6.3 平面向量线性运算的应用——高一数学人教B版(2019)必修第二册同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 6.3 平面向量线性运算的应用——高一数学人教B版(2019)必修第二册同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-22 21:45:04 | ||
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文档简介
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6.3 平面向量线性运算的应用——高一数学人教B版(2019)必修第二册同步练习
一、选择题
1．长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则( )
A. B. C. D.
2．已知点O为所在平面内一点,在中,满足,,则点O为该三角形的( )
A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心
3．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜.小赵同学在练习冰球的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则F对冰球所做的功为( )
A. B.18 C. D.12
4．在水流速度为的自西向东的河中，如果要使船以的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为( )
A.北偏西， B.北偏西，
C.北偏东， D.北偏东，
5．已知三个力，，同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力，则( )
A. B. C. D.
6．已知点O是所在平面内一定点，动点P满足，，则动点P一定通过的( )
A.内心 B.垂心 C.重心 D.外心
7．在中，，，，若，则O是的( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
8．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重约为（参考数据：取重力加速度大小为）( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．数学家欧拉在年发表的三角形的几何学一书中提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理设点O、G、H分别是的外心、重心、垂心，且M为BC的中点，则( )
A. B.
C. D.
10．已知O，G分别为的外心和重心，N为平面内一点，且满足，则下列说法正确的是( )
A.
B.N为内心
C.
D.对于平面内任意一点P，总有
11．瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离的一半”，这就是著名的欧拉线定理.设中，O，H，G分别是外心、垂心和重心，下列四个选项中结论正确的是( ).
A. B.
C. D.
三、填空题
12．已知力，，且和三个力的合力为，则__________.
13．如图，作用于同一点O的三个力，，处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为_________.
14．如图，已知的面积为分别为边AB，BC上的点，且交于点P，则的面积为_________.
四、解答题
15．（例题）如图所示，已知平行四边形ABCD中，E，F在对角线BD上，并且.求证：四边形AECF是平行四边形.
16．已知与中，，，求与的关系，并求出与的面积之比.
17．（例题）在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗？
18．（例题）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间（精确到）？
19．一物体在力F的作用下，由点移动到点.已知，求F对该物体所做的功.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意知，
则，
因为，，
即，
所以.故A，C，D错误.
故选：B.
2．答案：B
解析：根据题意,,即,所以,可得向量在向量上的投影为的一半,可解题思路出点O在边AB的中垂线上,同理可得,点O在边AC的中垂线上,所以点O为该三角形的外心.故选B.
3．答案：D
解析：因为，，所以，又，
故力对冰球所做的功为.
故选：D.
4．答案：A
解析：如图，设船从点O出发，沿方向行驶才能垂直达到北岸，令，
，，
则，因为为锐角，所以，故船以的速度，以北偏西的方向行驶，才能垂直到达北岸.故选A.
5．答案：D
解析：，所以.
6．答案：A
解析：，分别表示向量，方向上的单位向量，向量的方向与的平分线的方向一致.又，，向量的方向与的平分线的方向一致，动点P一定通过的内心.
7．答案：B
解析：，，，，，，是的平分线.同理可得是的平分线，点O为的角平分线的交点，故点O是的内心.
8．答案：D
解析：如图，，，作平行四边形，则四边形是菱形，，，所以，因此该学生体重为.故选D.
9．答案：ABD
解析：作图如下所示：
A.因为，所以，所以G为重心，所以，
所以，
所以，所以，
所以，所以该选项正确；
B.，，
由于G是重心，所以，所以，
同理，，所以，
所以该选项正确；
C.，所以该选项错误；
D.，所以，所以，
所以，所以该选项正确．故选：ABD．
10．答案：ACD
解析：A：由G为的重心，则，，，
所以，即，正确；
B：，由O为外心，所以，
即，同理，，故N为垂心，错误.
C：，所以，
因为，故，而，
所以，即，正确.
D：，所以，
因为，故，正确.
故选：ACD.
11．答案：BC
解析：如图，根据欧拉线定理可知，点O，H，G共线，且，
对于A，因为，所以，故A错误；
对于B，取BC的中点为D，则，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，显然不正确.故选BC.
12．答案：
解析：设，则，即，解得，
所以.
故答案为：.
13．答案：1
解析：，，三个力处于平衡状态，，即，
则
，
故答案为：1.
14．答案：4
解析：设，以为一组基底，则，.
点A，P，E三点共线，点D，P，C三点共线，
存在实数和，使.
又，
解得
，，
.
15．答案：证明见解析
解析：证明：由已知可设，，
则，.
又因为，所以，
因此，从而可知四边形AECF是平行四边形.
16．答案：
解析：，，
，即，
，即与相似.
.
17．答案：见解析
解析：先来看共提旅行包的情况.如图，设作用在旅行包上的两个拉力分别为，，为方便起见，我们不妨设.另设，的夹角为，旅行包所受的重力为G.
由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道.
这里，为定值.解题思路上面的式子，我们发现，当由0逐渐变大到时，由0逐渐变大到，的值由大逐渐变小，此时由小逐渐变大；
反之，当由逐渐变小到0时，由逐渐变小到0，的值由小逐渐变大，
此时由大逐渐变小.这就是说，，之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力.
同理，在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.
解题思路：不妨以两人共提旅行包为例，只要研究清楚两个拉力的合力、旅行包所受的重力以及两个拉力的夹角三者之间的关系，就可以获得问题的数学解释.
18．答案：
解析：设点B是河对岸一点，AB与河岸垂直，那么当这艘船实际沿着AB方向行驶时，船的航程最短.
如图，设，则.
此时，船的航行时间.
所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要.
解题思路：如果水是静止的，那么船只要取垂直于河岸的方向行驶，就能使航程最短，此时所用时间也是最短的.考虑到水的流速，要使航程最短，船的速度与水流速度的合速度v必须垂直于河岸.
19．答案：
解析：，
对物体所做的功.
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6.3 平面向量线性运算的应用——高一数学人教B版(2019)必修第二册同步练习
一、选择题
1．长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则( )
A. B. C. D.
2．已知点O为所在平面内一点,在中,满足,,则点O为该三角形的( )
A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心
3．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜.小赵同学在练习冰球的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则F对冰球所做的功为( )
A. B.18 C. D.12
4．在水流速度为的自西向东的河中，如果要使船以的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为( )
A.北偏西， B.北偏西，
C.北偏东， D.北偏东，
5．已知三个力，，同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力，则( )
A. B. C. D.
6．已知点O是所在平面内一定点，动点P满足，，则动点P一定通过的( )
A.内心 B.垂心 C.重心 D.外心
7．在中，，，，若，则O是的( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
8．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重约为（参考数据：取重力加速度大小为）( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．数学家欧拉在年发表的三角形的几何学一书中提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理设点O、G、H分别是的外心、重心、垂心，且M为BC的中点，则( )
A. B.
C. D.
10．已知O，G分别为的外心和重心，N为平面内一点，且满足，则下列说法正确的是( )
A.
B.N为内心
C.
D.对于平面内任意一点P，总有
11．瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离的一半”，这就是著名的欧拉线定理.设中，O，H，G分别是外心、垂心和重心，下列四个选项中结论正确的是( ).
A. B.
C. D.
三、填空题
12．已知力，，且和三个力的合力为，则__________.
13．如图，作用于同一点O的三个力，，处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为_________.
14．如图，已知的面积为分别为边AB，BC上的点，且交于点P，则的面积为_________.
四、解答题
15．（例题）如图所示，已知平行四边形ABCD中，E，F在对角线BD上，并且.求证：四边形AECF是平行四边形.
16．已知与中，，，求与的关系，并求出与的面积之比.
17．（例题）在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗？
18．（例题）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间（精确到）？
19．一物体在力F的作用下，由点移动到点.已知，求F对该物体所做的功.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意知，
则，
因为，，
即，
所以.故A，C，D错误.
故选：B.
2．答案：B
解析：根据题意,,即,所以,可得向量在向量上的投影为的一半,可解题思路出点O在边AB的中垂线上,同理可得,点O在边AC的中垂线上,所以点O为该三角形的外心.故选B.
3．答案：D
解析：因为，，所以，又，
故力对冰球所做的功为.
故选：D.
4．答案：A
解析：如图，设船从点O出发，沿方向行驶才能垂直达到北岸，令，
，，
则，因为为锐角，所以，故船以的速度，以北偏西的方向行驶，才能垂直到达北岸.故选A.
5．答案：D
解析：，所以.
6．答案：A
解析：，分别表示向量，方向上的单位向量，向量的方向与的平分线的方向一致.又，，向量的方向与的平分线的方向一致，动点P一定通过的内心.
7．答案：B
解析：，，，，，，是的平分线.同理可得是的平分线，点O为的角平分线的交点，故点O是的内心.
8．答案：D
解析：如图，，，作平行四边形，则四边形是菱形，，，所以，因此该学生体重为.故选D.
9．答案：ABD
解析：作图如下所示：
A.因为，所以，所以G为重心，所以，
所以，
所以，所以，
所以，所以该选项正确；
B.，，
由于G是重心，所以，所以，
同理，，所以，
所以该选项正确；
C.，所以该选项错误；
D.，所以，所以，
所以，所以该选项正确．故选：ABD．
10．答案：ACD
解析：A：由G为的重心，则，，，
所以，即，正确；
B：，由O为外心，所以，
即，同理，，故N为垂心，错误.
C：，所以，
因为，故，而，
所以，即，正确.
D：，所以，
因为，故，正确.
故选：ACD.
11．答案：BC
解析：如图，根据欧拉线定理可知，点O，H，G共线，且，
对于A，因为，所以，故A错误；
对于B，取BC的中点为D，则，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，显然不正确.故选BC.
12．答案：
解析：设，则，即，解得，
所以.
故答案为：.
13．答案：1
解析：，，三个力处于平衡状态，，即，
则
，
故答案为：1.
14．答案：4
解析：设，以为一组基底，则，.
点A，P，E三点共线，点D，P，C三点共线，
存在实数和，使.
又，
解得
，，
.
15．答案：证明见解析
解析：证明：由已知可设，，
则，.
又因为，所以，
因此，从而可知四边形AECF是平行四边形.
16．答案：
解析：，，
，即，
，即与相似.
.
17．答案：见解析
解析：先来看共提旅行包的情况.如图，设作用在旅行包上的两个拉力分别为，，为方便起见，我们不妨设.另设，的夹角为，旅行包所受的重力为G.
由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道.
这里，为定值.解题思路上面的式子，我们发现，当由0逐渐变大到时，由0逐渐变大到，的值由大逐渐变小，此时由小逐渐变大；
反之，当由逐渐变小到0时，由逐渐变小到0，的值由小逐渐变大，
此时由大逐渐变小.这就是说，，之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力.
同理，在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.
解题思路：不妨以两人共提旅行包为例，只要研究清楚两个拉力的合力、旅行包所受的重力以及两个拉力的夹角三者之间的关系，就可以获得问题的数学解释.
18．答案：
解析：设点B是河对岸一点，AB与河岸垂直，那么当这艘船实际沿着AB方向行驶时，船的航程最短.
如图，设，则.
此时，船的航行时间.
所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要.
解题思路：如果水是静止的，那么船只要取垂直于河岸的方向行驶，就能使航程最短，此时所用时间也是最短的.考虑到水的流速，要使航程最短，船的速度与水流速度的合速度v必须垂直于河岸.
19．答案：
解析：，
对物体所做的功.
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