2025年中考数学二轮复习-专题12与圆切线相关的计算证明【课件】（共47张PPT）

(共47张PPT)
专题十二　与圆切线相关的计算证明
类型一 单切线问题
（1）如关联图形①，PA为☉O切线→△PAB∽△PCA.
（2）如关联图形②，PA为☉O切线，
CD⊥PA→△PAB∽△PCA，△POA∽△PCD，
△EAD∽△ACD∽△BCA.
1. 如图，AB是☉O的直径，直线DE是☉O的切线，切点为C，连接
AC. 若AC＝5，tan∠ACE＝ ，则☉O的半径为 　 　.
　
2. [2024·凉山州]如图，☉M的圆心为M（4，0），半径为2，P为直线
y＝x＋4上一个动点，过点P作☉M的切线，切点为Q，则PQ的最小值
为 .
2 　
3. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，D为AC上一点，以CD为直径
的☉O与边AB相切于点E，连接DE. 若∠A＝30°，则 的值
是 .
　
4. 如图，AB是☉O的直径，C是☉O上的一点，CD与☉O相切，
AD⊥CD于点D，交☉O于点E，CF⊥AB于点F. 若OF＝3，AC＝
4 ，求DE的长.
解：如图，连接OC，过点O作OG⊥AE于点G. 设☉O的半径为r.
∵CD与☉O相切，AD⊥CD，∴∠OCD＝∠D＝∠OGD＝90°，
∴四边形OCDG为矩形，∴∠GOC＝90°，GD＝OC，
∴∠AOG＋∠COF＝90°.又∵∠OCF＋∠COF＝90°，
∴∠AOG＝∠OCF. 又∵∠AGO＝∠OFC＝90°，AO＝OC，
∴△AOG≌△OCF（AAS），∴EG＝AG＝OF＝3.
∵CF2＝AC2－AF2＝OC2－OF2，∴ －（r＋3）
2＝r2－32，解得r1＝5，r2＝－8（舍去），
∴GD＝OC＝5，DE＝GD－EG＝5－3＝2.
5. [2024·眉山改编]如图，BE是☉O的直径，点A在☉O上，点C在BE
的延长线上，AD平分∠BAE，交☉O于点D，连接DE，∠EAC＝
∠ADE.
（1）求证：CA是☉O的切线；
（1）证明：如图，连接OA.
∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO.
又∵∠EAC＝∠ADE＝∠ABE，∴∠BAO＝∠EAC.
∵BE为直径，∴∠BAE＝∠BAO＋∠OAE＝90°，
∴∠OAC＝∠EAC＋∠OAE＝∠BAO＋∠OAE＝90°，
∴OA⊥AC，∴CA是☉O的切线.
（2）当AC＝8，CE＝4时，求DE的长.
（2）解：如图，连接BD.
∵∠EAC＝∠ABC，∠C＝∠C，∴△ABC∽△EAC，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，解得BC＝16，∴BE＝BC－CE＝12.
∵AD平分∠BAE，∴ ＝ ，∴BD＝ED. 又∵∠BDE＝90°，
∴△BDE是等腰直角三角形，∴DE＝BD＝ BE＝ ×12＝6 .
6. 如图，以AB为直径的☉O上有两点E，F， ＝ ，过点E作直
线CD⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C，过点C作
CM平分∠ACD，交AE于点M，交BE于点N.
（1）求证：CD是☉O的切线；
（1）证明：如图，连接OE.
∵ ＝ ，∴∠EAF＝∠EAB. ∵OA＝OE，
∴∠OEA＝∠EAB，
∴∠OEA＝∠EAF，∴OE∥AD. 又∵AD⊥CD，
∴OE⊥CD，∴CD是☉O的切线.
（2）求证：EM＝EN；
（2）证明：∵OE⊥CD，∴∠OEB＋∠BEC＝90°.∵AB为直径，
∴∠EAB＋∠OBE＝90°.
∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE，∴∠BEC＝∠EAB. 又∵CM平分
∠ACD，∴∠MCA＝∠NCE，
∵∠EMN＝∠MAC＋∠MCA，∠ENM＝∠NEC＋∠NCE，
∴∠EMN＝∠ENM，∴EM＝EN.
（3）若N是CM的中点，且AB＝9 ，求EN的长.
（3）解：∵N是CM的中点，∴CM＝2CN.
∵∠CEN＝∠CAM，∠ECN＝∠ACM，∴△CEN∽△CAM，∴ ＝
＝ ＝ .
∵∠CEB＝∠CAE，∠ECB＝∠ACE，∴△CEB∽△CAE，∴ ＝
＝ .
设EN＝x，则EM＝EN＝x，AM＝2EN＝2x，AE＝3x，EB＝ AE
＝ x，
∴AE2＋EB2＝AB2，∴（3x）2＋ ＝ ，解得x1＝6，
x2＝－6（舍去），∴EN的长为6.
类型二 双切线问题
　　如图，PA，PB为☉O的两条切线，该图形经常与“等腰三角形三
线合一”“垂径定理”的结构图形关联使用.
（1）如关联图形①，PA，PB为☉O切线→△OCA∽△PCB.
（2）如关联图形②，PA，PB为☉O切线→P为BC的中点，OP
为△BCD的中位线，△PAB∽△OAD.
1. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝13，AB＝12，D为AB
的中点.若以CD上的一点O为圆心作☉O，恰好与AB，AC都相切，则
☉O的半径为 .
　
2. 如图，PA，PB分别与☉O相切于点A，B，连接AO并延长，交PB
的延长线于点C. 若OA＝3，OC＝5，则PB的长为 .
6　
3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在BC上，以OC为半径
的☉O与AB相切于点E，与OB交于点D. 若BD＝1，tan∠AOC＝2，
则☉O的面积是 .
π　
4. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点O 在边AB上，以O为圆
心，OA长为半径的☉O交AB于另一点E，与BC相切于点D，CE交
☉O于点F. 若☉O的半径为3，BD＝4，则EF的长为 .
3 　
5. 如图，CA，CD是☉O的两条切线，切点分别为A，D，AB是☉O
的切线，AB＝AC，AF⊥CD于点F，交☉O于点E. 若AB＝2，求AE
的长.
解：如图，连接BE，OD，OD交BE于点G.
易得四边形EFDG为矩形，OD垂直平分BE，
△ABE≌△CAF（AAS）.
设AE＝CF＝x，则GE＝DF＝2－x，BE＝2GE＝4－2x.
∵AB2＝AE2＋BE2，∴22＝x2＋（4－2x）2，
解得x1＝ ，x2＝2（舍去），∴AE的长为 .
6. 如图，PA，PB分别与☉O 相切于点A，B，AC是☉O的直径.已知
tan∠ACB＝ ，求tan∠PCB的值.
解：如图，连接AB，OP. 设AB与OP，PC分别交于点M，N.
∵PA，PB分别与☉O 相切于点A，B，∴OP⊥AB，AM＝BM.
又∵AC是☉O的直径，∴BC⊥AB，∴BC∥OP，OM为△ABC的中位线，
∴tan∠AOM＝tan∠ACB＝ ＝ .
设AM＝ k，OM＝k，则BM＝ k，BC＝2k.易得△AOM∽△PAM，
∴AM2＝OM·PM，∴ ＝k×PM，∴PM＝5k.∵BC∥OP，∴△PMN∽△CBN，
∴ ＝ ＝ ＝ ，∴MN＝ MB＝ k，
∴tan∠PCB＝tan∠MPN＝ ＝ ＝ .
7. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，OA为
半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OC.
（1）判断DE与☉O的位置关系，并说明理由；
解：（1）DE与☉O相切.理由如下：
如图，连接OD，OE. ∵O，E分别为AB，BC的中点，∴OE为
△ABC的中位线，
∴OE∥AC，∴∠BOE＝∠OAD＝∠ODA＝∠DOE. 又∵OD＝
OB，OE＝OE，
∴△OBE≌△ODE（SAS），∴∠ODE＝∠OBE＝90°，
∴OD⊥DE，∴DE与☉O相切.
（2）OC交DE于点F，若 cos ∠BAD＝ ，求 的值.
（2）如图，连接BD，则 cos ∠BAD＝ ＝ .
设AD＝3a，AB＝5a.∵ cos ∠BAD＝ ＝ ＝ ，∴AC＝ ，
∴OE＝ AC＝ ，CD＝AC－AD＝ .又∵OE∥CD，∴ ＝
＝ ＝ .
类型三 多切线问题
（1）如关联图形①，AD，BC，CD为☉O切线→△OCD为直角
三角形，CD＝BC＋AD，△OBC∽△DOC∽△DAO.
（2）如关联图形②，PA，PB，MN为☉O切线→△PMN的周长
为2PA，点O为△PMN外角平分线的交点.
1. 如图，☉O与四边形ABCD的各边都相切，若AB＝13，CD＝5，
☉O的半径为4，则四边形ABCD的面积是 .
72　
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，☉O 为
△ABC的内切圆，D，E，F为切点，DE交BC的延长线于点M，则
EM的长为 .
2 　
3. 如图，已知直角梯形ABCD，AD＝1，BC＝4，以AB为直径的☉O
切CD于点E，连接AE，则 sin ∠AED的值为 .
　
4. 如图，等腰三角形ABC的内切圆☉O与AB，BC，CA分别相切于点
D，E，F. 若AB＝AC＝5，BC＝6，则DE的长为 .
　
5. 如图，已知☉O的半径为r，PA，PB分别切☉O于A，B两点，CD
切☉O于点E，交PA，PB于点C，D. 若△PCD的周长为3r，求
tan∠APB的值.
解：如图，连接OA，OB，延长AO，PB相交于点F.
∵△PCD的周长为3r，∴PA＝PB＝1.5r.
易得△BFO∽△AFP，∴ ＝ ＝ ＝ .设BF＝2a，AF＝3a.
在Rt△OBF中，（3a－r）2＝r2＋（2a）2，∴a＝ r，
∴tan∠APB＝ ＝ ＝ ＝ .
6. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，以B为圆
心，BA为半径的圆与CD相切于点E，交BC于点F，过点F作☉B的切
线，交CD于点M. 若AD＝4，FM＝6，求BC的长.
解：如图，延长AD，FM相交于点N，连接BD. 由切线长定理可得
ED＝AD＝4，EM＝FM＝6，
∴DM＝10.
易得四边形ABFN为正方形.设正方形ABFN的边长为a，
则DN＝a－4，MN＝a－6.
∵DN2＋MN2＝DM2，∴（a－4）2＋（a－6）2＝102，
解得a1＝12，a2＝－2（舍去），
∴FN＝12，FM＝NM＝6.又∵∠N＝∠MFC，
∠DMN＝∠CMF，∴△DMN≌△CMF，
∴CM＝DM＝10，DC＝20.又∵∠CDB＝∠ADB＝
∠CBD，∴BC＝DC＝20.
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