，
∴，
∴，
在△ADE和△CDF中，
∴
解法二： 连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
在△ACE和△CAF中，
D
∴，
∴．
2.证明：在四边形是菱形，，
，
，
在和中，
，
∴．
3.解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∴，
∴．
4.证明：由折叠得，
∴，
∴，
∵在菱形中，，，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴四边形是平行四边形．
【题型6 添加条件使四边形是菱形】
1.D
【分析】根据菱形的判定定理判断即可得解．
【详解】解：①，四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形；
②平分，四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形；
③，四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形；
④，四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
综上所述，由②③④可证得四边形是菱形．
故选：D．
2.D
【分析】当平分时，四边形是菱形，可知先证明四边形是平行四边形，再证明BD=DE即可解决问题．
【详解】解：当平分时，四边形是菱形，
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
其余选项均无法判断四边形DBFE是菱形．
故选：D．
3.B
【分析】本题主要考查了菱形的判定及平移的性质，灵活选择判定定理是解题的关键．先根据题意可知四边形是平行四边形，再根据三种方案结合菱形的判定定理即可得出答案．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
根据平移可知，，
∴，，
四边形是平行四边形，
∴．
方案甲，添加不能判断四边形是菱形；
方案乙，由，
平行四边形是菱形；
方案丙，由，
∵，
∴，
∴，
，
平行四边形是菱形．
所以正确的是乙和丙．
故选：B．
4.C
【分析】根据菱形的判定逐项排查即可解答．
【详解】解：四边形是平行四边形，对角线互相平分，故A不一定是菱形；
四边形是平行四边形，对边相等，故B不一定是菱形；
图C中，根据三角形的内角和定理可得：，邻边相等，四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形的菱形，故C是菱形；
四边形是平行四边形，对边平行，故D不一定是菱形．
故选：C．
【题型7 证明四边形是菱形】
1.证明：平分，
，
又，
，
，
同理，平分，
，
又，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形
2.（1）解：如图点F即为所求；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，．
∵，
∴（）．
∴，．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
∵，
∴四边形是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．
3.（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵是边上的高，且是由沿方向平移而成．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）当时，四边形是菱形．
证明：∵，，
∴四边形是平行四边形．
∵中，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴四边形是菱形．
4.（1）如图，是所求作的垂线．
（2）四边形是菱形，理由如下：
平分，
．
又
，
而，
，
，
∴四边形是平行四边形．
，
∴四边形是菱形．
【题型8 由菱形的性质与判定求角度】
1.解：如图：连接，
由题意和作法可知：，
四边形是菱形，，
，
故答案为：．
2.（1）解：∵，，
∴，
∴四边形是菱形，
∴菱形即为所求；

（2）解：∵，，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．

3.解：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，AC=AB，
∴AD=CD=AB=AC，
∵△DCE是等边三角形，
∴DE=CD=CE，∠CED=60°，
∴AD=AC=CE=DE，
∴四边形ACED是菱形，
∴∠DEA=∠CED=30°，
故答案为：30．
4.（1）证明：，
，
为的平分线，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
（2），
，
平行四边形是菱形，
，
，
平行四边形是菱形，
，
，
，
，
，．
【题型9 由菱形的性质与判定求线段长度】
1.D
【分析】本题考查勾股定理的运用以及菱形的判定和性质，连接，因为，平分，，可证四边形为菱形，从而得到、的长，进而解答即可．根据条件能够发现图中的菱形是关键．
【详解】解：连接．

在中，，，根据勾股定理，得．
∵，平分，
∴，，
∴垂直平分，．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形是菱形，
由勾股定理得出，
∴，
故选：D．
2.
【分析】连接，由垂直平分线的性质得出，，，再证四边形是菱形，得出是等边三角形，求出∠，含角的直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，交于点O，
∵，点M为的中点，
∴，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
即，
∴四边形是菱形，
∴，AB=BC，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴菱形的周长，
故答案为：．
3.C
【分析】由勾股定理求出BF＝5，证出四边形AECF是菱形，得AC⊥EF，由勾股定理的OA2＝AB2﹣OB2＝AE2﹣OE2，解得OF＝1.8，则OA＝2.4，得AC＝2OA＝4.8．
【详解】解：∵∠BAF＝90°，AB＝4，AF＝3，
∴BF5，
∵E，F是平行四边形ABCD对角线BD上两点，
∴OA＝OC，OB=OD,
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵OA＝OC，AE＝AF，
∴四边形AECF是菱形，
∴AC⊥EF，
∴，
∴ ，
解得：OF＝1.8，
∴ ，
∴AC＝2OA＝4.8．
故选：C．
4.10
【分析】首先根据已知条件判断出，得到，，然后可设的长度为x，则，根据勾股定理列方程可解出x，最后证明阴影部分是菱形后，即可求出其周长．
【详解】解：如图，设交于G，旋转后交于点H，

由题意知，，，
又∵，
∴，
∴，，
设，则，
在中，，
解得：，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴为菱形，
∴阴影部分的周长为：，
故答案为：10．
【题型10 由菱形的性质与判定求面积】
1.（1）证明：∵，
∴，
∵点D是中点，点E为的中点，
∴，
在和中，
∵，
∴；
∴．
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，D是的中点，
∴，
∴四边形是菱形；
∵，且的边上的高，即的边上的高，
∴，
∴，
∵，
∴的边上的高等于的边上的高，
∵，
∴，
综上：与面积相等的三角形有：．
2.24
【分析】证明四边形是菱形，利用菱形的性质结合勾股定理可得结论．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
由作图可知，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
菱形的面积，
故答案为：24．
3.C
【分析】连接交于点M，首先判断四边形为菱形，再利用菱形的性质及等边三角形的判定可判断出是等边三角形，即可得垂直平分，，再进一步利用勾股定理计算出的值，即可算出三角形的面积．
【详解】连接交于点M，

在中，，
四边形是菱形，
，，
，
，，E，F分别是和的中点，
，
，为等边三角形，
，
，，
，
为等边三角形，，
垂直平分，，
，
，
的面积是:.
故选：C.
4.（1）证明：∵直线垂直平分，
∴，
∵，
∴，，
在与中，
，
∴；
（2）∵，
∴，
∵为线段的垂直平分线，
∴，，
∴，
∴四边形为菱形；
（3）解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴菱形的面积是．