4.6 函数的应用（二）——高一数学人教B版(2019)必修第二册同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 4.6 函数的应用（二）——高一数学人教B版(2019)必修第二册同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-22 21:42:02 | ||
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文档简介
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4.6 函数的应用（二）——高一数学人教B版(2019)必修第二册同步练习
一、选择题
1．预测人口变化趋势有很多方法,“直接推算法”使用公式是,其中为预测人口数,为初期人口数,k为预测期内人口年增长率,n为预测期间隔年数.如果在某一时期,那么在这期间人口数( )
A.呈上升趋势 B.呈下降趋势 C.摆动变化 D.不变
2．根据有关资料,围棋状态空间复杂度上限M约为,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为.则下列各数中与最接近的是( )（参考数据:）
A. B. C. D.
3．某科研小组培育一种水稻新品种,由第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子,以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子,则第10代得到的种子数为( )参考数据：,
A. B. C. D.
4．近年来，新能源汽车产销量的快速增长推动了动力电池产业的发展.已知蓄电池的容量C(单位：)、放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间满足的关系式为.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为( )
A.35h B.30h C.25h D.20h
5．国家速滑馆又称“冰丝带”,是北京2024年冬奥会的标志性场馆,拥有亚洲最大的全冰面设计,但整个系统的碳排放接近于零,做到了真正的智慧场馆 绿色场馆,并且为了倡导绿色可循环的理念,场馆还配备了先进的污水 雨水过滤系统,已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系（为最初污染物数量）.如果前3个小时消除了的污染物,那么污染物消除至最初的还要( )
A.小时 B.3小时 C.3.2小时 D.4小时
6．北京时间2024年5月10日21时22分,搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭,在我国文昌航天发射场点火发射,约10分钟后,天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道,发射取得圆满成功.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(km/s)和燃料的质量M(kg) 火箭（除燃料外）的质量的函数关系的表达式为.若火箭的最大速度v达到10km/s,则的值是( )
A. B. C. D.
7．生物学家认为,睡眠中的恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数）与体重W（单位：kg）的次方成反比.若A,B为两个睡眠中的恒温动物,A的体重为,脉搏率为210次.若B的脉搏率是140次,则B的体重为( )
A. B. C. D.
8．教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病性微生物，降低室内二氧化碳和致病性微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为.经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，又测定，当时，教室内空气中含有的二氧化碳，则该教室内从刚下课时的二氧化碳浓度达到国家标准，所需要时间t（单位：分钟）的最小整数值为（参考数据，）( )
A.6 B.7 C.8 D.9
二、多项选择题
9．某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示：
时间（天） 1 2 3 4
利润（万元） 2 3.98 8.01 15.99
则下列函数中不符合销售这种空调的函数模型的是( )
A. B. C. D.
10．如图,某池塘里浮萍的面积y（单位:）与时间t（单位:月）的关系为,则( )
A. B.第4个月时,浮萍面积超过
C.浮萍每月增加的面积都相等 D.浮萍每月的增长率为2
11．在固定压力差（压力差为常数）下,当气体通过圆形管道时,其流量v（单位:）与管道的半径r（单位:cm）的四次方成正比,当气体在半径为5cm的管道中时,流量为,则( )
A.当气体在半径为3cm的管道中时,流量为
B.当气体在半径为3cm的管道中时,流量为
C.要使得气体流量不小于,管道的半径的最小值为4cm
D.要使得气体流量不小于,管道的半径的最小值为
三、填空题
12．研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足，其中k，a为非零常数；已知释放1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m，则释放信息素4秒后，距释放处的___________米的位置，信息素浓度为.
13．某科创公司新开发了一种溶液产品,但这种产品含有的杂质,按市场要求杂质含量不得超过,现要进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少,要使产品达到市场要求,对该溶液过滤的最少次数为____________________.
（参考数据：,）
14．冰箱，空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧含量Q呈指数函数型变化，在氟化物排放量维持某种水平时，具有关系式，其中是臭氧的初始量，e是自然对数的底数，，试估计__________年以后将会有一半的臭氧消失.
四、解答题
15．在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，那么经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍？（可以使用计算工具）
16．学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分）的函数关系.要求及图示如下：
①函数是区间上的增函数；
③每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；
④每天运动时间为20分钟时，当天得分为2分；
⑤每天运动时间为60分钟时，当天得分不超过5分.
现有以下三个函数模型供选择：
（Ⅰ），
（Ⅱ），
（Ⅲ）.
(1)请你根据条件及图像从中选择一个合适的函数模型，并求出函数的解析式；
(2)求每天得分不少于3分，至少需要锻炼多少分钟.（注：，结果保留整数）.
17．“黄山毛峰”以其外形匀整，挺秀，汤色碧绿，香气浓烈等优异品质闻名 返，深受广大消费者青睐.经验表明，在室温下，该茶用的水泡制，汤色青绿明亮，无苦涩感，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳饮用口感。经过研究发现，设茶水温度从开始，经过x分钟后的温度为且满足.
(1)求常数k的值；
(2)经过测试可知，求在室温下，刚泡好的该茶大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（参考数据：，）
18．某科研团队对某一生物生长规律进行研究,发现其生长蔓延的速度越来越快.开始在某水域投放一定面积的该生物,经过2个月其覆盖面积为18平方米,经过3个月其覆盖面积达到27平方米.该生物覆盖面积y(单位：平方米)与经过时间个月的关系有两个函数模型与可供选择.
(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的函数解析式;
(2)问约经过几个月,该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍(参考数据:,,,)
19．我国辽东半岛普兰附近的泥炭层中,发掘出的古莲子,至今大部分还能发芽开花,这些古莲子是多少年以前的遗物呢 要测定古物的年代,可用放射性碳法.在动植物的体内都含有微量的放射性,动植物死亡后,停止了新陈代谢,不再产生,且原有的会自动衰变,经过5570年(叫做的半衰期),它的残余量只有原始量的一半,经过科学家测定知道,若的原始含量为a,则经过t年后的残余量(与之间满足.现测得出土的古莲子中残余量占原始量的,试推算古莲子是多少年前的遗物.(注:计算结果精确到个位数;,.
参考答案
1．答案：B
解析：,
,
,
,
又,,
,
即,
,
故这一时期人口数呈下降趋势．
故选:B．
2．答案：D
解析：［因为,所以,
则.故选D.
3．答案：C
解析：由题意,第10代得到的种子数为
故第10代得到的种子数约为
故选：C.
4．答案：D
解析：由，
得.
故选：D
5．答案：B
解析：由题意可得,解得,
令,
可得,解得,
所以污染物消除至最初的还要3小时.
故选：B.
6．答案：B
解析：由题意知火箭的最大速度v达到10km/s,
故,即,,
故选:B
7．答案：B
解析：根据题意设,
当,,则,
当时,则,所以,
故选：B.
8．答案：C
解析：由题意可知当时，，
所以，得，
所以，
当时，，
则，
所以，得，
所以，，得，
所以，
当时，，
得，
所以，
，
得，
所以所求时间的最小整数值为8.
故选：C
9．答案：ACD
解析：对于A，把代入，可得下表：
x 1 2 3 4
0 1 2
对于B，把代入，可得下表：
x 1 2 3 4
2 4 8 16
对于C，把代入，可得下表：
x 1 2 3 4
1 2
对于D，把代入，可得下表：
x 1 2 3 4
2 4 6 8
显然只有的值最接近表格中的对应的值，故A，C，D符合题意.
故选：ACD.
10．答案：ABD
解析：由图可知,函数过点,将其代入解析式,可得,A正确;
所以,可得第4个月的浮萍面积为,超过了,B正确;
前3个月的浮萍面积,分别为,,,
从前3个月浮萍面积可看出,每月增加的面积不相等,C不正确;
每月增长率为,故每月增长率为2,D正确.
故选:ABD
11．答案：AC
解析：依题意可设,k为常数.
当气体在半径为5cm的管道中时,流量为,所以,解得,
则.当时,,故A正确,B错误.
由,解得,故C正确,D错误.
故选:AC.
12．答案：4
解析：因为释放1秒后，
在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m，
所以，
所以，即
当，时，，
整理得
即，
所以，因为，所以.
故答案为:4.
13．答案：
解析：设至少需要过滤n次,可得,即,
两边取对数,可得,所以,
又因为,所以,所以使产品达到市场要求的过滤次数最少为次.
故答案为：8.
14．答案：276
解析：由题意得，得，
即，
解得.
故答案为：276.
15．答案：6.16倍
解析：设现在的蓝藻量为a，经过30天后的蓝藻量为y，
则，
经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的6.16倍.
16．答案：(1)选项模型（Ⅲ），；
(2)37分钟
解析：（1）由图可知，该函数的增长速度较慢，
对于模型（1），，为线性增长，不合题意；
对于模型（2），是指数型的函数，其增长是先慢后爆炸型增长，不合适；
对于模型（3），对数型的函数增长速度较慢，符合题意，故选项模型（3），
此时，所求函数过点，，
则，解得，，
故所求函数为，
经检验，当时，，符合题意
综上所述，函数的解析式为
（2）由（1）得，因为每天得分不少于3分，
所以，即，
所以，即，
所以每天得分不少于3分，至少需要锻炼37分钟
17．答案：(1)60
(2)需要放置9.5分钟才能达到最佳饮用口感.
解析：(1)因为茶水温度从开始
所以当时，，
即，解得
(2)当时，，
当时，，
即，
两边取对数，得，
则，
所以刚泡好的茶水大约需要放置9.5分钟才能达到最佳饮用口感.
18．答案：(1)答案见解析
(2)
解析：(1)函数中,y随x的增长而增长的速度越来越快,
而函数中, y随x的增长而增长的速度越来越慢,
根据已知条件应选更合适
由已知得,解得
函数解析式为.
(2)由(1)知,当时,,所以原先投放的此生物的面积为8平方米;
设经过x个月该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍,
有
解得
约经过17个月,该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍.
19．答案：古莲子约为1036年前的遗物
解析：由题意可得,
即,
解得,
由,
即,
两边取2为底的对数,可得,
,
则.
则古莲子约为1036年前的遗物.
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4.6 函数的应用（二）——高一数学人教B版(2019)必修第二册同步练习
一、选择题
1．预测人口变化趋势有很多方法,“直接推算法”使用公式是,其中为预测人口数,为初期人口数,k为预测期内人口年增长率,n为预测期间隔年数.如果在某一时期,那么在这期间人口数( )
A.呈上升趋势 B.呈下降趋势 C.摆动变化 D.不变
2．根据有关资料,围棋状态空间复杂度上限M约为,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为.则下列各数中与最接近的是( )（参考数据:）
A. B. C. D.
3．某科研小组培育一种水稻新品种,由第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子,以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子,则第10代得到的种子数为( )参考数据：,
A. B. C. D.
4．近年来，新能源汽车产销量的快速增长推动了动力电池产业的发展.已知蓄电池的容量C(单位：)、放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间满足的关系式为.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为( )
A.35h B.30h C.25h D.20h
5．国家速滑馆又称“冰丝带”,是北京2024年冬奥会的标志性场馆,拥有亚洲最大的全冰面设计,但整个系统的碳排放接近于零,做到了真正的智慧场馆 绿色场馆,并且为了倡导绿色可循环的理念,场馆还配备了先进的污水 雨水过滤系统,已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系（为最初污染物数量）.如果前3个小时消除了的污染物,那么污染物消除至最初的还要( )
A.小时 B.3小时 C.3.2小时 D.4小时
6．北京时间2024年5月10日21时22分,搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭,在我国文昌航天发射场点火发射,约10分钟后,天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道,发射取得圆满成功.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(km/s)和燃料的质量M(kg) 火箭（除燃料外）的质量的函数关系的表达式为.若火箭的最大速度v达到10km/s,则的值是( )
A. B. C. D.
7．生物学家认为,睡眠中的恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数）与体重W（单位：kg）的次方成反比.若A,B为两个睡眠中的恒温动物,A的体重为,脉搏率为210次.若B的脉搏率是140次,则B的体重为( )
A. B. C. D.
8．教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病性微生物，降低室内二氧化碳和致病性微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为.经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，又测定，当时，教室内空气中含有的二氧化碳，则该教室内从刚下课时的二氧化碳浓度达到国家标准，所需要时间t（单位：分钟）的最小整数值为（参考数据，）( )
A.6 B.7 C.8 D.9
二、多项选择题
9．某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示：
时间（天） 1 2 3 4
利润（万元） 2 3.98 8.01 15.99
则下列函数中不符合销售这种空调的函数模型的是( )
A. B. C. D.
10．如图,某池塘里浮萍的面积y（单位:）与时间t（单位:月）的关系为,则( )
A. B.第4个月时,浮萍面积超过
C.浮萍每月增加的面积都相等 D.浮萍每月的增长率为2
11．在固定压力差（压力差为常数）下,当气体通过圆形管道时,其流量v（单位:）与管道的半径r（单位:cm）的四次方成正比,当气体在半径为5cm的管道中时,流量为,则( )
A.当气体在半径为3cm的管道中时,流量为
B.当气体在半径为3cm的管道中时,流量为
C.要使得气体流量不小于,管道的半径的最小值为4cm
D.要使得气体流量不小于,管道的半径的最小值为
三、填空题
12．研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足，其中k，a为非零常数；已知释放1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m，则释放信息素4秒后，距释放处的___________米的位置，信息素浓度为.
13．某科创公司新开发了一种溶液产品,但这种产品含有的杂质,按市场要求杂质含量不得超过,现要进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少,要使产品达到市场要求,对该溶液过滤的最少次数为____________________.
（参考数据：,）
14．冰箱，空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧含量Q呈指数函数型变化，在氟化物排放量维持某种水平时，具有关系式，其中是臭氧的初始量，e是自然对数的底数，，试估计__________年以后将会有一半的臭氧消失.
四、解答题
15．在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，那么经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍？（可以使用计算工具）
16．学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分）的函数关系.要求及图示如下：
①函数是区间上的增函数；
③每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；
④每天运动时间为20分钟时，当天得分为2分；
⑤每天运动时间为60分钟时，当天得分不超过5分.
现有以下三个函数模型供选择：
（Ⅰ），
（Ⅱ），
（Ⅲ）.
(1)请你根据条件及图像从中选择一个合适的函数模型，并求出函数的解析式；
(2)求每天得分不少于3分，至少需要锻炼多少分钟.（注：，结果保留整数）.
17．“黄山毛峰”以其外形匀整，挺秀，汤色碧绿，香气浓烈等优异品质闻名 返，深受广大消费者青睐.经验表明，在室温下，该茶用的水泡制，汤色青绿明亮，无苦涩感，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳饮用口感。经过研究发现，设茶水温度从开始，经过x分钟后的温度为且满足.
(1)求常数k的值；
(2)经过测试可知，求在室温下，刚泡好的该茶大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（参考数据：，）
18．某科研团队对某一生物生长规律进行研究,发现其生长蔓延的速度越来越快.开始在某水域投放一定面积的该生物,经过2个月其覆盖面积为18平方米,经过3个月其覆盖面积达到27平方米.该生物覆盖面积y(单位：平方米)与经过时间个月的关系有两个函数模型与可供选择.
(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的函数解析式;
(2)问约经过几个月,该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍(参考数据:,,,)
19．我国辽东半岛普兰附近的泥炭层中,发掘出的古莲子,至今大部分还能发芽开花,这些古莲子是多少年以前的遗物呢 要测定古物的年代,可用放射性碳法.在动植物的体内都含有微量的放射性,动植物死亡后,停止了新陈代谢,不再产生,且原有的会自动衰变,经过5570年(叫做的半衰期),它的残余量只有原始量的一半,经过科学家测定知道,若的原始含量为a,则经过t年后的残余量(与之间满足.现测得出土的古莲子中残余量占原始量的,试推算古莲子是多少年前的遗物.(注:计算结果精确到个位数;,.
参考答案
1．答案：B
解析：,
,
,
,
又,,
,
即,
,
故这一时期人口数呈下降趋势．
故选:B．
2．答案：D
解析：［因为,所以,
则.故选D.
3．答案：C
解析：由题意,第10代得到的种子数为
故第10代得到的种子数约为
故选：C.
4．答案：D
解析：由，
得.
故选：D
5．答案：B
解析：由题意可得,解得,
令,
可得,解得,
所以污染物消除至最初的还要3小时.
故选：B.
6．答案：B
解析：由题意知火箭的最大速度v达到10km/s,
故,即,,
故选:B
7．答案：B
解析：根据题意设,
当,,则,
当时,则,所以,
故选：B.
8．答案：C
解析：由题意可知当时，，
所以，得，
所以，
当时，，
则，
所以，得，
所以，，得，
所以，
当时，，
得，
所以，
，
得，
所以所求时间的最小整数值为8.
故选：C
9．答案：ACD
解析：对于A，把代入，可得下表：
x 1 2 3 4
0 1 2
对于B，把代入，可得下表：
x 1 2 3 4
2 4 8 16
对于C，把代入，可得下表：
x 1 2 3 4
1 2
对于D，把代入，可得下表：
x 1 2 3 4
2 4 6 8
显然只有的值最接近表格中的对应的值，故A，C，D符合题意.
故选：ACD.
10．答案：ABD
解析：由图可知,函数过点,将其代入解析式,可得,A正确;
所以,可得第4个月的浮萍面积为,超过了,B正确;
前3个月的浮萍面积,分别为,,,
从前3个月浮萍面积可看出,每月增加的面积不相等,C不正确;
每月增长率为,故每月增长率为2,D正确.
故选:ABD
11．答案：AC
解析：依题意可设,k为常数.
当气体在半径为5cm的管道中时,流量为,所以,解得,
则.当时,,故A正确,B错误.
由,解得,故C正确,D错误.
故选:AC.
12．答案：4
解析：因为释放1秒后，
在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m，
所以，
所以，即
当，时，，
整理得
即，
所以，因为，所以.
故答案为:4.
13．答案：
解析：设至少需要过滤n次,可得,即,
两边取对数,可得,所以,
又因为,所以,所以使产品达到市场要求的过滤次数最少为次.
故答案为：8.
14．答案：276
解析：由题意得，得，
即，
解得.
故答案为：276.
15．答案：6.16倍
解析：设现在的蓝藻量为a，经过30天后的蓝藻量为y，
则，
经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的6.16倍.
16．答案：(1)选项模型（Ⅲ），；
(2)37分钟
解析：（1）由图可知，该函数的增长速度较慢，
对于模型（1），，为线性增长，不合题意；
对于模型（2），是指数型的函数，其增长是先慢后爆炸型增长，不合适；
对于模型（3），对数型的函数增长速度较慢，符合题意，故选项模型（3），
此时，所求函数过点，，
则，解得，，
故所求函数为，
经检验，当时，，符合题意
综上所述，函数的解析式为
（2）由（1）得，因为每天得分不少于3分，
所以，即，
所以，即，
所以每天得分不少于3分，至少需要锻炼37分钟
17．答案：(1)60
(2)需要放置9.5分钟才能达到最佳饮用口感.
解析：(1)因为茶水温度从开始
所以当时，，
即，解得
(2)当时，，
当时，，
即，
两边取对数，得，
则，
所以刚泡好的茶水大约需要放置9.5分钟才能达到最佳饮用口感.
18．答案：(1)答案见解析
(2)
解析：(1)函数中,y随x的增长而增长的速度越来越快,
而函数中, y随x的增长而增长的速度越来越慢,
根据已知条件应选更合适
由已知得,解得
函数解析式为.
(2)由(1)知,当时,,所以原先投放的此生物的面积为8平方米;
设经过x个月该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍,
有
解得
约经过17个月,该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍.
19．答案：古莲子约为1036年前的遗物
解析：由题意可得,
即,
解得,
由,
即,
两边取2为底的对数,可得,
,
则.
则古莲子约为1036年前的遗物.
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