6.2 向量基本定理与向量的坐标——高一数学人教B版(2019)必修第二册同步练习（含解析）

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6.2 向量基本定理与向量的坐标——高一数学人教B版(2019)必修第二册同步练习
一、选择题
1．设D为ABC所在平面内一点，，则( )
A. B.
C. D.
2．已知向量,,且,则实数x的值为( )
A. B.2 C. D.8
3．已知向量，，且，则( )
A.8 B. C. D.2
4．已知,,若,则实数t的值为( )
A. B. C.2 D.4
5．如图,在中,,,且BF与CE交于点M,设,则( )
A. B. C. D.－1
6．在中,点D在线段BC上,且,E是线段AB的中点,则( )
A. B. C. D.
7．已知向量,不共线,且,则实数( )
A.3 B. C. D.
8．已知向量,不共线,,,且与共线,则( )
A.2 B. C.1 D.
二、多项选择题
9．已知向量,不共线,,,若A,B,C三点共线,则实数的可能的取值有( )
A. B.1 C. D.2
10．已知,是平面内的一组基底,则下列向量中能作为一组基底的是( )
A.和 B.和
C.和 D.和
11．已知向量,不共线,,,若A,B,C三点共线,则实数的可能的取值有( )
A. B.1 C. D.2
三、填空题
12．已知，，若，方向相反，则________.
13．设,是平面内不共线的一组基底,,,,若A,B,D三点共线,则实数_____________.
14．已知，，若与为共线向量，则实数________.
四、解答题
15．已知,,,设,,.
（1）求满足的实数m,n的值;
（2）若线段靠近点B的三等分点为M,求M点的坐标.
16．设,是不平行的向量,且,．
(1)若向量与共线,求实数的值;
(2)若,用,的线性组合表示．
17．如图,在中,,.设,.
(1)用,表示,；
(2)若P为内部一点,且.求证：M,P,N三点共线.
18．（例题）如图所示，已知中，E，F分别是AB，BC的中点，AF与CE相交于点O，求与的值.
19．（1）如图1,A,B,C是平面内的三个点,且A与B不重合,P是平面内任意一点,若点C在直线上,试证明:存在实数,使得:.
（2）如图2,设G为的重心,过G点且与、（或其延长线）分别交于P,Q点,若,,试探究:的值是否为定值,若为定值,求出这个定值;若不是定值,请说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：因为，
所以
，
故选：C
2．答案：A
解析：由可得,解得.
故选:A
3．答案：A
解析：因为向量，，且，
所以，解得.
故选：A
4．答案：A
解析：因为,所以,则,解得.
故选：A.
5．答案：C
解析：因为B,M,F三点共线,且,所以,
又因为C,M,E三点共线,且,所以,
可得,解得,所以.
故选:C
6．答案：A
解析：因为,所以,
则.
故选:A.
7．答案：D
解析：因为向量,不共线,且,
设,即,
所以,解得.
故选:D.
8．答案：B
解析：因为与,则存在唯一的实数t,满足,
即,
整理可得,
已知向量,不共线,等式成立等价于,
解方程组,可得.
故选:B.
9．答案：BC
解析：因为A,B,C三点共线,,所以.
所以：,即.
所以或.
故选：BC.
10．答案：ABD
解析：对于A,设,故,无解,
故与不共线,故可作为一组基底,故A正确;
对于B,设,故,无解,
和不共线,故可作为一组基底,故B正确;
对于C,,故和共线,故不能作为一组基底,故C错误;
对于D,设,无解,故和不共线,故可作为一组基底,故D正确.
故选：ABD.
11．答案：BC
解析：因为A,B,C三点共线,,所以.
所以：,即.
所以或.
故选：BC.
12．答案：
解析：因为，方向相反，所以，
则，解得或，
当时，，方向相同，
当时，，方向相反，
所以.
故答案为：.
13．答案：
解析：,
,
由A,B,D三点共线,
则有,解得,
故答案为：.
14．答案：-4
解析：因为，，
所以，，
因为与为共线向量，
所以，解得：.
故答案为：-4.
15．答案：（1）,
（2）
解析：（1）因为,,,且,,,
所以,,,
所以,
因为,可得,解得.
（2）因为线段的三等分点为M（点M靠近点B）
所以,
设,M即
所以,,解得:,
即M点的坐标为,
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为向量与共线,所以设,
即,
所以,
(2)设,
又因为,
由向量基本定理,得,解得
所以．
17．答案：(1),
(2)证明见解析
解析：(1),
；
(2),
又,故,
故M,P,N三点共线.
18．答案：
解析：因为，
又因为E，F都是中点，所以.
另外，，所以.
设，，则有，即.
从而由共线向量基本定理可知，因此.
19．答案：（1）见解析
（2）见解析.
解析：（1）由于A,B,C三点共线,所以存在实数使得:
,即
化简为
结论得证.
（2）连结,因为G为的重心,
所以:
又因为,
所以
由（1）知:所以为定值.
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